Rhind Mathematical Papyrus - Rhind Mathematical Papyrus

Rhind Mathematical Papyrus
Museu Britânico , Londres
Rhind Mathematical Papyrus.jpg
Uma parte do papiro Rhind
Encontro Segundo Período Intermediário do Egito
Lugar de origem Tebas
Línguas) Egípcio ( hierático )
Tamanho Primeira seção ( BM 10057 ):
  · Comprimento: 295,5 cm (116,3 in)
  · Largura: 32 cm (13 in)
Segunda seção ( BM 10058 ):
  · Comprimento: 199,5 cm (78,5 in)
  · Largura: 32 cm (13 in)

O papiro matemático Rhind ( RMP ; também denominado papiro British Museum 10057 e pBM 10058) é um dos exemplos mais conhecidos da matemática egípcia antiga . É nomeado após Alexander Henry Rhind , um antiquário escocês , que comprou o papiro em 1858 em Luxor, Egito ; aparentemente foi encontrado durante escavações ilegais em ou perto do Ramesseum . Data de cerca de 1550 AC. O Museu Britânico, onde a maior parte do papiro é hoje mantida, adquiriu-o em 1865 junto com o Egyptian Mathematical Leather Roll , também propriedade de Henry Rhind. Existem alguns pequenos fragmentos mantidos pelo Museu do Brooklyn em Nova York e uma seção central de 18 cm (7,1 pol.) Está faltando. É um dos dois papiros matemáticos mais conhecidos junto com o Papiro matemático de Moscou . O papiro Rhind é maior do que o Papiro matemático de Moscou, enquanto o último é mais antigo.

O papiro matemático Rhind data do Segundo Período Intermediário do Egito . Foi copiado pelo escriba Ahmes ( ou seja, Ahmose; Ahmes é uma transcrição mais antiga favorecida por historiadores da matemática), de um texto agora perdido do reinado do rei Amenemhat III ( 12ª dinastia ). Escrito na escrita hierática , este manuscrito egípcio tem 33 cm (13 pol.) De altura e consiste em várias partes que, no total, perfazem 5 m (16 pés) de comprimento. O papiro começou a ser transliterado e matematicamente traduzido no final do século XIX. O aspecto da tradução matemática permanece incompleto em vários aspectos. O documento é datado do ano 33 do rei hicso Apófis e também contém uma nota histórica posterior separada em seu verso, provavelmente datando do período ("Ano 11") de seu sucessor, Khamudi .

Nos parágrafos iniciais do papiro, Ahmes apresenta o papiro como um "cálculo preciso para investigar as coisas e o conhecimento de todas as coisas, mistérios ... todos os segredos". Ele continua com:

Este livro foi copiado no ano de reinado 33, mês 4 de Akhet , sob a majestade do Rei do Alto e Baixo Egito, Awserre, com vida, de uma cópia antiga feita no tempo do Rei do Alto e Baixo Egito Nimaatre. O escriba Ahmose escreve esta cópia.

Vários livros e artigos sobre o Rhind Mathematical Papyrus foram publicados, e um punhado deles se destacam. O papiro Rhind foi publicado em 1923 por Peet e contém uma discussão do texto que se seguiu ao esboço do Livro I, II e III de Griffith. Chace publicou um compêndio em 1927-29 que incluía fotos do texto. Uma visão geral mais recente do papiro Rhind foi publicada em 1987 por Robins e Shute.

Livro I - Aritmética e Álgebra

A primeira parte do papiro Rhind consiste em tabelas de referência e uma coleção de 21 problemas aritméticos e 20 problemas algébricos. Os problemas começam com expressões fracionárias simples, seguidos por problemas de conclusão ( sekem ) e equações lineares mais envolvidas ( problemas aha ).

A primeira parte do papiro é ocupada pela tabela 2 / n . As fracções 2 / n para impar n variando de 3 a 101 estão expressos como somas de fracções unitárias . Por exemplo ,. A decomposição de 2 / n em frações unitárias nunca é superior a 4 termos, como por exemplo .

Esta tabela é seguida por uma tabela muito menor e minúscula de expressões fracionárias para os números de 1 a 9 divididos por 10. Por exemplo, a divisão de 7 por 10 é registrada como:

7 dividido por 10 resulta em 2/3 + 1/30

Depois dessas duas tabelas, o papiro registra 91 problemas ao todo, que foram designados pelos modernos como problemas (ou números) 1-87, incluindo quatro outros itens que foram designados como problemas 7B, 59B, 61B e 82B. Os problemas 1–7, 7B e 8–40 dizem respeito à aritmética e à álgebra elementar.

Os problemas 1 a 6 calculam as divisões de um certo número de pães por 10 homens e registram o resultado em frações unitárias. Os problemas 7–20 mostram como multiplicar as expressões 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 e 1 + 2/3 + 1/3 = 2 por diferentes frações. Os problemas 21-23 são problemas de conclusão, que na notação moderna são simplesmente problemas de subtração. Os problemas 24-34 são problemas '' aha ''; essas são equações lineares . O problema 32, por exemplo, corresponde (em notação moderna) a resolver x + 1/3 x + 1/4 x = 2 para x. Os problemas 35-38 envolvem divisões do heqat, que é uma unidade de volume do antigo Egito . Começando neste ponto, unidades variadas de medida tornam-se muito mais importantes em todo o restante do papiro e, de fato, uma consideração importante em todo o resto do papiro é a análise dimensional . Os problemas 39 e 40 calculam a divisão dos pães e usam progressões aritméticas .

