Função de Bessel - Bessel function

As funções de Bessel são a parte radial dos modos de vibração de um tambor circular.

As funções de Bessel , primeiro definidas pelo matemático Daniel Bernoulli e depois generalizadas por Friedrich Bessel , são soluções canônicas y ( x ) da equação diferencial de Bessel

para um número complexo arbitrário α , a ordem da função de Bessel. Embora α e - α produzam a mesma equação diferencial, é convencional definir funções de Bessel diferentes para esses dois valores de forma que as funções de Bessel sejam principalmente funções suaves de α .

Os casos mais importantes são quando α é um inteiro ou meio inteiro . As funções de Bessel para α inteiro também são conhecidas como funções cilíndricas ou harmônicas cilíndricas porque aparecem na solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas . Funções esféricas de Bessel com meio-inteiro α são obtidas quando a equação de Helmholtz é resolvida em coordenadas esféricas .

Aplicações das funções de Bessel

A equação de Bessel surge ao encontrar soluções separáveis ​​para a equação de Laplace e a equação de Helmholtz em coordenadas cilíndricas ou esféricas . As funções de Bessel são, portanto, especialmente importantes para muitos problemas de propagação de ondas e potenciais estáticos. Na solução de problemas em sistemas de coordenadas cilíndricas, obtém-se funções de Bessel de ordem inteira ( α = n ); em problemas esféricos, obtém-se ordens de meio-inteiro ( α = n + 1/2) Por exemplo:

As funções de Bessel também aparecem em outros problemas, como processamento de sinal (por exemplo, consulte síntese FM , janela Kaiser ou filtro Bessel ).

Definições

Como esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem, deve haver duas soluções linearmente independentes . Dependendo das circunstâncias, entretanto, várias formulações dessas soluções são convenientes. Diferentes variações são resumidas na tabela abaixo e descritas nas seções a seguir.

Modelo Primeiro tipo Segundo tipo
Funções de Bessel J α Y α
Funções Bessel modificadas Eu α K α
Funções de Hankel H(1)
α
= J α + iY α
H(2)
α
= J α - iY α
Funções esféricas de Bessel j n y n
Funções esféricas de Hankel h(1)
n
= j n + iy n
h(2)
n
= j n - iy n

As funções de Bessel do segundo tipo e as funções esféricas de Bessel do segundo tipo são às vezes denotadas por N n e n n , respectivamente, em vez de Y n e y n .

Funções de Bessel do primeiro tipo: J α

As funções de Bessel do primeiro tipo, denotadas como J α ( x ) , são soluções da equação diferencial de Bessel. Para α inteiro ou positivo  , as funções de Bessel do primeiro tipo são finitas na origem ( x = 0 ); enquanto para α não inteiro negativo  , as funções de Bessel do primeiro tipo divergem quando x se aproxima de zero. É possível definir a função por sua expansão em série em torno de x = 0 , que pode ser encontrada aplicando o método de Frobenius à equação de Bessel:

onde Γ ( z ) é a função gama , uma generalização deslocada da função fatorial para valores não inteiros. A função de Bessel do primeiro tipo é uma função inteira se α for um inteiro, caso contrário, é uma função multivalorada com singularidade em zero. Os gráficos das funções de Bessel parecem mais ou menos com funções oscilantes de seno ou cosseno que decaem proporcionalmente (veja também suas formas assintóticas abaixo), embora suas raízes não sejam geralmente periódicas, exceto assintoticamente para x grande . (A série indica que - J 1 ( x ) é a derivada de J 0 ( x ) , bem como −sin x é a derivada de cos x ; mais geralmente, a derivada de J n ( x ) pode ser expressa em termos de J n ± 1 ( x ) pelas identidades abaixo .)

Gráfico da função de Bessel de primeiro tipo, J α ( x ) , para ordens inteiras α = 0, 1, 2

Para α não inteiro , as funções J α ( x ) e J - α ( x ) são linearmente independentes e, portanto, as duas soluções da equação diferencial. Por outro lado, para ordem inteira n , a seguinte relação é válida (a função gama tem pólos simples em cada um dos inteiros não positivos):

Isso significa que as duas soluções não são mais linearmente independentes. Nesse caso, a segunda solução linearmente independente é então a função de Bessel do segundo tipo, conforme discutido abaixo.

