0,999 ... - 0.999...

Em matemática , 0,999 ... (também escrito como 0. 9 , em repetir notação decimal ) indica o decimal de repetição que consiste de uma sequência sem fim de 9s após o ponto decimal . Este decimal repetido representa o menor número não inferior a todos os números decimais na sequência (0,9, 0,99, 0,999, ...). Este número é igual a 1. Em outras palavras, "0,999 ..." e "1" representam o mesmo número. Existem muitas maneiras de mostrar essa igualdade, de argumentos intuitivos a provas matematicamente rigorosas . A técnica usada depende do público-alvo, suposições de fundo, contexto histórico e desenvolvimento preferido dos números reais , o sistema dentro do qual 0,999 ... é comumente definido. (Em outros sistemas, 0,999 ... pode ter o mesmo significado, uma definição diferente ou ser indefinido.)

De modo mais geral, cada decimal de terminação diferente de zero tem duas representações iguais (por exemplo, 8,32 e 8,31999 ...), que é uma propriedade de todas as representações do sistema numeral posicional, independentemente da base . A preferência utilitarista pela representação decimal final contribui para o equívoco de que é a única representação. Por essa e outras razões - como provas rigorosas que contam com técnicas, propriedades ou disciplinas não elementares - algumas pessoas podem achar a igualdade suficientemente contra-intuitiva que a questionem ou rejeitem. Este tem sido o tema de vários estudos em educação matemática .

Prova elementar

Existe uma prova elementar da equação 0,999 ... = 1 , que usa apenas as ferramentas matemáticas de comparação e adição de números decimais (finitos) , sem qualquer referência a tópicos mais avançados como séries , limites , construção formal de números reais , etc. A prova, um exercício dado por Stillwell (1994 , p. 42), é uma formalização direta do fato intuitivo de que, se alguém desenhar 0,9, 0,99, 0,999, etc. na reta numérica, não há espaço para colocando um número entre eles e 1. O significado da notação 0,999 ... é o menor ponto na reta numérica à direita de todos os números 0,9, 0,99, 0,999, etc. Porque, em última análise, não há espaço entre 1 e esses números, o ponto 1 deve ser este ponto mínimo, e assim 0,999 ... = 1 .

Explicação intuitiva

Se colocarmos 0,9, 0,99, 0,999, etc. na reta numérica , verá imediatamente que todos esses pontos estão à esquerda de 1 e que se aproximam cada vez mais de 1.

Mais precisamente, a distância de 0,9 a 1 é 0,1 = 1/10 , a distância de 0,99 a 1 é 0,01 = 1/10 ² e assim por diante. A distância para 1 a partir do n th ponto (a uma com n 9s após o ponto decimal) é 10/01 ⁿ .

Portanto, se 1 não fosse o menor número maior que 0,9, 0,99, 0,999, etc., haveria um ponto na reta numérica que fica entre 1 e todos esses pontos. Este ponto estaria a uma distância positiva de 1 que é menor que 1/10 ⁿ para cada inteiro n . Nos sistemas numéricos padrão (os números racionais e os números reais ), não há número positivo menor que 1/10 ⁿ para todos os n . Esta é (uma versão da) propriedade arquimediana , que pode ser comprovada no sistema de números racionais. Portanto, 1 é o menor número que é maior do que tudo 0.9, 0.99, 0.999, etc., e assim por 1 = 0.999 ... .

Discussão sobre integridade

Parte do que esse argumento mostra é que há um limite superior mínimo da sequência 0,9, 0,99, 0,999, etc .: um menor número que é maior do que todos os termos da sequência. Um dos axiomas do sistema de número real é o axioma da completude , que afirma que toda sequência limitada tem um limite superior mínimo. Esse limite superior mínimo é uma maneira de definir expansões decimais infinitas: o número real representado por um decimal infinito é o limite superior mínimo de seus truncamentos finitos. O argumento aqui não precisa presumir que a completude seja válida, porque mostra que essa sequência particular de números racionais de fato tem um limite superior mínimo e que esse limite superior mínimo é igual a um.

Prova rigorosa

A explicação anterior não é uma prova, pois não se pode definir adequadamente a relação entre um número e sua representação como um ponto na reta numérica. Para a precisão da prova, o número 0,999 ... 9 , com n noves após a vírgula decimal, é denotado como 0. (9) _n . Assim, 0. (9) ₁ = 0.9 , 0. (9) ₂ = 0.99 , 0. (9) ₃ = 0.999 , e assim por diante. Como 1/10 ⁿ = 0,0 ... 01 , com n dígitos após a vírgula, a regra de adição para números decimais implica

e

para cada número inteiro positivo n .

É preciso mostrar que 1 é o menor número que não seja menor que todos os 0. (9) _n . Para isso, basta provar que, se um número x não for maior que 1 e nem menor que 0. (9) _n , então x = 1 . Então deixe x tal que

para cada número inteiro positivo n . Portanto,

que, usando aritmética básica e a primeira igualdade estabelecida acima, simplifica para

Isto implica que a diferença entre uma e x é menos do que o inverso de qualquer número inteiro positivo. Portanto, essa diferença deve ser zero e, portanto, x = 1 ; isso é

Essa prova se baseia no fato de que zero é o único número não negativo que é menor que todos os inversos de inteiros ou, de maneira equivalente, que não há nenhum número maior do que todos os inteiros. Esta é a propriedade arquimediana , que é verificada para números racionais e números reais . Os números reais podem ser aumentados em sistemas numéricos , como números hiperreais , com números infinitamente pequenos ( infinitesimais ) e números infinitamente grandes ( números infinitos ). Ao usar esses sistemas, a notação 0,999 ... geralmente não é usada, pois não há menor número que não seja menor que todos os 0. (9) _n . (Isso está implícito pelo fato de que 0. (9) _n ≤ x <1 implica 0. (9) _{n –1} ≤ 2 x - 1 < x <1 ).