Livro II - Geometria

Uma parte do papiro Rhind

A segunda parte do papiro Rhind, sendo os problemas 41-59, 59B e 60, consiste em problemas de geometria . Peet se referiu a esses problemas como "problemas de mensuração".

Volumes

Os Problemas 41-46 mostram como encontrar o volume de celeiros cilíndricos e retangulares. No problema 41, Ahmes calcula o volume de um celeiro cilíndrico. Dado o diâmetro d e a altura h, o volume V é dado por:

Na notação matemática moderna (e usando d = 2r) isso dá . O termo fracionário 256/81 aproxima o valor de π como sendo 3,1605 ..., um erro de menos de um por cento.

O problema 47 é uma tabela com igualdades fracionárias que representam as dez situações em que a quantidade de volume físico de "100 quádruplos heqats" é dividida por cada um dos múltiplos de dez, de dez a cem. Os quocientes são expressos em termos de frações do olho de Hórus , às vezes também usando uma unidade de volume muito menor conhecida como "ro quádruplo". O heqat quádruplo e o ro quádruplo são unidades de volume derivadas do heqat e ro mais simples, de modo que essas quatro unidades de volume satisfazem as seguintes relações: 1 heqat quádruplo = 4 heqat = 1280 ro = 320 ro quádruplo. Assim,

100/10 quádruplo heqat = 10 quádruplo heqat
100/20 quádruplo heqat = 5 quádruplo heqat
100/30 quádruplo heqat = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) quádruplo heqat + (1 + 2/3) quádruplo ro
100/40 quádruplo heqat = (2 + 1/2) quádruplo heqat
100/50 quádruplo heqat = 2 quádruplo heqat
100/60 quádruplo heqat = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) quádruplo heqat + (3 + 1/3) quádruplo ro
100/70 quádruplo heqat = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) quádruplo heqat + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) quádruplo ro
100/80 quádruplo heqat = (1 + 1/4) quádruplo heqat
100/90 quádruplo heqat = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) quádruplo heqat + (1/2 + 1/18) quádruplo ro
100/100 quádruplo heqat = 1 quádruplo heqat

Áreas

Os problemas 48–55 mostram como calcular uma variedade de áreas . O problema 48 é notável por calcular sucintamente a área de um círculo aproximando π . Especificamente, o problema 48 reforça explicitamente a convenção (usada em toda a seção de geometria) de que "a área de um círculo é igual à de seu quadrado circunscrito na proporção 64/81". Equivalentemente, o papiro se aproxima de π como 256/81, como já foi observado acima na explicação do problema 41.

Outros problemas mostram como encontrar a área de retângulos, triângulos e trapézios.

Pirâmides

Os seis problemas finais estão relacionados às encostas das pirâmides . Um problema seked é relatado por:

Se uma pirâmide tem 250 côvados de altura e o lado de sua base 360 ​​côvados de comprimento, qual é a sua seque ? "

A solução para o problema é dada como a proporção da metade do lado da base da pirâmide em relação à sua altura, ou a proporção entre o comprimento e a altura de sua face. Em outras palavras, a quantidade encontrada para o seked é a cotangente do ângulo à base da pirâmide e sua face.

Livro III - Miscelânea

A terceira parte do papiro Rhind consiste no restante dos 91 problemas, sendo 61, 61B, 62-82, 82B, 83-84 e "números" 85-87, que são itens que não são matemáticos por natureza. Esta seção final contém tabelas de dados mais complicadas (que frequentemente envolvem frações do olho de Horus), vários problemas de pefsu que são problemas algébricos elementares relativos à preparação de alimentos e até mesmo um problema divertido (79) que sugere progressões geométricas, séries geométricas e certas problemas e enigmas posteriores na história. O Problema 79 cita explicitamente, "sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401 orelhas de soletrar, 16807 hekats." Em particular, o problema 79 diz respeito a uma situação em que 7 casas cada uma contém sete gatos, os quais comem sete ratos, cada um dos quais teria comido sete espigas de grãos, cada um dos quais teria produzido sete medidas de grãos. A terceira parte do papiro Rhind é, portanto, uma espécie de miscelânea, com base no que já foi apresentado. O problema 61 está relacionado com multiplicações de frações. O Problema 61B, por sua vez, fornece uma expressão geral para calcular 2/3 de 1 / n, onde n é ímpar. Na notação moderna, a fórmula dada é

A técnica fornecida em 61B está intimamente relacionada à derivação da tabela 2 / n.

Os problemas 62-68 são problemas gerais de natureza algébrica. Os problemas 69–78 são todos problemas pefsu de uma forma ou de outra. Eles envolvem cálculos relativos à resistência do pão e da cerveja, com relação a certas matérias-primas utilizadas em sua produção.

O problema 79 soma cinco termos em uma progressão geométrica . Sua linguagem é fortemente sugestiva do enigma mais moderno e da cantiga infantil " As I was going to St. Ives ". Os problemas 80 e 81 calculam as frações do olho de Hórus de hinu (ou heqats). Os últimos quatro itens matemáticos, problemas 82, 82B e 83-84, calculam a quantidade de alimento necessária para vários animais, como aves e bois. No entanto, esses problemas, especialmente 84, são atormentados por ambigüidade generalizada, confusão e inexatidão simples.