Integrais de Bessel

Outra definição da função de Bessel, para valores inteiros de n , é possível usando uma representação integral:

Essa foi a abordagem que Bessel usou, e dessa definição ele derivou várias propriedades da função. A definição pode ser estendida a ordens não inteiras por uma das integrais de Schläfli, para Re ( x )> 0 :

Relação com a série hipergeométrica

As funções de Bessel podem ser expressas em termos da série hipergeométrica generalizada como

Esta expressão está relacionada ao desenvolvimento das funções de Bessel em termos da função de Bessel-Clifford .

Relação com polinômios de Laguerre

Em termos dos polinômios de Laguerre L k e do parâmetro t escolhido arbitrariamente , a função de Bessel pode ser expressa como

Funções de Bessel do segundo tipo: Y α

As funções de Bessel do segundo tipo, denotadas por Y α ( x ) , ocasionalmente denotadas em vez de N α ( x ) , são soluções da equação diferencial de Bessel que têm uma singularidade na origem ( x = 0 ) e são multivaloradas . Algumas vezes são chamadas de funções de Weber , como foram introduzidas por HM Weber  ( 1873 ), e também funções de Neumann após Carl Neumann .

Gráfico da função de Bessel de segundo tipo, Y α ( x ) , para ordens inteiras α = 0, 1, 2

Para um α não inteiro , Y α ( x ) está relacionado a J α ( x ) por

No caso de ordem inteira n , a função é definida tomando o limite como um não inteiro α tende a n :

Se n for um inteiro não negativo, temos a série

onde está a função digamma , a derivada logarítmica da função gama .

Há também uma fórmula integral correspondente (para Re ( x )> 0 ):

Y α ( x ) é necessário como a segunda solução linearmente independente da equação de Bessel quando α é um inteiro. Mas Y α ( x ) tem mais significado do que isso. Pode ser considerado um parceiro "natural" de J α ( x ) . Consulte também a subseção sobre as funções de Hankel abaixo.

Além disso, quando α é um número inteiro, como acontecia de forma semelhante para as funções do primeiro tipo, a seguinte relação é válida:

Tanto J α ( x ) quanto Y α ( x ) são funções holomórficas de x no plano complexo cortado ao longo do eixo real negativo. Quando α é um inteiro, as funções de Bessel J são funções inteiras de x . Se x for mantido fixo em um valor diferente de zero, então as funções de Bessel são funções inteiras de α .

As funções de Bessel do segundo tipo quando α é um inteiro é um exemplo do segundo tipo de solução no teorema de Fuchs .

Funções de Hankel: H(1)
α
, H(2)
α

Outra formulação importante das duas soluções linearmente independentes para a equação de Bessel são as funções de Hankel de primeiro e segundo tipo , H(1)
α
( x )
e H(2)
α
( x )
, definido como

onde i é a unidade imaginária . Essas combinações lineares também são conhecidas como funções de Bessel do terceiro tipo ; são duas soluções linearmente independentes da equação diferencial de Bessel. Eles são nomeados após Hermann Hankel .

Essas formas de combinação linear satisfazem várias propriedades de aparência simples, como fórmulas assintóticas ou representações integrais. Aqui, "simples" significa a aparência de um fator da forma e i f (x) . Para real onde , são real-valorizados, as funções de Bessel do primeiro e segundo tipo são as partes reais e imaginárias, respectivamente, da primeira função de Hankel e as partes reais e imaginárias negativas da segunda função de Hankel. Assim, as fórmulas acima são análogas à fórmula de Euler , substituindo H(1)
α
( x )
, H(2)
α
( X )
para e , para , , como explicitamente mostrada na expansão assintótica .

As funções de Hankel são usadas para expressar soluções de ondas cilíndricas de propagação para fora e para dentro da equação de onda cilíndrica, respectivamente (ou vice-versa, dependendo da convenção de sinal para a frequência ).

Usando os relacionamentos anteriores, eles podem ser expressos como

Se α for um número inteiro, o limite deve ser calculado. As seguintes relações são válidas, seja α um inteiro ou não:

Em particular, se α = m +1/2com m um número inteiro não negativo, as relações acima implicam diretamente que

Eles são úteis no desenvolvimento das funções esféricas de Bessel (veja abaixo).

