Sistema numérico - Numeral system

Números escritos em diferentes sistemas numéricos.

Um sistema numérico (ou sistema de numeração ) é um sistema de escrita para expressar números; ou seja, uma notação matemática para representar os números de um determinado conjunto, usando dígitos ou outros símbolos de maneira consistente.

A mesma sequência de símbolos pode representar números diferentes em sistemas numéricos diferentes. Por exemplo, "11" representa o número onze no sistema numeral decimal (usado na vida comum), o número três no sistema numérico binário (usado em computadores ) e o número dois no sistema numeral unário (por exemplo, usado na contagem pontuações).

O número que o numeral representa é chamado de valor. Nem todos os sistemas numéricos podem representar todos os números considerados nos dias modernos; por exemplo, os algarismos romanos não têm zero.

Idealmente, um sistema numérico irá:

Representam um conjunto útil de números (por exemplo, todos os inteiros ou números racionais )
Dê a cada número representado uma representação única (ou pelo menos uma representação padrão)
Reflita a estrutura algébrica e aritmética dos números.

Por exemplo, a representação decimal usual dá a cada número natural diferente de zero uma representação única como uma sequência finita de dígitos , começando com um dígito diferente de zero.

Os sistemas numéricos às vezes são chamados de sistemas numéricos , mas esse nome é ambíguo, pois pode se referir a diferentes sistemas de números, como o sistema de números reais , o sistema de números complexos , o sistema de números p -ádicos , etc. Tais sistemas entretanto, não são o tópico deste artigo.

Principais sistemas de numeração

O sistema de numeração mais comumente usado é o decimal . Os matemáticos indianos são responsáveis pelo desenvolvimento da versão inteira, o sistema numeral hindu-arábico . Aryabhata de Kusumapura desenvolveu a notação de valor local no século 5 e um século depois Brahmagupta introduziu o símbolo do zero . O sistema se espalhou lentamente para outras regiões vizinhas, como a Arábia, devido às suas atividades comerciais e militares com a Índia. Os matemáticos do Oriente Médio estenderam o sistema para incluir potências negativas de 10 ( frações ), conforme registrado em um tratado do matemático sírio Abu'l-Hasan al-Uqlidisi em 952-953, e a notação do ponto decimal foi introduzida por Sind ibn Ali , que também escreveu o primeiro tratado em algarismos arábicos. O sistema de numeração hindu-arábica então se espalhou pela Europa devido ao comércio de mercadores, e os dígitos usados na Europa são chamados de numerais arábicos , como eles os aprenderam com os árabes.

O sistema de numeração mais simples é o sistema de numeração unário , em que cada número natural é representado por um número correspondente de símbolos. Se o símbolo / for escolhido, por exemplo, o número sete seria representado por /////// . As marcas de contagem representam um sistema ainda em uso comum. O sistema unário só é útil para pequenos números, embora desempenhe um papel importante na ciência da computação teórica . A codificação Elias gama , que é comumente usada na compressão de dados , expressa números de tamanho arbitrário usando unário para indicar o comprimento de um numeral binário.

A notação unária pode ser abreviada pela introdução de diferentes símbolos para certos novos valores. Muito comumente, esses valores são potências de 10; então, por exemplo, se / representa um, - para dez e + para 100, então o número 304 pode ser representado compactamente como +++ //// e o número 123 como + - - /// sem qualquer necessidade de zero . Isso é chamado de notação de valor de sinal . O antigo sistema de numeração egípcio era desse tipo, e o sistema de numeração romano era uma modificação dessa ideia.

Mais úteis ainda são os sistemas que empregam abreviaturas especiais para repetições de símbolos; por exemplo, usando as primeiras nove letras do alfabeto para essas abreviações, com A significando "uma ocorrência", B "duas ocorrências" e assim por diante, pode-se escrever C + D / para o número 304. Este sistema é usado ao escrever numerais chineses e outros numerais do Leste Asiático baseados no chinês. O sistema de numeração da língua inglesa é deste tipo ("trezentos [e] quatro"), assim como os de outras línguas faladas , independentemente dos sistemas de escrita que tenham adotado. No entanto, muitas línguas usam misturas de bases e outros recursos, por exemplo, 79 em francês é soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) e em galês é pedwar ar bymtheg um thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) ou (um tanto arcaico) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 - 1 ). Em inglês, pode-se dizer "quatro pontos menos um", como no famoso Discurso de Gettysburg que representa "87 anos atrás" como "quatro pontos e sete anos atrás".

