Convergência absoluta - Absolute convergence

Em matemática , diz-se que uma série infinita de números converge absolutamente (ou é absolutamente convergente ) se a soma dos valores absolutos das somas for finita. Mais precisamente, um verdadeiro ou complexa série é dita convergir absolutamente se por algum número real Da mesma forma, uma integral imprópria de uma função , é dito a convergir absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando é finito, isto é, se${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = L}$${\ displaystyle \ textstyle L.}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx,}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (x) | dx = L.}$

A convergência absoluta é importante para o estudo de séries infinitas porque sua definição é forte o suficiente para ter propriedades de somas finitas que nem todas as séries convergentes possuem, embora seja ampla o suficiente para ocorrer comumente. (Uma série convergente que não é absolutamente convergente é chamada de convergência condicional .) As séries absolutamente convergentes se comportam "bem". Por exemplo, rearranjos não alteram o valor da soma. Isso não é verdade para séries condicionalmente convergentes: a série harmônica alternada converge para enquanto seu rearranjo (em que o padrão de repetição de sinais são dois termos positivos seguidos por um termo negativo) converge para${\ textstyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - { \ frac {1} {6}} + \ cdots}$${\ displaystyle \ ln 2,}$${\ textstyle 1 + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} - { \ frac {1} {4}} + \ cdots}$${\ textstyle {\ frac {3} {2}} \ ln 2.}$

Fundo

Pode-se estudar a convergência de séries cujos termos são elementos de um grupo topológico abeliano arbitrário . A noção de convergência absoluta requer mais estrutura, ou seja, uma norma , que é uma função de valor real positiva em um grupo abeliano (escrito aditivamente , com o elemento de identidade 0) de modo que: ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ textstyle \ | \ cdot \ |: G \ to \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle G}$

1. A norma do elemento de identidade de é zero:${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ | 0 \ | = 0.}$
2. Para cada implica${\ displaystyle x \ in G,}$ ${\ displaystyle \ | x \ | = 0}$${\ displaystyle x = 0.}$
3. Para cada ${\ displaystyle x \ in G,}$ ${\ displaystyle \ | -x \ | = \ | x \ |.}$
4. Para cada ${\ displaystyle x, y \ in G,}$ ${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}$

Neste caso, a função induz a estrutura de um espaço métrico (um tipo de topologia ) em Podemos, portanto, considerar uma série -valorada e definir tal série como absolutamente convergente se${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$${\ displaystyle G.}$${\ displaystyle G}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ | a_ {n} \ | <\ infty.}$

Em particular, essas declarações se aplicam usando a norma ( valor absoluto ) no espaço de números reais ou números complexos. ${\ displaystyle | x |}$

Em espaços vetoriais topológicos

Se é um espaço vetorial topológico (TVS) e é uma (possivelmente incontável ) família, então esta família é absolutamente somada se ${\ displaystyle X}$${\ textstyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}$${\ displaystyle X}$

1. ${\ textstyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}$é somatável em (isto é, se o limite da rede converge para onde está o conjunto direcionado de todos os subconjuntos finitos de direcionado por inclusão e ), e${\ displaystyle X}$${\ textstyle \ lim _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)} x_ {H}}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {H} \ right) _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ subseteq}$${\ textstyle x_ {H}: = \ sum _ {i \ in H} x_ {i}}$
2. pois cada seminário contínuo sobre a família pode ser somado em${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$${\ textstyle \ left (p \ left (x _ {\ alpha} \ right) \ right) _ {\ alpha \ in A}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

If é um espaço normalizável e if é uma família absolutamente somaável em, então, necessariamente, todos, exceto uma coleção contável de 's, são 0. ${\ displaystyle X}$${\ textstyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x _ {\ alpha}}$

Famílias absolutamente somadas desempenham um papel importante na teoria dos espaços nucleares .

Relação com a convergência

Se for completo em relação à métrica, então todas as séries absolutamente convergentes são convergentes. A prova é a mesma que para séries de valores complexos: use a completude para derivar o critério de Cauchy para convergência - uma série é convergente se e somente se suas caudas podem ser arbitrariamente pequenas em norma - e aplique a desigualdade triangular. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle d,}$

Em particular, para séries com valores em qualquer espaço de Banach , convergência absoluta implica convergência. O inverso também é verdadeiro: se convergência absoluta implica convergência em um espaço normado, então o espaço é um espaço de Banach.

