Número -Number

Um número é um objeto matemático usado para contar , medir e rotular . Os exemplos originais são os números naturais 1 , 2 , 3 , 4 e assim por diante. Os números podem ser representados em linguagem com palavras numéricas . Mais universalmente, os números individuais podem ser representados por símbolos , chamados numerais ; por exemplo, "5" é um numeral que representa o número cinco . Como apenas um número relativamente pequeno de símbolos pode ser memorizado, os numerais básicos são comumente organizados em um sistema numérico., que é uma forma organizada de representar qualquer número. O sistema de numeração mais comum é o sistema de numeração hindu-arábico , que permite a representação de qualquer número usando uma combinação de dez símbolos numéricos fundamentais, chamados dígitos . Além de seu uso na contagem e medição, os numerais são frequentemente usados para etiquetas (como números de telefone ), para pedidos (como números de série ) e para códigos (como ISBNs ). No uso comum, um numeral não é claramente distinguido do número que ele representa.

Em matemática , a noção de número foi estendida ao longo dos séculos para incluir 0 , números negativos , números racionais como metade , números reais como a raiz quadrada de 2 e $π$ , e números complexos que estendem os números reais com uma raiz quadrada de $-1$ (e suas combinações com números reais adicionando ou subtraindo seus múltiplos). Cálculos com números são feitos com operações aritméticas , sendo as mais conhecidas adição , subtração , multiplicação , divisão e exponenciação . Seu estudo ou uso é chamado de aritmética , um termo que também pode se referir à teoria dos números , o estudo das propriedades dos números. $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ $\left({\sqrt {2}}\right)$

Além de seus usos práticos, os números têm significado cultural em todo o mundo. Por exemplo, na sociedade ocidental, o número 13 é muitas vezes considerado como azar , e " um milhão " pode significar "muito" em vez de uma quantidade exata. Embora agora seja considerada pseudociência , a crença em um significado místico dos números, conhecido como numerologia , permeou o pensamento antigo e medieval. A numerologia influenciou fortemente o desenvolvimento da matemática grega , estimulando a investigação de muitos problemas na teoria dos números que ainda são de interesse hoje.

Durante o século 19, os matemáticos começaram a desenvolver muitas abstrações diferentes que compartilham certas propriedades dos números e podem ser vistas como estendendo o conceito. Entre os primeiros estavam os números hipercomplexos , que consistem em várias extensões ou modificações do sistema numérico complexo . Na matemática moderna, os sistemas numéricos são considerados exemplos especiais importantes de estruturas algébricas mais gerais, como anéis e campos , e a aplicação do termo "número" é uma questão de convenção, sem significado fundamental.

História

Números

Os números devem ser diferenciados dos numerais , os símbolos usados para representar os números. Os egípcios inventaram o primeiro sistema de numeração cifrado, e os gregos seguiram mapeando seus números de contagem nos alfabetos jônico e dórico. Os algarismos romanos, um sistema que usava combinações de letras do alfabeto romano, permaneceu dominante na Europa até a disseminação do sistema de numeração hindu-árabe superior por volta do final do século XIV, e o sistema de numeração hindu-arábico continua sendo o sistema mais comum para representar números do mundo de hoje. A chave para a eficácia do sistema era o símbolo do zero , que foi desenvolvido por antigos matemáticos indianos por volta de 500 dC.

Primeiro uso de números

Ossos e outros artefatos foram descobertos com marcas que muitos acreditam serem marcas de contagem . Essas marcas de contagem podem ter sido usadas para contar o tempo decorrido, como números de dias, ciclos lunares ou manter registros de quantidades, como de animais.

Um sistema de contagem não tem conceito de valor posicional (como na notação decimal moderna ), o que limita sua representação de grandes números. No entanto, os sistemas de contagem são considerados o primeiro tipo de sistema numérico abstrato.

O primeiro sistema conhecido com valor posicional foi o sistema mesopotâmico de base 60 ( c. 3400 aC) e o mais antigo sistema conhecido de base 10 data de 3100 aC no Egito .

