Trabalho (física) - Work (physics)

Trabalhar
Movimento de arremesso de beisebol 2004.jpg
Um arremessador de beisebol faz um trabalho positivo com a bola, aplicando uma força sobre a distância que ela se move enquanto a segura.
Símbolos comuns
C
Unidade SI joule (J)
Outras unidades
Foot-pound , Erg
Em unidades de base SI 1 kgm 2s −2
Derivações de
outras quantidades
W = Fs
W = τ θ
Dimensão M L 2 T −2

Na física , trabalho é a energia transferida de ou para um objeto por meio da aplicação de força ao longo de um deslocamento. Em sua forma mais simples, é frequentemente representado como o produto da força e do deslocamento . Diz-se que uma força faz um trabalho positivo se (quando aplicada) tem um componente na direção do deslocamento do ponto de aplicação. Uma força faz trabalho negativo se tem um componente oposto à direção do deslocamento no ponto de aplicação da força.

Por exemplo, quando uma bola é segurada acima do solo e depois largada, o trabalho feito pela força gravitacional na bola ao cair é igual ao peso da bola (uma força) multiplicado pela distância ao solo (um deslocamento ) Quando a força F é constante e o ângulo entre a força e o deslocamento s é θ , então o trabalho realizado é dado por:

O trabalho é uma quantidade escalar , portanto, tem apenas magnitude e nenhuma direção. O trabalho transfere energia de um lugar para outro ou de uma forma para outra. A unidade SI de trabalho é o joule (J), a mesma unidade da energia.

História

De acordo com Jammer, o termo trabalho foi introduzido em 1826 pelo matemático francês Gaspard-Gustave Coriolis como "peso levantado através de uma altura", que se baseia no uso das primeiras máquinas a vapor para levantar baldes de água de minas inundadas. Segundo René Dugas, engenheiro e historiador francês, é a Salomão de Caux "que devemos o termo trabalho no sentido em que é usado na mecânica agora". Embora o trabalho não tenha sido usado formalmente até 1826, conceitos semelhantes existiam antes disso. Em 1759, John Smeaton descreveu uma quantidade que chamou de "poder" "para significar o esforço de força, gravitação, impulso ou pressão para produzir movimento". Smeaton continua que essa quantidade pode ser calculada se "o peso levantado é multiplicado pela altura à qual ele pode ser elevado em um determinado tempo", tornando essa definição notavelmente semelhante à de Coriolis.

Unidades

A unidade de trabalho do SI é o joule (J), em homenagem ao físico inglês do século 19 James Prescott Joule , que é definido como o trabalho necessário para exercer uma força de um newton por meio do deslocamento de um metro .

O newton-metro dimensionalmente equivalente (N⋅m) é às vezes usado como a unidade de medida para o trabalho, mas pode ser confundido com a unidade de medida de torque . O uso de N⋅m é desencorajado pela autoridade do SI , uma vez que pode levar à confusão se a quantidade expressa em newtons metros é uma medição de torque ou uma medição de trabalho.

Unidades de trabalho fora do SI incluem o newton-metro, erg , o foot-pound , o foot-poundal , o quilowatt-hora , o litro-atmosfera e o cavalo-vapor-hora . Devido ao trabalho que tem a mesma dimensão física como calor , as unidades de medição, ocasionalmente, tipicamente reservados para o conteúdo de calor ou de energia, tais como terma , BTU e calorias , são utilizados como uma unidade de medição.

Trabalho e energia

O trabalho W realizado por uma força constante de magnitude F em um ponto que move um deslocamento s em linha reta na direção da força é o produto

Por exemplo, se uma força de 10 newtons ( F = 10 N ) actua ao longo de um ponto que se desloca 2 metros ( s = 2 m ), então W = F = (10 N) (2 m) = 20 J . Este é aproximadamente o trabalho realizado ao levantar um objeto de 1 kg do nível do solo até a cabeça de uma pessoa contra a força da gravidade.

O trabalho é dobrado levantando duas vezes o peso na mesma distância ou levantando o mesmo peso duas vezes a distância.

O trabalho está intimamente relacionado à energia . O princípio da energia de trabalho afirma que um aumento na energia cinética de um corpo rígido é causado por uma quantidade igual de trabalho positivo realizado no corpo pela força resultante atuando naquele corpo. Por outro lado, uma diminuição na energia cinética é causada por uma quantidade igual de trabalho negativo feito pela força resultante. Assim, se a rede for positiva, a energia cinética da partícula aumenta na quantidade de trabalho. Se o trabalho líquido realizado for negativo, a energia cinética da partícula diminui na quantidade de trabalho.