As funções de Hankel admitem as seguintes representações integrais para Re ( x )> 0 :

onde os limites de integração indicam integração ao longo de um contorno que pode ser escolhido da seguinte forma: de −∞ a 0 ao longo do eixo real negativo, de 0 a ± πi ao longo do eixo imaginário, e de ± πi a + ∞ ± πi ao longo de um contorno paralelo ao eixo real.

Funções de Bessel modificadas: I α , K α

As funções de Bessel são válidas mesmo para argumentos complexos x , e um caso especial importante é o de um argumento puramente imaginário. Neste caso, as soluções para a equação de Bessel são chamadas de funções de Bessel modificadas (ou ocasionalmente as funções de Bessel hiperbólicas ) de primeiro e segundo tipo e são definidas como

quando α não é um inteiro; quando α é um inteiro, então o limite é usado. Eles são escolhidos para terem valor real para argumentos x reais e positivos . A expansão em série para I α ( x ) é, portanto, semelhante à de J α ( x ) , mas sem o fator alternativo (−1) m .

pode ser expresso em termos de funções de Hankel:

Podemos expressar a primeira e a segunda funções de Bessel em termos das funções de Bessel modificadas (estas são válidas se - π <arg zπ/2):

I α ( x ) e K α ( x ) são as duas soluções linearmente independentes para a equação de Bessel modificada :

Ao contrário das funções de Bessel comuns, que oscilam como funções de um argumento real, I α e K α são funções de crescimento e decadência exponencialmente, respectivamente. Como a função de Bessel comum J α , a função I α vai para zero em x = 0 para α > 0 e é finita em x = 0 para α = 0 . Analogamente, K α diverge em x = 0 com a singularidade sendo do tipo logarítmico para K 0 , e ½Γ (| α |) (2 / x ) | α | de outra forma.

Funções de Bessel modificadas de primeiro tipo, I α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3
Funções de Bessel modificadas de segundo tipo, K α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3


Duas fórmulas integrais para as funções de Bessel modificadas são (para Re ( x )> 0 ):

As funções de Bessel podem ser descritas como transformadas de Fourier de potências de funções quadráticas. Por exemplo:

Isso pode ser provado mostrando igualdade para a definição integral acima para K 0 . Isso é feito integrando uma curva fechada no primeiro quadrante do plano complexo.

As funções de Bessel modificadas K 1/3 e K 2/3 podem ser representadas em termos de integrais rapidamente convergentes

A função de Bessel modificada do segundo tipo também foi chamada pelos seguintes nomes (agora raros):

Funções esféricas de Bessel: j n , y n

Funções esféricas de Bessel de primeiro tipo, j n ( x ) , para n = 0, 1, 2
Funções esféricas de Bessel de segundo tipo, y n ( x ) , para n = 0, 1, 2

Ao resolver a equação de Helmholtz em coordenadas esféricas por separação de variáveis, a equação radial tem a forma

As duas soluções linearmente independentes para esta equação são chamadas de funções esféricas de Bessel j n e y n , e estão relacionadas às funções de Bessel ordinárias J n e Y n por

y n também é denotado n n ou η n ; alguns autores chamam essas funções de funções esféricas de Neumann .

As funções esféricas de Bessel também podem ser escritas como ( fórmulas de Rayleigh )

A função esférica zero de Bessel j 0 ( x ) também é conhecida como função sinc (não normalizada) . As primeiras funções esféricas de Bessel são:

e

Função geradora

As funções esféricas de Bessel têm as funções geradoras

Relações diferenciais

A seguir, f n é qualquer um de j n , y n , h(1)
n
, h(2)
n
para n = 0, ± 1, ± 2, ...

Funções esféricas de Hankel: h(1)
n
, h(2)
n

Existem também análogos esféricos das funções de Hankel:

Na verdade, existem expressões simples de forma fechada para as funções de Bessel de ordem de meio inteiro em termos das funções trigonométricas padrão e, portanto, para as funções esféricas de Bessel. Em particular, para inteiros não negativos n :

e h(2)
n
é o complexo-conjugado disso (para x real ). Segue-se, por exemplo, que j 0 ( x ) =sin x/xe y 0 ( x ) = -cos x/x, e assim por diante.

As funções esféricas de Hankel aparecem em problemas que envolvem a propagação de ondas esféricas , por exemplo, na expansão multipolar do campo eletromagnético .