Zero

O primeiro uso documentado conhecido do zero data de 628 d.C. e apareceu no Brāhmasphuṭasiddhānta , a principal obra do matemático indiano Brahmagupta . Ele tratou 0 como um número e discutiu as operações que o envolviam, incluindo a divisão . Por esta altura (século 7) o conceito tinha claramente chegado ao Camboja como numerais Khmer , e a documentação mostra a ideia mais tarde se espalhando para a China e o mundo islâmico .

O número 605 em numerais Khmer , de uma inscrição de 683 dC. Uso inicial de zero como um número decimal.

O Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta é o primeiro livro que menciona zero como um número, portanto, Brahmagupta é geralmente considerado o primeiro a formular o conceito de zero. Ele deu regras de uso de zero com números negativos e positivos, como "zero mais um número positivo é um número positivo, e um número negativo mais zero é o número negativo". O Brāhmasphuṭasiddhānta é o texto mais antigo conhecido a tratar o zero como um número por si só, em vez de simplesmente um algarismo para representar outro número como foi feito pelos babilônios ou como um símbolo de falta de quantidade como foi feito por Ptolomeu e os romanos.

O uso de 0 como número deve ser diferenciado de seu uso como numeral de espaço reservado em sistemas de valor posicional . Muitos textos antigos usavam 0. Os textos babilônicos e egípcios o usavam. Os egípcios usavam a palavra nfr para denotar saldo zero na contabilidade de dupla entrada . Os textos indianos usavam uma palavra sânscrita Shunye ou shunya para se referir ao conceito de vazio . Nos textos de matemática, essa palavra geralmente se refere ao número zero. Na mesma linha, Pāṇini (século 5 aC) usou o operador nulo (zero) no Ashtadhyayi , um dos primeiros exemplos de uma gramática algébrica para a língua sânscrita (veja também Pingala ).

Existem outros usos do zero antes de Brahmagupta, embora a documentação não seja tão completa quanto no Brāhmasphuṭasiddhānta .

Os registros mostram que os gregos antigos pareciam inseguros sobre o status de 0 como um número: eles se perguntavam "como 'nada' pode ser alguma coisa?" levando a interessantes argumentos filosóficos e, no período medieval, religiosos sobre a natureza e a existência de 0 e do vácuo . Os paradoxos de Zenão de Elea dependem em parte da interpretação incerta de 0. (Os antigos gregos até questionaram se 1 era um número.)

O povo olmeca tardio do centro-sul do México começou a usar um símbolo para zero, um glifo de concha , no Novo Mundo, possivelmente no século 4 aC, mas certamente em 40 aC, que se tornou parte integrante dos numerais maias e do calendário maia . A aritmética maia usava base 4 e base 5 escrita como base 20. George I. Sánchez em 1961 relatou um ábaco de base 4, base 5 "dedo".

Por volta de 130 dC, Ptolomeu , influenciado por Hiparco e pelos babilônios, estava usando um símbolo para 0 (um pequeno círculo com uma barra longa) dentro de um sistema de numeração sexagesimal , de outra forma usando numerais gregos alfabéticos . Por ter sido usado sozinho, não apenas como um substituto, esse zero helenístico foi o primeiro uso documentado de um zero verdadeiro no Velho Mundo. Em manuscritos bizantinos posteriores de sua Syntaxis Mathematica ( Almagest ), o zero helenístico havia se transformado na letra grega Omicron (de outra forma significando 70).

Outro zero verdadeiro foi usado em tabelas ao lado de algarismos romanos por 525 (primeiro uso conhecido por Dionísio Exiguus ), mas como uma palavra, nulla significando nada , não como um símbolo. Quando a divisão produziu 0 como resto, nihil , também significando nada , foi usado. Esses zeros medievais foram usados por todos os futuros computadores medievais ( calculadoras da Páscoa ). Um uso isolado de sua inicial, N, foi usado em uma tabela de algarismos romanos por Beda ou um colega por volta de 725, um verdadeiro símbolo do zero.

Números negativos

O conceito abstrato de números negativos foi reconhecido já em 100-50 aC na China. Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática contém métodos para encontrar as áreas das figuras; hastes vermelhas foram usadas para denotar coeficientes positivos , pretos para negativos. A primeira referência em uma obra ocidental foi no século III dC na Grécia. Diofanto se referiu à equação equivalente a 4 x + 20 = 0 (a solução é negativa) em Aritmética , dizendo que a equação dava um resultado absurdo.