A partir da segunda lei de Newton , pode-se demonstrar que trabalhar em um corpo livre (sem campos), rígido (sem graus de liberdade internos) é igual à variação da energia cinética E k correspondente à velocidade linear e à velocidade angular desse corpo ,

O trabalho das forças geradas por uma função potencial é conhecido como energia potencial e as forças são ditas conservadoras . Portanto, trabalhar em um objeto que está meramente deslocado em um campo de força conservador , sem mudança na velocidade ou rotação, é igual a menos a mudança da energia potencial E p do objeto,

Essas fórmulas mostram que trabalho é a energia associada à ação de uma força, portanto, o trabalho subsequentemente possui as dimensões físicas e unidades de energia. Os princípios de trabalho / energia discutidos aqui são idênticos aos princípios de trabalho / energia elétrica.

Forças de restrição

As forças de restrição determinam o deslocamento do objeto no sistema, limitando-o dentro de um intervalo. Por exemplo, no caso de um declive mais gravidade, o objeto fica preso ao declive e, quando preso a uma corda esticada, não pode se mover para fora para tornar a corda mais 'esticada'. Elimina todos os deslocamentos nessa direção, ou seja, a velocidade na direção da restrição é limitada a 0, de forma que as forças de restrição não realizem trabalho no sistema.

Para um sistema mecânico , as forças de restrição eliminam o movimento nas direções que caracterizam a restrição. Assim, o trabalho virtual realizado pelas forças de restrição é zero, um resultado que só é verdadeiro se as forças de atrito forem excluídas.

Forças de restrição fixas e sem atrito não realizam trabalho no sistema, pois o ângulo entre o movimento e as forças de restrição é sempre de 90 ° . Exemplos de restrições sem trabalho são: interconexões rígidas entre partículas, movimento de deslizamento em uma superfície sem atrito e contato de rolamento sem escorregar.

Por exemplo, em um sistema de polia como a máquina Atwood , as forças internas na corda e na polia de suporte não atuam no sistema. Portanto, o trabalho só precisa ser calculado para as forças gravitacionais que atuam sobre os corpos. Outro exemplo é a força centrípeta exercida para dentro por uma corda em uma bola em movimento circular uniforme, restringindo lateralmente a bola ao movimento circular, restringindo seu movimento para longe do centro do círculo. Essa força não funciona porque é perpendicular à velocidade da bola.

A força magnética em uma partícula carregada é F = q v × B , onde q é a carga, v é a velocidade da partícula e B é o campo magnético . O resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais, então Fv . O produto escalar de dois vetores perpendiculares é sempre zero, então o trabalho W = Fv = 0 , e a força magnética não funciona. Ele pode alterar a direção do movimento, mas nunca alterar a velocidade.

Cálculo matemático

Para objetos em movimento, a quantidade de trabalho / tempo (potência) é integrada ao longo da trajetória do ponto de aplicação da força. Assim, em qualquer instante, a taxa do trabalho realizado por uma força (medido em joules / segundo, ou watts ) é o produto escalar da força (um vetor), e o vetor velocidade do ponto de aplicação. Este produto escalar de força e velocidade é conhecido como potência instantânea . Assim como as velocidades podem ser integradas ao longo do tempo para obter uma distância total, pelo teorema fundamental do cálculo , o trabalho total ao longo de um caminho é similarmente a integral no tempo da potência instantânea aplicada ao longo da trajetória do ponto de aplicação.

Trabalho é o resultado de uma força sobre um ponto que segue uma curva X , com uma velocidade v , a cada instante. A pequena quantidade de trabalho δW que ocorre ao longo de um instante de tempo dt é calculada como

onde Fv é a potência sobre o instante dt . A soma dessas pequenas quantidades de trabalho ao longo da trajetória do ponto produz o trabalho,

onde C é a trajetória de x ( t 1 ) a x ( t 2 ). Essa integral é calculada ao longo da trajetória da partícula e, portanto, é considerada dependente do caminho .

