Produto escalar - Dot product

Em matemática , o produto escalar ou produto escalar é uma operação algébrica que pega duas sequências de números iguais (geralmente vetores de coordenadas ) e retorna um único número. Na geometria euclidiana , o produto escalar das coordenadas cartesianas de dois vetores é amplamente utilizado. É frequentemente chamado de "o" produto interno (ou raramente produto de projeção ) do espaço euclidiano, embora não seja o único produto interno que pode ser definido no espaço euclidiano (consulte Espaço do produto interno para mais informações).

Algebricamente, o produto escalar é a soma dos produtos das entradas correspondentes das duas sequências de números. Geometricamente, é o produto das magnitudes euclidianas dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Essas definições são equivalentes ao usar coordenadas cartesianas. Na geometria moderna , os espaços euclidianos são frequentemente definidos usando espaços vetoriais . Neste caso, o produto escalar é usado para definir comprimentos (o comprimento de um vetor é a raiz quadrada do produto escalar do vetor por si só) e ângulos (o cosseno do ângulo de dois vetores é o quociente de seu produto escalar pelo produto de seus comprimentos).

O nome "produto escalar" é derivado do ponto centralizado "  ·  ", que é freqüentemente usado para designar esta operação; o nome alternativo "produto escalar" enfatiza que o resultado é um escalar , ao invés de um vetor , como é o caso do produto vetorial no espaço tridimensional.

Definição

O produto escalar pode ser definido algebricamente ou geometricamente. A definição geométrica é baseada nas noções de ângulo e distância (magnitude dos vetores). A equivalência dessas duas definições depende de ter um sistema de coordenadas cartesiano para o espaço euclidiano.

Em apresentações modernas da geometria euclidiana , os pontos do espaço são definidos em termos de suas coordenadas cartesianas , e o próprio espaço euclidiano é comumente identificado com o espaço de coordenadas reais R ⁿ . Em tal apresentação, as noções de comprimento e ângulos são definidas por meio do produto escalar. O comprimento de um vetor é definido como a raiz quadrada do produto escalar do próprio vetor, e o cosseno do ângulo (não orientado) de dois vetores de comprimento um é definido como seu produto escalar. Portanto, a equivalência das duas definições do produto escalar é uma parte da equivalência das formulações clássica e moderna da geometria euclidiana.

Definição algébrica

O produto escalar de dois vetores a = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _n ] e b = [ b ₁ , b ₂ , ..., b _n ] é definido como:

${\ displaystyle \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ color {red} a} _ {i} {\ color {blue} b} _ {i} = {\ color {red} a} _ {1} {\ color {blue} b} _ {1} + {\ color {red} a} _ {2} {\ color {blue} b} _ {2} + \ cdots + {\ color {red} a} _ {n} {\ color {blue} b} _ {n}}$

onde Σ denota soma e n é a dimensão do espaço vetorial . Por exemplo, no espaço tridimensional , o produto escalar dos vetores [1, 3, −5] e [4, −2, −1] é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ [{\ color {red} 1,3, -5}] \ cdot [{\ color {blue} 4, -2, -1}] & = ({\ color { red} 1} \ times {\ color {blue} 4}) + ({\ color {red} 3} \ times {\ color {blue} -2}) + ({\ color {red} -5} \ times {\ color {blue} -1}) \\ & = 4-6 + 5 \\ & = 3 \ end {alinhado}}}$

Se os vetores forem identificados com matrizes de linha , o produto escalar também pode ser escrito como um produto de matriz

${\ displaystyle \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} = \ mathbf {\ color {red} a} \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {\ mathsf {T}},}$

onde denota a transposição de . ${\ displaystyle \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ color {blue} b}}$

Expressando o exemplo acima desta forma, uma matriz 1 × 3 ( vetor linha ) é multiplicada por uma matriz 3 × 1 ( vetor coluna ) para obter uma matriz 1 × 1 que é identificada com sua entrada única:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ color {red} 1 & \ color {red} 3 & \ color {red} -5 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ color {blue} 4 \\\ color {blue} -2 \\\ color {blue} -1 \ end {bmatrix}} = \ color {purple} 3}$.

Definição geométrica

No espaço euclidiano , um vetor euclidiano é um objeto geométrico que possui uma magnitude e uma direção. Um vetor pode ser representado por uma seta. Sua magnitude é seu comprimento e sua direção é a direção para a qual a seta aponta. A magnitude de um vetor a é denotada por . O produto de pontos de duas euclidiana vectores de um e b é definido pela ${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ \ | \ mathbf {b} \ | \ cos \ theta,}$

onde θ é o ângulo entre a e b .