Durante os anos 600, números negativos eram usados na Índia para representar dívidas. A referência anterior de Diofanto foi discutida mais explicitamente pelo matemático indiano Brahmagupta , em Brāhmasphuṭasiddhānta em 628, que usou números negativos para produzir a fórmula quadrática de forma geral que permanece em uso hoje. No entanto, no século 12 na Índia, Bhaskara dá raízes negativas para equações quadráticas, mas diz que o valor negativo "neste caso não deve ser tomado, pois é inadequado; as pessoas não aprovam raízes negativas".

Os matemáticos europeus, em sua maioria, resistiram ao conceito de números negativos até o século XVII, embora Fibonacci permitisse soluções negativas em problemas financeiros onde poderiam ser interpretados como dívidas (capítulo 13 de Liber Abaci , 1202) e posteriormente como perdas (em Flos ). René Descartes as chamou de raízes falsas à medida que surgiram em polinômios algébricos, mas ele encontrou uma maneira de trocar raízes verdadeiras e raízes falsas também. Ao mesmo tempo, os chineses indicavam números negativos desenhando um traço diagonal no dígito diferente de zero mais à direita do número do número positivo correspondente. O primeiro uso de números negativos em um trabalho europeu foi por Nicolas Chuquet durante o século 15. Ele os usou como expoentes , mas se referiu a eles como "números absurdos".

Tão recentemente quanto o século 18, era prática comum ignorar quaisquer resultados negativos retornados por equações na suposição de que eles não tinham sentido.

Números racionais

É provável que o conceito de números fracionários data de tempos pré -históricos . Os antigos egípcios usavam sua notação de fração egípcia para números racionais em textos matemáticos como o Papiro Matemático Rhind e o Papiro Kahun . Os matemáticos gregos e indianos clássicos fizeram estudos da teoria dos números racionais, como parte do estudo geral da teoria dos números . O mais conhecido deles é os Elementos de Euclides , datado de aproximadamente 300 aC. Dos textos indianos, o mais relevante é o Sthananga Sutra , que também abrange a teoria dos números como parte de um estudo geral da matemática.

O conceito de frações decimais está intimamente ligado à notação decimal; os dois parecem ter se desenvolvido em conjunto. Por exemplo, é comum que o sutra matemático jainista inclua cálculos de aproximações de frações decimais para pi ou a raiz quadrada de 2 . Da mesma forma, os textos matemáticos babilônicos usavam frações sexagesimais (base 60) com grande frequência.

Números irracionais

O primeiro uso conhecido de números irracionais foi nos Sulba Sutras indianos compostos entre 800 e 500 aC. As primeiras provas de existência de números irracionais são geralmente atribuídas a Pitágoras , mais especificamente ao pitagórico Hippasus de Metapontum , que produziu uma prova (provavelmente geométrica) da irracionalidade da raiz quadrada de 2 . A história diz que Hippasus descobriu os números irracionais ao tentar representar a raiz quadrada de 2 como uma fração. No entanto, Pitágoras acreditava no absolutismo dos números e não podia aceitar a existência de números irracionais. Ele não podia refutar sua existência pela lógica, mas não podia aceitar números irracionais, e assim, alegadamente e com frequência, condenou Hipasus à morte por afogamento, para impedir a divulgação dessa notícia desconcertante.

O século 16 trouxe a aceitação europeia final de números inteiros e fracionários negativos . No século XVII, os matemáticos geralmente usavam frações decimais com notação moderna. Não foi, no entanto, até o século 19 que os matemáticos separaram os irracionais em partes algébricas e transcendentais, e mais uma vez empreenderam o estudo científico dos irracionais. Permaneceu quase adormecido desde Euclides . Em 1872, ocorreu a publicação das teorias de Karl Weierstrass (por seu aluno E. Kossak), Eduard Heine , Georg Cantor e Richard Dedekind . Em 1869, Charles Méray havia tomado o mesmo ponto de partida de Heine, mas a teoria é geralmente referida ao ano de 1872. O método de Weierstrass foi completamente estabelecido por Salvatore Pincherle (1880), e o de Dedekind recebeu destaque adicional através do trabalho posterior do autor (1888) e endosso de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor e Heine baseiam suas teorias em séries infinitas, enquanto Dedekind funda a sua na ideia de um corte (Schnitt) no sistema dos números reais , separando todos os números racionais em dois grupos com certas propriedades características. O assunto recebeu contribuições posteriores das mãos de Weierstrass, Kronecker e Méray.