Se a força é sempre direcionada ao longo desta linha, e a magnitude da força é F , então esta integral simplifica para

onde s é o deslocamento ao longo da linha. Se F for constante, além de ser direcionado ao longo da linha, a integral simplifica ainda mais para

onde s é o deslocamento do ponto ao longo da linha.

Esse cálculo pode ser generalizado para uma força constante que não é direcionada ao longo da linha, seguida pela partícula. Neste caso, o produto escalar Fd s = F cos θ ds , onde θ é o ângulo entre o vetor força e a direção do movimento, ou seja

Quando um componente de força é perpendicular ao deslocamento do objeto (como quando um corpo se move em um caminho circular sob uma força central ), nenhum trabalho é realizado, pois o cosseno de 90 ° é zero. Assim, nenhum trabalho pode ser realizado por gravidade em um planeta com uma órbita circular (isso é ideal, pois todas as órbitas são ligeiramente elípticas). Além disso, nenhum trabalho é feito em um corpo que se move circularmente a uma velocidade constante enquanto é restringido por força mecânica, como mover-se a uma velocidade constante em uma centrífuga ideal sem atrito.

Trabalho realizado por uma força variável

O cálculo do trabalho como "força vezes segmento de caminho reto" só se aplicaria nas circunstâncias mais simples, conforme observado acima. Se a força está mudando, ou se o corpo está se movendo ao longo de um caminho curvo, possivelmente girando e não necessariamente rígido, então apenas o caminho do ponto de aplicação da força é relevante para o trabalho realizado, e apenas o componente da força paralelo a a velocidade do ponto de aplicação está funcionando (trabalho positivo quando na mesma direção e negativo quando na direção oposta da velocidade). Este componente de força pode ser descrito pela grandeza escalar chamada componente tangencial escalar ( F cos ( θ ) , onde θ é o ângulo entre a força e a velocidade). E então a definição mais geral de trabalho pode ser formulada da seguinte forma:

Trabalho de uma força é a linha integral de seu componente tangencial escalar ao longo do caminho de seu ponto de aplicação.
Se a força varia (por exemplo, comprimindo uma mola), precisamos usar o cálculo para encontrar o trabalho realizado. Se a força é dada por F ( x ) (uma função de x ), então o trabalho feito pela força ao longo do eixo x de a para b é:

Torque e rotação

Um par de forças resulta de forças iguais e opostas, atuando em dois pontos diferentes de um corpo rígido. A soma (resultante) de estas forças pode cancelar, mas o seu efeito sobre o corpo é o par ou binário T . O trabalho do torque é calculado como

onde o Tω é a potência sobre o instante δt . A soma dessas pequenas quantidades de trabalho ao longo da trajetória do corpo rígido produz o trabalho,

Essa integral é calculada ao longo da trajetória do corpo rígido com uma velocidade angular ω que varia com o tempo e, portanto, é considerada dependente do caminho .

Se o vetor de velocidade angular mantém uma direção constante, então assume a forma,

onde φ é o ângulo de rotação sobre a unidade constante vector de S . Neste caso, o trabalho do torque torna-se,

onde C é a trajetória de φ ( t 1 ) a φ ( t 2 ). Essa integral depende da trajetória rotacional φ ( t ) e, portanto, depende do caminho.

Se o torque T estiver alinhado com o vetor de velocidade angular de modo que,

e tanto o torque quanto a velocidade angular são constantes, então o trabalho toma a forma,

Uma força de magnitude constante e perpendicular ao braço de alavanca

Esse resultado pode ser entendido de forma mais simples considerando o torque como proveniente de uma força de magnitude constante F , sendo aplicada perpendicularmente a um braço de alavanca a uma distância r , conforme mostrado na figura. Esta força atuará através da distância ao longo do arco circular s = , então o trabalho realizado é

Introduza o torque τ = Fr , para obter

conforme apresentado acima.

Observe que apenas o componente de torque na direção do vetor de velocidade angular contribui para o trabalho.

Trabalho e energia potencial

O produto escalar de uma força F e a velocidade v de seu ponto de aplicação define a entrada de energia para um sistema em um instante de tempo. A integração desse poder sobre a trajetória do ponto de aplicação, C = x ( t ) , define a entrada de trabalho para o sistema pela força.

Dependência de caminho

Portanto, o trabalho realizado por uma força F sobre um objeto que viaja ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha :

onde dx ( t ) define a trajetória C e v é a velocidade ao longo dessa trajetória. Em geral, essa integral requer o caminho ao longo do qual a velocidade é definida, então a avaliação do trabalho é considerada dependente do caminho.