Mais elegante é um sistema posicional , também conhecido como notação de valor posicional. Trabalhando novamente na base 10, dez dígitos diferentes 0, ..., 9 são usados e a posição de um dígito é usada para significar a potência de dez pela qual o dígito deve ser multiplicado, como em 304 = 3 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1 ou mais precisamente 3 × 10 ² + 0 × 10 ¹ + 4 × 10 ⁰ . Zero, que não é necessário nos outros sistemas, é de crucial importância aqui, para poder "pular" uma potência. O sistema numeral hindu-arábico, que se originou na Índia e agora é usado em todo o mundo, é um sistema de base posicional 10.

A aritmética é muito mais fácil em sistemas posicionais do que nos sistemas aditivos anteriores; além disso, os sistemas aditivos precisam de um grande número de símbolos diferentes para as diferentes potências de 10; um sistema posicional precisa de apenas dez símbolos diferentes (assumindo que use a base 10).

O sistema decimal posicional é atualmente usado universalmente na escrita humana. A base 1000 também é usada (embora não universalmente), agrupando os dígitos e considerando uma sequência de três dígitos decimais como um único dígito. Este é o significado da notação comum 1.000.234.567 usada para números muito grandes.

Nos computadores , os principais sistemas numéricos são baseados no sistema posicional na base 2 ( sistema numérico binário ), com dois dígitos binários , 0 e 1. Sistemas posicionais obtidos pelo agrupamento de dígitos binários por três ( sistema numeral octal ) ou quatro ( numeral hexadecimal sistema ) são comumente usados. Para números inteiros muito grandes, as bases 2 ³² ou 2 ⁶⁴ (agrupando dígitos binários por 32 ou 64, o comprimento da palavra de máquina ) são usadas, como, por exemplo, em GMP .

Em certos sistemas biológicos, o sistema de codificação unário é empregado. Números unários usados nos circuitos neurais responsáveis pela produção do canto dos pássaros . O núcleo do cérebro dos pássaros canoros que desempenha um papel no aprendizado e na produção do canto dos pássaros é o HVC ( centro vocal alto ). Os sinais de comando para diferentes notas no canto dos pássaros emanam de diferentes pontos no HVC. Esta codificação funciona como codificação espacial, que é uma estratégia eficiente para circuitos biológicos devido à sua simplicidade e robustez inerentes.

Os numerais usados ao escrever números com dígitos ou símbolos podem ser divididos em dois tipos que podem ser chamados de numerais aritméticos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e os numerais geométricos (1 , 10, 100, 1000, 10000 ...), respectivamente. Os sistemas de valor de sinal usam apenas os numerais geométricos e os sistemas posicionais usam apenas os numerais aritméticos. Um sistema de valor de sinal não precisa de numerais aritméticos porque eles são feitos por repetição (exceto para o sistema Iônico ), e um sistema posicional não precisa de numerais geométricos porque eles são feitos por posição. No entanto, a língua falada usa ambos os numerais aritméticas e geométricas.

Em certas áreas da ciência da computação, um sistema posicional de base k modificado é usado, chamado numeração bijetiva , com os dígitos 1, 2, ..., k ( k ≥ 1 ) e zero sendo representados por uma string vazia. Isso estabelece uma bijeção entre o conjunto de todas essas cadeias de dígitos e o conjunto de inteiros não negativos, evitando a não unicidade causada pelos zeros à esquerda. A numeração bijetiva de base k também é chamada de notação k -adica, não deve ser confundida com números p -adic . A base 1 do bijetivo é igual a unária.

Sistemas posicionais em detalhes

Em um sistema numeral de base posicional b (com b um número natural maior que 1 conhecido como a raiz ), b símbolos básicos (ou dígitos) correspondentes aos primeiros b números naturais incluindo zero são usados. Para gerar o resto dos numerais, a posição do símbolo na figura é usada. O símbolo na última posição tem seu próprio valor e, conforme se move para a esquerda, seu valor é multiplicado por b .

