Aritmética elementar - Elementary arithmetic

Os símbolos aritméticos elementares básicos.

A aritmética elementar é a parte simplificada da aritmética que inclui as operações de adição , subtração , multiplicação e divisão . Não deve ser confundido com aritmética de funções elementares .

A aritmética elementar começa com os números naturais e os símbolos escritos ( dígitos ) que os representam. O processo para combinar um par desses números com as quatro operações básicas tradicionalmente depende de resultados memorizados para pequenos valores de números, incluindo o conteúdo de uma tabuada para auxiliar na multiplicação e divisão.

A aritmética elementar também inclui frações e números negativos , que podem ser representados em uma reta numérica .

Os dígitos

Os dígitos são todo o conjunto de símbolos usados para representar números. Em um sistema numérico específico , um único dígito representa uma quantidade diferente de qualquer outro dígito, embora os símbolos no mesmo sistema numeral possam variar entre as culturas.

No uso moderno, os algarismos arábicos são o conjunto de símbolos mais comum e a forma mais usada desses dígitos é o estilo ocidental. Cada dígito, se usado como um número independente, corresponde aos seguintes valores:
0 , zero . Usado na ausência de objetos a serem contados. Por exemplo, uma maneira diferente de dizer "não há palitos aqui" é dizer "o número de palitos aqui é 0".
1 , um . Aplicado a um único item. Por exemplo, aqui está uma vara: I
2 , dois . Aplicado a um par de itens. Aqui estão duas varas: II
3 , três . Aplicado a três itens. Aqui estão três varetas: III
4 , quatro . Aplicado a quatro itens. Aqui estão quatro varas: III I
5 , cinco . Aplicado a cinco itens. Aqui estão cinco varas: III II
6 , seis . Aplicado a seis itens. Aqui estão seis varas: III III
7 , sete . Aplicado a sete itens. Aqui estão sete varas: III III I
8 , oito . Aplicado a oito itens. Aqui estão oito paus: III III II
9 , nove . Aplicado a nove itens. Aqui estão nove varas: III III III

Qualquer sistema numérico define o valor de todos os números que contêm mais de um dígito, na maioria das vezes por adição do valor para dígitos adjacentes. O sistema de numeração hindu-arábica inclui notação posicional para determinar o valor de qualquer numeral. Nesse tipo de sistema, o aumento no valor de um dígito adicional inclui uma ou mais multiplicações com o valor da raiz e o resultado é adicionado ao valor de um dígito adjacente. Com algarismos arábicos, o valor da raiz de dez produz um valor de vinte e um (igual a 2 × 10 + 1 ) para o algarismo "21". Uma multiplicação adicional com o valor da raiz ocorre para cada dígito adicional, então o numeral "201" representa um valor de duzentos e um (igual a 2 × 10 × 10 + 0 × 10 + 1 ).

O nível elementar de estudo normalmente inclui a compreensão do valor de números inteiros individuais usando algarismos arábicos com no máximo sete dígitos e a execução das quatro operações básicas usando algarismos arábicos com no máximo quatro dígitos cada.

Adição

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Quando dois números são somados, o resultado é chamado de soma . Os dois números sendo somados são chamados de adendos .

O que significa somar dois números naturais?

Suponha que você tenha dois sacos, um saco com cinco maçãs e um segundo saco com três maçãs. Pegando um terceiro saco vazio, mova todas as maçãs do primeiro e do segundo saco para o terceiro saco. O terceiro saco agora contém oito maçãs. Isso ilustra a combinação de três maçãs e cinco maçãs é oito maçãs; ou mais geralmente: "três mais cinco é oito" ou "três mais cinco é igual a oito" ou "oito é a soma de três e cinco". Os números são abstratos e a adição de um grupo de três coisas a um grupo de cinco coisas resultará em um grupo de oito coisas. A adição é um reagrupamento: dois conjuntos de objetos que foram contados separadamente são colocados em um único grupo e contados juntos: a contagem do novo grupo é a "soma" das contagens separadas dos dois grupos originais.

Esta operação de combinação é apenas um dos vários significados possíveis que a operação matemática de adição pode ter. Outros significados para adição incluem:

comparando ("Tom tem 5 maçãs. Jane tem mais 3 maçãs do que Tom. Quantas maçãs Jane tem?"),
juntando-se ("Tom tem 5 maçãs. Jane dá a ele mais 3 maçãs. Quantas maçãs Tom tem agora?"),
medição ("A mesa de Tom tem um metro de largura. A de Jane também tem um metro de largura. Qual será a largura de suas mesas quando colocadas juntas?"),
e até mesmo às vezes se separando ("Tom tinha algumas maçãs. Ele deu 3 para Jane. Agora ele tem 5. Com quantas ele começou?").

Simbolicamente, a adição é representada pelo " sinal de mais ": +. Portanto, a declaração "três mais cinco é igual a oito" pode ser escrita simbolicamente como 3 + 5 = 8 . A ordem em que dois números são somados não importa, então 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . Esta é a propriedade comutativa da adição.