A derivada do tempo da integral para o trabalho produz a potência instantânea,

Independência de caminho

Se o trabalho para uma força aplicada é independente da trajetória, então o trabalho feito pela força, pelo teorema do gradiente , define uma função potencial que é avaliada no início e no final da trajetória do ponto de aplicação. Isso significa que existe uma função potencial U ( x ), que pode ser avaliada nos dois pontos x ( t 1 ) ex ( t 2 ) para obter o trabalho ao longo de qualquer trajetória entre esses dois pontos. É tradição definir esta função com sinal negativo para que um trabalho positivo seja uma redução do potencial, ou seja

A função U ( x ) é chamada de energia potencial associada à força aplicada. A força derivada de tal função potencial é considerada conservadora . Exemplos de forças com energias potenciais são a gravidade e as forças da mola.

Neste caso, o gradiente de rendimento de trabalho

e a força F é considerada "derivável de um potencial".

Como o potencial U define uma força F em cada ponto x no espaço, o conjunto de forças é chamado de campo de força . A potência aplicada a um corpo por um campo de força é obtida a partir do gradiente do trabalho, ou potencial, na direção da velocidade V do corpo, ou seja,

Trabalho por gravidade

Gravidade F = mg funciona W = mgh ao longo de qualquer caminho descendente

Na ausência de outras forças, a gravidade resulta em uma aceleração constante para baixo de cada objeto em movimento livre. Perto da superfície da Terra, a aceleração da gravidade é g = 9,8 m⋅s −2 e a força gravitacional em um objeto de massa m é F g = mg . É conveniente imaginar essa força gravitacional concentrada no centro de massa do objeto.

Se um objeto com peso mg é deslocado para cima ou para baixo em uma distância vertical y 2 - y 1 , o trabalho W feito no objeto é:

onde F g é o peso (libras em unidades imperiais e newtons em unidades SI) e Δ y é a mudança na altura y . Observe que o trabalho realizado pela gravidade depende apenas do movimento vertical do objeto. A presença de atrito não afeta o trabalho feito no objeto por seu peso.

Trabalhe por gravidade no espaço

A força de gravidade exercida por uma massa M em outra massa m é dada por

onde r é o vetor posição de M a m .

Deixe a massa m se mover na velocidade v ; então o trabalho da gravidade sobre esta massa conforme ela se move da posição r ( t 1 ) para r ( t 2 ) é dado por

Observe que a posição e a velocidade da massa m são dadas por

onde e r e e t são os vetores unitários radiais e tangenciais direcionados em relação ao vetor de M a m , e usamos o fato de que Use isto para simplificar a fórmula para trabalho de gravidade para,

Este cálculo usa o fato de que

A função

é a função potencial gravitacional, também conhecida como energia potencial gravitacional . O sinal negativo segue a convenção de que o trabalho é ganho com a perda de energia potencial.

Trabalho por uma mola

Forças em molas montadas em paralelo

Considere uma mola que exerce uma força horizontal F = (- kx , 0, 0) que é proporcional à sua deflexão na direção x independente de como o corpo se move. O trabalho desta mola em um corpo se movendo ao longo do espaço com a curva X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , é calculado usando sua velocidade, v = ( v x , v y , v z ) , para obter

Por conveniência, considerar contacto com a mola ocorre em t = 0 , em seguida, a integral do produto da distância x e do eixo dos xx de velocidade, xv x dt , ao longo do tempo t é (1/2) x 2 . O trabalho é o produto da distância vezes a força da mola, que também depende da distância; daí o resultado x 2 .

Trabalho a gás

Onde P é a pressão, V é o volume, e um e b são os volumes iniciais e finais.

Princípio da energia do trabalho

O princípio do trabalho e da energia cinética (também conhecido como princípio da energia do trabalho ) afirma que o trabalho realizado por todas as forças que atuam sobre uma partícula (o trabalho da força resultante) é igual à mudança na energia cinética da partícula. Ou seja, o trabalho W feito pela força resultante em uma partícula é igual à mudança na energia cinética da partícula ,

onde e são as velocidades da partícula antes e depois que o trabalho é feito e m é sua massa .

A derivação do princípio da energia de trabalho começa com a segunda lei do movimento de Newton e a força resultante em uma partícula. O cálculo do produto escalar das forças com a velocidade da partícula avalia a potência instantânea adicionada ao sistema.