Os três itens finais no papiro Rhind são designados como "números" 85-87, ao contrário de "problemas", e estão amplamente espalhados no verso do papiro, ou verso. Eles são, respectivamente, uma pequena frase que encerra o documento (e tem algumas possibilidades de tradução, fornecidas abaixo), um pedaço de papel de rascunho não relacionado ao corpo do documento, usado para mantê-lo unido (ainda contendo palavras e frações egípcias que já são familiares para um leitor do documento), e uma pequena nota histórica que se pensa ter sido escrita algum tempo após a conclusão do corpo da escrita do papiro. Esta nota é pensada para descrever eventos durante a " dominação Hyksos ", um período de interrupção externa na sociedade egípcia antiga que está intimamente relacionado com seu segundo período intermediário. Com essas erratas não matemáticas, embora histórica e filologicamente intrigantes, a escrita do papiro chega ao fim.

Concordância de unidade

Muito do material do papiro Rhind está relacionado com as unidades de medida do Egito Antigo e especialmente a análise dimensional usada para converter entre elas. Uma concordância de unidades de medida usadas no papiro é fornecida na imagem.

Unidades de medida usadas no papiro Rhind.

Contente

Esta tabela resume o conteúdo do Papiro Rhind por meio de uma paráfrase moderna concisa. É baseado na exposição de dois volumes do papiro que foi publicada por Arnold Buffum Chace em 1927 e em 1929. Em geral, o papiro consiste em quatro seções: uma página de título, a tabela 2 / n, um minúsculo "1 –9/10 table "e 91 problemas ou" números ". Os últimos são numerados de 1 a 87 e incluem quatro itens matemáticos que foram designados pelos modernos como problemas 7B, 59B, 61B e 82B. Os números 85-87, por sua vez, não são itens matemáticos que fazem parte do corpo do documento, mas são respectivamente: uma pequena frase terminando o documento, um pedaço de "papel de rascunho" usado para manter o documento unido (tendo já contido escrita não relacionada), e uma nota histórica que se pensa descrever um período de tempo logo após a conclusão do corpo do papiro. Esses três últimos itens são escritos em áreas díspares do verso do papiro ( verso ), longe do conteúdo matemático. Chace, portanto, os diferencia, definindo-os como números em vez de problemas , como os outros 88 itens numerados.

Números de seção ou problema Declaração do problema ou descrição Solução ou descrição Notas
Folha de rosto Ahmes identifica a si mesmo e suas circunstâncias históricas. "Cálculo preciso. A entrada no conhecimento de todas as coisas existentes e todos os segredos obscuros. Este livro foi copiado no ano 33, no quarto mês da estação de inundação, sob a majestade do rei do Alto e Baixo Egito, 'A -user-Re ', dotado de vida, em semelhança aos escritos antigos feitos no tempo do rei do Alto e Baixo Egito, Ne-ma'et-Re'. É o escriba Ahmes quem copia este escrito. " Fica claro na página de rosto que Ahmes identifica seu próprio período, bem como o período de um texto ou textos mais antigos dos quais ele supostamente copiou, criando assim o papiro Rhind. O papiro tem escrito o material de ambos os lados, isto é, a sua recto e verso . Veja a imagem para detalhes.
Rhind Papyrus Recto and Verso.png
Tabela 2 / n Expresse cada um dos quocientes de 2/3 a 2/101 (onde o denominador é sempre ímpar) como frações egípcias . Consulte o artigo da tabela Rhind Mathematical Papyrus 2 / n para o resumo e as soluções desta seção. Ao longo do papiro, a maioria das soluções são fornecidas como representações fracionárias egípcias específicas de um determinado número real. No entanto, como cada número racional positivo tem infinitas representações como uma fração egípcia, essas soluções não são únicas. Também tenha em mente que a fração 2/3 é a única exceção, usada além dos inteiros, que Ahmes usa junto com todas as frações de unidade racionais (positivas) para expressar frações egípcias. Pode-se dizer que a tabela 2 / n segue parcialmente um algoritmo (veja o problema 61B) para expressar 2 / n como uma fração egípcia de 2 termos, quando n é composto. No entanto, esse algoritmo incipiente é deixado de lado em muitas situações quando n é primo. O método de soluções para a tabela 2 / n, portanto, também sugere o início da teoria dos números , e não meramente aritmética .
Tabela 1-9 / 10 Escreva os quocientes de 1/10 a 9/10 como frações egípcias.

Problemas 1–6 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães (respectivamente, em cada problema) são divididos entre 10 homens. Em cada caso, represente a parte do pão de cada homem como uma fração egípcia.

Os primeiros seis problemas do papiro são simples repetições das informações já escritas na tabela 1–9/10, agora no contexto dos problemas da história.
7, 7B, 8–20 Deixar

e

.

Então, para as seguintes multiplicações, escreva o produto como uma fração egípcia.

Os mesmos dois multiplicandos (aqui denotados como S e T) são usados ​​incessantemente em todos esses problemas. Observe também que Ahmes escreve efetivamente o mesmo problema três vezes (7, 7B, 10), às vezes abordando o mesmo problema com trabalho aritmético diferente.
21-38 Para cada uma das seguintes equações lineares com variável , resolva e expresse como uma fração egípcia.

