Divisão (matemática) - Division (mathematics)

20/4 = 5, ilustrado aqui com maçãs. Isso é dito verbalmente: "Vinte dividido por quatro é igual a cinco."

Operaçoes aritimeticas v t e

Adição (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Subtração (-) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, - \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuendo}} \, - \ , {\ text {subtraendo}} \ end {matriz}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {diferença}}}$ Multiplicação (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplicador}} \, \ vezes \, {\ text {multiplicando}} \ end {matriz}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Divisão (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matriz} \ scriptstyle {\ text {fração}} \\\ scriptstyle {\ text {quociente}} \\\ scriptstyle {\ text {proporção}} \ end {matriz}}}$ Exponenciação ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {expoente}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ n th raiz (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Logaritmo (log) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {anti-logaritmo}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {logaritmo}}}$

A divisão é uma das quatro operações básicas da aritmética , as maneiras como os números são combinados para formar novos números. As outras operações são adição , subtração e multiplicação .

Em um nível elementar, a divisão de dois números naturais é, entre outras interpretações possíveis , o processo de calcular o número de vezes que um número está contido em outro. Esse número de vezes nem sempre é um número inteiro (um número que pode ser obtido usando as outras operações aritméticas nos números naturais).

A divisão com resto ou divisão euclidiana de dois números naturais fornece um quociente inteiro , que é o número de vezes que o segundo número está completamente contido no primeiro número, e um resto , que é a parte do primeiro número que permanece, quando em Durante o cálculo do quociente, nenhuma outra parte completa do tamanho do segundo número pode ser alocada.

Para que a divisão sempre produza um número, em vez de um quociente mais um resto, os números naturais devem ser estendidos para números racionais (os números que podem ser obtidos usando aritmética em números naturais) ou números reais . Nestes sistemas de números aumentados , a divisão é a operação inversa da multiplicação, ou seja, a = c / b significa a × b = c , desde que b não seja zero. Se b = 0 , então esta é uma divisão por zero , que não está definida.

Ambas as formas de divisão aparecem em várias estruturas algébricas , maneiras diferentes de definir a estrutura matemática. Aqueles em que uma divisão euclidiana (com resto) é definida são chamados de domínios euclidianos e incluem anéis polinomiais em um indeterminado (que definem multiplicação e adição em fórmulas de uma única variável). Aqueles em que uma divisão (com um único resultado) por todos os elementos diferentes de zero é definida são chamados de campos e anéis de divisão . Em um anel, os elementos pelos quais a divisão é sempre possível são chamados de unidades (por exemplo, 1 e −1 no anel de inteiros). Outra generalização da divisão para estruturas algébricas é o grupo de quocientes , no qual o resultado da "divisão" é um grupo em vez de um número.

Introdução

A maneira mais simples de ver a divisão é em termos de quotition e partição : a partir da perspectiva quotition, 20/5 significa o número de 5s que devem ser adicionados para obter 20. Em termos de partição, 20/5 significa que o tamanho de cada um dos 5 partes em que um conjunto de tamanho 20 é dividido. Por exemplo, 20 maçãs são divididas em cinco grupos de quatro maçãs, o que significa que vinte divididos por cinco é igual a quatro . Isso é denotado como 20/5 = 4 , ou 20/5= 4 . O que está sendo dividido é chamado de dividendo , que é dividido pelo divisor , e o resultado é chamado de quociente . No exemplo, 20 é o dividendo, 5 é o divisor e 4 é o quociente.

Ao contrário das outras operações básicas, ao dividir os números naturais, às vezes há um resto que não entrará uniformemente no dividendo; por exemplo, 10/3 deixa um resto de 1, pois 10 não é um múltiplo de 3. Às vezes, esse resto é adicionado ao quociente como uma parte fracionária , então 10/3 é igual a 3+1/3ou 3,33 ... , mas no contexto de divisão inteira , onde os números não têm parte fracionária, o restante é mantido separadamente (ou excepcionalmente, descartado ou arredondado ). Quando o resto é mantido como uma fração, leva a um número racional . O conjunto de todos os números racionais é criado estendendo os inteiros com todos os resultados possíveis das divisões de inteiros.