Argumentos algébricos

A questão das ilustrações excessivamente simplificadas da igualdade é um assunto de discussão pedagógica e crítica. Byers (2007 , p. 39) discute o argumento de que, no ensino fundamental, se ensina que 1 ⁄ 3 = 0,333 ... , então, ignorando todas as sutilezas essenciais, "multiplicar" essa identidade por 3 resulta 1 = 0,999. . . Ele ainda diz que esse argumento não é convincente, por causa de uma ambigüidade não resolvida sobre o significado do sinal de igual ; um aluno pode pensar: "Certamente não significa que o número 1 seja idêntico ao que significa a notação 0,999 ... ". A maioria dos alunos de graduação em matemática encontrados por Byers sentem que, embora 0,999 ... seja "muito próximo" de 1 com base neste argumento, com alguns até mesmo dizendo que é "infinitamente próximo", eles não estão prontos para dizer que é igual a 1. Richman (1999) discute como "esse argumento adquire força do fato de que a maioria das pessoas foi doutrinada a aceitar a primeira equação sem pensar", mas também sugere que o argumento pode levar os céticos a questionar essa suposição.

Byers também apresenta o seguinte argumento. Deixar

Os alunos que não aceitaram o primeiro argumento às vezes aceitam o segundo argumento, mas, na opinião de Byers, ainda não resolveram a ambigüidade e, portanto, não entendem a representação para decimais infinitos. Peressini & Peressini (2007) , apresentando o mesmo argumento, também afirmam que não explica a igualdade, indicando que tal explicação provavelmente envolveria conceitos de infinito e completude . Baldwin e Norton (2012) , citando Katz e Katz (2010a) , também concluem que o tratamento da identidade com base em argumentos como esses, sem o conceito formal de limite, é prematuro.

O mesmo argumento também é dado por Richman (1999) , que observa que os céticos podem questionar se x é cancelável  - isto é, se faz sentido subtrair x de ambos os lados.

Provas analíticas

Visto que a questão de 0,999 ... não afeta o desenvolvimento formal da matemática, ela pode ser adiada até que se prove os teoremas padrão da análise real . Um requisito é caracterizar números reais que podem ser escritos em notação decimal, consistindo em um sinal opcional, uma sequência finita de um ou mais dígitos formando uma parte inteira, um separador decimal e uma sequência de dígitos formando uma parte fracionária. Para o propósito de discutir 0,999 ..., a parte inteira pode ser resumida como b ₀ e pode-se ignorar os negativos, então uma expansão decimal tem a forma

A parte fracionária, ao contrário da parte inteira, não se limita a um número finito de dígitos. Esta é uma notação posicional , então, por exemplo, o dígito 5 em 500 contribui com dez vezes mais que o 5 em 50 e o 5 em 0,05 contribui com um décimo tanto quanto o 5 em 0,5.

Séries e sequências infinitas

Um desenvolvimento comum das expansões decimais é defini-las como somas de séries infinitas . Em geral:

Para 0,999 ... pode-se aplicar o teorema de convergência relativo às séries geométricas :

Uma vez que 0,999 ... é essa soma com a = 9 e razão comum r = 1 ⁄ 10 , o teorema simplifica a questão:

Esta prova surge tão cedo quanto 1770 em Leonhard Euler 's Elementos de Álgebra .

A soma de uma série geométrica é em si um resultado ainda mais antigo que Euler. Uma derivação típica do século 18 usava uma manipulação termo a termo semelhante à prova algébrica dada acima, e até 1811, o livro de Bonnycastle, An Introduction to Algebra, usa tal argumento para séries geométricas para justificar a mesma manobra em 0,999. Uma reação do século 19 contra esses métodos de soma liberal resultou na definição que ainda domina hoje: a soma de uma série é definida como o limite da seqüência de suas somas parciais. Uma prova correspondente do teorema computa explicitamente essa sequência; pode ser encontrado em qualquer introdução ao cálculo ou análise baseada em provas.

Uma sequência ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) tem um limite x se a distância | x  -  x _n | torna-se arbitrariamente pequeno à medida que n aumenta. A afirmação de que 0,999 ... = 1 pode ser interpretada e comprovada como um limite:

As duas primeiras igualdades podem ser interpretadas como definições abreviadas de símbolo. As restantes igualdades podem ser comprovadas. O último passo, que 1 ⁄ 10 ⁿ → 0 como n → ∞, é freqüentemente justificado pela propriedade arquimediana dos números reais. Essa atitude baseada em limites em relação a 0,999 ... é freqüentemente colocada em termos mais evocativos, mas menos precisos. Por exemplo, o livro de 1846 The University Arithmetic explica, ".999 +, continuou até infinito = 1, porque cada anexação de um 9 traz o valor mais próximo de 1"; a Aritmética para Escolas de 1895 diz, "quando um grande número de 9s é tomado, a diferença entre 1 e 0,99999 ... torna-se inconcebivelmente pequena". Essas heurísticas são frequentemente interpretadas incorretamente pelos alunos, implicando que 0,999 ... em si é menor que 1.

Intervalos aninhados e limites superiores mínimos

A definição de série acima é uma maneira simples de definir o número real nomeado por uma expansão decimal. Uma abordagem complementar é adaptada ao processo oposto: para um determinado número real, defina a (s) expansão (ões) decimal (is) para nomeá-lo.

Se um número real x é conhecido por estar no intervalo fechado [0, 10] (ou seja, é maior ou igual a 0 e menor ou igual a 10), pode-se imaginar dividir esse intervalo em dez peças que se sobrepõem apenas em seus pontos finais: [0, 1], [1, 2], [2, 3] e assim por diante até [9, 10]. O número x deve pertencer a um deles; se pertencer a [2, 3], registra-se o dígito "2" e subdivide esse intervalo em [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Continuar este processo produz uma sequência infinita de intervalos aninhados , rotulados por uma sequência infinita de dígitos b ₀ , b ₁ , b ₂ , b ₃ , ..., e um escreve

Neste formalismo, as identidades 1 = 0,999 ... e 1 = 1,000 ... refletem, respectivamente, o fato de que 1 está em [0, 1] e [1, 2], portanto, pode-se escolher qualquer um dos subintervalos ao encontrar seus dígitos. Para garantir que essa notação não abuse do sinal "=", é necessário reconstruir um número real único para cada decimal. Isso pode ser feito com limites, mas outras construções continuam com o tema de pedido.