Observe que o problema 31 tem uma solução especialmente onerosa. Embora a declaração dos problemas 21-38 possa às vezes parecer complicada (especialmente na prosa de Ahmes), cada problema, em última análise, se reduz a uma equação linear simples. Em alguns casos, uma unidade de algum tipo foi omitida, sendo supérflua para esses problemas. Esses casos são problemas 35-38, cujas declarações e "trabalho" fazem as primeiras menções de unidades de volume conhecidas como heqat e a ro (onde 1 heqat = 320 ro), que aparecerão com destaque em todo o resto do papiro. No momento, entretanto, sua menção literal e uso em 35-38 é cosmético.
39 100 pães serão distribuídos de forma desigual entre 10 homens. 50 pães serão divididos igualmente entre 4 homens para que cada um desses 4 receba uma parte igual , enquanto os outros 50 pães serão divididos igualmente entre os outros 6 homens, de modo que cada um desses 6 receba uma parte igual . Encontre a diferença entre essas duas ações e expresse a mesma como uma fração egípcia. No problema 39, o papiro começa a considerar situações com mais de uma variável.
40 100 pães devem ser divididos entre cinco homens. As cinco porções de pão dos homens devem estar em progressão aritmética , de modo que as porções consecutivas sempre diferem por uma diferença fixa, ou . Além disso, a soma das três maiores ações deve ser igual a sete vezes a soma das duas menores ações. Encontre e escreva como uma fração egípcia. O Problema 40 conclui a seção aritmética / algébrica do papiro, a ser seguida pela seção de geometria. Após o problema 40, há até uma grande seção de espaço em branco no papiro, que indica visualmente o final da seção. Quanto ao próprio problema 40, Ahmes elabora sua solução considerando primeiro o caso análogo em que o número de pães é 60 em oposição a 100. Ele então afirma que, neste caso, a diferença é 5 1/2 e que a menor parte é igual para um, lista os outros e, em seguida, escala seu trabalho de volta para 100 para produzir o resultado. Embora Ahmes não indique a solução em si como foi dada aqui, a quantidade é implicitamente clara, uma vez que ele tenha redimensionado seu primeiro passo pela multiplicação 5/3 x 11/2, para listar as cinco partes (o que ele faz) . É importante mencionar que este problema pode ser pensado como tendo quatro condições: a) cinco ações somam 100, b) as ações variam do menor ao maior, c) ações consecutivas têm uma diferença constante ed) a soma das três maiores partes é igual a sete vezes a soma das duas partes menores. Começando apenas com as três primeiras condições, pode-se usar álgebra elementar e então considerar se a adição da quarta condição produz um resultado consistente. Acontece que, uma vez que todas as quatro condições estão estabelecidas, a solução é única. O problema é, portanto, um caso mais elaborado de solução de equação linear do que o anterior, beirando a álgebra linear .
41 Use a fórmula do volume

para calcular o volume de um silo de grãos cilíndrico com um diâmetro de 9 côvados e uma altura de 10 côvados. Dê a resposta em termos de côvados cúbicos. Além disso, dadas as seguintes igualdades entre outras unidades de volume, 1 côvado cúbico = 3/2 khar = 30 heqats = 15/2 quádruplos heqats, também expressa a resposta em termos de khar e quádruplos heqats.

Esse problema abre a seção de geometria do papiro e também dá seu primeiro resultado factualmente incorreto (embora com uma boa aproximação de , diferindo em menos de um por cento). Outras unidades de volume do antigo Egito , como o quádruplo heqat e o khar, são relatadas posteriormente neste problema por meio da conversão de unidades. O problema 41 é, portanto, também o primeiro problema a tratar significativamente da análise dimensional .
42 Reutilize a fórmula de volume e as informações de unidade fornecidas em 41 para calcular o volume de um silo de grãos cilíndrico com um diâmetro de 10 côvados e uma altura de 10 côvados. Dê a resposta em termos de côvados cúbicos, khar e centenas de quádruplos heqats, onde 400 heqats = 100 quádruplos heqats = cem quádruplos heqats, todos como frações egípcias.

O problema 42 é efetivamente uma repetição do 41, realizando conversões de unidades semelhantes no final. No entanto, embora o problema comece como declarado, a aritmética é consideravelmente mais complicada e alguns dos últimos termos fracionários dados não estão realmente presentes no documento original. No entanto, o contexto é suficiente para preencher as lacunas, e Chace, portanto, tirou licença para adicionar certos termos fracionários em sua tradução matemática (repetida aqui) que dão origem a uma solução internamente consistente.
43 Use a fórmula do volume

calcular o volume de um silo de grãos cilíndrico com um diâmetro de 9 côvados e uma altura de 6 côvados, encontrando diretamente a resposta em termos fracionários egípcios de khar, e posteriormente em termos fracionários egípcios de quádruplo heqats e quádruplo ro, onde 1 quádruplo heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 quádruplo ro.

O problema 43 representa o primeiro erro matemático sério no papiro. Ahmes (ou a fonte da qual ele pode estar copiando) tentou um atalho para realizar o cálculo do volume e uma conversão de unidade de côvados cúbicos em khar, tudo em uma única etapa, para evitar a necessidade de usar côvados cúbicos em uma etapa inicial resultado. No entanto, esta tentativa (que falhou devido a confundir parte do processo usado em 41 e 42 com aquele que provavelmente se destinava a ser usado em 43, dando resultados consistentes por um método diferente), em vez disso, resultou em uma nova fórmula de volume que é inconsistente com (e pior do que) a aproximação usada em 41 e 42.
44, 45 Um côvado cúbico é igual a 15/2 quádruplos heqats. Considere (44) um silo de grãos cúbicos com um comprimento de 10 côvados em cada borda. Expresse seu volume em termos de heqats quádruplos. Por outro lado, (45) considere um silo de grãos cúbicos que tem um volume de 7500 heqats quádruplos e expressa seu comprimento de borda em termos de côvados.

O problema 45 é uma inversão exata do problema 44 e, portanto, eles são apresentados juntos aqui.
46 Um silo retangular de grãos prismáticos tem um volume de 2.500 heqats quádruplos. Descreva suas três dimensões em termos de côvados.