Por exemplo, no sistema decimal (base 10), o numeral 4327 significa $(4 \times 10 3) + (3 \times 10 2) + (2 \times 10 1) + (7 \times 10 0)$ , observando que $100 = 1$ .

Em geral, se b é a base, escreve-se um número no sistema numérico da base b expressando-o na forma $a n b n + a n - 1 b n - 1 + a n - 2 b n - 2 +. .. + a 0 b 0$ e escrevendo os dígitos enumerados $a n a n - 1 a n - 2 ... a 0$ em ordem decrescente. Os dígitos são números naturais entre 0 e $b - 1$ , inclusive.

Se um texto (como este) discute bases múltiplas, e se existe ambigüidade, a base (ela própria representada na base 10) é adicionada em subscrito à direita do número, assim: _base numérica . A menos que especificado pelo contexto, os números sem subscrito são considerados decimais.

Usando um ponto para dividir os dígitos em dois grupos, também se pode escrever frações no sistema posicional. Por exemplo, o numeral de base 2 10,11 denota $1 \times 2 1 + 0 \times 2 0 + 1 \times 2 -1 + 1 \times 2 -2 = 2,75$ .

Em geral, os números no sistema de base b têm a forma:

{\ displaystyle (a_ {n} a_ {n-1} \ cdots a_ {1} a_ {0} .c_ {1} c_ {2} c_ {3} \ cdots) _ {b} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b ^ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} b ^ {- k}.}

Os números b ^k e b ^{- k} são os pesos dos dígitos correspondentes. A posição k é o logaritmo do peso correspondente w , ou seja . A posição mais alta usada está próxima da ordem de magnitude do número. ${\ displaystyle k = \ log _ {b} w = \ log _ {b} b ^ {k}}$

O número de marcas de contagem exigidas no sistema de numeração unário para descrever o peso teria sido w . No sistema posicional, o número de dígitos necessários para descrevê-lo é apenas , para k ≥ 0. Por exemplo, para descrever o peso 1000, são necessários quatro dígitos porque . O número de dígitos necessários para descrever a posição é (nas posições 1, 10, 100, ... apenas para simplificar no exemplo decimal). ${\ displaystyle k + 1 = \ log _ {b} w + 1}$ ${\ displaystyle \ log _ {10} 1000 + 1 = 3 + 1}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} k + 1 = \ log _ {b} \ log _ {b} w + 1}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {l | rrrrrrr} {\ text {Position}} & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & \ cdots \\\ hline {\ text {Weight}} & b ^ {3} & b ^ {2} & b ^ {1} & b ^ {0} & b ^ {- 1} & b ^ {- 2} & \ cdots \\ {\ text {Digit}} & a_ {3} & a_ {2} & a_ {1} & a_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ cdots \\\ hline {\ text {Peso decimal do exemplo}} & 1000 & 100 & 10 & 1 & 0,1 & 0,01 & \ cdots \\ {\ text {Dígito decimal do exemplo}} & 4 & 3 & 2 & 7 & 0 & 0 & \ cdots \ end {array}} }

Um número tem uma expansão final ou repetida se e somente se for racional ; isso não depende da base. Um número que termina em uma base pode se repetir em outra (portanto, $0,3 10 = 0,0100110011001 ... 2$ ). Um número irracional permanece aperiódico (com um número infinito de dígitos não repetidos) em todas as bases integrais. Assim, por exemplo, na base 2, $π = 3,1415926 ... 10$ pode ser escrito como o aperiódico 11,001001000011111 ... ₂ .

Colocar overscores , n , ou pontos, ṅ , acima dos dígitos comuns é uma convenção usada para representar expansões racionais repetidas. Assim:

14/11 = 1,272727272727 ... = 1. 27 ou 321,3217878787878 ... = 321,321 78 .

Se b = p é um número primo , pode-se definir numerais de base p cuja expansão para a esquerda nunca pára; estes são chamados de números p -adic .