Uma escolha direta é o teorema dos intervalos aninhados , que garante que, dada uma sequência de intervalos aninhados e fechados, cujos comprimentos se tornam arbitrariamente pequenos, os intervalos contêm exatamente um número real em sua interseção . Então, b ₀ . b ₁ b ₂ b ₃ ... é definido como o número único contido em todos os intervalos [ b ₀ , b ₀ + 1], [ b ₀ . b ₁ , b ₀ . b ₁ + 0,1] e assim por diante. 0,999 ... é então o número real único que se encontra em todos os intervalos [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1] e [0,99 ... 9, 1] para cada string finita de 9s. Como 1 é um elemento de cada um desses intervalos, 0,999 ... = 1.

O Teorema de Intervalos Aninhados é geralmente baseado em uma característica mais fundamental dos números reais: a existência de limites superiores mínimos ou suprema . Para explorar diretamente esses objetos, pode-se definir b ₀ . b ₁ b ₂ b ₃ ... para ser o menor limite superior do conjunto de aproximações { b ₀ , b ₀ . b ₁ , b ₀ . b ₁ b ₂ , ...}. Pode-se então mostrar que esta definição (ou a definição dos intervalos aninhados) é consistente com o procedimento de subdivisão, implicando 0,999 ... = 1 novamente. Tom Apostol conclui,

O fato de que um número real pode ter duas representações decimais diferentes é meramente um reflexo do fato de que dois conjuntos diferentes de números reais podem ter o mesmo supremo.

Provas da construção dos números reais

Algumas abordagens definem explicitamente os números reais como certas estruturas construídas sobre os números racionais , usando a teoria dos conjuntos axiomática . Os números naturais  - 0, 1, 2, 3 e assim por diante - começam com 0 e continuam para cima, de forma que cada número tenha um sucessor. Pode-se estender os números naturais com seus negativos para fornecer todos os inteiros , e estender ainda mais para as proporções, fornecendo os números racionais . Esses sistemas numéricos são acompanhados pela aritmética de adição, subtração, multiplicação e divisão. Mais sutilmente, eles incluem ordenação , de forma que um número possa ser comparado a outro e considerado menor, maior ou igual a outro número.

O passo dos racionais para os reais é uma grande extensão. Existem pelo menos duas maneiras populares de realizar essa etapa, ambas publicadas em 1872: cortes de Dedekind e sequências de Cauchy . Provas de que 0,999 ... = 1 que utilizam diretamente essas construções não são encontradas em livros didáticos de análise real, onde a tendência moderna nas últimas décadas tem sido a utilização de uma análise axiomática. Mesmo quando uma construção é oferecida, ela geralmente é aplicada para provar os axiomas dos números reais, que então apóiam as provas acima. No entanto, vários autores expressam a ideia de que começar com uma construção é mais logicamente apropriado, e as provas resultantes são mais autocontidas.

Dedekind corta

Na abordagem de corte de Dedekind , cada número real x é definido como o conjunto infinito de todos os números racionais menores que x . Em particular, o número real 1 é o conjunto de todos os números racionais menores que 1. Cada expansão decimal positiva determina facilmente um corte de Dedekind: o conjunto de números racionais que são menores do que algum estágio da expansão. Portanto, o número real 0,999 ... é o conjunto de números racionais r tais que r <0, ou r <0,9, ou r <0,99, ou r é menor que algum outro número da forma

Cada elemento de 0,999 ... é menor que 1, então é um elemento do número real 1. Por outro lado, todos os elementos de 1 são números racionais que podem ser escritos como

com b > 0 e b > a . Isso implica

e assim

e desde

pela definição acima, cada elemento de 1 também é um elemento de 0,999 ..., e, combinado com a prova acima de que cada elemento de 0,999 ... é também um elemento de 1, os conjuntos 0,999 ... e 1 contêm os mesmos números racionais e, portanto, o mesmo conjunto, ou seja, 0,999 ... = 1.

A definição de números reais como Dedekind corta foi publicada pela primeira vez por Richard Dedekind em 1872. A abordagem acima para atribuir um número real a cada expansão decimal se deve a um artigo expositivo intitulado "Is 0,999 ... = 1?" por Fred Richman na Mathematics Magazine , voltada para professores de matemática universitária, especialmente no nível júnior / sênior, e seus alunos. Richman observa que fazer cortes de Dedekind em qualquer subconjunto denso dos números racionais produz os mesmos resultados; em particular, ele usa frações decimais , para as quais a prova é mais imediata. Ele também observa que normalmente as definições permitem que {x: x <1} seja um corte, mas não {x: x ≤ 1} (ou vice-versa) "Por que fazer isso? Precisamente para descartar a existência de números distintos 0,9 * e 1. [...] Assim, vemos que na definição tradicional dos números reais, a equação 0,9 * = 1 é construída no início. " Uma modificação adicional do procedimento leva a uma estrutura diferente onde os dois não são iguais. Embora seja consistente, muitas das regras comuns da aritmética decimal não são mais válidas, por exemplo, a fração 1 ⁄ 3 não tem representação; consulte " Sistemas de numeração alternativos " abaixo.

Sequências de Cauchy

Outra abordagem é definir um número real como o limite de uma sequência de números racionais de Cauchy . Essa construção dos números reais usa a ordenação dos racionais menos diretamente. Primeiro, a distância entre x e y é definido como o valor absoluto | x  -  y |, onde o valor absoluto | z | é definido como o máximo de z e - z , portanto nunca negativo. Então, os reais são definidos como as sequências de racionais que possuem a propriedade de sequência de Cauchy usando essa distância. Ou seja, na sequência ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...), um mapeamento dos números naturais para os racionais, para qualquer racional positivo δ existe um N tal que | x _m  -  x _n | ≤  ô para todos m , n  >  N . (A distância entre os termos torna-se menor do que qualquer racional positivo.)