Para adicionar um par de dígitos usando a tabela, encontre a interseção da linha do primeiro dígito com a coluna do segundo dígito: a linha e a coluna se cruzam em um quadrado contendo a soma dos dois dígitos. Alguns pares de dígitos somam números de dois dígitos, com o dígito das dezenas sempre sendo 1. No algoritmo de adição, o dígito das dezenas da soma de um par de dígitos é chamado de " dígito transportador ".

Algoritmo de adição

Para simplificar, considere apenas números com três dígitos ou menos. Para adicionar um par de números (escritos em algarismos arábicos), escreva o segundo número abaixo do primeiro, de modo que os dígitos se alinhem nas colunas: a coluna mais à direita conterá os dígitos de um do segundo número sob os dígitos de primeiro número. A coluna mais à direita é a coluna de um. A coluna imediatamente à sua esquerda é a coluna das dezenas. A coluna das dezenas terá as dezenas do segundo número (se houver) abaixo das dezenas do primeiro número (se houver). A coluna imediatamente à esquerda da coluna das dezenas é a coluna das centenas. A coluna das centenas alinhará os dígitos das centenas do segundo número (se houver) sob os dígitos das centenas do primeiro número (se houver).

Após o segundo número ter sido escrito sob o primeiro, de forma que os dígitos se alinhem em suas colunas corretas, desenhe uma linha sob o segundo número (inferior). Comece com a coluna de uns: a coluna de uns deve conter um par de dígitos: o dígito de um do primeiro número e, abaixo dele, o dígito de um do segundo número. Encontre a soma desses dois dígitos: escreva essa soma sob a linha e na coluna da unidade. Se a soma tiver dois dígitos, anote apenas o dígito de um da soma. Escreva o "dígito transportador" acima do dígito superior da próxima coluna: neste caso, a próxima coluna é a coluna das dezenas, então escreva 1 acima das dezenas do primeiro número.

Se o primeiro e o segundo número tiverem, cada um, apenas um dígito, sua soma será fornecida na tabela de adição e o algoritmo de adição será desnecessário.

Em seguida, vem a coluna das dezenas. A coluna das dezenas pode conter dois dígitos: as dezenas do primeiro número e as dezenas do segundo número. Se um dos números tiver um dígito de dez em falta, então o dígito de dez para este número pode ser considerado um 0. Some as dezenas de dígitos dos dois números. Então, se houver um dígito portador, some-o a esta soma. Se a soma for 18, então, adicionando o dígito de transporte a ela resultará em 19. Se a soma das dezenas (mais o dígito de transporte, se houver) for menor que dez, então escreva na coluna das dezenas abaixo da linha. Se a soma tiver dois dígitos, escreva seu último dígito na coluna das dezenas sob a linha e leve seu primeiro dígito (que deve ser 1) para a próxima coluna: neste caso, a coluna das centenas.

Se nenhum dos dois números tiver centenas de dígitos, então, se não houver dígito de transporte, o algoritmo de adição foi concluído. Se houver um dígito transportado (transportado da coluna das dezenas), escreva-o na coluna das centenas abaixo da linha e o algoritmo estará concluído. Quando o algoritmo termina, o número sob a linha é a soma dos dois números.

Se pelo menos um dos números tem um dígito de centenas, então se um dos números tem um dígito de centenas ausente, escreva um dígito 0 em seu lugar. Adicione os dois dígitos de centenas e, à sua soma, adicione o dígito portador, se houver. Em seguida, escreva a soma da coluna das centenas sob a linha, também na coluna das centenas. Se a soma tiver dois dígitos, escreva o último dígito da soma na coluna das centenas e escreva o dígito transportador à sua esquerda: na coluna dos milhares.

Exemplo

Para encontrar a soma dos números 653 e 274, escreva o segundo número abaixo do primeiro, com os dígitos alinhados em colunas, da seguinte maneira:

6	5	3
2	7	4

Em seguida, desenhe uma linha sob o segundo número e coloque um sinal de mais. A adição começa com a coluna uns. O dígito de um do primeiro número é 3 e do segundo número é 4. A soma de três e quatro é sete, então escreva um 7 na coluna de um abaixo da linha:

	6	5	3
+	2	7	4
			7

Em seguida, a coluna das dezenas. A dezena do primeiro número é 5, e a dezena do segundo número é 7. 5 mais 7 é 12, que tem dois dígitos, então escreva seu último dígito, 2, na coluna das dezenas abaixo da linha e escreva o dígito de transporte na coluna das centenas acima do primeiro número:

	1
	6	5	3
+	2	7	4
		2	7

Em seguida, a coluna das centenas. O dígito das centenas do primeiro número é 6, enquanto o dígito das centenas do segundo número é 2. A soma de seis e dois é oito, mas há um dígito portador, que adicionado a oito é igual a nove. Escreva o 9 abaixo da linha na coluna das centenas:

	1
	6	5	3
+	2	7	4
	9	2	7

Nenhum dígito (e nenhuma coluna) foi deixado sem adição, então o algoritmo termina, produzindo a seguinte equação como resultado:

653 + 274 = 927

Sucessão e tamanho

O resultado da adição de um a um número é o sucessor desse número. Exemplos:
o sucessor de zero é um,
o sucessor de um é dois,
o sucessor de dois é três,
o sucessor de dez é onze.
Todo número natural tem um sucessor.