Se uma série for convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de convergência condicional . Um exemplo de série condicionalmente convergente é a série harmônica alternada . Muitos testes padrão de divergência e convergência, mais notavelmente incluindo o teste de razão e o teste de raiz , demonstram convergência absoluta. Isso ocorre porque uma série de potências é absolutamente convergente no interior de seu disco de convergência.

Prova de que qualquer série absolutamente convergente de números complexos é convergente

Suponha que seja convergente. Então, equivalentemente, é convergente, o que implica isso, e converge por comparação de termos não negativos. Basta mostrar que a convergência dessas séries implica a convergência de e para então, a convergência de se seguiria, pela definição da convergência de séries de valores complexos. ${\ textstyle \ sum \ left | a_ {k} \ right |, a_ {k} \ in \ mathbb {C}}$${\ textstyle \ sum \ left [\ operatorname {Re} \ left (a_ {k} \ right) ^ {2} + \ operatorname {Im} \ left (a_ {k} \ right) ^ {2} \ right] ^ {1/2}}$${\ textstyle \ sum \ left | \ operatorname {Re} \ left (a_ {k} \ right) \ right |}$${\ textstyle \ sum \ left | \ operatorname {Im} \ left (a_ {k} \ right) \ right |}$${\ textstyle \ sum \ operatorname {Re} \ left (a_ {k} \ right)}$${\ textstyle \ sum \ operatorname {Im} \ left (a_ {k} \ right),}$${\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum \ operatorname {Re} \ left (a_ {k} \ right) + i \ sum \ operatorname {Im} \ left (a_ {k} \ right)}$

A discussão anterior mostra que precisamos apenas provar que a convergência de implica a convergência de${\ textstyle \ sum \ left | a_ {k} \ right |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}$${\ textstyle \ sum a_ {k}.}$

Deixe ser convergente. Uma vez que temos ${\ textstyle \ sum \ left | a_ {k} \ right |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 \ leq a_ {k} + \ left | a_ {k} \ right | \ leq 2 \ left | a_ {k} \ right |,}$

Uma vez que é convergente, é uma sequência monotônica limitada de somas parciais, e também deve convergir. Observando que é a diferença das séries convergentes, concluímos que também é uma série convergente, conforme desejado. ${\ textstyle \ sum 2 \ left | a_ {k} \ right |}$${\ textstyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (a_ {k} + \ left | a_ {k} \ right | \ right)}$ ${\ textstyle \ sum \ left (a_ {k} + \ left | a_ {k} \ right | \ right)}$${\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum \ left (a_ {k} + \ left | a_ {k} \ right | \ right) - \ sum \ left | a_ {k} \ right |}$

Prova alternativa usando o critério de Cauchy e a desigualdade do triângulo

Aplicando o critério de Cauchy para a convergência de uma série complexa, também podemos provar esse fato como uma implicação simples da desigualdade do

triângulo . Pelo critério de Cauchy , converge se e somente se para algum existe tal que para qualquer Mas a desigualdade do triângulo implica que para qualquer que é exatamente o critério de Cauchy para${\ textstyle \ sum | a_ {i} |}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0,}$${\ displaystyle N}$${\ textstyle \ left | \ sum _ {i = m} ^ {n} \ left | a_ {i} \ right | \ right | = \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} | <\ varepsilon}$${\ displaystyle n> m \ geq N.}$${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} {\ big |} \ leq \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} |, }$${\ textstyle \ left | \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} \ right | <\ varepsilon}$${\ displaystyle n> m \ geq N,}$${\ textstyle \ sum a_ {i}.}$

Prova de que qualquer série absolutamente convergente em um espaço de Banach é convergente

O resultado acima pode ser facilmente generalizado para cada espaço de Banach. Seja uma série absolutamente convergente em As é uma

sequência de números reais de Cauchy , para qualquer número natural grande o suficiente que ela contenha: ${\ displaystyle (X, \ | \, \ cdot \, \ |).}$${\ textstyle \ sum x_ {n}}$${\ displaystyle X.}$${\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ | x_ {k} \ |}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle m> n}$

$${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ | x_ {k} \ | - \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ | x_ {k} \ | \ right | = \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} \ | x_ {k} \ | <\ varepsilon.}$$