Se ( x _n ) e ( y _n ) são duas sequências de Cauchy, então elas são definidas como iguais aos números reais se a sequência ( x _n  -  y _n ) tem o limite 0. Truncamentos do número decimal b ₀ . b ₁ b ₂ b ₃ ... gerar uma sequência de racionais que é Cauchy; isso é usado para definir o valor real do número. Assim, neste formalismo, a tarefa é mostrar que a sequência de números racionais

tem o limite 0. Considerando o n- ésimo termo da sequência, para n ∈ ℕ , deve-se, portanto, mostrar que

Esse limite é claro se entendermos a definição de limite . Portanto, novamente 0,999 ... = 1.

A definição de números reais como seqüências de Cauchy foi publicado separadamente por Eduard Heine e Georg Cantor , também em 1872. A abordagem acima para expansões decimais, incluindo a prova de que 0.999 ... = 1, segue de perto o trabalho de 1970 Griffiths & Hilton Um abrangente livro didático de matemática clássica: uma interpretação contemporânea . O livro foi escrito especificamente para oferecer uma segunda visão de conceitos familiares sob uma luz contemporânea.

Representação decimal infinita

Comumente na educação matemática de escolas secundárias , os números reais são construídos definindo um número usando um inteiro seguido por um ponto de raiz e uma sequência infinita escrita como uma string para representar a parte fracionária de qualquer número real dado. Nesta construção, o conjunto de qualquer combinação de um inteiro e dígitos após o ponto decimal (ou ponto de raiz em sistemas não-base 10) é o conjunto de números reais. Esta construção pode ser rigorosamente mostrada para satisfazer todos os axiomas reais após definir uma relação de equivalência sobre o conjunto que define 1 = _eq 0,999 ... bem como para quaisquer outros decimais diferentes de zero com apenas finitamente muitos termos diferentes de zero na string decimal com seu versão posterior dos 9s. Com essa construção dos reais, todas as provas da afirmação "1 = 0,999 ..." podem ser vistas como assumindo implicitamente a igualdade quando quaisquer operações são realizadas sobre os números reais.

Ordem densa

Uma das noções que podem resolver o problema é a exigência de que os números reais sejam ordenados densamente. Os alunos estão assumindo que é antes, enquanto esse tipo de ordenação intuitiva é melhor definido como puramente lexicográfico. ${\ displaystyle 0,99999 ...}$${\ displaystyle 1}$

"... a ordem dos números reais é reconhecida como uma ordem densa. No entanto, dependendo do contexto, os alunos podem reconciliar esta propriedade com a existência de números imediatamente antes ou depois de um determinado número (0,999 ... é assim frequentemente visto como o predecessor de 1). "

A ordem densa requer que haja um terceiro valor real estritamente entre e , mas não há nenhum: não podemos alterar um único dígito em qualquer um dos dois para obter esse número. Se e forem representar números reais, eles devem ser iguais. A ordenação densa implica que, se não houver nenhum novo elemento estritamente entre dois elementos do conjunto, os dois elementos devem ser considerados iguais. ${\ displaystyle 0,99999 ...}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 0,99999 ...}$${\ displaystyle 1}$

Generalizações

O resultado de 0,999 ... = 1 generaliza prontamente de duas maneiras. Primeiro, todo número diferente de zero com uma notação decimal finita (equivalentemente, 0s finais sem fim) tem uma contraparte com 9s finais. Por exemplo, 0,24999 ... é igual a 0,25, exatamente como no caso especial considerado. Esses números são exatamente as frações decimais e são densos .

Em segundo lugar, um teorema comparável se aplica a cada raiz ou base . Por exemplo, na base 2 (o sistema numérico binário ) 0,111 ... é igual a 1, e na base 3 (o sistema numérico ternário ) 0,222 ... é igual a 1. Em geral, qualquer expressão de terminação de base b tem uma contraparte com traço repetido dígitos iguais ab - 1. Os livros didáticos de análise real provavelmente pularão o exemplo de 0,999 ... e apresentarão uma ou ambas as generalizações desde o início.

Representações alternativas de 1 também ocorrem em bases não inteiras. Por exemplo, na base de proporção áurea , as duas representações padrão são 1,000 ... e 0,101010 ..., e há infinitamente muito mais representações que incluem 1s adjacentes. Geralmente, para quase todos os q entre 1 e 2, há incontáveis ​​muitas expansões de base- q de 1. Por outro lado, ainda há incontáveis ​​muitos q (incluindo todos os números naturais maiores que 1) para os quais há apenas uma base- q expansão de 1, diferente do 1.000 trivial .... Esse resultado foi obtido pela primeira vez por Paul Erdős , Miklos Horváth e István Joó por volta de 1990. Em 1998, Vilmos Komornik e Paola Loreti determinaram a menor dessas bases, a constante de Komornik-Loreti q = 1,787231650 .... Nesta base, 1 = 0,11010011001011010010110011010011 ...; os dígitos são dados pela sequência Thue-Morse , que não se repete.

Uma generalização mais abrangente aborda os sistemas numéricos posicionais mais gerais . Eles também têm múltiplas representações e, em certo sentido, as dificuldades são ainda piores. Por exemplo:

• No sistema ternário balanceado , 1 ⁄ 2 = 0,111 ... = 1,11 ....
• No sistema de numeração fatorial reverso (usando as bases 2!, 3!, 4!, ... para posições após o ponto decimal), 1 = 1,000 ... = 0,1234 ....