Este problema, conforme declarado, tem infinitas soluções, mas uma escolha simples de solução intimamente relacionada aos termos de 44 e 45 é feita.
47 Divida a quantidade de volume físico de 100 quádruplos heqats por cada um dos múltiplos de 10, de 10 a 100. Expresse os resultados em termos fracionários egípcios de quádruplo heqat e quádruplo ro e apresente os resultados em uma tabela.

No problema 47, Ahmes insiste particularmente em representar cadeias de frações mais elaboradas como frações de olho de Hórus , tanto quanto pode. Compare os problemas 64 e 80 para preferências semelhantes de representação. Para economizar espaço, "quádruplo" foi encurtado para "q". em todos os casos.
48 Compare a área de um círculo com diâmetro 9 com a de seu quadrado circunscrito, que também tem um comprimento lateral de 9. Qual é a razão entre a área do círculo e a do quadrado? A declaração e a solução do problema 48 tornam explicitamente claro esse método preferido de aproximar a área de um círculo, que havia sido usado anteriormente nos problemas 41-43. No entanto, está errado . A declaração original do problema 48 envolve o uso de uma unidade de área conhecida como setat, que em breve terá um contexto adicional em problemas futuros. Por enquanto, é cosmético.
49 Um khet é uma unidade de comprimento, igual a 100 côvados. Além disso, uma "faixa cúbica" é uma faixa retangular de medida de área, sendo 1 côvado por 100 côvados, ou 100 côvados quadrados (ou uma quantidade física de área igual). Considere um terreno retangular medindo 10 khet por 1 khet. Expresse sua área em termos de faixas cúbicas. -
50 Um khet quadrado é uma unidade de área igual a um setat. Considere um círculo com diâmetro de 9 khet. Expresse sua área em termos de setat. O problema 50 é efetivamente um reforço da regra 64/81 de 48 para a área de um círculo, que permeia o papiro.
51 Um trato triangular de terra tem uma base de 4 khet e uma altitude de 10 khet. Encontre sua área em termos de setat. A configuração e solução de 51 relembram a fórmula familiar para calcular a área de um triângulo e, por Chace, é parafraseada como tal. No entanto, o diagrama triangular do papiro, os erros anteriores e as questões de tradução apresentam ambigüidade sobre se o triângulo em questão é um triângulo retângulo ou, na verdade, se Ahmes realmente entendeu as condições sob as quais a resposta declarada é correta. Especificamente, não está claro se a dimensão de 10 khet foi entendida como uma altitude (nesse caso, o problema é trabalhado corretamente como indicado) ou se "10 khet" simplesmente se refere a um lado do triângulo, caso em que a figura teria para ser um triângulo retângulo para que a resposta seja factualmente correta e devidamente trabalhada, como feito. Esses problemas e confusões se perpetuam ao longo de 51-53, ao ponto em que Ahmes parece perder a compreensão do que está fazendo, especialmente em 53.
52 Uma extensão de terra trapezoidal tem duas bases, sendo 6 khet e 4 khet. Sua altitude é de 20 khet. Encontre sua área em termos de setat. As questões do Problema 52 são muito parecidas com as do 51. O método de solução é familiar aos modernos, mas circunstâncias como as do 51 lançam dúvidas sobre o quão bem Ahmes ou sua fonte entenderam o que estavam fazendo.
53 Um triângulo isósceles (uma extensão de terra, digamos) tem uma base igual a 4 1/2 khet e uma altitude igual a 14 khet. Dois segmentos de linha paralelos à base dividem ainda mais o triângulo em três setores, sendo um trapézio inferior, um trapézio médio e um triângulo superior (semelhante) menor. Os segmentos de linha cortam a altitude do triângulo em seu ponto médio (7) e mais adiante em um quarto de ponto (3 1/2) mais perto da base, de modo que cada trapézio tem uma altitude de 3 1/2 khet, enquanto o triângulo semelhante menor tem uma altitude de 7 khet. Encontre os comprimentos dos dois segmentos de linha, onde eles são os segmentos de linha mais curto e mais longo, respectivamente, e expresse-os em termos fracionários egípcios de khet. Além disso, encontre as áreas dos três setores, onde são o trapézio grande, o trapézio do meio e o triângulo pequeno, respectivamente, e expresse-as em termos fracionários egípcios de faixas de setat e cúbito. Use o fato de que 1 setat = 100 faixas cúbicas para conversões de unidades.

O problema 53, sendo mais complexo, está repleto de muitos dos mesmos problemas que o 51 e 52 - ambigüidades de tradução e vários erros numéricos. Em particular no que diz respeito ao grande trapézio inferior, Ahmes parece ficar preso em encontrar a base superior, e propõe no trabalho original subtrair "um décimo, igual a 1 + 1/4 + 1/8 setat mais 10 tiras cúbicas" de um retângulo sendo (presumivelmente) 4 1/2 x 3 1/2 (khet). No entanto, mesmo a resposta de Ahmes aqui é inconsistente com as outras informações do problema. Felizmente, o contexto de 51 e 52, junto com a base, a linha média e a área do triângulo menor (que são dados como 4 + 1/2, 2 + 1/4 e 7 + 1/2 + 1/4 + 1 / 8, respectivamente) permitem interpretar o problema e sua solução como aqui foi feito. A paráfrase fornecida, portanto, representa uma melhor suposição consistente quanto à intenção do problema, que segue Chace. Ahmes também se refere às "faixas de cúbito" novamente no decorrer do cálculo desse problema e, portanto, repetimos seu uso aqui. É importante mencionar que nem Ahmes nem Chace explicitamente fornecem a área para o trapézio médio em seus tratamentos (Chace sugere que isso é uma trivialidade do ponto de vista de Ahmes); liberdade, portanto, foi tomada para relatá-lo de uma maneira que seja consistente com o que Chace havia proposto até então.
54 Existem 10 lotes de terreno. Em cada parcela, um setor é particionado de forma que a soma da área dessas 10 novas partições seja 7 setat. Cada nova partição tem área igual. Encontre a área de qualquer uma dessas 10 novas partições e expresse-a em termos fracionários egípcios de tiras de setat e côvados.