Pela desigualdade do triângulo para a norma ǁ⋅ǁ , obtém-se imediatamente:

$${\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {k = 1} ^ {m} x_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} \ right \ | = \ left \ | \ soma _ {k = n + 1} ^ {m} x_ {k} \ direita \ | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} \ | x_ {k} \ | <\ varepsilon,}$$

o que significa que é uma sequência de Cauchy, portanto, a série é convergente em${\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X.}$

Reorganizações e convergência incondicional

No contexto geral de uma série avaliada, uma distinção é feita entre convergência absoluta e incondicional, e a afirmação de que uma série real ou complexa que não é absolutamente convergente é necessariamente convergente condicionalmente (ou seja, não convergente incondicional) é então um teorema, não uma definição. Isso é discutido com mais detalhes abaixo. ${\ displaystyle G}$

Dada uma série com valores em um grupo abeliano normalizado e uma

permutação dos números naturais, constrói-se uma nova série que se diz ser um rearranjo da série original. Diz-se que uma série é incondicionalmente convergente se todos os rearranjos da série forem convergentes para o mesmo valor. ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (n)},}$

Quando está completa, a convergência absoluta implica a convergência incondicional: ${\ displaystyle G}$

Teorema  -  Seja um grupo abeliano normalizado completo. Suponha ${\ displaystyle G}$

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} = A \ in G, \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ | a_ {i} \ | < \ infty.}$$

Se houver alguma permutação, então ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)} = A.}$$

A questão do inverso é interessante. Para séries reais, segue do teorema do rearranjo de Riemann que convergência incondicional implica convergência absoluta. Visto que uma série com valores em um espaço normado de dimensão finita é absolutamente convergente se cada uma de suas projeções unidimensionais for absolutamente convergente, segue-se que a convergência absoluta e incondicional coincide para as séries -valoradas. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Mas existem séries incondicionalmente e não absolutamente convergentes com valores no espaço de Banach ℓ ^∞ , por exemplo:

$${\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}} e_ {n},}$$

onde está uma base ortonormal. Um teorema de

A. Dvoretzky e C. A. Rogers afirma que todo espaço de Banach de dimensão infinita admite uma série incondicionalmente convergente que não é absolutamente convergente. ${\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$

Prova do teorema

Para qualquer um , podemos escolher alguns tais que: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0,}$${\ displaystyle \ kappa _ {\ varepsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N},}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {for all}} N> \ kappa _ {\ varepsilon} & \ quad \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ | a_ {n} \ | <{\ tfrac {\ varepsilon} {2}} \\ {\ text {para todos}} N> \ lambda _ {\ varepsilon} & \ quad \ left \ | \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} -A \ right \ | <{\ tfrac {\ varepsilon} {2}} \ end {alinhado}}}$$

Deixar

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} N _ {\ varejpsilon} & = \ max \ left \ {\ kappa _ {\ varejpsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ right \} \\ M _ {\ sigma, \ varepsilon } & = \ max \ left \ {\ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1, \ ldots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \ right \} \ end {alinhado}} }$$

Finalmente, para qualquer número inteiro, deixe ${\ displaystyle N> M _ {\ sigma, \ varepsilon}}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ left \ {1, \ ldots, N \ right \} \ setminus \ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1 , \ ldots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \\ S _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ min \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varejpsilon} \ right \} \\ L _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \ end {alinhado}}}$$

Então

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {N} a _ {\ sigma (i)} - A \ right \ | & = \ left \ | \ sum _ {i \ in \ sigma ^ {- 1} \ left (\ {1, \ dots, N _ {\ varepsilon} \} \ right)} a _ {\ sigma (i)} - A + \ sum _ {i \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon}} a _ {\ sigma (i)} \ direita \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {j = 1} ^ {N _ {\ varejpsilon}} a_ {j} -A \ direita \ | + \ esquerda \ | \ sum _ {i \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon}} a _ {\ sigma (i)} \ direita \ | \\ & \ leq \ esquerda \ | \ sum _ {j = 1} ^ {N _ {\ varepsilon}} a_ {j} -A \ right \ | + \ sum _ {i \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon}} \ left \ | a _ {\ sigma (i)} \ right \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {j = 1} ^ {N _ {\ varejpsilon}} a_ {j} -A \ right \ | + \ sum _ {j = S _ {\ sigma , \ varepsilon}} ^ {L _ {\ sigma, \ varepsilon}} \ left \ | a_ {j} \ right \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {j = 1} ^ {N _ {\ epsilon}} a_ {j} -A \ right \ | + \ sum _ {j = N _ {\ infty} +1} ^ {\ infty} \ left \ | a_ {j} \ right \ | && S _ {\ sigma, \ varejpsilon} \ geq N _ {\ varejpsilon} +1 \\ & <\ varepsilon \ end {alinhado}}}$$