Impossibilidade de representação única

O fato de todos esses sistemas numéricos diferentes sofrerem de múltiplas representações para alguns números reais pode ser atribuído a uma diferença fundamental entre os números reais como um conjunto ordenado e coleções de sequências infinitas de símbolos, ordenadas lexicograficamente . Na verdade, as duas propriedades a seguir explicam a dificuldade:

• Se um intervalo dos números reais é particionado em duas partes não vazias L , R , de modo que cada elemento de L é (estritamente) menor do que todos os elementos de R , então ou L contém um elemento maior ou R contém um elemento menor, mas não ambos.
• A coleção de sequências infinitas de símbolos retirados de qualquer "alfabeto" finito, ordenado lexicograficamente, pode ser particionada em duas partes não vazias L , R , de modo que cada elemento de L seja menor do que todos os elementos de R , enquanto L contém um maior elemento e R contém o menor elemento. Na verdade, é suficiente tomar dois prefixos finitos (substrings iniciais) p ₁ , p ₂ de elementos da coleção de forma que eles difiram apenas em seu símbolo final, para o qual símbolo eles têm valores sucessivos, e tomar para L o conjunto de todas as strings na coleção cujo prefixo correspondente é no máximo p ₁ , e para R o resto, as strings na coleção cujo prefixo correspondente é pelo menos p ₂ . Então L tem um elemento maior, começando com p ₁ e escolhendo o maior símbolo disponível em todas as posições seguintes, enquanto R tem um menor elemento obtido seguindo p ₂ pelo menor símbolo em todas as posições.

O primeiro ponto decorre das propriedades básicas dos números reais: L tem um supremo e R tem um ínfimo , que são facilmente vistos como iguais; sendo um número real, ele está em R ou em L , mas não em ambos, uma vez que L e R são considerados disjuntos . O segundo ponto generaliza o par 0,999 ... / 1,000 ... obtido para p ₁  = "0", p ₂  = "1". Na verdade, não é necessário usar o mesmo alfabeto para todas as posições (de modo que, por exemplo, sistemas de raiz mista possam ser incluídos) ou considerar a coleção completa de strings possíveis; os únicos pontos importantes são que em cada posição um conjunto finito de símbolos (que pode até depender dos símbolos anteriores) pode ser escolhido (isso é necessário para garantir escolhas máximas e mínimas), e que fazer uma escolha válida para qualquer posição deve resultar em uma string infinita válida (portanto, não se deve permitir "9" em cada posição, ao mesmo tempo que se proíbe uma sucessão infinita de "9" s). Sob essas suposições, o argumento acima mostra que um mapa de preservação de ordem da coleção de strings para um intervalo dos números reais não pode ser uma bijeção : alguns números não correspondem a nenhuma string ou alguns deles correspondem a mais de uma string .

Marko Petkovšek provou que, para qualquer sistema posicional que nomeia todos os números reais, o conjunto de reais com múltiplas representações é sempre denso. Ele chama a prova de "um exercício instrutivo na topologia de conjuntos de pontos elementares "; envolve ver conjuntos de valores posicionais como espaços de Stone e perceber que suas representações reais são fornecidas por funções contínuas .

Formulários

Uma aplicação de 0,999 ... como uma representação de 1 ocorre na teoria dos números elementares . Em 1802, H. Goodwin publicou uma observação sobre o aparecimento de 9s nas representações decimais repetidas de frações cujos denominadores são certos números primos . Exemplos incluem:

• 1 ⁄ 7 = 0,142857 e 142 + 857 = 999.
• 1 ⁄ 73 = 0. 01369863 e 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy provou um resultado geral sobre tais frações, agora chamado de teorema de Midy , em 1836. A publicação era obscura e não está claro se sua prova envolvia diretamente 0,999 ..., mas pelo menos uma prova moderna de WG Leavitt sim. Se puder ser provado que se um decimal da forma 0. b ₁ b ₂ b ₃ ... é um número inteiro positivo, então deve ser 0,999 ..., que é então a fonte dos 9s no teorema. Investigações nessa direção podem motivar conceitos como maiores divisores comuns , aritmética modular , primos de Fermat , ordem de elementos de grupo e reciprocidade quadrática .

Voltando à análise real, o análogo de base 3 0,222 ... = 1 desempenha um papel fundamental na caracterização de um dos fractais mais simples , o conjunto de Cantor dos terços médios :

• Um ponto no intervalo da unidade encontra-se no conjunto de Cantor se, e somente se, puder ser representado em ternário usando apenas os dígitos 0 e 2.

O n -ésimo dígito da representação reflecte a posição do ponto do n th fase da construção. Por exemplo, o ponto 2 ⁄ 3 recebe a representação usual de 0,2 ou 0,2000 ..., uma vez que fica à direita da primeira exclusão e à esquerda de cada exclusão subsequente. O ponto 1 ⁄ 3 é representado não como 0,1, mas como 0,0222 ..., uma vez que fica à esquerda da primeira exclusão e à direita de cada exclusão subsequente.

A repetição de noves também aparece em outra obra de Georg Cantor. Eles devem ser levados em consideração para construir uma prova válida, aplicando seu argumento diagonal de 1891 às expansões decimais, da incontável do intervalo unitário. Tal prova precisa ser capaz de declarar que certos pares de números reais são diferentes com base em suas expansões decimais, então é preciso evitar pares como 0,2 e 0,1999 ... Um método simples representa todos os números com expansões não terminadas; o método oposto exclui a repetição de noves. Uma variante que pode estar mais próxima do argumento original de Cantor, na verdade, usa a base 2 e, ao transformar expansões de base 3 em expansões de base 2, pode-se provar a incontável variedade do conjunto de Cantor também.

Ceticismo na educação

Estudantes de matemática freqüentemente rejeitam a igualdade de 0,999 ... e 1, por razões que vão desde sua aparência díspar a profundas dúvidas sobre o conceito de limite e desacordos sobre a natureza dos infinitesimais . Existem muitos fatores comuns que contribuem para a confusão:

• Os alunos costumam estar "mentalmente comprometidos com a noção de que um número pode ser representado de uma e apenas uma maneira por uma casa decimal". Ver dois decimais manifestamente diferentes representando o mesmo número parece ser um paradoxo , que é amplificado pelo aparecimento do aparentemente bem compreendido número 1.
• Alguns alunos interpretam "0,999 ..." (ou notação semelhante) como uma string grande, mas finita, de 9s, possivelmente com um comprimento variável não especificado. Se eles aceitarem uma sequência infinita de noves, eles ainda podem esperar um último 9 "no infinito".
• A intuição e o ensino ambíguo levam os alunos a pensar no limite de uma sequência como uma espécie de processo infinito em vez de um valor fixo, uma vez que uma sequência não precisa atingir seu limite. Quando os alunos aceitam a diferença entre uma sequência de números e seu limite, eles podem ler "0,999 ..." como significando a sequência em vez de seu limite.