Ao contrário da multiplicação e adição, a divisão não é comutativa , o que significa que a / b nem sempre é igual ab / a . A divisão também não é, em geral, associativa , o que significa que, ao dividir várias vezes, a ordem da divisão pode alterar o resultado. Por exemplo, (20/5) / 2 = 2 , mas 20 / (5/2) = 8 (onde o uso de parênteses indica que as operações entre parênteses são realizadas antes das operações fora dos parênteses).

A divisão é tradicionalmente considerada associativa à esquerda . Ou seja, se houver várias divisões em uma linha, a ordem de cálculo vai da esquerda para a direita:

${\ displaystyle a / b / c = (a / b) / c = a / (b \ vezes c) \ neq a / (b / c) = (a \ vezes c) / b.}$

A divisão é distributiva correta sobre adição e subtração, no sentido de que

${\ displaystyle {\ frac {a \ pm b} {c}} = (a \ pm b) / c = (a / c) \ pm (b / c) = {\ frac {a} {c}} \ pm {\ frac {b} {c}}.}$

Isso é o mesmo para multiplicação , como . No entanto, a divisão não é distributiva à esquerda , como ${\ displaystyle (a + b) \ times c = a \ times c + b \ times c}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b + c}} = a / (b + c) \ neq (a / b) + (a / c) = {\ frac {ac + ab} {bc}}. }$

Isso é diferente do caso na multiplicação, que é distributiva à esquerda e distributiva à direita e, portanto, distributiva .

Notação

Mais e menos. Um obelus usado como uma variante do sinal de menos em um trecho de um formulário oficial de declaração de comércio norueguês denominado «Næringsoppgave 1» para o ano fiscal de 2010.

A divisão é freqüentemente mostrada em álgebra e ciência colocando o dividendo sobre o divisor com uma linha horizontal, também chamada de barra de fração , entre eles. Por exemplo, " a dividido por b " pode ser escrito como:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

que também pode ser lido em voz alta como "divida a por b " ou " a sobre b ". Uma forma de expressar a divisão toda em uma linha é escrever o dividendo (ou numerador), depois uma barra e o divisor (ou denominador), como segue:

${\ displaystyle a / b}$

Esta é a maneira usual de especificar a divisão na maioria das linguagens de programação de computador , uma vez que pode ser facilmente digitada como uma sequência simples de caracteres ASCII . Alguns softwares matemáticos , como MATLAB e GNU Octave , permitem que os operandos sejam escritos na ordem reversa usando a barra invertida como o operador de divisão:

${\ displaystyle b \ barra invertida a}$

Uma variação tipográfica no meio do caminho entre essas duas formas usa um solidus (barra de fração), mas eleva o dividendo e diminui o divisor:

${\ displaystyle {} ^ {a} \! / {} _ {b}}$

Qualquer um desses formulários pode ser usado para exibir uma fração . Uma fração é uma expressão de divisão em que dividendo e divisor são inteiros (normalmente chamados de numerador e denominador ), e não há implicação de que a divisão deve ser avaliada posteriormente. Uma segunda maneira de mostrar a divisão é usar o sinal de divisão (÷, também conhecido como obelus, embora o termo tenha significados adicionais), comum na aritmética, desta maneira:

${\ displaystyle a \ div b}$

Esta forma é rara, exceto na aritmética elementar. ISO 80000-2 -9,6 afirma que não deve ser usado. Este sinal de divisão também é usado sozinho para representar a própria operação de divisão, por exemplo, como uma etiqueta em uma tecla de uma calculadora . O obelus foi introduzido pelo matemático suíço Johann Rahn em 1659 na Álgebra de Teutsche . O símbolo ÷ é usado para indicar subtração em alguns países europeus, portanto, seu uso pode ser mal interpretado.