O predecessor do sucessor de um número é o próprio número. Por exemplo, cinco é o sucessor de quatro, portanto, quatro é o predecessor de cinco. Todo número natural, exceto zero, tem um predecessor.

Se um número for o sucessor de outro número, o primeiro número é considerado maior do que o outro. Se um número for maior que outro número, e se o outro número for maior que um terceiro número, o primeiro número também será maior que o terceiro. Exemplo: cinco é maior que quatro e quatro é maior que três, portanto, cinco é maior que três. Mas seis é maior que cinco, portanto seis também é maior que três. Mas sete é maior que seis, portanto sete também é maior que três ... portanto, oito é maior que três ... portanto, nove é maior que três, etc.

Se dois números naturais diferentes de zero forem somados, sua soma será maior do que qualquer um deles. Exemplo: três mais cinco é igual a oito, portanto, oito é maior que três ( 8> 3 ) e oito é maior que cinco ( 8> 5 ). O símbolo para "maior que" é>.

Se um número for maior que outro, o outro será menor que o primeiro. Exemplos: três é menos que oito ( 3 <8 ) e cinco é menos que oito ( 5 <8 ). O símbolo para "menos que" é <. Um número não pode ser ao mesmo tempo maior e menor que outro número. Nem pode um número ser ao mesmo tempo maior e igual a outro número. Dado um par de números naturais, um e apenas um dos seguintes casos deve ser verdadeiro:

o primeiro número é maior que o segundo,
o primeiro número é igual ao segundo,
o primeiro número é menor que o segundo.

Contando

Contar um grupo de objetos significa atribuir um número natural a cada um dos objetos, como se fosse um rótulo para aquele objeto, de forma que um número natural nunca seja atribuído a um objeto a menos que seu predecessor já tenha sido atribuído a outro objeto, com a exceção de que zero não é atribuído a nenhum objeto: o menor número natural a ser atribuído é um, e o maior número natural atribuído depende do tamanho do grupo. É chamado de contagem e é igual ao número de objetos naquele grupo. A contagem também pode ser vista como o processo de contagem usando marcas de contagem.

O processo de contagem de um grupo é o seguinte:

Deixe "a contagem" ser igual a zero. “A contagem” é uma quantidade variável, que embora comece com o valor zero, logo terá seu valor alterado várias vezes.
Encontre pelo menos um objeto no grupo que não tenha sido rotulado com um número natural. Se nenhum desses objetos puder ser encontrado (se todos eles tiverem sido rotulados), a contagem é encerrada. Caso contrário, escolha um dos objetos não rotulados.
Aumente a contagem em um. Ou seja, substitua o valor da contagem por seu sucessor.
Atribua o novo valor da contagem, como um rótulo, ao objeto não rotulado escolhido na Etapa 2.
Volte para a Etapa 2.

Quando a contagem terminar, o último valor da contagem será a contagem final. Essa contagem é igual ao número de objetos no grupo.

Freqüentemente, ao contar objetos, não se mantém o controle de qual rótulo numérico corresponde a qual objeto: apenas se mantém o controle do subgrupo de objetos que já foram rotulados, de modo a ser capaz de identificar os objetos não rotulados necessários para a Etapa 2. No entanto , se alguém está contando pessoas, então pode-se pedir às pessoas que estão sendo contadas a cada uma para manter o controle do número que foi atribuído ao self da pessoa. Após o término da contagem, é possível solicitar ao grupo de pessoas que faça fila em ordem crescente de etiqueta numérica. O que as pessoas fariam durante o processo de enfileiramento seria algo assim: cada par de pessoas que não tem certeza de suas posições na fila pergunta umas às outras quais são seus números: a pessoa cujo número é menor deve ficar do lado esquerdo e aquele com o maior número no lado direito da outra pessoa. Assim, pares de pessoas comparam seus números e suas posições, e comutam suas posições conforme necessário e, por meio da repetição de tais comutações condicionais, tornam-se ordenados.

Na matemática superior, o processo de contagem também pode ser comparado à construção de uma correspondência um-a-um (também conhecida como bijeção) entre os elementos de um conjunto e o conjunto {1, ..., n} (onde n é um número natural). Uma vez que tal correspondência seja estabelecida, o primeiro conjunto é então chamado de tamanho n.

Subtração

Subtração é a operação matemática que descreve uma quantidade reduzida. O resultado dessa operação é a diferença entre dois números, o minuendo e o subtraendo . Assim como a adição, a subtração pode ter várias interpretações, como:

separando ("Tom tem 8 maçãs. Ele dá 3 maçãs. Quantas ele ainda tem?")
comparando ("Tom tem 8 maçãs. Jane tem menos 3 maçãs do que Tom. Quantas Jane tem?")
combinação ("Tom tem 8 maçãs. Três das maçãs são verdes e as demais são vermelhas. Quantas são vermelhas?")
e às vezes juntando ("Tom tinha algumas maçãs. Jane deu a ele mais 3 maçãs, então agora ele tem 8 maçãs. Com quantas ele começou?").