A busca por raízes de equações quínticas e de grau superior foi um desenvolvimento importante, o teorema de Abel-Ruffini ( Ruffini 1799, Abel 1824) mostrou que elas não poderiam ser resolvidas por radicais (fórmulas envolvendo apenas operações aritméticas e raízes). Por isso, foi necessário considerar o conjunto mais amplo de números algébricos (todas as soluções para equações polinomiais). Galois (1832) ligou as equações polinomiais à teoria dos grupos dando origem ao campo da teoria de Galois .

As frações contínuas , intimamente relacionadas aos números irracionais (e devido a Cataldi, 1613), receberam atenção nas mãos de Euler e, no início do século XIX, foram destacadas pelos escritos de Joseph Louis Lagrange . Outras contribuições notáveis foram feitas por Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) e Günther (1872). Ramus primeiro conectou o assunto com determinantes , resultando, com as contribuições subsequentes de Heine, Möbius e Günther, na teoria de Kettenbruchdeterminanten .

Números transcendentais e reais

A existência de números transcendentais foi estabelecida pela primeira vez por Liouville (1844, 1851). Hermite provou em 1873 que e é transcendental e Lindemann provou em 1882 que π é transcendental. Finalmente, Cantor mostrou que o conjunto de todos os números reais é infinito incontável , mas o conjunto de todos os números algébricos é infinito contável , então há um número infinito incontável de números transcendentais.

Infinito e infinitesimais

A mais antiga concepção conhecida do infinito matemático aparece no Yajur Veda , uma antiga escrita indiana, que em certo ponto afirma: "Se você remover uma parte do infinito ou adicionar uma parte ao infinito, ainda assim o que resta é o infinito". O infinito era um tópico popular de estudo filosófico entre os matemáticos jainistas c. 400 aC. Eles distinguiam entre cinco tipos de infinito: infinito em uma e duas direções, infinito em área, infinito em todos os lugares e infinito perpetuamente. O símbolo é frequentemente usado para representar uma quantidade infinita. ${\estilo de exibição {\texto{∞}}}$

Aristóteles definiu a noção ocidental tradicional de infinito matemático. Ele distinguiu entre infinito real e infinito potencial — o consenso geral sendo que apenas o último tinha valor verdadeiro. As Duas Novas Ciências de Galileu Galilei discutiam a ideia de correspondências biunívocas entre conjuntos infinitos. Mas o próximo grande avanço na teoria foi feito por Georg Cantor ; em 1895 ele publicou um livro sobre sua nova teoria dos conjuntos , introduzindo, entre outras coisas, números transfinitos e formulando a hipótese do continuum .

Na década de 1960, Abraham Robinson mostrou como números infinitamente grandes e infinitesimais podem ser rigorosamente definidos e usados para desenvolver o campo da análise não padronizada. O sistema de números hiper -reais representa um método rigoroso de tratamento das idéias sobre números infinitos e infinitesimais que foram usados casualmente por matemáticos, cientistas e engenheiros desde a invenção do cálculo infinitesimal por Newton e Leibniz .

Uma versão geométrica moderna do infinito é dada pela geometria projetiva , que introduz "pontos ideais no infinito", um para cada direção espacial. Cada família de linhas paralelas em uma determinada direção é postulada para convergir para o ponto ideal correspondente. Isso está intimamente relacionado à ideia de pontos de fuga no desenho em perspectiva .

Números complexos

A primeira referência fugaz a raízes quadradas de números negativos ocorreu no trabalho do matemático e inventor Heron de Alexandria no século I dC , quando ele considerou o volume de um tronco impossível de uma pirâmide . Eles se tornaram mais proeminentes quando no século 16 fórmulas fechadas para as raízes de polinômios de terceiro e quarto graus foram descobertas por matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia e Gerolamo Cardano . Logo se percebeu que essas fórmulas, mesmo que se estivesse interessado apenas em soluções reais, às vezes exigiam a manipulação de raízes quadradas de números negativos.