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55 Existem 5 lotes de terreno. Em cada parcela, um setor é particionado de forma que a soma da área dessas 5 novas partições seja 3 setat. Cada nova partição tem área igual. Encontre a área de qualquer uma dessas 5 novas partições e expresse-a em termos fracionários egípcios de tiras de setat e cúbito.

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56 1) A unidade de comprimento conhecida como côvado real é (e tem sido, em todo o papiro) o que significa quando nos referimos simplesmente a um côvado . Um côvado real , ou um côvado, é igual a sete palmas, e uma palma é igual a quatro dedos. Em outras palavras, as seguintes igualdades são válidas: 1 (real) côvado = 1 côvado = 7 palmas = 28 dedos.

2) Considere uma pirâmide quadrada regular direita cuja base, a face quadrada é coplanar com um plano (ou o solo, digamos), de modo que qualquer um dos planos contendo suas faces triangulares tenha o ângulo diedro de em relação ao plano de base ( ou seja, no interior da pirâmide). Em outras palavras, é o ângulo das faces triangulares da pirâmide em relação ao solo. O comprimento de tal pirâmide, então, tendo altitude e comprimento de borda de base , é definido como aquele comprimento físico tal que . Dito de outra forma, a formação de uma pirâmide pode ser interpretada como a proporção do percurso de suas faces triangulares por uma unidade (cúbito) de elevação . Ou, para o triângulo retângulo apropriado no interior de uma pirâmide tendo pernas e a bissetriz perpendicular de uma face triangular como hipotenusa, então a pirâmide se satisfaz . Triângulos semelhantes são, portanto, descritos, e um pode ser escalado para o outro.

3) Uma pirâmide tem uma altitude de 250 côvados (reais) e o lado de sua base tem um comprimento de 360 ​​côvados (reais). Encontre seu sek em termos de frações egípcias de côvados (reais) e também em termos de palmas.

O problema 56 é o primeiro dos "problemas da pirâmide" ou problemas seked no papiro Rhind, 56-59, 59B e 60, que dizem respeito à noção da inclinação facial de uma pirâmide em relação a um terreno plano. Nesse sentido, o conceito de seked sugere o início da trigonometria . Ao contrário da trigonometria moderna, no entanto, observe especialmente que um seked é encontrado em relação a alguma pirâmide e é em si uma medida de comprimento físico , que pode ser dada em termos de qualquer unidade de comprimento físico. Por razões óbvias, no entanto, nós (e o papiro) restringimos nossa atenção a situações envolvendo unidades egípcias antigas. Também esclarecemos que côvados reais são usados ​​em todo o papiro, para diferenciá-los dos côvados "curtos" que eram usados ​​em outras partes do antigo Egito. Um côvado "curto" é igual a seis palmas.
57, 58 A sek de uma pirâmide tem 5 palmas e 1 dedo, e o lado de sua base tem 140 côvados. Encontre (57) sua altitude em termos de côvados. Por outro lado, (58), a altitude de uma pirâmide é de 93 + 1/3 côvados, e o lado de sua base é de 140 côvados. Encontre seu seked e expresse-o em termos de palmas e dedos.

O problema 58 é uma inversão exata do problema 57 e, portanto, são apresentados juntos aqui.
59, 59B A altitude de uma pirâmide (59) é de 8 côvados e seu comprimento de base é de 12 côvados. Expresse seu sek em termos de palmas e dedos. Por outro lado, (59B), o sek de uma pirâmide tem cinco palmas e um dedo, e o lado de sua base tem 12 côvados. Expresse sua altitude em termos de côvados.

Os problemas 59 e 59B consideram um caso semelhante ao 57 e 58, terminando com resultados familiares. Como inversões exatas entre si, eles são apresentados juntos aqui.
60 Se um "pilar" (isto é, um cone) tem uma altitude de 30 côvados e o lado de sua base (ou diâmetro) tem um comprimento de 15 côvados, encontre seu semeado e expresse-o em termos de côvados. Ahmes usa palavras ligeiramente diferentes para apresentar este problema, que se prestam a questões de tradução. No entanto, o contexto geral do problema, juntamente com o diagrama que o acompanha (que difere dos diagramas anteriores), leva Chace a concluir que se trata de um cone. A noção de seked é facilmente generalizada para a face lateral de um cone; ele, portanto, relata o problema nestes termos. O problema 60 conclui a seção de geometria do papiro. Além disso, é o último problema no recto (parte da frente) do documento; todo o conteúdo posterior deste resumo está presente no verso ( verso ) do papiro. A transição de 60 para 61 é, portanto, uma mudança temática e física no papiro.
61 Dezessete multiplicações devem ter seus produtos expressos como frações egípcias. O todo deve ser dado como uma mesa.

A sintaxe do documento original e suas multiplicações repetidas indicam um entendimento rudimentar de que a multiplicação é comutativa .
61B Dê um procedimento geral para converter o produto de 2/3 e o recíproco de qualquer número ímpar (positivo) 2n + 1 em uma fração egípcia de dois termos, por exemplo, com p e q naturais. Em outras palavras, encontre p e q em termos de n.