Tal como acontece com a adição, existem outras interpretações possíveis, como movimento .

Simbolicamente, o sinal de menos ("-") representa a operação de subtração. Portanto, a declaração "cinco menos três é igual a dois" também é escrita como 5 - 3 = 2 . Na aritmética elementar, a subtração usa números positivos menores para todos os valores para produzir soluções mais simples.

Ao contrário da adição, a subtração não é comutativa, portanto, a ordem dos números na operação pode alterar o resultado. Portanto, cada número é fornecido com um nome distinto diferente. O primeiro número (5 no exemplo anterior) é formalmente definido como o minuendo e o segundo número (3 no exemplo anterior) como o subtraendo . O valor do minuendo é maior do que o valor do subtraendo, de modo que o resultado é um número positivo, mas um valor menor do minuendo resultará em números negativos .

Existem vários métodos para realizar a subtração. O método que nos Estados Unidos é conhecido como matemática tradicional ensina os alunos do ensino fundamental a subtrair usando métodos adequados para cálculos manuais. O método específico usado varia de país para país e, dentro de um país, métodos diferentes estão em moda em épocas diferentes. A matemática da reforma se distingue geralmente pela falta de preferência por qualquer técnica específica, substituída por orientar os alunos da 2ª série a inventar seus próprios métodos de computação, como o uso de propriedades de números negativos no caso do TERC .

As escolas americanas atualmente ensinam um método de subtração usando empréstimos e um sistema de marcações chamado muletas. Embora um método de empréstimo fosse conhecido e publicado em livros didáticos antes, aparentemente as muletas são invenção de William A. Browell, que as usou em um estudo em novembro de 1937 [1] . Esse sistema pegou rapidamente, substituindo os outros métodos de subtração em uso na América naquela época.

Os alunos em alguns países europeus aprendem, e alguns americanos mais velhos empregam, um método de subtração chamado método austríaco, também conhecido como método de adições. Não há empréstimo neste método. Existem também muletas (marcações para auxiliar a memória) que [provavelmente] variam de acordo com o país.

No método de empréstimo, uma subtração como 86 - 39 realizará a subtração de uma casa de 9 de 6 tomando emprestado um 10 de 80 e adicionando-o a 6. O problema é então transformado em (70 + 16) - 39 , efetivamente. Isso é indicado ao riscar o 8, escrever um pequeno 7 acima dele e escrever um pequeno 1 acima do 6. Essas marcações são chamadas de muletas . O 9 é então subtraído de 16, deixando 7, e o 30, de 70, deixando 40 ou 47 como resultado.

No método de adições, um 10 é emprestado para transformar o 6 em 16, em preparação para a subtração de 9, assim como no método de empréstimo. No entanto, o 10 não é obtido reduzindo o minuendo, em vez disso, um aumenta o subtraendo. Efetivamente, o problema é transformado em (80 + 16) - (39 + 10) . Normalmente, uma muleta de um pequeno é marcada logo abaixo do dígito do subtraendo como um lembrete. Em seguida, as operações prosseguem: 9 de 16 é 7; e 40 (isto é, 30 + 10 ) de 80 é 40 ou 47 como resultado.

O método das adições parece ser ensinado em duas variações, que diferem apenas na psicologia. Continuando o exemplo de 86 - 39 , a primeira variação tenta subtrair 9 de 6 e, em seguida, 9 de 16, pegando emprestado um 10 marcando próximo ao dígito do subtraendo na próxima coluna. A segunda variação tenta encontrar um dígito que, quando adicionado a 9, dá 6, e reconhecendo que não é possível, dá 16, e carregando o 10 dos 16 como uma marca próxima ao mesmo dígito do primeiro método. As marcações são as mesmas; é apenas uma questão de preferência como se explica sua aparência.

Como advertência final, o método de empréstimo fica um pouco complicado em casos como 100 - 87 , onde um empréstimo não pode ser feito imediatamente e deve ser obtido alcançando várias colunas. Nesse caso, o minuendo é reescrito efetivamente como 90 + 10 , pegando um 100 das centenas, fazendo dez 10s dele, e imediatamente pegando emprestado até nove 10s na coluna das dezenas e finalmente colocando um 10 na coluna das unidades.

Multiplicação

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Quando dois números são multiplicados juntos, o resultado é chamado de produto . Os dois números sendo multiplicados juntos são chamados de fatores , com multiplicando e multiplicador também usados.

O que significa multiplicar dois números naturais?

Suponha que haja cinco sacos vermelhos, cada um contendo três maçãs. Agora, pegando uma sacola verde vazia, mova todas as maçãs de todas as cinco sacolas vermelhas para a sacola verde. Agora a sacola verde terá quinze maçãs.
Portanto, o produto de cinco por três é quinze.
Isso também pode ser declarado como "cinco vezes três é quinze" ou "cinco vezes três é igual a quinze" ou "quinze é o produto de cinco e três". A multiplicação pode ser vista como uma forma de adição repetida : o primeiro fator indica quantas vezes o segundo fator ocorre na adição repetida; sendo a soma final o produto.