Essas idéias estão equivocadas no contexto dos números reais padrão, embora algumas possam ser válidas em outros sistemas numéricos, inventados por sua utilidade matemática geral ou como contra - exemplos instrutivos para melhor compreender 0,999 ...

Muitas dessas explicações foram encontradas por David Tall , que estudou características de ensino e cognição que levaram a alguns dos mal-entendidos que encontrou em seus estudantes universitários. Entrevistando seus alunos para determinar por que a grande maioria rejeitou inicialmente a igualdade, ele descobriu que "os alunos continuaram a conceber 0,999 ... como uma sequência de números cada vez mais perto de 1 e não um valor fixo, porque 'você não especificou quantas casas há 'ou' é a casa decimal mais próxima possível abaixo de 1 ' ".

O argumento elementar de multiplicar 0,333 ... = 1 ⁄ 3 por 3 pode convencer os alunos relutantes de que 0,999 ... = 1. Ainda assim, quando confrontados com o conflito entre sua crença na primeira equação e sua descrença na segunda, alguns alunos comece a descrer da primeira equação ou simplesmente fique frustrado. Nem os métodos mais sofisticados são infalíveis: os alunos que são totalmente capazes de aplicar definições rigorosas ainda podem recorrer a imagens intuitivas quando são surpreendidos por um resultado em matemática avançada, incluindo 0,999 .... Por exemplo, um aluno de análise real foi capaz de prove que 0,333 ... = 1 ⁄ 3 usando uma definição suprema , mas depois insistiu que 0,999 ... <1 com base em seu entendimento anterior de divisão longa. Outros ainda são capazes de provar que 1 ⁄ 3 = 0,333 ..., mas, ao serem confrontados pela prova fracionária , insistem que a "lógica" substitui os cálculos matemáticos.

Joseph Mazur conta a história de um estudante de cálculo brilhante que "desafiou quase tudo que eu disse na aula, mas nunca questionou sua calculadora" e que passou a acreditar que nove dígitos são tudo de que se precisa para fazer matemática, incluindo calcular o quadrado raiz de 23. O aluno permaneceu desconfortável com um argumento limitador de que 9,99 ... = 10, chamando-o de um "processo de crescimento infinito descontroladamente imaginado".

Como parte da teoria APOS de aprendizagem matemática de Ed Dubinsky , ele e seus colaboradores (2005) propõem que os alunos que concebem 0,999 ... como uma corda finita e indeterminada com uma distância infinitamente pequena de 1 "ainda não construíram uma concepção de processo completo do infinito decimal ". Outros alunos que têm uma concepção de processo completo de 0,999 ... podem ainda não ser capazes de "encapsular" esse processo em uma "concepção de objeto", como a concepção de objeto que eles têm de 1, e assim visualizam o processo de 0,999 ... e o objeto 1 como incompatível. Dubinsky et al. também vincule essa capacidade mental de encapsulamento à visão de 1 ⁄ 3 como um número por si só e a lidar com o conjunto de números naturais como um todo.

Fenômeno cultural

Com o surgimento da Internet , debates sobre 0,999 ... tornaram-se comuns em grupos de notícias e fóruns de mensagens , incluindo muitos que nominalmente têm pouco a ver com matemática. No newsgroup sci.math , argumentar sobre 0,999 ... é descrito como um "esporte popular", e é uma das perguntas respondidas em seu FAQ . O FAQ cobre brevemente 1 ⁄ 3 , multiplicação por 10 e limites, e também faz alusão às sequências de Cauchy.

Uma edição de 2003 da coluna de jornal de interesse geral The Straight Dope discute 0,999 ... via 1 ⁄ 3 e limites, falando de equívocos,

O primata inferior em nós ainda resiste, dizendo: 0,999 ~ não representa realmente um número , então, mas um processo . Para encontrar um número, temos de interromper o processo, momento em que o item 0,999 ~ = 1 se desfaz. Absurdo.

Um artigo da Slate relata que o conceito de 0,999 ... é "acaloradamente disputado em sites que variam de fóruns de World of Warcraft a fóruns de Ayn Rand ". Na mesma linha, a questão de 0.999 ... provou ser um tópico tão popular nos primeiros sete anos da Blizzard Entertainment 's Battle.net fóruns que a empresa emitiu um 'press release' no April Fools' Day 2004, que é 1 :

Estamos muito animados para encerrar o livro sobre esse assunto de uma vez por todas. Testemunhamos a dor de cabeça e a preocupação sobre se 0,999 ~ é ou não igual a 1, e estamos orgulhosos de que a prova a seguir aborda o problema de forma definitiva e conclusiva para nossos clientes.

Duas provas são então oferecidas, baseadas em limites e multiplicação por 10.

0,999 ... também aparece em piadas matemáticas , como:

P: Quantos matemáticos são necessários para aparafusar uma lâmpada ?

A: 0,999999 ....

Em sistemas numéricos alternativos

Embora os números reais formem um sistema numérico extremamente útil , a decisão de interpretar a notação "0,999 ..." como nomear um número real é, em última análise, uma convenção, e Timothy Gowers argumenta em Mathematics: A Very Short Introduction que a identidade resultante é 0,999. .. = 1 também é uma convenção:

No entanto, não é de forma alguma uma convenção arbitrária, porque não adotá-la obriga a inventar novos objetos estranhos ou a abandonar algumas das regras familiares da aritmética.