O problema 61B e o método de decomposição que ele descreve (e sugere) estão intimamente relacionados ao cálculo da tabela Rhind Mathematical Papyrus 2 / n . Em particular, cada caso na tabela 2 / n envolvendo um denominador que é um múltiplo de 3 pode ser dito que segue o exemplo de 61B. A declaração e a solução de 61B também sugerem uma generalidade que a maioria dos problemas mais concretos do papiro não tem. Portanto, representa uma sugestão inicial de álgebra e algoritmos .
62 Uma bolsa de três metais preciosos, ouro, prata e chumbo, foi comprada por 84 sha'ty, que é uma unidade monetária. Todas as três substâncias têm o mesmo peso e um deben é uma unidade de peso. 1 deben de ouro custa 12 sha'ty, 1 deben de prata custa 6 sha'ty e 1 deben de chumbo custa 3 sha'ty. Encontre o peso comum de qualquer um dos três metais na bolsa. O problema 62 torna-se um problema de divisão que envolve uma pequena análise dimensional. Sua configuração envolvendo pesos padrão torna o problema simples.
63 700 pães devem ser divididos desigualmente entre quatro homens, em quatro partes desiguais e ponderadas. As ações ficarão nas respectivas proporções . Encontre cada ação.

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64 Lembre-se de que o heqat é uma unidade de volume. Dez heqat de cevada devem ser distribuídos entre dez homens em uma progressão aritmética, de forma que as partes consecutivas dos homens tenham uma diferença de 1/8 heqats. Encontre as dez ações e liste-as em ordem decrescente, em termos fracionários egípcios de heqat.

O problema 64 é uma variante de 40, desta vez envolvendo um número par de incógnitas. Para uma referência rápida e moderna além das frações egípcias, as ações variam de 25/16 a 7/16, onde o numerador diminui em números ímpares consecutivos. Os termos são dados como frações do olho de Hórus ; compare os problemas 47 e 80 para saber mais sobre isso.
65 100 pães devem ser divididos desigualmente entre dez homens. Sete dos homens recebem uma única parte, enquanto os outros três homens, sendo um barqueiro, um capataz e um porteiro, recebem cada um uma parte dupla. Expresse cada um desses dois valores de ações como frações egípcias.

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66 Lembre-se de que o heqat é uma unidade de volume e que um heqat é igual a 320 ro. 10 heqat de gordura são distribuídos a uma pessoa ao longo de um ano (365 dias), em doses diárias iguais. Expresse a mesada como uma fração egípcia em termos de heqat e ro. O Problema 66 em sua forma original afirma explicitamente que um ano é igual a 365 dias e usa repetidamente o número 365 para seus cálculos. É, portanto, a evidência histórica primária do antigo entendimento egípcio do ano .
67 Um pastor tinha um rebanho de animais e tinha que dar uma parte de seu rebanho a um senhor como tributo. O pastor foi instruído a dar dois terços de um terço de seu rebanho original como tributo. O pastor deu 70 animais. Encontre o tamanho do rebanho original do pastor. -
68 Quatro capatazes estão a cargo de quatro tripulações de homens, sendo 12, 8, 6 e 4 homens, respectivamente. Cada tripulante trabalha a uma taxa fungível, para produzir um único produto de trabalho: produção (colheita, digamos) de grãos. Trabalhando em algum intervalo de tempo, essas quatro gangues produziram coletivamente 100 unidades, ou 100 heqats quádruplos de grãos, onde o produto de trabalho de cada equipe será entregue ao supervisor de cada equipe. Expresse a produção de cada tripulação em termos de heqat quádruplo.

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69 1) Considere cozinhar e preparar os alimentos. Suponha-se que existe uma forma padronizada de cozinhar, ou de um processo de produção, o que vai levar as unidades de volume, especificamente heqats de alimentos de matéria-prima (em particular, cerca de um alimento-materiais em bruto) e produzir unidades de algum um produto alimentar acabado. O pefsu do (um) produto alimentício acabado com respeito à (uma) matéria-prima alimentar, então, é definido como a quantidade de unidades de produto alimentício acabado produzida a partir de exatamente um heqat de matéria-prima alimentícia. Em outras palavras ,.

2) 3 + 1/2 heqats de farinha produzem 80 pães. Encontre a refeição por pão em heqats e ro, e encontre o pefsu desses pães em relação à refeição. Expresse-os como frações egípcias.

O problema 69 começa com os problemas "pefsu", 69-78, no contexto da preparação de alimentos. Observe que a noção de pefsu pressupõe algum processo de produção padronizado sem acidentes, desperdício, etc., e apenas diz respeito à relação de um produto alimentício acabado padronizado com uma matéria-prima específica. Ou seja, o pefsu não está imediatamente preocupado com questões como o tempo de produção, ou (em qualquer caso) a relação de outras matérias-primas ou equipamentos com o processo de produção, etc. Ainda assim, a noção de pefsu é outra sugestão de abstração no papiro, passível de ser aplicado a qualquer relação binária entre um produto alimentício (ou produto acabado, nesse caso) e uma matéria-prima. Os conceitos que o pefsu acarreta são, portanto, típicos da manufatura .
70 (7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) heqats de farinha produzem 100 pães. Encontre a refeição por pão em heqats e ro, e encontre o pefsu desses pães em relação à refeição. Expresse-os como frações egípcias.