Simbolicamente, a multiplicação é representada pelo sinal de multiplicação : ×. Portanto, a declaração "cinco vezes três é igual a quinze" pode ser escrita simbolicamente como

5\times 3=15.

Em alguns países, e em aritmética mais avançada, outros sinais de multiplicação são usados, por exemplo, 5 ⋅ 3 . Em algumas situações, especialmente em álgebra , onde os números podem ser simbolizados por letras, o símbolo de multiplicação pode ser omitido; por exemplo, xy significa x × y . A ordem em que dois números são multiplicados não importa, de modo que, por exemplo, três vezes quatro é igual a quatro vezes três. Esta é a propriedade comutativa da multiplicação.

Para multiplicar um par de dígitos usando a tabela, encontre a interseção da linha do primeiro dígito com a coluna do segundo dígito: a linha e a coluna se cruzam em um quadrado contendo o produto dos dois dígitos. A maioria dos pares de dígitos produz números de dois dígitos. No algoritmo de multiplicação, o dígito de dez do produto de um par de dígitos é chamado de " dígito transportador ".

Algoritmo de multiplicação para um fator de um dígito

Considere uma multiplicação onde um dos fatores tem vários dígitos, enquanto o outro fator tem apenas um dígito. Anote o fator de vários dígitos e, a seguir, escreva o fator de um dígito sob o dígito mais à direita do fator de vários dígitos. Desenhe uma linha horizontal sob o fator de um dígito. Doravante, o fator de vários dígitos será chamado de multiplicando e o fator de um dígito será chamado de multiplicador .

Suponha, para simplificar, que o multiplicando tenha três dígitos. O dígito mais à esquerda é o dígito das centenas, o dígito do meio é o dígito das dezenas e o dígito mais à direita é o dígito da unidade. O multiplicador tem apenas um dígito. Os dígitos da unidade do multiplicando e do multiplicador formam uma coluna: a coluna da unidade.

Comece com a coluna de um: a coluna de um deve conter um par de dígitos: o dígito de um do multiplicando e, abaixo dele, o dígito de um do multiplicador. Encontre o produto desses dois dígitos: escreva este produto abaixo da linha e na coluna da unidade. Se o produto tiver dois dígitos, anote apenas o dígito de um do produto. Escreva o "dígito transportador" como um sobrescrito do dígito ainda não escrito na próxima coluna e sob a linha: neste caso, a próxima coluna é a coluna das dezenas, então escreva o dígito transportador como o sobrescrito das dezenas ainda não escritas -dígito do produto (abaixo da linha).

Se o primeiro e o segundo número tiverem, cada um, apenas um dígito, seu produto será dado na tabela de multiplicação - tornando desnecessário o algoritmo de multiplicação.

Em seguida, vem a coluna das dezenas. A coluna das dezenas até agora contém apenas um dígito: as dezenas do multiplicando (embora possa conter um dígito transportador sob a linha). Encontre o produto do multiplicador e as dezenas de dígitos do multiplicando. Então, se houver um dígito de transporte (sobrescrito, abaixo da linha e na coluna das dezenas), adicione-o a este produto. Se a soma resultante for inferior a dez, escreva-a na coluna das dezenas abaixo da linha. Se a soma tiver dois dígitos, escreva seu último dígito na coluna das dezenas sob a linha e leve o primeiro dígito para a próxima coluna: neste caso, a coluna das centenas.

Se o multiplicando não tiver um dígito de centenas, então, se não houver um dígito portador, o algoritmo de multiplicação foi concluído. Se houver um dígito transportado (transportado da coluna das dezenas), escreva-o na coluna das centenas abaixo da linha e o algoritmo estará concluído. Quando o algoritmo termina, o número sob a linha é o produto dos dois números.

Se o multiplicando tem um dígito de centenas, encontre o produto do multiplicador e o dígito de centenas do multiplicando, e a esse produto adicione o dígito portador, se houver. Em seguida, escreva a soma resultante da coluna das centenas sob a linha, também na coluna das centenas. Se a soma tiver dois dígitos, escreva o último dígito da soma na coluna das centenas e escreva o dígito transportador à sua esquerda: na coluna dos milhares.

Exemplo

Para encontrar o produto dos números 3 e 729, escreva o multiplicador de um dígito sob o multiplicando de vários dígitos, com o multiplicador sob o dígito de um do multiplicando, da seguinte maneira:

7	2	9
		3

Em seguida, desenhe uma linha sob o multiplicador e coloque um símbolo de multiplicação. A multiplicação começa com a coluna de uns. O dígito de um do multiplicando é 9 e o multiplicador é 3. O produto de 3 e 9 é 27, então escreva um 7 na coluna de um abaixo da linha e escreva o dígito portador 2 como um sobrescrito do ainda - dezenas de dígitos não escritos do produto sob a linha:

	7	2	9
×			3
		²	7

Em seguida, a coluna das dezenas. As dezenas de dígitos do multiplicando são 2, o multiplicador é 3 e três vezes dois são seis. Adicione o dígito transportador, 2, ao produto, 6, para obter 8. Oito tem apenas um dígito: nenhum dígito transportador, portanto, escreva na décima coluna abaixo da linha. Você pode apagar os dois agora.