As restrições definem a direção do movimento da partícula, garantindo que não haja nenhum componente de velocidade na direção da força de restrição. Isso também significa que as forças de restrição não aumentam a potência instantânea. A integral de tempo desta equação escalar produz trabalho da potência instantânea e energia cinética do produto escalar de velocidade e aceleração. O fato de que o princípio da energia de trabalho elimina as forças de restrição é a base da mecânica Lagrangiana .

Esta seção enfoca o princípio da energia de trabalho conforme se aplica à dinâmica das partículas. Em sistemas mais gerais, o trabalho pode alterar a energia potencial de um dispositivo mecânico, a energia térmica em um sistema térmico ou a energia elétrica em um dispositivo elétrico. O trabalho transfere energia de um lugar para outro ou de uma forma para outra.

Derivação de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta

No caso de a força resultante F ser constante em magnitude e direção, e paralela à velocidade da partícula, a partícula está se movendo com aceleração constante a ao longo de uma linha reta. A relação entre a força resultante e a aceleração é dada pela equação F = ma ( segunda lei de Newton ), e o deslocamento das partículas s pode ser expresso pela equação

que segue de (veja Equações de movimento ).

O trabalho da força resultante é calculado como o produto de sua magnitude pelo deslocamento da partícula. Substituindo as equações acima, obtém-se:

Outra derivação:

No caso geral do movimento retilíneo, quando a força resultante F não é constante em magnitude, mas é constante na direção e paralela à velocidade da partícula, o trabalho deve ser integrado ao longo do caminho da partícula:

Derivação geral do teorema da energia de trabalho para uma partícula

Para qualquer força resultante atuando em uma partícula que se move ao longo de qualquer caminho curvilíneo, pode ser demonstrado que seu trabalho é igual à mudança na energia cinética da partícula por uma derivação simples análoga à equação acima. Alguns autores chamam esse resultado de princípio da energia de trabalho , mas é mais amplamente conhecido como teorema da energia de trabalho :

A identidade requer alguma álgebra. Da identidade e definição segue-se

A parte restante da derivação acima é apenas cálculo simples, igual ao caso retilíneo anterior.

Derivação de uma partícula em movimento restrito

Na dinâmica de partículas, uma fórmula que equaciona o trabalho aplicada a um sistema à sua mudança na energia cinética é obtida como uma primeira integral da segunda lei do movimento de Newton . É útil notar que a força resultante usada nas leis de Newton pode ser separada em forças que são aplicadas à partícula e forças impostas por restrições ao movimento da partícula. Notavelmente, o trabalho de uma força de restrição é zero, portanto, apenas o trabalho das forças aplicadas precisa ser considerado no princípio trabalho-energia.

Para ver isso, considere uma partícula P que segue a trajetória X ( t ) com uma força F agindo sobre ela. Isole a partícula de seu ambiente para expor as forças de restrição R , então a Lei de Newton assume a forma

onde m é a massa da partícula.

Formulação vetorial

Observe que n pontos acima de um vetor indicam sua derivada de tempo enésimo . O produto escalar de cada lado da lei de Newton com o vetor velocidade produz

porque as forças de restrição são perpendiculares à velocidade da partícula. Integre esta equação ao longo de sua trajetória do ponto X ( t 1 ) ao ponto X ( t 2 ) para obter

O lado esquerdo desta equação é o trabalho da força aplicada conforme ela atua sobre a partícula ao longo da trajetória do tempo t 1 ao tempo t 2 . Isso também pode ser escrito como

Essa integral é calculada ao longo da trajetória X ( t ) da partícula e é, portanto, dependente do caminho.

O lado direito da primeira integral das equações de Newton pode ser simplificado usando a seguinte identidade

(consulte a regra do produto para derivação). Agora está integrado explicitamente para obter a mudança na energia cinética,

onde a energia cinética da partícula é definida pela quantidade escalar,

Componentes tangenciais e normais

É útil resolver os vetores de velocidade e aceleração em componentes tangenciais e normais ao longo da trajetória X ( t ), de modo que

Onde

Então, o produto escalar da velocidade com aceleração na segunda lei de Newton assume a forma

onde a energia cinética da partícula é definida pela quantidade escalar,

O resultado é o princípio da energia de trabalho para a dinâmica das partículas,

Essa derivação pode ser generalizada para sistemas arbitrários de corpo rígido.

