Espaço interno do produto - Inner product space

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {0}, x \ rangle = 0}$

Para cada vetor

${\ displaystyle \ operatorname {Re} z}$

${\ displaystyle z.}$

Simetria conjugada e linearidade na primeira variável implicam linearidade conjugada , também conhecida como antilinearidade , no segundo argumento; explicitamente, isso significa que para quaisquer vetores e qualquer escalar${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle s,}$

${\ displaystyle \ langle x, sy \ rangle = {\ overline {s}} \ langle x, y \ rangle \ qquad {\ text {e}} \ qquad \ langle x, y + z \ rangle = \ langle x, y \ rangle + \ langle x, z \ rangle.}$

( Antilinearidade no 2º argumento )

Isso mostra que todo produto interno também é uma forma sesquilinear e que produtos internos são aditivos em cada argumento, o que significa que para todos os vetores${\ displaystyle x, y, z:}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} & {\ text {Aditividade no primeiro argumento:}} && \ quad \ langle x + y, z \ rangle && = \ langle x, z \ rangle + \ langle y , z \ rangle \\ & {\ text {Aditividade no segundo argumento:}} && \ quad \ langle x, y + z \ rangle && = \ langle x, y \ rangle + \ langle x, z \ rangle \ end {alinhado}}}$

A aditividade em cada argumento implica a seguinte generalização importante da expansão quadrada familiar:

$${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ langle x + y, x + y \ rangle & = \ langle x, x \ rangle + \ langle x, y \ rangle + \ langle y, x \ rangle + \ langle y, y \ rangle \\ & = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle \\ & = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ operatorname {Re} \ langle y, x \ rangle \\\ end {alignat}}}$$

${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}: = \ langle x, x \ rangle.}$

No caso de

${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ overline {\ langle y, x \ rangle}}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$

${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$

( Simetria )

e a expansão binomial torna-se:

$${\ displaystyle \ langle x + y, x + y \ rangle = \ langle x, x \ rangle +2 \ langle x, y \ rangle + \ langle y, y \ rangle.}$$

Definições alternativas, notações e observações

Um caso especial comum do produto interno, o produto escalar ou produto de ponto , é escrito com um ponto centrado${\ displaystyle a \ cdot b.}$

Alguns autores, especialmente em física e álgebra de matrizes , preferem definir o produto interno e a forma sesquilinear com linearidade no segundo argumento ao invés do primeiro. Então, o primeiro argumento torna-se linear conjugado, ao invés do segundo. Nessas disciplinas, escreveríamos o produto interno como (a

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle y \ | \ x \ rangle}$

${\ displaystyle y ^ {\ dagger} x}$

${\ displaystyle AB,}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle V,}$

${\ displaystyle V ^ {*},}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y.}$

${\ displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle \, \ cdot \ | \ \ cdot \, \ rangle}$

Existem várias razões técnicas pelas quais é necessário restringir o campo base para e na definição. Resumidamente, o campo base deve conter um

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C},}$

Em alguns casos, é necessário considerar as formas sesquilineares semi-definidas não negativas . Isso significa que só precisa ser não negativo. O tratamento para esses casos é ilustrado a seguir. ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle}$

Alguns exemplos

Números reais e complexos

Entre os exemplos mais simples de espaços de produto interno estão e Os

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = xy \ quad {\ text {for}} x, y \ in \ mathbb {R}.}$$

Os números complexos são um espaço vetorial sobre o qual se torna um espaço de produto interno complexo quando dotado com o produto interno complexo ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = x {\ overline {y}} \ quad {\ text {para}} x, y \ in \ mathbb {C}.}$$

${\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}$

${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Espaço vetorial euclidiano

De maneira mais geral, o

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ left \ langle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {bmatriz}} \ right \ rangle = x ^ {\ textf {T}} y = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1 } y_ {1} + \ cdots + x_ {n} y_ {n},}$

onde está a

${\ displaystyle x ^ {\ operatorname {T}}}$

${\ displaystyle x.}$

Espaço de coordenadas complexas

A forma geral de um produto interno é conhecida como a

${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle y ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle y.}$

Espaço Hilbert

O artigo sobre espaços de Hilbert tem vários exemplos de espaços de produto interno, em que a métrica induzida pelo produto interno produz um espaço métrico completo . Um exemplo de um espaço de produto interno que induz uma métrica incompleta é o espaço de funções avaliadas complexas contínuas e no intervalo O produto interno é ${\ displaystyle C ([a, b])}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle [a, b].}$

$${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (t) {\ overline {g (t)}} \, \ mathrm {d} t.}$$

${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k},}$

$${\ displaystyle f_ {k} (t) = {\ begin {cases} 0 & t \ in [-1,0] \\ 1 & t \ in \ left [{\ tfrac {1} {k}}, 1 \ right] \ \ kt & t \ in \ left (0, {\ tfrac {1} {k}} \ right) \ end {cases}}}$$

Esta seqüência é uma seqüência de Cauchy para a norma induzida pelo produto interno precedente, que não converge para uma função contínua .