Pode-se definir outros sistemas numéricos usando regras diferentes ou novos objetos; em alguns desses sistemas numéricos, as provas acima precisariam ser reinterpretadas e pode-se descobrir que, em um determinado sistema numérico, 0,999 ... e 1 podem não ser idênticos. No entanto, muitos sistemas de números são extensões do sistema de números reais (ao invés de alternativas independentes a ele), então 0,999 ... = 1 continua valendo. Mesmo em tais sistemas numéricos, porém, vale a pena examinar sistemas numéricos alternativos, não apenas por como 0,999 ... se comporta (se, de fato, um número expresso como "0,999 ..." é significativo e inequívoco), mas também para o comportamento de fenômenos relacionados. Se tais fenômenos diferem daqueles no sistema de números reais, então pelo menos uma das suposições embutidas no sistema deve falhar.

Infinitesimais

Algumas provas de que 0,999 ... = 1 dependem da propriedade arquimediana dos números reais: que não há infinitesimais diferentes de zero . Especificamente, a diferença 1 - 0,999 ... deve ser menor do que qualquer número racional positivo, portanto, deve ser um infinitesimal; mas como os reais não contêm infinitesimais diferentes de zero, a diferença é, portanto, zero e, portanto, os dois valores são iguais.

No entanto, existem estruturas algébricas ordenadas matematicamente coerentes , incluindo várias alternativas aos números reais, que não são arquimedianas. A análise não padrão fornece um sistema numérico com uma gama completa de infinitesimais (e seus inversos). AH Lightstone desenvolveu uma expansão decimal para números hiperreais em (0, 1) ^∗ . Lightstone mostra como associar a cada número uma sequência de dígitos,

indexado pelos números hipernaturais . Embora ele não discuta diretamente 0,999 ..., ele mostra que o número real 1 ⁄ 3 é representado por 0,333 ...; ... 333 ... que é uma consequência do princípio de transferência . Como consequência, o número 0,999 ...; ... 999 ... = 1. Com este tipo de representação decimal, nem toda expansão representa um número. Em particular "0,333 ...; ... 000 ..." e "0,999 ...; ... 000 ..." não correspondem a nenhum número.

A definição padrão do número 0.999 ... é o limite da sequência de 0,9, 0,99, 0,999, ... Uma definição diferente que envolve Terry Tao refere-se a como ultralimit , ou seja, a classe de equivalência [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] desta sequência na construção ultrapower , que é um número que fica aquém de 1 por uma quantidade infinitesimal. De forma mais geral, o número hiperreal u _H = 0,999 ...; ... 999000 ..., com o último dígito 9 no posto hipernatural infinito H , satisfaz uma desigualdade estrita u _H <1. Consequentemente, uma interpretação alternativa para "zero seguido por infinitos 9s "poderia ser

Todas essas interpretações de "0,999 ..." são infinitamente próximas de 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretação como uma maneira "inteiramente razoável" de justificar rigorosamente a intuição de que "está faltando um pouco" de 1 em 0,999 .... com Katz & Katz, Robert Ely também questiona a suposição de que as idéias dos alunos sobre 0,999 ... <1 são intuições errôneas sobre os números reais, interpretando-os antes como intuições fora do padrão que poderiam ser valiosas no aprendizado do cálculo. Jose Benardete em seu livro Infinity: Um ensaio em metafísica argumenta que algumas intuições pré-matemáticas naturais não podem ser expressas se alguém estiver limitado a um sistema numérico excessivamente restritivo:

A inteligibilidade do continuum foi encontrada - muitas vezes - para exigir que o domínio dos números reais seja ampliado para incluir infinitesimais. Esse domínio ampliado pode ser denominado domínio dos números contínuos. Agora será evidente que 0,9999 ... não é igual a 1, mas fica infinitesimalmente aquém dele. Acho que 0,9999 ... realmente deveria ser admitido como um número ... embora não como um número real .

Hackenbush

A teoria dos jogos combinatórios também fornece reais alternativos, com o infinito Hackenbush Azul-Vermelho como um exemplo particularmente relevante. Em 1974, Elwyn Berlekamp descreveu uma correspondência entre strings Hackenbush e expansões binárias de números reais, motivada pela ideia de compressão de dados . Por exemplo, o valor da string Hackenbush LRRLRLRL ... é 0,010101 ₂ ... =  1 ⁄ 3 . No entanto, o valor de LRLLL ... (correspondendo a 0,111 ... ₂ ) é infinitesimalmente menor que 1. A diferença entre os dois é o número surreal 1 ⁄ ω , onde ω é o primeiro ordinal infinito ; o jogo relevante é LRRRR ... ou 0,000 ... ₂ .

Isso é de fato verdadeiro para as expansões binárias de muitos números racionais, onde os valores dos números são iguais, mas os caminhos da árvore binária correspondentes são diferentes. Por exemplo, 0,10111 ... ₂  = 0,11000 ... ₂ , que são iguais a 3/4, mas a primeira representação corresponde ao caminho da árvore binária LRLRLLL ... enquanto a segunda corresponde ao caminho diferente LRLLRRR ... .

Revisitando a subtração

Outra maneira pela qual as provas podem ser prejudicadas é se 1 - 0,999 ... simplesmente não existe, porque a subtração nem sempre é possível. As estruturas matemáticas com uma operação de adição, mas não uma operação de subtracção incluem conmutativos semigroups , monoides conmutativos e semirings . Richman considera dois desses sistemas, projetados de modo que 0,999 ... <1.

Primeiro, Richman define um número decimal não negativo como uma expansão decimal literal. Ele define a ordem lexicográfica e uma operação de adição, observando que 0,999 ... <1 simplesmente porque 0 <1 no lugar das unidades, mas para qualquer x não terminado , temos 0,999 ... +  x  = 1 +  x . Portanto, uma peculiaridade dos números decimais é que a adição nem sempre pode ser cancelada; outra é que nenhum número decimal corresponde a 1 ⁄ 3 . Depois de definir a multiplicação, os números decimais formam uma semifiação positiva, totalmente ordenada e comutativa.

