Subderivativo - Subderivative

Uma função convexa (azul) e "linhas subtangentes" em x 0 (vermelho).

Na matemática , o subderivado , o subgradiente e o subdiferencial generalizam a derivada em funções convexas que não são necessariamente diferenciáveis . Subderivadas surgem na análise convexa , o estudo das funções convexas , muitas vezes em conexão com a otimização convexa .

Let Ser uma função convexa de valor real definida em um intervalo aberto da linha real. Essa função não precisa ser diferenciável em todos os pontos: Por exemplo, a função de valor absoluto f ( x ) = | x | é indiferenciável quando x = 0. No entanto, como pode ser visto no gráfico à direita (onde f (x) em azul tem torções não diferenciáveis ​​semelhantes à função de valor absoluto), para qualquer x 0 no domínio da função, pode-se desenhar uma linha que atravessa o ponto ( x 0 , f ( x 0 )) e que está em todo lugar tocando ou abaixo do gráfico de f . A inclinação dessa linha é chamada de subderivada (porque a linha está sob o gráfico de f ).

Definição

Rigorosamente, um subderivado de uma função convexa em um ponto x 0 no intervalo aberto I é um número real c tal que

para todo x em I . Pode-se mostrar que o conjunto de subderivatives em x 0 para uma função convexa é um não vazio fechado intervalo [ a , b ], onde um e b são os limites laterais

que têm garantia de existência e satisfazem ab .

O conjunto [ a , b ] de todos os subderivados é chamado de subdiferencial da função f em x 0 . Visto que f é convexo, se sua subdiferencial em contém exatamente um subderivado, então f é diferenciável em .

Exemplo

Considere a função f ( x ) = | x | que é convexo. Então, o subdiferencial na origem é o intervalo [-1, 1]. A subdiferencial em qualquer ponto x 0 <0 é o conjunto singleton {−1}, enquanto a subdiferencial em qualquer ponto x 0 > 0 é o conjunto singleton {1}. Isso é semelhante à função de sinal , mas não é uma função de valor único em 0, em vez disso, inclui todos os subderivados possíveis.

Propriedades

  • Uma função convexa f : IR é diferenciável em x 0 se e somente se a subdiferencial é composta de apenas um ponto, que é a derivada em x 0 .
  • Um ponto x 0 é um mínimo global de uma função convexa f se e somente se zero estiver contido na subdiferencial, ou seja, na figura acima, pode-se traçar uma "linha subtangente" horizontal para o gráfico de f em ( x 0 , f ( x 0 )). Esta última propriedade é uma generalização do fato de que a derivada de uma função diferenciável em um mínimo local é zero.
  • Se e são funções convexas com subdifferentials e com sendo o ponto interior de uma das funções, em seguida, o subdifferential de é (em que o operador de adição denota a soma Minkowski ). Isso é lido como "a subdiferencial de uma soma é a soma das subdiferenciais".

O subgradiente

Os conceitos de subdirivada e subdiferencial podem ser generalizados para funções de várias variáveis. Se f : UR é uma função convexa de valor real definida em um conjunto aberto convexo no espaço euclidiano R n , um vetor nesse espaço é chamado de subgradiente em um ponto x 0 em U se para qualquer x em U um tem

onde o ponto denota o produto escalar . O conjunto de todos os subgradientes em x 0 é chamado de subdiferencial em x 0 e é denotado por ∂ f ( x 0 ). O subdiferencial é sempre um conjunto compacto convexo não vazio .

Estes conceitos generalizar ainda mais para funções convexas f : UR em um conjunto convexo em um espaço localmente convexo V . Um funcional no espaço dual V é chamado de subgradiente em x 0 em U se para todo x em U

O conjunto de todos os subgradientes em x 0 é chamado de subdiferencial em x 0 e é novamente denotado ∂ f ( x 0 ). A subdiferencial é sempre um conjunto fechado convexo . Pode ser um conjunto vazio; considere, por exemplo, um operador ilimitado , que é convexo, mas não tem subgradiente. Se f for contínuo, a subdiferencial não é vazia.

História

O subdiferencial em funções convexas foi introduzido por Jean Jacques Moreau e R. Tyrrell Rockafellar no início dos anos 1960. A subdiferencial generalizada para funções não convexas foi introduzida por FH Clarke e RT Rockafellar no início dos anos 1980.

Veja também

Referências

  • Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Análise convexa e otimização não linear: teoria e exemplos (2ª ed.). Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
  • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos da Análise Convexa . Springer. ISBN 3-540-42205-6.
  • Zălinescu, C. (2002). Análise convexa em espaços vetoriais gerais . World Scientific Publishing Co., Inc. pp. Xx + 367. ISBN 981-238-067-1. MR  1921556 .

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