Isto mostra que

$${\ displaystyle {\ text {para todos varej}} \ varepsilon> 0, {\ text {existe}} M _ {\ sigma, \ varepsilon}, {\ text {para todos}} N> M _ {\ sigma, \psilon } \ quad \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {N} a _ {\ sigma (i)} - A \ right \ | <\ varepsilon,}$$

isso é:

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)} = A.}$$

QED

Produtos de série

O produto de

Cauchy de duas séries converge para o produto das somas se pelo menos uma das séries converge absolutamente. Ou seja, suponha que

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = A \ quad {\ text {e}} \ quad \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} = B.}$$

O produto Cauchy é definido como a soma dos termos onde: ${\ displaystyle c_ {n}}$

$${\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk}.}$$

Se quer os ou converge soma absolutamente seguida ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} = AB.}$$

Convergência absoluta sobre conjuntos

Uma generalização da convergência absoluta de uma série, é a convergência absoluta de uma soma de uma função sobre um conjunto. Podemos considerar em primeiro lugar um conjunto contável e uma função Vamos dar uma definição abaixo da soma de mais de escrita como${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X,}$${\ textstyle \ sum _ {x \ in X} f (x).}$

Em primeiro lugar, observe que, como nenhuma enumeração particular (ou "indexação") de ainda foi especificada, a série não pode ser compreendida pela definição mais básica de uma série. De fato, para certos exemplos de e a soma de over podem não ser definidos de forma alguma, uma vez que alguma indexação pode produzir uma série condicionalmente convergente. ${\ displaystyle X}$${\ textstyle \ sum _ {x \ in X} f (x)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

Portanto, definimos apenas no caso em que existe alguma bijeção tal que seja absolutamente convergente. Observe que aqui, "absolutamente convergente" usa a definição mais básica, aplicada a uma série indexada. Nesse caso, o valor da

soma de mais é definido por ${\ textstyle \ sum _ {x \ in X} f (x)}$${\ displaystyle g: \ mathbb {Z} ^ {+} \ to X}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (g (n))}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle \ sum _ {x \ in X} f (x): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (g (n))}$$

Observe que, como a série é absolutamente convergente, todo rearranjo é idêntico a uma escolha diferente de bijeção. Como todas essas somas têm o mesmo valor, a soma de mais é bem definida. ${\ displaystyle g.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

Mesmo de forma mais geral, podemos definir a soma de mais de quando é incontável. Mas primeiro definimos o que significa para a soma ser convergente. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Seja qualquer conjunto, contável ou incontável, e uma função. Dizemos que

a soma de mais converge absolutamente se ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle \ sup \ left \ {\ sum _ {x \ in A} | f (x) |: A \ subseteq X, A {\ text {é finito}} \ right \} <\ infty.}$$

Existe um teorema que afirma que, se a soma de over é absolutamente convergente, então assume valores diferentes de zero em um conjunto que é no máximo contável. Portanto, o que se segue é uma definição consistente da soma de mais quando a soma é absolutamente convergente. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle \ sum _ {x \ in X} f (x): = \ sum _ {x \ in X: f (x) \ neq 0} f (x).}$$

Observe que a série final usa a definição de uma série sobre um conjunto contável.

Alguns autores definem uma soma iterada como absolutamente convergente se a série iterada Isso é de fato equivalente à convergência absoluta de. Ou seja, se a soma de sobre converge absolutamente, conforme definido acima, então a soma iterada converge absolutamente, e vice-versa versa. ${\ textstyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {m, n}}$${\ textstyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {m, n} | <\ infty.}$${\ textstyle \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} a_ {m, n}.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X,}$ ${\ textstyle \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} a_ {m, n},}$${\ textstyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {m, n}}$

Convergência absoluta de integrais

O integrante de uma função real ou valor complexo é dito

convergir absolutamente se se também diz que é absolutamente integrável . A questão da integrabilidade absoluta é intrincada e depende se a integral de Riemann , Lebesgue ou Kurzweil-Henstock (medidor) é considerada; para a integral de Riemann, também depende de considerarmos apenas a integrabilidade em seu sentido próprio ( e ambos limitados ) ou permitirmos o caso mais geral de integrais impróprias. ${\ textstyle \ int _ {A} f (x) \, dx}$${\ textstyle \ int _ {A} \ left | f (x) \ right | \, dx <\ infty.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$

