Isomorfismo musical - Musical isomorphism

Em matemática - mais especificamente, em geometria diferencial - o isomorfismo musical (ou isomorfismo canônico ) é um isomorfismo entre o feixe tangente e o feixe cotangente de uma variedade pseudo-Riemanniana induzida por seu tensor métrico . Existem isomorfismos semelhantes em variedades simpléticas . O termo musical refere-se ao uso dos símbolos (bemol) e (sustenido). A origem exata desta notação não é conhecida, mas o termo musicalidade neste contexto seria devido a Marcel Berger . ${\ displaystyle \ mathrm {T} M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M}$${\ displaystyle \ flat}$${\ displaystyle \ sharp}$

Na notação covariante e contravariante , também é conhecido como aumento e redução de índices .

Discussão

Seja ( M , g ) uma variedade pseudo-Riemanniana . Suponha que { e _i } seja um quadro tangente móvel (ver também quadro liso ) para o feixe tangente T M com, como quadro duplo (ver também base dupla ), o coframe móvel (um quadro tangente móvel para o feixe cotangente . Ver também coframe ) { e ⁱ } . Então, localmente , podemos expressar a métrica pseudo-Riemanniana (que é um campo tensorial 2- covariante que é simétrico e não degenerado ) como g = g _ij e ⁱ ⊗ e ^j (onde empregamos a convenção de soma de Einstein ). ${\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M}$

Dado um campo vetorial X = X ⁱ e _i , definimos seu plano por

${\ displaystyle X ^ {\ flat}: = g_ {ij} X ^ {i} \, \ mathbf {e} ^ {j} = X_ {j} \, \ mathbf {e} ^ {j}.}$

Isso é conhecido como " redução de um índice ". Usando a notação de colchete de diamante tradicional para o produto interno definido por g , obtemos a relação um pouco mais transparente

${\ displaystyle X ^ {\ flat} (Y) = \ langle X, Y \ rangle}$

para qualquer vector de campos X e Y .

Da mesma forma, dado um campo covetor ω = ω _i e ⁱ , definimos seu nítido por

${\ displaystyle \ omega ^ {\ sharp}: = g ^ {ij} \ omega _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = \ omega ^ {j} \ mathbf {e} _ {j},}$

onde g ^ij são os componentes do tensor métrico inverso (dado pelas entradas da matriz inversa em g _ij ). Obter a sustenido de um campo covetor é referido como " aumento de um índice ". Na notação interna do produto, lê-se

${\ displaystyle {\ bigl \ langle} \ omega ^ {\ sharp}, Y {\ bigr \ rangle} = \ omega (Y),}$

para qualquer campo covector ω e qualquer vector de campo Y .

Por meio dessa construção, temos dois isomorfismos mutuamente inversos

${\ displaystyle \ flat: {\ rm {T}} M \ para {\ rm {T}} ^ {*} M, \ qquad \ sharp: {\ rm {T}} ^ {*} M \ para {\ rm {T}} M.}$

Esses são isomorfismos de feixes de vetores e, portanto, temos, para cada p em M , isomorfismos de espaço vetorial mutuamente inversos entre T _p M e T ^∗
_p M .

Extensão para produtos tensores

Os isomorfismos musicais também podem ser estendidos aos pacotes

${\ displaystyle \ bigotimes ^ {k} {\ rm {T}} M, \ qquad \ bigotimes ^ {k} {\ rm {T}} ^ {*} M.}$

Deve ser indicado qual índice deve ser aumentado ou diminuído. Por exemplo, considere o campo (0, 2) -tensor X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j . Aumentando o segundo índice, obtemos o campo (1, 1) -tensor

${\ displaystyle X ^ {\ sharp} = g ^ {jk} X_ {ij} \, {\ rm {e}} ^ {i} \ otimes {\ rm {e}} _ {k}.}$

Extensão para k -vetores e k -formas

No contexto da álgebra exterior , uma extensão dos operadores musicais pode ser definida em ⋀ V e seu dual ⋀ ^∗
  V , que com pequeno abuso de notação , pode ser denotado o mesmo e são, novamente, inversos mútuos:

${\ displaystyle \ flat: {\ bigwedge} V \ para {\ bigwedge} ^ {*} V, \ qquad \ sharp: {\ bigwedge} ^ {*} V \ para {\ bigwedge} V,}$

definido por

${\ displaystyle (X \ wedge \ ldots \ wedge Z) ^ {\ flat} = X ^ {\ flat} \ wedge \ ldots \ wedge Z ^ {\ flat}, \ qquad (\ alpha \ wedge \ ldots \ wedge \ gamma) ^ {\ sharp} = \ alpha ^ {\ sharp} \ wedge \ ldots \ wedge \ gamma ^ {\ sharp}.}$

Nesta extensão, em que ♭ mapeia p -vetores para p -covetores e ♯ mapeia p -covetores para p -vetores, todos os índices de um tensor totalmente antissimétrico são simultaneamente aumentados ou reduzidos, e portanto nenhum índice precisa ser indicado:

${\ displaystyle Y ^ {\ sharp} = (Y_ {i \ dots k} \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ dots \ otimes \ mathbf {e} ^ {k}) ^ {\ sharp} = g ^ {ir} \ dots g ^ {kt} \, Y_ {i \ dots k} \, \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ dots \ otimes \ mathbf {e} _ {t}.}$

Traço de um tensor através de um tensor métrico

Dado um campo tensorial tipo (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j , definimos o traço de X através do tensor métrico g por

${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {g} (X): = \ operatorname {tr} (X ^ {\ sharp}) = \ operatorname {tr} (g ^ {jk} X_ {ij} \, {\ bf {e}} ^ {i} \ otimes {\ bf {e}} _ {k}) = g ^ {ji} X_ {ij} = g ^ {ij} X_ {ij}.}$

Observe que a definição do traço independe da escolha do índice a ser elevado, pois o tensor métrico é simétrico.

Veja também

• Dualidade (matemática)
• Índices de aumento e redução
• Espaço duplo § Produtos bilineares e espaços duplos
• Hodge dual
• Pacote de vetores
• Flat (música) e Sharp (música) sobre os sinais ♭ e ♯

Citações

Referências

• Lee, JM (2003). Introdução às variedades Smooth . Springer Graduate Texts in Mathematics. 218 . ISBN   0-387-95448-1 .
• Lee, JM (1997). Variedades Riemannianas - Uma Introdução à Curvatura . Springer Graduate Texts in Mathematics. 176 . Nova York · Berlim · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN   978-0-387-98322-6 .
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). Uma introdução a álgebras de Clifford e spinors . Oxford University Press . ISBN   978-0-19-878-292-6 .