Funções de Riccati – Bessel: S n , C n , ξ n , ζ n

As funções de Riccati - Bessel diferem apenas ligeiramente das funções esféricas de Bessel:

Eles satisfazem a equação diferencial

Por exemplo, este tipo de equação diferencial aparece na mecânica quântica ao resolver o componente radial da equação de Schrödinger com a barreira potencial infinita cilíndrica hipotética. Essa equação diferencial, e as soluções de Riccati-Bessel, também surgem no problema de espalhamento de ondas eletromagnéticas por uma esfera, conhecido como espalhamento de Mie após a primeira solução publicada por Mie (1908). Veja, por exemplo, Du (2004) para desenvolvimentos e referências recentes.

Seguindo Debye (1909), a notação ψ n , χ n é algumas vezes usada em vez de S n , C n .

Formas assintóticas

As funções de Bessel têm as seguintes formas assintóticas . Para pequenos argumentos 0 < zα + 1 , obtém-se, quando α não é um número inteiro negativo:

Quando α é um número inteiro negativo, temos

Para a função de Bessel do segundo tipo, temos três casos:

onde γ é a constante de Euler – Mascheroni (0,5772 ...).

Para grandes argumentos reais z ≫ | α 2 -1/4| , não se pode escrever uma forma assintótica verdadeira para funções de Bessel do primeiro e segundo tipo (a menos que α seja meio-inteiro ) porque elas têm zeros até o infinito, que teriam que ser correspondidos exatamente por qualquer expansão assintótica. No entanto, para um determinado valor de arg z, pode-se escrever uma equação contendo um termo de ordem | z | -1 :

(Para α =1/2os últimos termos dessas fórmulas desaparecem completamente; veja as funções esféricas de Bessel acima.) Mesmo que essas equações sejam verdadeiras, melhores aproximações podem estar disponíveis para z complexo . Por exemplo, J 0 ( z ) quando z está perto da linha real negativa é melhor aproximado por

do que por

As formas assintóticas para as funções de Hankel são:

Estes podem ser estendidos a outros valores de arg z usando equações relacionadas com H(1)
α
( ze im π )
e H(2)
α
( ze im π )
para H(1)
α
( z )
e H(2)
α
( z )
.

É interessante que embora a função de Bessel do primeiro tipo seja a média das duas funções de Hankel, J α ( z ) não é assintótica à média dessas duas formas assintóticas quando z é negativo (porque uma ou outra não será correto lá, dependendo do arg z usado). Mas as formas assintóticas para as funções de Hankel nos permitem escrever formas assintóticas para as funções de Bessel de primeiro e segundo tipos para z complexo (não real) , desde que | z | vai para o infinito em um ângulo de fase constante arg z (usando a raiz quadrada com parte real positiva):

Para as funções de Bessel modificadas, Hankel desenvolveu expansões assintóticas (grande argumento) também:

Existe também a forma assintótica (para grandes reais )

Quando α =1/2, todos os termos, exceto o primeiro, desaparecem e temos

Para pequenos argumentos 0 <| z | ≪ α + 1 , temos

Aproximações de domínio completo com funções elementares

Uma aproximação muito boa (erro abaixo do valor máximo 1) da função de Bessel para um valor arbitrário do argumento x pode ser obtida com as funções elementares juntando a aproximação trigonométrica trabalhando para valores menores de x com a expressão contendo a função cosseno atenuada válido para grandes argumentos com o uso da função de transição suave, ou seja

Propriedades

Para ordem inteira α = n , J n é frequentemente definido por meio de uma série de Laurent para uma função geradora:

uma abordagem usada por PA Hansen em 1843. (Isso pode ser generalizado para uma ordem não inteira por integração de contorno ou outros métodos.) Outra relação importante para ordens inteiras é a expansão Jacobi-Anger :

e

que é usado para expandir uma onda plana como uma soma de ondas cilíndricas ou para encontrar a série de Fourier de um sinal FM modulado por tom .

Mais geralmente, uma série

é chamada de expansão de Neumann de f . Os coeficientes para ν = 0 têm a forma explícita

onde O k é o polinômio de Neumann .

As funções selecionadas admitem a representação especial

com

devido à relação de ortogonalidade

Mais geralmente, se f tem um ponto de ramificação próximo à origem de tal natureza que

então

ou

onde está a transformada de Laplace de f .