Inteiros generalizados de comprimento variável

Mais geral é usar uma notação de raiz mista (aqui escrita little-endian ) como for , etc. ${\ displaystyle a_ {0} a_ {1} a_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {1} b_ {2}}$

Isso é usado em punycode , um aspecto do qual é a representação de uma sequência de inteiros não negativos de tamanho arbitrário na forma de uma sequência sem delimitadores, de "dígitos" de uma coleção de 36: a – z e 0–9 , representando 0–25 e 26–35 respectivamente. Um dígito abaixo de um valor limite marca que é o dígito mais significativo, portanto, o fim do número. O valor limite depende da posição no número. Por exemplo, se o valor limite para o primeiro dígito for b (ou seja, 1), então a (ou seja, 0) marca o final do número (ele tem apenas um dígito), portanto, em números com mais de um dígito, o intervalo é apenas b –9 (1–35), portanto, o peso b ₁ é 35 em vez de 36. Suponha que os valores limite para o segundo e terceiro dígitos sejam c (2), então o terceiro dígito tem um peso 35 b ₂ , determinado a partir de

${\ displaystyle (99b) _ {pc} + 1 = 35 + 35b_ {1} + b_ {1} b_ {2} + 1 = (bcca) _ {pc} = 1 + 2b_ {1} + 2b_ {1} b_ {2} \ portanto b_ {2} = 1 + 35-2 = 34, \ b_ {1} b_ {2} = 1190 {\ text {,}}}$

com o subscrito pc referindo-se ao código descrito, e temos a seguinte sequência:

a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), bca (71), .., 99a (1260), bcb (1261), .., 99b (2450).

Ao contrário de um sistema numérico de base regular, existem números como 9b, onde 9 e b representam cada um 35; ainda assim, a representação é única porque ac e aca não são permitidos - o primeiro a terminaria o número.

De maneira mais geral, se t _n for o limite para o n- ésimo dígito, é fácil mostrar isso . ${\ displaystyle b_ {n + 1} = 36-t_ {n}}$

A flexibilidade na escolha dos valores limite permite a otimização dependendo da frequência de ocorrência de números de vários tamanhos.

O caso com todos os valores de limiar iguais a 1 corresponde à numeração bijetiva , onde os zeros correspondem a separadores de números com dígitos diferentes de zero.

Veja também

0,999 ... - cada decimal de terminação diferente de zero tem duas representações iguais

Referências

^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). Os numerais hindu-arábicos . Ginn and Company.
^ Chowdhury, Arnab. Projeto de um multiplicador eficiente usando DBNS . GIAP Journals. ISBN 978-93-83006-18-2.
^ Fiete, IR; Seung, HS (2007). "Modelos de redes neurais de produção, aprendizagem e codificação do canto dos pássaros". In Squire, L .; Albright, T .; Bloom, F .; Gage, F .; Spitzer, N. New Encyclopedia of Neuroscience.

Fontes

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer , Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3 .
D. Knuth . The Art of Computer Programming . Volume 2, 3ª Ed. Addison – Wesley . pp. 194–213, "Positional Number Systems".
AL Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Boletim 78 do Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
JP Mallory e DQ Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture , Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund (1993). Escrituração contábil arcaica: primeiros escritos e técnicas de administração econômica no antigo Oriente Próximo . University Of Chicago Press . ISBN 978-0-226-58659-5.
Schmandt-Besserat, Denise (1996). Como surgiu a escrita . University of Texas Press . ISBN 978-0-292-77704-0.
Zaslavsky, Claudia (1999). A África conta: número e padrão nas culturas africanas . Chicago Review Press. ISBN 978-1-55652-350-2.

links externos

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[1] David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). Os numerais hindu-arábicos . Ginn and Company.

[2] Chowdhury, Arnab. Projeto de um multiplicador eficiente usando DBNS . GIAP Journals. ISBN 978-93-83006-18-2.

[3] Fiete, IR; Seung, HS (2007). "Modelos de redes neurais de produção, aprendizagem e codificação do canto dos pássaros". In Squire, L .; Albright, T .; Bloom, F .; Gage, F .; Spitzer, N. New Encyclopedia of Neuroscience.

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