	7	2	9
×			3
		8	7

Em seguida, a coluna das centenas. O dígito das centenas do multiplicando é 7, enquanto o multiplicador é 3. O produto de 3 e 7 é 21, e não há dígito transportador anterior (transportado da coluna das dezenas). O produto 21 tem dois dígitos: escreva seu último dígito na coluna das centenas abaixo da linha e, em seguida, leve seu primeiro dígito para a coluna dos milhares. Uma vez que o multiplicando não tem dígito de milhar, escreva este dígito portador na coluna de milhares abaixo da linha (não sobrescrito):

	7	2	9
×			3
2	1	8	7

Nenhum dígito do multiplicando foi deixado sem multiplicação, então o algoritmo termina, produzindo a seguinte equação como resultado:

3\times 729=2187

Algoritmo de multiplicação para fatores de vários dígitos

Dado um par de fatores, cada um com dois ou mais dígitos, anote os dois fatores, um abaixo do outro, de modo que os dígitos se alinhem em colunas.

Para simplificar, considere um par de números de três dígitos. Escreva o último dígito do segundo número sob o último dígito do primeiro número, formando a coluna de uns. Imediatamente à esquerda da coluna das unidades estará a coluna das dezenas: o topo desta coluna terá o segundo dígito do primeiro número, e abaixo dele estará o segundo dígito do segundo número. Imediatamente à esquerda da coluna das dezenas estará a coluna das centenas: o topo desta coluna terá o primeiro dígito do primeiro número e abaixo dele estará o primeiro dígito do segundo número. Depois de ter escrito ambos os fatores, desenhe uma linha sob o segundo fator.

A multiplicação consistirá em duas partes. A primeira parte consistirá em várias multiplicações envolvendo multiplicadores de um dígito. O funcionamento de cada uma dessas multiplicações já foi descrito no algoritmo de multiplicação anterior, portanto este algoritmo não irá descrever cada um individualmente, mas apenas descrever como as várias multiplicações com multiplicadores de um dígito devem ser coordenadas. A segunda parte somará todos os subprodutos da primeira parte, e a soma resultante será o produto.

Primeira parte . Deixe o primeiro fator ser chamado de multiplicando. Deixe cada dígito do segundo fator ser chamado de multiplicador. Deixe o dígito de um do segundo fator ser chamado de "multiplicador de um". Deixe o dígito de dez do segundo fator ser chamado de "multiplicador de dez". Deixe o dígito das centenas do segundo fator ser chamado de "multiplicador de centenas".

Comece com a coluna uns. Encontre o produto do multiplicador de uns e do multiplicando e anote-o em uma linha abaixo da linha, alinhando os dígitos do produto nas colunas previamente definidas. Se o produto tiver quatro dígitos, o primeiro dígito será o início da coluna dos milhares. Deixe este produto ser chamado de "linha única".

Em seguida, as dezenas de colunas. Encontre o produto do multiplicador das dezenas e do multiplicando e anote-o em uma linha - chame-o de "linha das dezenas" - sob a linha das unidades, mas desloque uma coluna para a esquerda . Ou seja, o dígito de um da linha das dezenas estará na coluna das dezenas da linha da unidade; o dígito das dezenas da linha das dezenas estará abaixo do dígito das centenas da linha da unidade; o dígito das centenas da linha das dezenas estará abaixo do dígito dos milhares da linha da unidade. Se a linha das dezenas tiver quatro dígitos, o primeiro dígito será o início da coluna das dez mil.

Em seguida, a coluna das centenas. Encontre o produto do multiplicador das centenas e do multiplicando e anote-o em uma linha - chame-o de "linha das centenas" - abaixo da linha das dezenas, mas desloque mais uma coluna para a esquerda. Ou seja, o dígito de um da linha das centenas estará na coluna das centenas; o dígito das dezenas da linha das centenas estará na coluna dos milhares; o dígito das centenas da linha das centenas estará na coluna dos dez mil. Se a linha das centenas tiver quatro dígitos, o primeiro dígito será o início da coluna das centenas de milhares.

Depois de descer a linha da unidade, linha das dezenas e linha das centenas, desenhe uma linha horizontal sob a linha das centenas. As multiplicações acabaram.

Segunda parte . Agora a multiplicação tem um par de linhas. O primeiro sob o par de fatores e o segundo sob as três linhas de subprodutos. Sob a segunda linha, haverá seis colunas, que da direita para a esquerda são as seguintes: coluna de uns, coluna de dezenas, coluna de centenas, coluna de mil, coluna de dez mil e coluna de cem mil.

Entre a primeira e a segunda linha, a coluna da unidade conterá apenas um dígito, localizado na linha da unidade: é o dígito da linha da unidade. Copie este dígito reescrevendo-o na coluna da unidade na segunda linha.