Em alguns países que não falam inglês , dois pontos são usados ​​para denotar a divisão:

${\ displaystyle a: b}$

Essa notação foi introduzida por Gottfried Wilhelm Leibniz em seu Acta eruditorum de 1684 . Leibniz não gostava de ter símbolos separados para proporção e divisão. No entanto, no uso do inglês, os dois pontos se restringem a expressar o conceito relacionado de proporções .

Desde o século 19, os livros americanos têm usado ou para denotar a dividido por b , especialmente quando se trata de divisão longa . A história dessa notação não é totalmente clara porque ela evoluiu ao longo do tempo. ${\ displaystyle b) a}$${\ displaystyle b {\ overline {) a}}}$

Informática

Métodos manuais

A divisão é freqüentemente introduzida por meio da noção de "dividir" um conjunto de objetos, por exemplo, uma pilha de picolés, em várias porções iguais. Distribuir os objetos vários de uma vez em cada rodada de compartilhamento para cada porção leva à ideia de ' fragmentação ' - uma forma de divisão em que se subtrai repetidamente os múltiplos do divisor do próprio dividendo.

Ao permitir que se subtraia mais múltiplos do que o restante parcial permite em um determinado estágio, métodos mais flexíveis, como a variante bidirecional de chunking, também podem ser desenvolvidos.

De forma mais sistemática e eficiente, dois inteiros podem ser divididos com lápis e papel com o método da divisão curta , se o divisor for pequeno, ou divisão longa , se o divisor for maior. Se o dividendo tiver uma parte fracionária (expressa como fração decimal ), pode-se continuar o procedimento além da casa das unidades até onde desejar. Se o divisor tiver uma parte fracionária, pode-se reafirmar o problema movendo o decimal para a direita em ambos os números até que o divisor não tenha nenhuma fração, o que pode tornar o problema mais fácil de resolver (por exemplo, 10 / 2,5 = 100/25 = 4 )

A divisão pode ser calculada com um ábaco .

As tabelas de logaritmo podem ser usadas para dividir dois números, subtraindo os logaritmos dos dois números e, em seguida, procurando o antilogaritmo do resultado.

A divisão pode ser calculada com uma régua de cálculo alinhando o divisor na escala C com o dividendo na escala D. O quociente pode ser encontrado na escala D onde está alinhado com o índice esquerdo na escala C. O usuário é responsável, no entanto, por manter o controle mental da vírgula decimal.

Por computador

Calculadoras e computadores modernos calculam a divisão por métodos semelhantes à divisão longa ou por métodos mais rápidos; consulte o algoritmo de divisão .

Na aritmética modular (módulo um número primo) e para números reais , os números diferentes de zero têm um inverso multiplicativo . Nestes casos, uma divisão por x pode ser calculada como o produto pelo inverso multiplicativo de x . Essa abordagem é freqüentemente associada aos métodos mais rápidos em aritmética computacional.

Divisão em diferentes contextos

Divisão euclidiana

A divisão euclidiana é a formulação matemática do resultado do processo usual de divisão de inteiros. Ele afirma que, dados dois inteiros, a , o dividendo e b , o divisor , tal que b ≠ 0, existem números inteiros únicos q , o quociente e r , o resto, tal que a = bq + r e 0 ≤ r <| b |, onde | b | denota o valor absoluto de b .