Isso foi duplamente perturbador, pois eles nem sequer consideravam que os números negativos estavam em terreno firme na época. Quando René Descartes cunhou o termo "imaginário" para essas quantidades em 1637, ele o considerou depreciativo. (Veja número imaginário para uma discussão sobre a "realidade" dos números complexos.) Outra fonte de confusão era que a equação

\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1

parecia caprichosamente inconsistente com a identidade algébrica

{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},

que é válido para números reais positivos a e b , e também foi usado em cálculos de números complexos com um de a , b positivo e o outro negativo. O uso incorreto desta identidade e a identidade relacionada

{\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

no caso em que ambos a e b são negativos mesmo atormentado Euler . Essa dificuldade acabou levando-o à convenção de usar o símbolo especial i no lugar de para se proteger desse erro. ${\sqrt {-1}}$

O século 18 viu o trabalho de Abraham de Moivre e Leonhard Euler . A fórmula de De Moivre (1730) afirma:

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta

enquanto a fórmula de análise complexa de Euler (1748) nos deu:

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.

A existência de números complexos não foi completamente aceita até que Caspar Wessel descreveu a interpretação geométrica em 1799. Carl Friedrich Gauss a redescobriu e popularizou vários anos depois e, como resultado, a teoria dos números complexos recebeu uma notável expansão. A idéia da representação gráfica de números complexos apareceu, entretanto, já em 1685, no De algebra tractatus de Wallis .

Também em 1799, Gauss forneceu a primeira prova geralmente aceita do teorema fundamental da álgebra , mostrando que todo polinômio sobre os números complexos tem um conjunto completo de soluções nesse domínio. A aceitação geral da teoria dos números complexos deve-se aos trabalhos de Augustin Louis Cauchy e Niels Henrik Abel , e especialmente deste último, que foi o primeiro a usar corajosamente os números complexos com um sucesso bem conhecido.

Gauss estudou os números complexos da forma a + bi , onde a e b são integrais ou racionais (e i é uma das duas raízes de x ² + 1 = 0 ). Seu aluno, Gotthold Eisenstein , estudou o tipo a + bω , onde ω é uma raiz complexa de x ³ − 1 = 0. Outras dessas classes (chamadas de campos ciclotômicos ) de números complexos derivam das raízes da unidade x ^k − 1 = 0 para valores mais altos de k . Essa generalização se deve em grande parte a Ernst Kummer , que também inventou os números ideais , que foram expressos como entidades geométricas por Felix Klein em 1893.

Em 1850 Victor Alexandre Puiseux deu o passo fundamental de distinguir entre pólos e pontos de ramificação, e introduziu o conceito de pontos singulares essenciais . Isso eventualmente levou ao conceito do plano complexo estendido .

números primos

Os números primos foram estudados ao longo da história registrada. Euclides dedicou um livro dos Elementos à teoria dos primos; nele ele provou a infinitude dos primos e o teorema fundamental da aritmética , e apresentou o algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de dois números.

Em 240 aC, Eratóstenes usou a peneira de Eratóstenes para isolar rapidamente os números primos. Mas a maior parte do desenvolvimento da teoria dos primos na Europa data do Renascimento e de eras posteriores.

Em 1796, Adrien-Marie Legendre conjecturou o teorema dos números primos, descrevendo a distribuição assintótica dos primos. Outros resultados relativos à distribuição dos primos incluem a prova de Euler de que a soma dos recíprocos dos primos diverge, e a conjectura de Goldbach , que afirma que qualquer número par suficientemente grande é a soma de dois primos. Ainda outra conjectura relacionada à distribuição dos números primos é a hipótese de Riemann , formulada por Bernhard Riemann em 1859. O teorema dos números primos foi finalmente provado por Jacques Hadamard e Charles de la Vallée-Poussin em 1896. As conjecturas de Goldbach e Riemann permanecem não provadas e não refutadas .