No processo de definição da multiplicação, Richman também define outro sistema que chama de "corte D ", que é o conjunto de cortes Dedekind de frações decimais. Normalmente, esta definição leva aos números reais, mas para uma fração decimal d ele permite o corte (−∞,  d ) e o "corte principal" (−∞,  d ]. O resultado é que os números reais estão "vivendo desconfortavelmente junto com "as frações decimais. Novamente 0,999 ... <1. Não há infinitesimais positivos no corte D , mas há" uma espécie de infinitesimal negativo, "0 ^- , que não tem expansão decimal. Ele conclui que 0,999 .. . = 1 + 0 ^- , enquanto a equação "0,999 ... + x = 1" não tem solução.

números p -adic

Quando questionados sobre 0,999 ..., os novatos freqüentemente acreditam que deveria haver um "9 final", acreditando que 1 - 0,999 ... seja um número positivo que eles escrevem como "0,000 ... 1". Quer isso faça sentido ou não, o objetivo intuitivo é claro: adicionar um 1 ao 9 final em 0,999 ... levaria todos os 9s para 0s e deixaria um 1 na casa das unidades. Entre outras razões, essa ideia falha porque não há um "9 final" em 0,999 ... No entanto, há um sistema que contém uma sequência infinita de 9s incluindo um último 9.

Os números p -adic são um sistema numérico alternativo de interesse na teoria dos números . Como os números reais, os números p -adic podem ser construídos a partir dos números racionais por meio de sequências de Cauchy ; a construção usa uma métrica diferente em que 0 está mais perto de p , e muito mais perto de p ⁿ , do que de 1. Os números p -adic formam um campo para p primo e um anel para outro p , incluindo 10. Portanto, aritmética pode ser executado nos p -adics, e não há infinitesimais.

Nos números 10-adic, os análogos das expansões decimais vão para a esquerda. A expansão de 10 adic ... 999 tem um último 9, e não tem um primeiro 9. Pode-se adicionar 1 à casa das unidades, e ele deixa para trás apenas 0s após realizar: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, e então ... 999 = −1. Outra derivação usa uma série geométrica. A série infinita implícita em "... 999" não converge nos números reais, mas converge nos 10-adics e, portanto, pode-se reutilizar a fórmula familiar:

(Compare com a série acima .) Uma terceira derivação foi inventada por uma aluna da sétima série que duvidava do argumento limitante de seu professor de que 0,999 ... = 1, mas foi inspirada a tomar a prova multiplicar por 10 acima na direção oposta : se x  = ... 999 então 10 x  = ... 990, então 10 x  =  x  - 9, portanto x  = −1 novamente.

Como uma extensão final, uma vez que 0,999 ... = 1 (nos reais) e ... 999 = −1 (nos 10-ádicos), então por "fé cega e malabarismo descarado de símbolos" pode-se adicionar as duas equações e chegar a ... 999,999 ... = 0. Esta equação não faz sentido nem como uma expansão 10-ádica nem como uma expansão decimal comum, mas acaba sendo significativa e verdadeira na expansão decimal duplamente infinita de 10 -solenoide -adic , eventualmente repetindo as extremidades esquerdas para representar os números reais e, eventualmente, repetindo as extremidades direitas para representar os 10-adic números.

Ultrafinitismo

A filosofia do ultrafinitismo rejeita como conceitos sem sentido lidando com conjuntos infinitos, como a ideia de que a notação pode representar um número decimal com uma sequência infinita de noves , bem como a soma de infinitos números correspondentes aos valores posicionais dos dígitos decimais nessa corda infinita. Nesta abordagem da matemática, apenas algum número particular (fixo) de dígitos decimais finitos é significativo. Em vez de "igualdade", temos "igualdade aproximada", que é a igualdade até o número de dígitos decimais que é permitido calcular. Embora Katz e Katz argumentem que o ultrafinitismo pode capturar a intuição do aluno de que 0,999 ... deve ser menor que 1, as idéias do ultrafinitismo não gozam de ampla aceitação na comunidade matemática, e a filosofia carece de uma base matemática formal geralmente aceita . ${\ displaystyle 0,999 \ ldots}$${\ displaystyle 9/10 + 9/100 + \ cdots}$

Perguntas relacionadas

• Os paradoxos de Zenão , particularmente o paradoxo do corredor, são uma reminiscência do aparente paradoxo de que 0,999 ... e 1 são iguais. O paradoxo do corredor pode ser modelado matematicamente e então, como 0,999 ..., resolvido usando uma série geométrica. No entanto, não está claro se esse tratamento matemático aborda as questões metafísicas subjacentes que Zenão estava explorando.
• A divisão por zero ocorre em algumas discussões populares de 0,999 ... e também levanta contendas. Enquanto a maioria dos autores opta por definir 0,999 ..., quase todos os tratamentos modernos deixam a divisão por zero indefinida, uma vez que pode não ter nenhum significado nos números reais padrão. No entanto, a divisão por zero é definida em alguns outros sistemas, como a análise complexa , onde o plano complexo estendido , ou seja, a esfera de Riemann , tem um " ponto no infinito ". Aqui, faz sentido definir 1 ⁄ 0 como infinito; e, de fato, os resultados são profundos e aplicáveis ​​a muitos problemas em engenharia e física. Alguns matemáticos proeminentes defenderam essa definição muito antes de qualquer sistema numérico ser desenvolvido.
• O zero negativo é outro recurso redundante de muitas maneiras de escrever números. Em sistemas numéricos, como os números reais, onde "0" denota a identidade aditiva e não é nem positiva nem negativa, a interpretação usual de "−0" é que deve denotar o inverso aditivo de 0, que força −0 = 0 . No entanto, alguns aplicativos científicos usam zeros positivos e negativos separados, assim como alguns sistemas de números binários de computação (por exemplo, inteiros armazenados no sinal e magnitude ou formatos de complemento de uns , ou números de ponto flutuante conforme especificado pelo padrão de ponto flutuante IEEE ) .

Veja também

• Limite (matemática)
• Série (matemática)
• Matemática ingênua
• Finitismo

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos

• 0,999999 ... = 1? de cortar o nó
• Por que 0,9999 ... = 1?
• Prova de igualdade com base na aritmética
• A pesquisa de David Tall sobre cognição matemática
• O que há de tão errado em pensar em números reais como decimais infinitos?
• Teorema 0,999 ... em Metamath