Em particular, se os vectores de um e b são ortogonal (isto é, o seu ângulo é π / 2 ou 90 °), em seguida , o que implica que ${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = 0.}$

No outro extremo, se eles são codirecionais, o ângulo entre eles é zero com e ${\ displaystyle \ cos 0 = 1}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}$

Isso implica que o produto escalar de um vetor a com ele mesmo é

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | ^ {2},}$

que dá

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}},}$

a fórmula para o comprimento euclidiano do vetor.

Projeção escalar e primeiras propriedades

A projeção escalar (ou componente escalar) de um vetor euclidiano a na direção de um vetor euclidiano b é dada por

${\ displaystyle a_ {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta,}$

onde θ é o ângulo entre a e b .

Em termos de definição geométrica do produto escalar, isso pode ser reescrito

${\ displaystyle a_ {b} = \ mathbf {a} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {b}}},}$

onde é o vetor unitário na direção de b . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {b}}} = \ mathbf {b} / \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}$

O produto escalar é, portanto, caracterizado geometricamente por

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {b} \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | = b_ {a} \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |.}$

O produto escalar, definido desta maneira, é homogêneo sob escala em cada variável, o que significa que para qualquer escalar α ,

${\ displaystyle (\ alpha \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b} = \ alpha (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ alpha \ mathbf { b}).}$

Também atende a uma lei distributiva , o que significa que

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}. }$

Essas propriedades podem ser resumidas dizendo que o produto escalar é uma forma bilinear . Além disso, essa forma bilinear é definida positiva , o que significa que nunca é negativa e é zero se e somente se - o vetor zero. ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {0}}$

O produto escalar é, portanto, equivalente a multiplicar a norma (comprimento) de b pela norma da projeção de a sobre b .

Equivalência das definições

Se e ₁ , ..., e _n são os vetores de base padrão em R ⁿ , então podemos escrever

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & = [a_ {1}, \ dots, a_ {n}] = \ sum _ {i} a_ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\\ mathbf {b} & = [b_ {1}, \ dots, b_ {n}] = \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {e} _ {i}. \ end {alinhado}} }$

Os vetores e _i são uma base ortonormal , o que significa que eles têm comprimento unitário e estão em ângulos retos entre si. Portanto, uma vez que esses vetores têm comprimento unitário

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = 1}$

e uma vez que eles formam ângulos retos uns com os outros, se i ≠ j ,

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = 0.}$

Assim, em geral, podemos dizer que:

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ delta _ {ij}.}$

Onde δ _ij é o delta de Kronecker .

Além disso, pela definição geométrica, para qualquer vetor e _i e um vetor a , notamos

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {e} _ {i} \ right \ | \ cos \ theta _ {i} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta _ {i} = a_ {i},}$

onde a _i é o componente do vetor a na direção de e _i . A última etapa da igualdade pode ser vista na figura.

Agora, a aplicação da distributividade da versão geométrica do produto escalar dá

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {e} _ {i} = \ sum _ {i} b_ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) = \ sum _ {i} b_ {i} a_ {i} = \ sum _ {i} a_ {i} b_ {i },}$

que é precisamente a definição algébrica do produto escalar. Portanto, o produto escalar geométrico é igual ao produto escalar algébrico.

Propriedades

O produto escalar cumpre as seguintes propriedades se a , b e c forem vetores reais e r for um escalar .

1. Comutativo :

   ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a},}$

   que segue da definição ( θ é o ângulo entre a e b ):

   ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ cos \ theta = \ left \ | \ mathbf {b} \ direita \ | \ esquerda \ | \ mathbf {a} \ direita \ | \ cos \ theta = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}.}$

2. Adição distributiva sobre vetor:

   ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}. }$

3. Bilinear :

   ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (r \ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = r (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) + (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}).}$

4. Multiplicação escalar :

   ${\ displaystyle (c_ {1} \ mathbf {a}) \ cdot (c_ {2} \ mathbf {b}) = c_ {1} c_ {2} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) .}$

5. Não associativo porque o produto escalar entre um escalar ( a ⋅ b ) e um vetor ( c ) não está definido, o que significa que as expressões envolvidas na propriedade associativa, ( a ⋅ b ) ⋅ c ou a ⋅ ( b ⋅ c ) são ambos mal definidos. Observe, no entanto, que a propriedade de multiplicação escalar mencionada anteriormente é às vezes chamada de "lei associativa para produto escalar e escalar" ou pode-se dizer que "o produto escalar é associativo em relação à multiplicação escalar" porque c ( a ⋅ b ) = ( c a ) ⋅ b = a ⋅ ( c b ).
6. Ortogonal :

   Dois vectores diferentes de zero a e b são ortogonais se e apenas se um ⋅ b = 0 .