Outra forma de definir as funções de Bessel é a fórmula de representação de Poisson e a fórmula de Mehler-Sonine:

onde ν> -1/2e zC . Esta fórmula é útil especialmente ao trabalhar com transformadas de Fourier .

Como a equação de Bessel se torna Hermitiana (auto-adjunta) se for dividida por x , as soluções devem satisfazer uma relação de ortogonalidade para condições de contorno apropriadas. Em particular, segue-se que:

onde α > −1 , δ m , n é o delta de Kronecker e u α , m é o m ésimo zero de J α ( x ) . Essa relação de ortogonalidade pode então ser usada para extrair os coeficientes na série de Fourier-Bessel , onde uma função é expandida com base nas funções J α ( x u α , m ) para α fixo e m variável .

Uma relação análoga para as funções esféricas de Bessel segue imediatamente:

Se alguém definir uma função de vagão de x que depende de um pequeno parâmetro ε como:

(onde rect é a função retângulo ), então a transformada de Hankel dela (de qualquer ordem α > -1/2), g ε ( k ) , se aproxima de J α ( k ) conforme ε se aproxima de zero, para qualquer k dado . Por outro lado, a transformada de Hankel (da mesma ordem) de g ε ( k ) é f ε ( x ) :

que é zero em qualquer lugar, exceto perto de 1. À medida que ε se aproxima de zero, o lado direito se aproxima de δ ( x - 1) , onde δ é a função delta de Dirac . Isso admite o limite (no sentido distributivo ):

Uma mudança de variáveis ​​então produz a equação de fechamento :

para α > -1/2. A transformada de Hankel pode expressar uma função razoavelmente arbitrária como uma integral das funções de Bessel de escalas diferentes. Para as funções esféricas de Bessel, a relação de ortogonalidade é:

para α > −1 .

Outra propriedade importante das equações de Bessel, que decorre da identidade de Abel , envolve o Wronskian das soluções:

onde A α e B α são quaisquer duas soluções da equação de Bessel, e C α é uma constante independente de x (que depende de α e das funções de Bessel particulares consideradas). Em particular,

e

para α > −1 .

Para α > −1 , a função par inteira do gênero 1, x - α J α ( x ) , tem apenas zeros reais. Deixar

sejam todos os seus zeros positivos, então

(Há um grande número de outras integrais e identidades conhecidas que não são reproduzidas aqui, mas que podem ser encontradas nas referências.)

Relações de recorrência

As funções J α , Y α , H(1)
α
, e H(2)
α
todos satisfazem as relações de recorrência

e

onde Z denota J , Y , H (1) ou H (2) . Essas duas identidades são freqüentemente combinadas, por exemplo, adicionadas ou subtraídas, para produzir várias outras relações. Desta forma, por exemplo, pode-se calcular funções de Bessel de ordens superiores (ou derivadas superiores) dados os valores em ordens inferiores (ou derivadas inferiores). Em particular, segue-se que

As funções de Bessel modificadas seguem relações semelhantes:

e

e

A relação de recorrência lê

onde C α denota I α ou e αi π K α . Essas relações de recorrência são úteis para problemas de difusão discreta.

Teorema de multiplicação

As funções de Bessel obedecem a um teorema de multiplicação

onde λ e ν podem ser considerados como números complexos arbitrários. Para | λ 2 - 1 | <1 , a expressão anterior também é válida se J é substituído por Y . As identidades análogas para funções de Bessel modificadas e | λ 2 - 1 | <1 são

e

Zeros da função de Bessel

Hipótese de Bourget

O próprio Bessel provou originalmente que para inteiros não negativos n , a equação J n ( x ) = 0 tem um número infinito de soluções em x . Quando as funções J n ( x ) são plotadas no mesmo gráfico, entretanto, nenhum dos zeros parecem coincidir para diferentes valores de n, exceto para o zero em x = 0 . Esse fenômeno é conhecido como a hipótese de Bourget em homenagem ao matemático francês do século 19 que estudou as funções de Bessel. Especificamente, ele afirma que para quaisquer inteiros n ≥ 0 e m ≥ 1 , as funções J n ( x ) e J n + m ( x ) não têm zeros comuns além daquele em x = 0 . A hipótese foi comprovada por Carl Ludwig Siegel em 1929.

Abordagens numéricas

Para estudos numéricos sobre os zeros da função de Bessel, consulte Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) e Moler (2004) .

Veja também

Notas

Referências

links externos