De inteiros

Os inteiros não são fechados na divisão. Além de a divisão por zero ser indefinida, o quociente não é um número inteiro, a menos que o dividendo seja um múltiplo inteiro do divisor. Por exemplo, 26 não pode ser dividido por 11 para fornecer um número inteiro. Esse caso usa uma das cinco abordagens:

1. Diga que 26 não pode ser dividido por 11; a divisão torna-se uma função parcial .
2. Dê uma resposta aproximada como um número " real ". Esta é a abordagem geralmente usada em computação numérica .
3. Dê a resposta como uma fração representando um número racional , então o resultado da divisão de 26 por 11 é (ou como um número misto , então ) Normalmente a fração resultante deve ser simplificada: o resultado da divisão de 52 por 22 também é . Essa simplificação pode ser feita fatorando o maior divisor comum .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ tfrac {4} {11}}.}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$
4. Dê a resposta como um quociente inteiro e um resto , então Para fazer a distinção com o caso anterior, essa divisão, com dois inteiros como resultado, às vezes é chamada de divisão euclidiana , porque é a base do algoritmo euclidiano .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ mbox {resto}} 4.}$
5. Dê o quociente inteiro como a resposta, então esta é a função de base , também chamada de divisão inteira em um nível elementar.${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2.}$

A divisão de números inteiros em um programa de computador requer cuidados especiais. Algumas linguagens de programação tratam a divisão de inteiros como no caso 5 acima, então a resposta é um inteiro. Outras linguagens, como o MATLAB e todo sistema de álgebra computacional, retornam um número racional como resposta, como no caso 3 acima. Essas linguagens também fornecem funções para obter os resultados dos outros casos, diretamente ou a partir do resultado do caso 3.

Nomes e símbolos usados ​​para divisão inteira incluem div, /, \ e%. As definições variam em relação à divisão inteira quando o dividendo ou divisor é negativo: o arredondamento pode ser próximo a zero (a chamada divisão T) ou próximo a −∞ (divisão F); podem ocorrer estilos mais raros - consulte a operação do Módulo para obter os detalhes.

Às vezes, as regras de divisibilidade podem ser usadas para determinar rapidamente se um inteiro se divide exatamente em outro.

De números racionais

O resultado da divisão de dois números racionais é outro número racional quando o divisor não é 0. A divisão de dois números racionais p / q e r / s pode ser calculada como

${\ displaystyle {p / q \ over r / s} = {p \ over q} \ times {s \ over r} = {ps \ over qr}.}$

Todas as quatro quantidades são inteiras e apenas p pode ser 0. Essa definição garante que a divisão seja a operação inversa da multiplicação .

De números reais

A divisão de dois números reais resulta em outro número real (quando o divisor é diferente de zero). É definido de forma que a / b = c se e somente se a = cb e b ≠ 0.

De números complexos

Dividir dois números complexos (quando o divisor é diferente de zero) resulta em outro número complexo, que é encontrado usando o conjugado do denominador:

${\ displaystyle {p + iq \ over r + is} = {(p + iq) (r-is) \ over (r + is) (r-is)} = {pr + qs + i (qr-ps) \ over r ^ {2} + s ^ {2}} = {pr + qs \ over r ^ {2} + s ^ {2}} + i {qr-ps \ over r ^ {2} + s ^ { 2}}.}$

Este processo de multiplicação e divisão por é chamado de 'realização' ou (por analogia) racionalização . Todas as quatro quantidades p , q , r , s são números reais e r e s não podem ser 0. ${\ displaystyle r-is}$

A divisão para números complexos expressos na forma polar é mais simples do que a definição acima:

${\ displaystyle {pe ^ {iq} \ over re ^ {is}} = {pe ^ {iq} e ^ {- is} \ over re ^ {is} e ^ {- is}} = {p \ over r } e ^ {i (qs)}.}$

Novamente, todas as quatro quantidades p , q , r , s são números reais e r pode não ser 0.

De polinômios

Pode-se definir a operação de divisão de polinômios em uma variável sobre um campo . Então, como no caso de inteiros, um tem um resto. Consulte divisão euclidiana de polinômios e, para computação escrita à mão, divisão longa de polinômios ou divisão sintética .

De matrizes

Pode-se definir uma operação de divisão para matrizes. A maneira usual de fazer isso é definir A / B = AB ⁻¹ , onde B ⁻¹ denota o inverso de B , mas é muito mais comum escrever AB ⁻¹ explicitamente para evitar confusão. Uma divisão elementwise também pode ser definida em termos do produto Hadamard .