Classificação principal

Sistemas numéricos

Complexo

:\;\mathbb {C}

Real

:\;\mathbb {R}

Racional

:\;\mathbb {Q}

inteiro

:\;\mathbb {Z}

Natural

:\;\mathbb {N}

Zero : 0

Um : 1

Decimal finito
Diádico (binário finito)
Decimal repetitivo

Os números podem ser classificados em conjuntos , chamados sistemas numéricos , como os números naturais e os números reais . As principais categorias de números são as seguintes:

Principais sistemas numéricos
$\mathbb {N}$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... ou 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ ou às vezes são usados. $\mathbb {N} _{1}$
${\ displaystyle \ mathbb {Z} }$	inteiro	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\ estilo de exibição \ mathbb {Q} }$	Racional	uma/bonde a e b são inteiros e b não é 0
${\ displaystyle \ mathbb {R} }$	Real	O limite de uma sequência convergente de números racionais
${\ displaystyle \ mathbb {C} }$	Complexo	a + bi onde a e b são números reais e i é uma raiz quadrada formal de -1

Geralmente não há problema em identificar cada sistema numérico com um subconjunto próprio do próximo (por abuso de notação ), porque cada um desses sistemas numéricos é canonicamente isomórfico a um subconjunto próprio do próximo. A hierarquia resultante permite, por exemplo, falar, formalmente corretamente, sobre números reais que são números racionais, e se expressa simbolicamente pela escrita

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}

.

Números naturais

Os números naturais, começando com 1

Os números mais familiares são os números naturais (às vezes chamados de números inteiros ou números contáveis): 1, 2, 3 e assim por diante. Tradicionalmente, a sequência de números naturais começava com 1 (0 nem era considerado um número para os gregos antigos ). No entanto, no século 19, os teóricos dos conjuntos e outros matemáticos começaram a incluir 0 ( cardinalidade do conjunto vazio , ou seja, 0 elementos, onde 0 é, portanto, o menor número cardinal ) no conjunto dos números naturais. Hoje, diferentes matemáticos usam o termo para descrever ambos os conjuntos, incluindo 0 ou não. O símbolo matemático para o conjunto de todos os números naturais é N , também escrito , e às vezes ou quando é necessário indicar se o conjunto deve começar com 0 ou 1, respectivamente. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} _{0}$ $\mathbb {N} _{1}$

No sistema de numeração de base 10 , em uso quase universal hoje para operações matemáticas, os símbolos para números naturais são escritos usando dez dígitos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A raiz ou base é o número de dígitos numéricos exclusivos, incluindo zero, que um sistema numérico usa para representar números (para o sistema decimal, a base é 10). Neste sistema de base 10, o dígito mais à direita de um número natural tem um valor posicional de 1, e todos os outros dígitos têm um valor posicional dez vezes maior do que o valor posicional do dígito à sua direita.

Na teoria dos conjuntos , que é capaz de atuar como fundamento axiomático da matemática moderna, os números naturais podem ser representados por classes de conjuntos equivalentes. Por exemplo, o número 3 pode ser representado como a classe de todos os conjuntos que possuem exatamente três elementos. Alternativamente, na Aritmética de Peano , o número 3 é representado como sss0, onde s é a função "sucessora" (ou seja, 3 é o terceiro sucessor de 0). Muitas representações diferentes são possíveis; tudo o que é necessário para representar formalmente 3 é inscrever um certo símbolo ou padrão de símbolos três vezes.

Inteiros

O negativo de um inteiro positivo é definido como um número que produz 0 quando é adicionado ao inteiro positivo correspondente. Os números negativos são geralmente escritos com um sinal negativo (um sinal de menos ). Como exemplo, o negativo de 7 é escrito −7 e 7 + (−7) = 0 . Quando o conjunto de números negativos é combinado com o conjunto de números naturais (incluindo 0), o resultado é definido como o conjunto de inteiros , Z também escrito . Aqui a letra Z vem do alemão Zahl 'número'. O conjunto dos inteiros forma um anel com as operações de adição e multiplicação. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} }$

Os números naturais formam um subconjunto dos inteiros. Como não existe um padrão comum para a inclusão ou não de zero nos números naturais, os números naturais sem zero são comumente chamados de inteiros positivos , e os números naturais com zero são chamados de inteiros não negativos .