Domínio de uma função - Domain of a function

Uma função

F

a partir de

X

para

Y

. O

X

oval vermelho é o domínio de

f

.

Gráfico da função de raiz quadrada de valor real , f ( x ) = √ x , cujo domínio consiste em todos os números reais não negativos

Em matemática , o domínio ou conjunto de partida de uma função é o conjunto no qual todas as entradas da função são obrigadas a cair. É o conjunto $X$ na notação $f : X \to Y$ , e é alternativamente denotado como . Visto que uma função (total) é definida em todo o seu domínio, seu domínio coincide com seu domínio de definição . No entanto, essa coincidência não é mais verdadeira para uma função parcial , uma vez que o domínio de definição de uma função parcial pode ser um subconjunto próprio do domínio. ${\ displaystyle \ operatorname {dom} (f)}$

Um domínio é parte de uma função $f$ se $f$ for definido como um triplo $(X, Y, G)$ , onde $X$ é chamado de domínio de $f$ , $Y$ seu codomínio e $G$ seu gráfico .

Um domínio não faz parte de uma função $f$ se $f$ for definido apenas como um gráfico. Por exemplo, às vezes é conveniente na teoria dos conjuntos permitir que o domínio de uma função seja uma classe $X$ apropriada , caso em que não existe formalmente algo como um triplo $(X, Y, G)$ . Com essa definição, um, funções não tiver um domínio, embora alguns autores ainda usá-lo informalmente após a introdução de uma função na forma $f : X \to Y$ .

Por exemplo, o domínio do cosseno é o conjunto de todos os números reais , enquanto o domínio da raiz quadrada consiste apenas em números maiores ou iguais a 0 (ignorando os números complexos em ambos os casos).

Se o domínio de uma função é um subconjunto dos números reais e a função é representada em um sistema de coordenadas cartesianas , então o domínio é representado no eixo x .

Exemplos

Uma função bem definida deve mapear cada elemento de seu domínio para um elemento de seu codomínio. Por exemplo, a função definida por ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

não tem valor para . Assim, o conjunto de todos os números reais , e não pode ser o seu domínio. Em casos como este, a função é definida em ou a "lacuna é conectada" definindo explicitamente. Por exemplo. se estender a definição de para a função por partes ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 / x & x \ not = 0 \\ 0 & x = 0 \ end {cases}}}

então é definido para todos os números reais, e seu domínio é . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Qualquer função pode ser restrita a um subconjunto de seu domínio. A restrição de para , onde , é escrita como . ${\ displaystyle g \ dois pontos A \ a B}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ ${\ displaystyle \ left.g \ right | _ {S} \ dois pontos S \ a B}$

Domínio natural

O domínio natural de uma função (às vezes abreviado como domínio) é o conjunto máximo de valores para os quais a função é definida, normalmente entre os reais, mas às vezes entre os inteiros ou também números complexos. Por exemplo, o domínio natural da raiz quadrada são os reais não negativos quando considerados como uma função de número real. Ao considerar um domínio natural, o conjunto de valores possíveis da função é normalmente chamado de intervalo . Além disso, na análise complexa, especialmente várias variáveis complexas , quando uma função f é holomórfica no domínio e não pode se conectar diretamente ao domínio fora de D , incluindo o ponto da fronteira do domínio , em outras palavras, tal domínio D é um domínio natural em No sentido de continuação analítica , o domínio D é chamado de domínio da holomorfia de f e a fronteira é chamada de fronteira natural de f . ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ parcial D}$

Teoria da categoria

A teoria das categorias lida com morfismos em vez de funções. Morfismos são flechas de um objeto para outro. O domínio de qualquer morfismo é o objeto do qual parte uma flecha. Nesse contexto, muitos conjuntos de ideias teóricas sobre domínios devem ser abandonados - ou pelo menos formulados de forma mais abstrata. Por exemplo, a noção de restringir um morfismo a um subconjunto de seu domínio deve ser modificada. Para mais informações, consulte o subobjeto .

Outros usos

A palavra "domínio" é usada com outros significados relacionados em algumas áreas da matemática. Na topologia , um domínio é um conjunto aberto conectado . Na análise real e complexa , um domínio é um subconjunto aberto conectado de um espaço vetorial real ou complexo . No estudo de equações diferenciais parciais , um domínio é o subconjunto aberto conectado do espaço euclidiano onde um problema é colocado (isto é, onde a (s) função (ões) desconhecida (s) são definidas). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Exemplos mais comuns

Como uma função parcial dos números reais para os números reais, a função tem domínio . No entanto, se definirmos a raiz quadrada de um número negativo x como o número complexo z com parte imaginária positiva tal que z ² = x , então a função tem toda a linha real como seu domínio (mas agora com um codomínio maior). O domínio da função trigonométrica é o conjunto de todos os números (reais ou complexos) que não têm a forma . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle \ tan x = {\ tfrac {\ sin x} {\ cos x}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}} + k \ pi, k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$