Conjunto infinito - Infinite set
Na teoria dos conjuntos , um conjunto infinito é um conjunto que não é um conjunto finito . Conjuntos infinitos podem ser contáveis ou incontáveis .
Propriedades
O conjunto de números naturais (cuja existência é postulada pelo axioma do infinito ) é infinito. É o único conjunto que os axiomas exigem que seja infinito. A existência de qualquer outro conjunto infinito pode ser provada na teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC), mas apenas mostrando que decorre da existência dos números naturais.
Um conjunto é infinito se e somente se para cada número natural, o conjunto tem um subconjunto cuja cardinalidade é esse número natural.
Se o axioma da escolha for válido, então um conjunto é infinito se e somente se inclui um subconjunto infinito contável.
Se um conjunto de conjuntos é infinito ou contém um elemento infinito, então sua união é infinita. O conjunto de potência de um conjunto infinito é infinito. Qualquer superconjunto de um conjunto infinito é infinito. Se um conjunto infinito é particionado em muitos subconjuntos finitos, pelo menos um deles deve ser infinito. Qualquer conjunto que pode ser mapeado em um conjunto infinito é infinito. O produto cartesiano de um conjunto infinito e um conjunto não vazio é infinito. O produto cartesiano de um número infinito de conjuntos, cada um contendo pelo menos dois elementos, é vazio ou infinito; se o axioma da escolha é válido, então é infinito.
Se um conjunto infinito for um conjunto bem ordenado , ele deve ter um subconjunto não vazio e não trivial que não possui o maior elemento.
Em ZF, um conjunto é infinito se e somente se o conjunto de potência de seu conjunto de potência é um conjunto infinito de Dedekind , tendo um subconjunto próprio equinumeroso a si mesmo. Se o axioma da escolha também for verdadeiro, então os conjuntos infinitos são precisamente os conjuntos infinitos de Dedekind.
Se um conjunto infinito é um conjunto bem ordenável , então ele tem muitas ordenações boas que são não isomórficas.
Exemplos
Conjuntos infinitos contáveis
O conjunto de todos os inteiros , {..., -1, 0, 1, 2, ...} é um conjunto infinito contável. O conjunto de todos os inteiros pares também é um conjunto infinito contável, mesmo se for um subconjunto adequado dos inteiros.
O conjunto de todos os números racionais é um conjunto infinito contável, pois há uma bijeção para o conjunto de inteiros.
Conjuntos infinitos incontáveis
O conjunto de todos os números reais é um conjunto infinito incontável. O conjunto de todos os números irracionais também é um conjunto infinito incontável.