Entre a primeira e a segunda linhas, a coluna das dezenas conterá um par de dígitos localizados na linha da unidade e na linha das dezenas: o dígito da dez da linha da unidade e o dígito da linha da décima. Some esses dígitos e, se a soma tiver apenas um dígito, escreva esse dígito na coluna das dezenas abaixo da segunda linha. Se a soma tiver dois dígitos, então o primeiro dígito é um dígito transportador: escreva o último dígito na coluna das dezenas sob a segunda linha e transporte o primeiro dígito para a coluna das centenas, escrevendo-o como um sobrescrito para o ainda -não escrito com centenas de dígitos na segunda linha.

Entre a primeira e a segunda linha, a coluna das centenas conterá três dígitos: o dígito das centenas da linha da unidade, o dígito das dezenas da linha das dezenas e o dígito da linha das centenas. Encontre a soma desses três dígitos e, se houver um dígito portador da coluna das dezenas (escrito em sobrescrito sob a segunda linha da coluna das centenas), adicione esse dígito portador também. Se a soma resultante tiver um dígito, anote-o sob a segunda linha da coluna das centenas; se tiver dois dígitos, escreva o último dígito abaixo da linha na coluna das centenas e leve o primeiro dígito para a coluna dos milhares, escrevendo-o como um sobrescrito para os milhares ainda não escritos abaixo da linha.

Entre a primeira e a segunda linha, a coluna dos milhares conterá dois ou três dígitos: o dígito das centenas da linha das dezenas, o dígito das dezenas da linha das centenas e (possivelmente) os dígitos dos milhares -fileira. Encontre a soma desses dígitos e, em seguida, se houver um dígito portador da coluna das centenas (escrito em sobrescrito na segunda linha da coluna dos milhares), então adicione este dígito portador também. Se a soma resultante tiver um dígito, anote-o na segunda linha da coluna dos milhares; se tiver dois dígitos, escreva o último dígito abaixo da linha na coluna dos milhares e leve o primeiro dígito para a coluna dos dez mil, escrevendo-o como um sobrescrito para os dez mil dígitos ainda não escritos sob a linha.

Entre a primeira e a segunda linha, a coluna de dez mil conterá um ou dois dígitos: o dígito das centenas da coluna das centenas e (possivelmente) o dígito dos milhares da coluna das dezenas. Encontre a soma desses dígitos (se aquele na linha das dezenas estiver faltando, pense nisso como um 0), e se houver um dígito portador da coluna dos milhares (escrito em sobrescrito na segunda linha no décimo - coluna de milhares), em seguida, adicione este dígito de transporte também. Se a soma resultante tiver um dígito, anote-o sob a segunda linha da coluna de dez mil; se tiver dois dígitos, escreva o último dígito abaixo da linha na coluna de dez mil e leve o primeiro dígito para a coluna de cem mil, escrevendo-o como um sobrescrito para o ainda não escrito dígito de cem mil sob a linha. No entanto, se a linha das centenas não tem dígito dos milhares, então não escreva este dígito portador como um sobrescrito, mas em tamanho normal, na posição dos dígitos das centenas de milhares sob a segunda linha, e o algoritmo de multiplicação acabou .

Se a linha das centenas tiver um dígito de milhar, adicione a ela o dígito portador da linha anterior (se não houver dígito portador, pense nisso como um 0) e escreva a soma de um dígito na casa dos cem -milhares de coluna sob a segunda linha.

O número sob a segunda linha é o produto desejado do par de fatores acima da primeira linha.

Exemplo

Seja nosso objetivo encontrar o produto de 789 e 345. Escreva 345 sob o 789 em três colunas, e desenhe uma linha horizontal abaixo delas:

7	8	9
3	4	5

Primeira parte . Comece com a coluna uns. O multiplicando é 789 e o multiplicador de unidades é 5. Faça a multiplicação em uma linha abaixo da linha:

	7	8	9
×	3	4	5
3	9 ⁴	4 ⁴	5

Em seguida, as dezenas de colunas. O multiplicando é 789 e o multiplicador de dezenas é 4. Faça a multiplicação na linha das dezenas, sob o subproduto anterior na linha das unidades, mas deslocado uma coluna para a esquerda:

		7	8	9
	×	3	4	5
	3	9 ⁴	4 ⁴	5
3	1 ³	5 ³	6

Em seguida, a coluna das centenas. O multiplicando é mais uma vez 789, e o multiplicador das centenas é 3. Realize a multiplicação na linha das centenas, sob o subproduto anterior na linha das dezenas, mas deslocado uma (mais) coluna para a esquerda. Em seguida, desenhe uma linha horizontal sob a linha das centenas:

				7	8	9
			×	3	4	5
			3	9 ⁴	4 ⁴	5
		3	1 ³	5 ³	6
+	2	3 ²	6 ²	7

Segunda parte. Agora adicione os subprodutos entre a primeira e a segunda linhas, mas ignorando quaisquer dígitos transportadores sobrescritos localizados entre a primeira e a segunda linhas.

				7	8	9
			×	3	4	5
			3	9 ⁴	4 ⁴	5
		3	1 ³	5 ³	6
+	2	3 ²	6 ²	7
	2	7 ¹	2 ²	2 ¹	0	5

A resposta é

789\times 345=272205

.