Variáveis ​​aleatórias

Para variáveis ​​aleatórias reais e o

${\ displaystyle \ langle X, X \ rangle = 0}$

${\ displaystyle \ Pr (X = 0) = 1}$

${\ displaystyle X = 0}$

${\ displaystyle \ Pr}$

Matrizes reais

Para matrizes quadradas reais do mesmo tamanho, com transposta como conjugação ${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} \ left (AB ^ {\ textf {T}} \ right)}$

$${\ displaystyle \ left (\ langle A, B \ rangle = \ left \ langle B ^ {\ textf {T}}, A ^ {\ textf {T}} \ right \ rangle \ right)}$$

Espaços vetoriais com formulários

Em um espaço de produto interno, ou mais geralmente um espaço vetorial com uma forma não degenerada (portanto, um isomorfismo ), os vetores podem ser enviados para covetores (em coordenadas, via transposição), de modo que se possa tomar o produto interno e o produto externo de dois vetores - não simplesmente de um vetor e um covetor. ${\ displaystyle V \ a V ^ {*}}$

Resultados básicos, terminologia e definições

Norma

Cada espaço interno do produto induz uma norma , chamada denorma canônica , que é definida por

$${\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}$$

Como para todo espaço vetorial normatizado, um espaço de produto interno é um espaço métrico , para a distância definida por

$${\ displaystyle d (x, y) = \ | yx \ |.}$$

Homogeneidade

Para um vetor e um escalar${\ displaystyle x \ in V}$${\ displaystyle s}$

$${\ displaystyle \ | sx \ | = | s | \, \ | x \ |.}$$

Desigualdade triangular

Para vetores ${\ displaystyle x, y \ in V}$

$${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}$$

Essas duas propriedades mostram que temos de fato uma norma.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Para vetores ${\ displaystyle x, y \ in V}$

$${\ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}$$

com igualdade se e somente se e forem

${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ displaystyle \ left \ langle x_ {j}, x_ {k} \ right \ rangle = 0}$

${\ displaystyle j \ neq k}$

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | x_ {i} \ | ^ {2} = \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right \ | ^ {2}.}$$

Para todos ${\ displaystyle x, y \ in V,}$

$${\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2}.}$$

A lei do paralelogramo é, de fato, uma condição necessária e suficiente para a existência de um produto interno correspondente a uma dada norma.

Para todos ${\ displaystyle x, y, z \ in V,}$

$${\ displaystyle \ | xy \ | \ | z \ | + \ | yz \ | \ | x \ | \ geq \ | xz \ | \ | y \ |.}$$

A desigualdade de Ptolomeu é, de fato, uma condição necessária e suficiente para a existência de um produto interno correspondente a uma dada norma. Em detalhes, Isaac Jacob Schoenberg provou em 1952 que, dado qualquer espaço seminormado real, se sua seminorma for ptolomaica, então a seminorma é a norma associada a um produto interno.

Partes reais e complexas de produtos internos

Suponha que seja um produto interno em (portanto, é antilinear em seu segundo argumento). A

${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle V}$

$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \direito).}$$

Se é um espaço vetorial real, então ${\ displaystyle V}$

$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right)}$$

${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Suponha, para o restante desta seção, que seja um espaço vetorial complexo. A

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ langle x, \ y \ rangle & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} + i \ | x + iy \ | ^ {2} -i \ | x-iy \ | ^ {2} \ direita) \\ & = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle + i \ operatorname {Re} \ langle x, iy \ rangle. \\\ end {alinhado}}}$

O mapa definido por for all satisfaz os axiomas do produto interno, exceto que é antilinear em seu

${\ displaystyle \ langle x \ mid y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$

${\ displaystyle x, y \ in V}$

${\ displaystyle \ langle x \ mid y \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ langle x \ mid y \ rangle & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} -i \ | x + iy \ | ^ {2} + i \ | x-iy \ | ^ {2} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle -i \ operatorname {Re} \ langle x, iy \ rangle. \\\ end {alinhado}}}$

A última igualdade é semelhante à fórmula que expressa um funcional linear em termos de sua parte real.