7. Sem cancelamento :

   Ao contrário da multiplicação de números comuns, onde se ab = ac , então b sempre é igual a c, a menos que a seja zero, o produto escalar não obedece à lei de cancelamento :

   Se a ⋅ b = a ⋅ c e a ≠ 0 , então podemos escrever: a ⋅ ( b - c ) = 0 pela lei distributiva ; o resultado acima diz que isso significa apenas que a é perpendicular a ( b - c ) , o que ainda permite ( b - c ) ≠ 0 e, portanto, permite b ≠ c .

8. Regra do produto :

   Se um e b são (vectorial) funções diferenciáveis , em seguida, o derivado ( denotada por um número primo ') de um ⋅ b é dado pela regra ( um ⋅ b )' = um '⋅ b + um ⋅ b ' .

Aplicação à lei dos cossenos

Dados dois vectores de um e b separados por ângulo θ (veja a imagem direita), que formam um triângulo com um terceiro lado c = um - b . O produto escalar disso consigo mesmo é:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ color {orange} c} \ cdot \ mathbf {\ color {orange} c} & = (\ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf {\ color {blue} b}) \ cdot (\ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf {\ color {blue} b}) \\ & = \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf { \ color {red} a} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} - \ mathbf {\ color {blue} b} \ cdot \ mathbf {\ color {red } a} + \ mathbf {\ color {blue} b} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} \\ & = \ mathbf {\ color {red} a} ^ {2} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} + \ mathbf {\ color {blue} b } ^ {2} \\ & = \ mathbf {\ color {red} a} ^ {2} -2 \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} + \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {2} \\\ mathbf {\ color {orange} c} ^ {2} & = \ mathbf {\ color {red} a} ^ {2} + \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {2} -2 \ mathbf {\ color {red} a} \ mathbf {\ color {blue} b} \ cos \ mathbf {\ color {purple} \ theta} \\\ end {alinhado }}}$

que é a lei dos cossenos .

Produto triplo

Existem duas operações ternárias envolvendo produto escalar e produto vetorial .

O produto triplo escalar de três vetores é definido como

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}).}$

Seu valor é o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas cartesianas dos três vetores. É o volume assinado do Paralelepípedo definido pelos três vetores.

O produto triplo do vetor é definido por

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}).}$

Essa identidade, também conhecida como fórmula de Lagrange , pode ser lembrada como "BAC menos CAB", tendo em mente quais vetores estão pontilhados juntos. Esta fórmula tem aplicações na simplificação de cálculos de vetores em física .

Física

Em física , a magnitude do vetor é um escalar no sentido físico (ou seja, uma quantidade física independente do sistema de coordenadas), expressa como o produto de um valor numérico e uma unidade física , não apenas um número. O produto escalar também é um escalar nesse sentido, dado pela fórmula, independente do sistema de coordenadas. Por exemplo:

• O trabalho mecânico é o produto escalar dos vetores de força e deslocamento ,
• O poder é o produto escalar da força e da velocidade .

Generalizações

Vetores complexos

Para vetores com entradas complexas , usar a definição dada do produto escalar levaria a propriedades bastante diferentes. Por exemplo, o produto escalar de um vetor com ele mesmo seria um número complexo arbitrário e poderia ser zero sem que o vetor fosse o vetor zero (tais vetores são chamados de isotrópicos ); isso, por sua vez, teria consequências para noções como comprimento e ângulo. Propriedades como a norma definida-positiva podem ser resgatadas ao custo de desistir das propriedades simétricas e bilineares do produto escalar, por meio da definição alternativa

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ sum {{a_ {i}} \, {\ overline {b_ {i}}}},}$

onde está o conjugado complexo de . Quando os vetores são representados por vetores linha , o produto escalar pode ser expresso como um produto de matriz envolvendo uma transposta conjugada , denotada com o sobrescrito H: ${\ displaystyle {\ overline {b_ {i}}}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {b} ^ {\ mathsf {H}} \ mathbf {a}.}$

No caso de vetores com componentes reais, esta definição é a mesma que no caso real. O produto escalar de qualquer vetor consigo mesmo é um número real não negativo e não é zero, exceto para o vetor zero. No entanto, o produto escalar complexo é sesquilinear em vez de bilinear, pois é linear conjugado e não linear em a . O produto escalar não é simétrico, uma vez que

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = {\ overline {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}}}.}$

O ângulo entre dois vetores complexos é então dado por

${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ operatorname {Re} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

O produto escalar complexo leva às noções de formas Hermitianas e espaços de produtos internos gerais , que são amplamente usados ​​em matemática e física .