Como uma propriedade padrão da integral de Riemann, quando é um

intervalo limitado , toda função contínua é limitada e (Riemann) integrável, e como contínuo implica contínuo, toda função contínua é absolutamente integrável. De fato, uma vez que Riemann é integrável em se é (apropriadamente) integrável e é contínuo, segue-se que é apropriadamente Riemann integrável se for. No entanto, essa implicação não é válida no caso de integrais impróprios. Por exemplo, a função é inadequadamente integrável de Riemann em seu domínio ilimitado, mas não é absolutamente integrável: ${\ displaystyle A = [a, b]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle | f | = | \ cdot | \ circ f}$${\ displaystyle f}$${\ textstyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R}: x \ mapsto {\ frac {\ sin x} {x}}}$

$${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ bigl [} \ pi -2 \ , \ mathrm {Si} (1) {\ bigr]} \ aproximadamente 0,62, {\ text {mas}} \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin x} {x} } \ right | dx = \ infty.}$$

De fato, de forma mais geral, dada qualquer série, pode-se considerar a função degrau associada definida por Then converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge de acordo com o comportamento correspondente de${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {a}: [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f_ {a} ([n, n + 1)) = a_ {n}.}$${\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {a} \, dx}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

A situação é diferente para a integral de Lebesgue, que não lida com domínios de integração limitados e ilimitados separadamente ( veja abaixo ). O fato de que a integral de é ilimitada nos exemplos acima implica que também não é integrável no sentido de Lebesgue. Na verdade, na teoria da integração de Lebesgue, dado que é

mensurável , é (Lebesgue) integrável se e somente se for (Lebesgue) integrável. No entanto, a hipótese que é mensurável é crucial; não é geralmente verdade que funções absolutamente integráveis ​​em são integráveis ​​(simplesmente porque podem não ser mensuráveis): deixe ser um subconjunto não mensurável e considere onde está a função característica de Então não é Lebesgue mensurável e, portanto, não é integrável, mas é uma constante função e claramente integrável. ${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle S \ subset [a, b]}$${\ displaystyle f = \ chi _ {S} -1/2,}$${\ displaystyle \ chi _ {S}}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f | \ equiv 1/2}$

Por outro lado, uma função pode ser integrável de Kurzweil-Henstock (integrável por calibre), enquanto não é. Isso inclui o caso de funções integráveis ​​de Riemann incorretamente. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f |}$

Em um sentido geral, em qualquer espaço de medida, a integral de Lebesgue de uma função de valor real é definida em termos de suas partes positivas e negativas, então os fatos: ${\ displaystyle A,}$

1. ${\ displaystyle f}$integrável implica integrável${\ displaystyle | f |}$
2. ${\ displaystyle f}$mensurável, integrável implica integrável${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle f}$

são essencialmente construídos na definição da integral de Lebesgue. Em particular, aplicando a teoria à medida de contagem em um conjunto, recupera-se a noção de soma não ordenada de séries desenvolvida por Moore-Smith usando (o que agora são chamadas) de redes. Quando é o conjunto de números naturais, integrabilidade de Lebesgue, soma desordenada e convergência absoluta coincidem. ${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S = \ mathbb {N}}$

Finalmente, todos os itens acima são válidos para integrais com valores em um espaço de Banach. A definição de uma integral de Riemann com valor de Banach é uma modificação evidente da usual. Para a integral de Lebesgue, é necessário contornar a decomposição em partes positivas e negativas com a abordagem analítica mais

funcional de Daniell , obtendo a integral de Bochner .

Veja também

• Valor principal de Cauchy  - método para atribuir valores a certos integrais impróprios que, de outra forma, seriam indefinidos
• Convergência condicional
• Convergência da série de Fourier
• Teorema de Fubini  - Condições para mudar a ordem de integração no cálculo
• Modos de convergência (índice anotado)
• Teorema da série de Riemann  - As séries incondicionais convergem absolutamente
• Convergência incondicional
• 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + · · ·
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·

Notas

Referências

Trabalhos citados

• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .

Referências gerais

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• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1979). Espaços Nucleares Localmente Convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (segunda edição). Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541 .
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