Divisão

Em matemática , especialmente em aritmética elementar , a divisão é uma operação aritmética que é o inverso da multiplicação .

Especificamente, dado um número a e um número diferente de zero b , se outro número c vezes b for igual a a , isto é:

c\times b=a

então, a dividido por b é igual a c . Isso é:

{\frac {a}{b}}=c

Por exemplo,

{\frac {6}{3}}=2

Desde a

2\times 3=6

.

Na expressão acima, um é chamado o dividendo , b o divisor e c o quociente . A divisão por zero - onde o divisor é zero - geralmente é deixada indefinida na aritmética elementar.

Notação de divisão

A divisão é mais frequentemente mostrada colocando o dividendo sobre o divisor com uma linha horizontal, também chamada de vínculo , entre eles. Por exemplo, a dividido por b é escrito como:

{\frac {a}{b}}

Isso pode ser lido em voz alta como " a dividido por b " ou " a sobre b ". Uma maneira de expressar a divisão em uma linha é escrever o dividendo , depois uma barra e o divisor , como segue:

a/b

Esta é a maneira usual de especificar a divisão na maioria das linguagens de programação de computador , uma vez que pode ser facilmente digitada como uma sequência simples de caracteres.

Uma variação manuscrita ou tipográfica - que está a meio caminho entre essas duas formas - usa um solidus (barra de fração), mas eleva o dividendo e diminui o divisor, da seguinte maneira:

a ⁄ b

Qualquer um desses formulários pode ser usado para exibir uma fração . Uma fração comum é uma expressão de divisão em que dividendo e divisor são inteiros (embora normalmente chamados de numerador e denominador ), e não há nenhuma implicação de que a divisão precise ser avaliada posteriormente.

Uma maneira mais básica de mostrar a divisão é usar o obelus (ou sinal de divisão) desta maneira:

a\div b.

Esta forma não é frequente, exceto na aritmética básica. O obelus também é usado sozinho para representar a própria operação de divisão, por exemplo, como um rótulo em uma tecla de uma calculadora .

Em algumas culturas de língua não inglesa , " a dividido por b " é escrito a : b . No entanto, no uso em inglês, os dois pontos se restringem a expressar o conceito relacionado de proporções (então " a é para b ").

Com o conhecimento de tabelas de multiplicação , dois inteiros podem ser divididos no papel usando o método de divisão longa . Uma versão abreviada de divisão longa, divisão curta , também pode ser usada para divisores menores.

Um método menos sistemático - mas que leva a uma compreensão mais holística da divisão em geral - envolve o conceito de agrupamento . Ao permitir que se subtraia mais múltiplos do restante parcial em cada estágio, mais métodos de forma livre também podem ser desenvolvidos.

Alternativamente, se o dividendo tiver uma parte fracionária (expressa como uma fração decimal ), pode-se continuar o algoritmo além da casa dos uns até onde desejado. Se o divisor tiver uma parte fracionária decimal, pode-se redefinir o problema movendo o decimal para a direita em ambos os números até que o divisor não tenha fração.

Para dividir por uma fração, pode-se simplesmente multiplicar pelo recíproco (invertendo a posição das partes superior e inferior) dessa fração, por exemplo:

\textstyle {5\div {1 \over 2}=5\times {2 \over 1}=5\times 2=10}

\textstyle {{2 \over 3}\div {2 \over 5}={2 \over 3}\times {5 \over 2}={10 \over 6}={5 \over 3}}

Padrões educacionais

Os padrões locais geralmente definem os métodos e conteúdos educacionais incluídos no nível elementar de instrução. Nos Estados Unidos e no Canadá, os assuntos polêmicos incluem a quantidade de uso de calculadora em comparação com a computação manual e o debate mais amplo entre a matemática tradicional e a matemática reformista .

Nos Estados Unidos, os padrões do NCTM de 1989 levaram a currículos que não enfatizavam ou omitiam muito do que era considerado aritmética elementar no ensino fundamental, e a substituíram com ênfase em tópicos tradicionalmente estudados na faculdade, como álgebra, estatística e solução de problemas e métodos de computação não padronizados não familiares para a maioria dos adultos.

Ferramentas

O ábaco é um dos primeiros dispositivos mecânicos para realizar aritmética elementar, que ainda é usado em muitas partes da Ásia. As ferramentas de cálculo modernas que executam operações aritméticas elementares incluem caixas registradoras , calculadoras eletrônicas e computadores .

Veja também

Referências

links externos

"Um presente amigável para a ciência da aritmética" é um documento árabe do século 15 que fala sobre aritmética básica.

Languages

In other projects

Aritmética elementar - Elementary arithmetic

Conteúdo

Os dígitos

Adição

O que significa somar dois números naturais?

Algoritmo de adição

Exemplo

Sucessão e tamanho

Contando

Subtração

Multiplicação

O que significa multiplicar dois números naturais?

Algoritmo de multiplicação para um fator de um dígito

Exemplo

Algoritmo de multiplicação para fatores de vários dígitos

Exemplo

Divisão

Notação de divisão

Padrões educacionais

Ferramentas

Veja também

Referências

links externos

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