Produtos internos reais vs. complexos

Deixe denotar considerado como um espaço vetorial sobre os números reais em vez de números complexos. A

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}} = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle ~: ~ V _ {\ mathbb {R}} \ times V _ {\ mathbb {R }} \ to \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}}.}$

Por exemplo, se com produto interno onde é um espaço vetorial sobre o campo, então é um espaço vetorial sobre e é o

${\ displaystyle V = \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x {\ overline {y}},}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ mathbb {C},}$

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle x \ cdot y,}$

${\ displaystyle x = a + ib \ in V = \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle (a, b) \ in V _ {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = xy}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x {\ overline {y}}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle x \ not \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle = xx = x ^ {2} \ not \ in [0, \ infty)}$

${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

Os próximos exemplos mostram que, embora produtos internos reais e complexos tenham muitas propriedades e resultados em comum, eles não são totalmente intercambiáveis. Por exemplo, se então, mas o próximo exemplo mostra que o inverso em geral

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}} = 0,}$

${\ displaystyle x \ in V,}$

${\ displaystyle ix}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}},}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle ix}$

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle \ langle x, ix \ rangle = -i \ | x \ | ^ {2},}$

${\ displaystyle \ langle x, ix \ rangle _ {\ mathbb {R}} = 0.}$

Se tiver o produto interno mencionado acima, então o mapa definido por é um mapa linear diferente de zero (linear para ambos e ) que denota a rotação de no plano. Este mapa satisfaz todos os vetores onde se este produto interno fosse complexo ao invés de real, então isso teria sido o suficiente para concluir que este mapa linear é idêntico (isto é ), o que a rotação certamente não é. Em contraste, para todos os valores diferentes de zero, o mapa satisfaz${\ displaystyle V = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A: V \ a V}$${\ displaystyle Ax = ix}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ langle x, Ax \ rangle _ {\ mathbb {R}} = 0}$${\ displaystyle x \ in V _ {\ mathbb {R}},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle A = 0}$${\ displaystyle x \ in V,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ langle x, Ax \ rangle = -i \ | x \ | ^ {2} \ neq 0.}$

Sequências ortonormais

Let Ser um espaço de produto interno de dimensão finita de dimensão Lembre-se de que cada

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle n.}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0}$

${\ displaystyle i \ neq j}$

${\ displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {i} \ rangle = \ | e_ {a} \ | ^ {2} = 1}$

${\ displaystyle i.}$

Esta definição de base ortonormal generaliza para o caso de espaços de produtos internos de dimensão infinita da seguinte maneira. Deixe ser qualquer espaço interno do produto. Em seguida, uma coleção ${\ displaystyle V}$

$${\ displaystyle E = \ left \ {e _ {\ alpha} \ right \} _ {\ alpha \ in A}}$$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle V}$

$${\ displaystyle \ left \ langle e _ {\ alpha}, e _ {\ beta} \ right \ rangle = 0}$$

${\ displaystyle a \ neq b}$

${\ displaystyle \ langle e_ {a}, e_ {a} \ rangle = \ | e_ {a} \ | ^ {2} = 1}$

${\ displaystyle a, b \ in A.}$

Usando um análogo de dimensão infinita do processo de Gram-Schmidt, pode-se mostrar:

Teorema. Qualquer espaço de produto interno

Usando o princípio máximo de Hausdorff e o fato de que em um espaço de produto interno completo, a projeção ortogonal em subespaços lineares é bem definida, pode-se também mostrar que

Teorema. Qualquer espaço de produto interno completo tem uma base ortonormal.

Os dois teoremas anteriores levantam a questão de se todos os espaços de produtos internos têm uma base ortonormal. A resposta, ao que parece, é negativa. Este é um resultado não trivial e é comprovado a seguir. A seguinte prova foi retirada do livro A Hilbert Space Problem Book de Halmos (veja as referências).