O autoproduto de um vetor complexo é uma generalização do quadrado absoluto de um número complexo. ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}$

Produto Interno

O produto interno generaliza o produto escalar para abstrair espaços vetoriais em um campo de escalares , sendo o campo de números reais ou o campo de números complexos . Geralmente é denotado por colchetes angulares por . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {a} \ ,, \ mathbf {b} \ right \ rangle}$

O produto interno de dois vetores sobre o campo dos números complexos é, em geral, um número complexo e é sesquilinear em vez de bilinear. Um espaço de produto interno é um espaço vetorial normatizado , e o produto interno de um vetor consigo mesmo é real e definido positivamente.

Funções

O produto escalar é definido para vetores que possuem um número finito de entradas . Assim, esses vetores podem ser considerados como funções discretas : um vetor de comprimento n u é, então, uma função com domínio { k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ n } , e u _i é uma notação para a imagem de i pela função / vetor u .

Esta noção pode ser generalizada para funções contínuas : assim como o produto interno em vetores usa uma soma sobre os componentes correspondentes, o produto interno em funções é definido como uma integral em algum intervalo a ≤ x ≤ b (também denotado [ a , b ] ) :

${\ displaystyle \ left \ langle u, v \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} u (x) v (x) dx}$

Generalizado posteriormente para funções complexas ψ ( x ) e χ ( x ) , por analogia com o produto interno complexo acima, dá

${\ displaystyle \ left \ langle \ psi, \ chi \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} \ psi (x) {\ overline {\ chi (x)}} dx.}$

Função de peso

Os produtos internos podem ter uma função de peso (ou seja, uma função que pondera cada termo do produto interno com um valor). Explicitamente, o produto interno das funções e com respeito à função de peso é ${\ displaystyle u (x)}$${\ displaystyle v (x)}$${\ displaystyle r (x)> 0}$

${\ displaystyle \ left \ langle u, v \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} r (x) u (x) v (x) dx.}$

Diádicas e matrizes

As matrizes têm o produto interno Frobenius , que é análogo ao produto interno do vetor. É definido como a soma dos produtos dos componentes correspondentes de duas matrizes A e B com o mesmo tamanho:

${\ displaystyle \ mathbf {A}: \ mathbf {B} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} {\ overline {B_ {ij}}} = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {A}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {H}}).}$

${\ displaystyle \ mathbf {A}: \ mathbf {B} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {A}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {B}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}}).}$ (Para matrizes reais)

As diádicas têm um produto escalar e um produto escalar "duplo" definido nelas, consulte Diádicas § Produto de diádico e diádico para obter suas definições.

Tensores

O produto interno entre um tensor de ordem ne um tensor de ordem m é um tensor de ordem n + m - 2 , consulte Contração de tensor para obter detalhes.

Computação

Algoritmos

O algoritmo direto para calcular um produto escalar de ponto flutuante de vetores pode sofrer de cancelamento catastrófico . Para evitar isso, abordagens como o algoritmo de soma de Kahan são usadas.

Bibliotecas

Uma função de produto escalar está incluída em:

• BLAS nível 1 real SDOT, DDOT; CDOTU complexo, ZDOTU = X ^ T * Y, CDOTC ZDOTC = X ^ H * Y
• Matlab como A '* B ou conj (transponha (A)) * B ou soma (conj (A). * B)
• Oitava GNU como soma (conj (X). * Y, dim)
• Intel® oneAPI Math Kernel Library real p? Ponto ponto = sub (x) '* sub (y); complexo p? dotc dotc = conjg (sub (x) ') * sub (y)

Veja também

• Desigualdade de Cauchy-Schwarz
• Produto cruzado
• Representação de produto escalar de um gráfico
• Norma euclidiana , a raiz quadrada do produto de ponto próprio
• Multiplicação da matriz
• Tensor métrico
• Multiplicação de vetores
• Produto externo

Notas

Referências

links externos

• "Inner product" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Explicação do produto escalar, incluindo vetores complexos
• "Produto interno" de Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project , 2007.