Divisão esquerda e direita

Uma vez que a multiplicação de matrizes não é conmutativo , pode-se igualmente definir uma divisão esquerda ou a chamada barra invertida-divisão como um \ B = Um ^-1 B . Para que seja bem definido, B ^-1 não precisa existir, entretanto A ^-1 precisa existir. Para evitar confusão, a divisão conforme definida por A / B = AB ⁻¹ é algumas vezes chamada de divisão direita ou divisão por barra neste contexto.

Observe que com a divisão esquerda e direita definida dessa maneira, A / ( BC ) em geral não é o mesmo que ( A / B ) / C , nem é ( AB ) \ C o mesmo que A \ ( B \ C ) . No entanto, considera-se que A / ( BC ) = ( A / C ) / B e ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Pseudoinverso

Para evitar problemas quando A ⁻¹ e / ou B ⁻¹ não existem, a divisão também pode ser definida como multiplicação pelo pseudoinverso . Isto é, um / B = AB ⁺ e A \ B = A ⁺ B , em que A ⁺ e B ⁺ denotar as pseudoinverses de A e B .

Álgebra abstrata

Na álgebra abstrata , dado um magma com operação binária ∗ (que poderia ser nominalmente denominado multiplicação), a divisão à esquerda de b por a (escrita a \ b ) é normalmente definida como a solução x para a equação a ∗ x = b , se este existe e é único. Da mesma forma, a divisão à direita de b por a (escrita b / a ) é a solução y para a equação y ∗ a = b . A divisão, neste sentido, não requer que ∗ tenha nenhuma propriedade particular (como comutatividade, associatividade ou um elemento de identidade).

"Divisão" no sentido de "cancelamento" pode ser feita em qualquer magma por um elemento com a propriedade de cancelamento . Os exemplos incluem álgebras de matriz e álgebras de quaternion . Um quase - grupo é uma estrutura em que a divisão é sempre possível, mesmo sem um elemento de identidade e, portanto, inversa. Em um domínio integral , onde nem todos os elementos precisam ter um inverso, a divisão por um elemento cancelador a ainda pode ser realizada em elementos da forma ab ou ca pelo cancelamento esquerdo ou direito, respectivamente. Se um anel é finito e cada elemento diferente de zero é cancelativo, então, por uma aplicação do princípio do escaninho , cada elemento diferente de zero do anel é invertível, e a divisão por qualquer elemento diferente de zero é possível. Para saber quando as álgebras (no sentido técnico) têm uma operação de divisão, consulte a página sobre álgebras de divisão . Em particular periodicidade Bott pode ser utilizado para demonstrar que qualquer verdadeira álgebra divisão normalizado deve ser isomorfa a quer os números reais R , os números complexos C , os quatérnions H , ou os octoniones ó .

Cálculo

A derivada do quociente de duas funções é dada pela regra do quociente :

${\ displaystyle {\ left ({\ frac {f} {g}} \ right)} '= {\ frac {f'g-fg'} {g ^ {2}}}.}$

Divisão por zero

A divisão de qualquer número por zero na maioria dos sistemas matemáticos é indefinida, porque zero multiplicado por qualquer número finito sempre resulta em um produto de zero. A entrada de tal expressão na maioria das calculadoras produz uma mensagem de erro. No entanto, em certos níveis mais altos de matemática, a divisão por zero é possível pelo anel zero e álgebras, como rodas . Nessas álgebras, o significado da divisão é diferente das definições tradicionais.

Veja também

• Algoritmo de divisão Sunzi 400AD
• Divisão por dois
• Divisão de cozinha
• Elemento inverso
• Ordem de operações
• Decimal de repetição

Notas

Referências

links externos

• Divisão planetmath
• Divisão em um ábaco japonês selecionado de Abacus: Mystery of the Bead
• Técnicas de divisão curta chinesa em um Suan Pan
• Regras de divisibilidade