Movendo-se em linha reta (derrapagem até parar)

Consideremos o caso de um veículo em movimento ao longo de uma trajectória recta horizontal sob a acção de uma força de condução e gravidade que soma a F . As forças de restrição entre o veículo e a estrada definem R , e temos

Por conveniência, deixe a trajetória ser ao longo do eixo X, então X = ( d , 0) e a velocidade é V = ( v , 0) , então RV = 0 , e FV = F x v , onde F x é o componente de F ao longo do eixo X, então

A integração de ambos os lados produz

Se F x for constante ao longo da trajetória, então a integral da velocidade é a distância, então

Como exemplo, considere um carro derrapando até parar, onde k é o coeficiente de atrito e W é o peso do carro. Então, a força ao longo da trajetória é F x = - kW . A velocidade v do carro pode ser determinada a partir do comprimento s da derrapagem usando o princípio da energia de trabalho,

Observe que esta fórmula usa o fato de que a massa do veículo é m = W / g .

Piloto de gravidade Lotus tipo 119B na celebração do 60º aniversário da Lotus.
Campeonato de corrida de gravidade em Campos Novos, Santa Catarina, Brasil, 8 de setembro de 2010.

Descer em uma estrada de montanha (corrida de gravidade)

Considere o caso de um veículo que começa em repouso e desce uma estrada de montanha, o princípio da energia de trabalho ajuda a calcular a distância mínima que o veículo percorre para atingir a velocidade V , de digamos 60 mph (88 fps). A resistência ao rolamento e a resistência ao ar reduzirão a velocidade do veículo, de modo que a distância real será maior do que se essas forças fossem negligenciadas.

Seja a trajetória do veículo seguindo a estrada X ( t ), que é uma curva no espaço tridimensional. A força que actua sobre o veículo que empurra-lo para baixo da estrada é a força constante da gravidade F = (0, 0, W ) , enquanto que a força da estrada no veículo, é a força de restrição R . A segunda lei de Newton produz,

O produto escalar desta equação com a velocidade, V = ( v x , v y , v z ) , resulta

onde V é a amplitude de V . As forças de restrição entre o veículo e a estrada se cancelam com esta equação porque RV = 0 , o que significa que não funcionam. Integre ambos os lados para obter

O peso da força W é constante ao longo da trajetória e a integral da velocidade vertical é a distância vertical, portanto,

Lembre-se de que V ( t 1 ) = 0. Observe que esse resultado não depende do formato da estrada seguida pelo veículo.

Para determinar a distância ao longo da estrada, suponha que o rebaixamento seja de 6%, que é uma estrada íngreme. Isso significa que a altitude diminui 6 pés para cada 100 pés percorridos - para ângulos tão pequenos, as funções sin e tan são aproximadamente iguais. Portanto, a distância s em pés descendo uma inclinação de 6% para alcançar a velocidade V é de pelo menos

Esta fórmula usa o fato de que o peso do veículo é W = mg .

Trabalho de forças atuando sobre um corpo rígido

O trabalho das forças que atuam em vários pontos em um único corpo rígido pode ser calculado a partir do trabalho de uma força e torque resultantes . Para ver isso, deixe as forças F 1 , F 2 ... F n atuarem nos pontos X 1 , X 2 ... X n de um corpo rígido.

As trajetórias de X i , i = 1, ..., n são definidas pelo movimento do corpo rígido. Este movimento é dado pelo conjunto de rotações [ A ( t )] e pela trajetória d ( t ) de um ponto de referência no corpo. Sejam as coordenadas x i i = 1, ..., n definem esses pontos no referencial M do corpo rígido móvel , de modo que as trajetórias traçadas no referencial fixo F sejam dadas por

A velocidade dos pontos X i ao longo de suas trajetórias são

onde ω é o vetor de velocidade angular obtido a partir da matriz simétrica de inclinação

conhecida como matriz de velocidade angular.

A pequena quantidade de trabalho pelas forças sobre os pequenos deslocamentos δ r i pode ser determinada aproximando o deslocamento por δ r = v δt então

ou

Esta fórmula pode ser reescrita para obter

onde F e T são a força e o torque resultantes aplicados no ponto de referência d da estrutura móvel M no corpo rígido.

Referências

Bibliografia

links externos