Prova

Lembre-se de que a dimensão de um espaço de produto interno é a cardinalidade de um sistema ortonormal máximo que ele contém (pelo lema de Zorn, ele contém pelo menos um, e quaisquer dois têm a mesma cardinalidade). Uma base ortonormal é certamente um sistema ortonormal máximo, mas o inverso não precisa ser válido em geral. Se for um subespaço denso de um espaço de produto interno, então qualquer base ortonormal para é automaticamente uma base ortonormal para. Assim, é suficiente construir um espaço de produto interno com um subespaço denso cuja dimensão é estritamente menor que a de${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V.}$ Let Ser um espaço Hilbert de dimensão (por exemplo, ). Vamos ser uma base ortonormal de modo Estender a uma base de Hamel para onde Uma vez que é sabido que a dimensão Hamel de é a cardinalidade do continuum, é preciso que${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}.}$${\ displaystyle K = \ ell ^ {2} (\ mathbb {N})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle | E | = \ aleph _ {0}.}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E \ cup F}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle E \ cap F = \ varnothing.}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle c,}$${\ displaystyle | F | = c.}$ Let Ser um espaço Hilbert de dimensão (por exemplo, ). Deixe ser uma base ortonormal para e deixe ser uma bijeção. Então, há uma transformação linear tal que para e para . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle L = \ ell ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ varphi: F \ to B}$${\ displaystyle T: K \ to L}$${\ displaystyle Tf = \ varphi (f)}$${\ displaystyle f \ in F,}$${\ displaystyle Te = 0}$${\ displaystyle e \ in E}$ Let e let ser o gráfico de Let ser o fechamento de em ; vamos mostrar uma vez que, para qualquer um , segue-se que${\ displaystyle V = K \ oplus L}$${\ displaystyle G = \ {(k, Tk): k \ in K \}}$${\ displaystyle T.}$${\ displaystyle {\ overline {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ overline {G}} = V.}$${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle (e, 0) \ in G,}$${\ displaystyle K \ oplus 0 \ subseteq {\ overline {G}}.}$ Em seguida, se , em seguida, por algum modo ; visto que também, também temos Segue-se que assim e é denso em${\ displaystyle b \ in B,}$${\ displaystyle b = Tf}$${\ displaystyle f \ in F \ subseteq K,}$${\ displaystyle (f, b) \ in G \ subseteq {\ overline {G}}}$${\ displaystyle (f, 0) \ in {\ overline {G}}}$${\ displaystyle (0, b) \ in {\ overline {G}}.}$${\ displaystyle 0 \ oplus L \ subseteq {\ overline {G}},}$${\ displaystyle {\ overline {G}} = V,}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V.}$ Finalmente, é um conjunto ortonormal máximo ; E se ${\ displaystyle \ {(e, 0): e \ in E \}}$${\ displaystyle G}$ $${\ displaystyle 0 = \ langle (e, 0), (k, Tk) \ rangle = \ langle e, k \ rangle + \ langle 0, Tk \ rangle = \ langle e, k \ rangle}$$ para todos , em seguida, por isso é o vetor zero na Daí a dimensão do é que é claro que a dimensão do é Isso completa a prova. ${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle k = 0,}$${\ displaystyle (k, Tk) = (0,0)}$${\ displaystyle G.}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | E | = \ aleph _ {0},}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle c.}$

A identidade de Parseval leva imediatamente ao seguinte teorema:

Teorema. Deixe ser um espaço de produto interno separável e uma base ortonormal de Então o mapa ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ left \ {e_ {k} \ right \} _ {k}}$${\ displaystyle V.}$

$${\ displaystyle x \ mapsto {\ bigl \ {} \ langle e_ {k}, x \ rangle {\ bigr \}} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$$

${\ displaystyle V \ mapsto \ ell ^ {2}}$

Este teorema pode ser considerado uma forma abstrata da série de

${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

Teorema. Seja o espaço do produto interno Então a sequência (indexada no conjunto de todos os inteiros) de funções contínuas ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle C [- \ pi, \ pi].}$

$${\ displaystyle e_ {k} (t) = {\ frac {e ^ {ikt}} {\ sqrt {2 \ pi}}}}$$

${\ displaystyle C [- \ pi, \ pi]}$

${\ displaystyle L ^ {2}}$

$${\ displaystyle f \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ left \ {\ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- ikt} \ , \ mathrm {d} t \ right \} _ {k \ in \ mathbb {Z}}}$$

A ortogonalidade da sequência decorre imediatamente do fato de que, se então ${\ displaystyle \ {e_ {k} \} _ {k}}$${\ displaystyle k \ neq j,}$

$${\ displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {- i (jk) t} \, \ mathrm {d} t = 0.}$$

A normalidade da sequência é intencional, ou seja, os coeficientes são escolhidos de modo que a norma saia para 1. Finalmente, o fato de a sequência ter um intervalo algébrico denso, na norma do produto interno , decorre do fato de que a sequência tem uma extensão algébrica densa, desta vez no espaço de funções periódicas contínuas com a norma uniforme. Este é o conteúdo do

${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$

Operadores em espaços internos de produtos

Vários tipos de mapas lineares entre os espaços internos do produto e são relevantes: ${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

• Mapas lineares contínuos :são lineares e contínuos em relação à métrica definida acima, ou equivalentemente,são lineares e o conjunto de reais não negativosonde osalcances sobre a bola unitária fechada deé limitada.${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {\ | Ax \ |: \ | x \ | \ leq 1 \},}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V,}$
• Operadores lineares simétricos : é linear e para todos${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle}$${\ displaystyle x, y \ in V.}$
• Isometrias : é linear e para todas ou equivalentemente, é linear e para todas Todas as isometrias são

${\ displaystyle A: V \ to W}$

Do ponto de vista da teoria do espaço do produto interno, não há necessidade de distinguir entre dois espaços que são isomórficos isomórficos. O teorema espectral fornece uma forma canônica para operadores simétricos, unitários e mais geralmente

Generalizações

Qualquer um dos axiomas de um produto interno pode ser enfraquecido, gerando noções generalizadas. As generalizações que estão mais próximas dos produtos internos ocorrem onde a bilinearidade e a simetria do conjugado são retidas, mas a definição positiva é enfraquecida.