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71 1/2 heqats de besha, uma matéria-prima, produz exatamente um des-measure completo (copo) de cerveja. Suponha que haja um processo de produção para copos diluídos de cerveja. 1/4 do vidro que acabamos de descrever é derramado e o que acabou de ser derramado é capturado e reutilizado posteriormente. Este copo, que agora está 3/4 cheio, é então diluído de volta à capacidade máxima com água, produzindo exatamente um copo cheio de cerveja diluído. Encontre o pefsu desses copos de cerveja diluídos em relação ao besha como uma fração egípcia. Observe que o Problema 71 descreve as etapas intermediárias em um processo de produção, bem como uma segunda matéria-prima, a água. Além disso, observe que eles são irrelevantes para a relação entre a unidade acabada e a matéria-prima (besha, neste caso).
72 100 pães "de pefsu 10" devem ser trocados igualmente por pães "de pefsu 45". Encontre . Agora que o conceito de pefsu foi estabelecido, os problemas 72-78 exploram até mesmo trocas de diferentes pilhas de alimentos acabados, tendo diferentes pefsu. Em geral, entretanto, eles assumem uma matéria-prima comum de algum tipo. Especificamente, a matéria-prima comum assumida em todo o período 72-78 é chamada de farinha de wedyet , que está até mesmo envolvida na produção de cerveja, de modo que a cerveja pode ser trocada por pão nos últimos problemas. A declaração original de 74 também menciona "cevada do alto egípcio", mas para nossos propósitos isso é cosmético. O que os problemas 72-78 dizem, então, é realmente o seguinte: quantidades iguais de matéria-prima são usadas em dois processos de produção diferentes, para produzir duas unidades diferentes de alimento acabado, onde cada tipo tem um pefsu diferente. Uma das duas unidades de alimentos acabadas é fornecida. Encontre o outro. Isso pode ser feito dividindo ambas as unidades (conhecidas e desconhecidas) por seus respectivos pefsu, onde as unidades do alimento acabado desaparecem na análise dimensional e apenas a mesma matéria-prima é considerada. Pode-se então resolver facilmente para x. 72–78, portanto, realmente requerem que x seja dado de forma que quantidades iguais de matéria-prima sejam usadas em dois processos de produção diferentes.
73 100 pães de pefsu 10 devem ser trocados igualmente por pães de pefsu 15. Encontre . -
74 1000 pães de pefsu 5 devem ser divididos igualmente em dois montes de 500 pães cada. Cada pilha deve ser trocada igualmente por duas outras pilhas, uma de pães de pefsu 10 e a outra de pães de pefsu 20. Encontre e .

-
75 155 pães de pefsu 20 devem ser trocados igualmente por pães de pefsu 30. Encontre . -
76 1000 pães de pefsu 10, uma pilha, serão trocados igualmente por duas outras pilhas de pães. Cada uma das outras duas pilhas tem um número igual de pães, sendo um de pefsu 20 e o outro de pefsu 30. Encontre . -
77 10 des-medidas de cerveja, de pefsu 2, devem ser trocadas igualmente por pães, de pefsu 5. Encontre . -
78 100 pães de pefsu 10 devem ser trocados igualmente por des-medidas de cerveja de pefsu 2. Encontre . -
79 O inventário de uma propriedade consiste em 7 casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401 plantas de espelta (um tipo de trigo) e 16807 unidades de heqat (de qualquer substância - um tipo de grão, suponha). Liste os itens no estoque das propriedades como uma tabela e inclua seu total.

O problema 79 foi apresentado em sua interpretação mais literal. No entanto, o problema está entre os mais interessantes do papiro, pois sua configuração e mesmo método de solução sugere progressão geométrica (ou seja, sequências geométricas), compreensão elementar de séries finitas , bem como o problema de St. Ives - até mesmo Chace não pode ajude a interromper sua própria narrativa para comparar o problema 79 com a canção de ninar de St. Ives. Ele também indica que um terceiro exemplo suspeitamente familiar desses tipos de problemas pode ser encontrado no Liber Abaci de Fibonacci . Chace sugere a interpretação de que 79 é uma espécie de exemplo de economia, em que uma certa quantidade de grãos é economizada mantendo-se gatos à mão para matar os ratos que, de outra forma, comeriam a espelta usada para fazer os grãos. No documento original, o termo 2401 é escrito como 2301 (um erro óbvio), enquanto os outros termos são fornecidos corretamente; portanto, é corrigido aqui.

Além disso, um dos métodos de Ahmes de solução para a soma sugere uma compreensão de séries geométricas finitas . Ahmes faz uma soma direta, mas também apresenta uma multiplicação simples para obter a mesma resposta: "2801 x 7 = 19607". Chace explica que desde o primeiro termo, o número de casas (7) é igual à razão comum de multiplicação (7), então o seguinte é válido (e pode ser generalizado para qualquer situação semelhante):

Ou seja, quando o primeiro termo de uma sequência geométrica é igual à razão comum, somas parciais de sequências geométricas, ou séries geométricas finitas, podem ser reduzidas a multiplicações envolvendo as séries finitas com um termo a menos, o que se mostra conveniente neste caso . Nesse caso, então, Ahmes simplesmente adiciona os primeiros quatro termos da sequência (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800) para produzir uma soma parcial, adiciona um (2801) e simplesmente multiplica por 7 para produzir a resposta correta.

80 O hinu é uma unidade adicional de volume tal que um heqat é igual a dez hinu. Considere as situações em que se tem uma fração de olho de Hórus de heqats e expresse suas conversões para hinu em uma tabela.

Compare os problemas 47 e 64 para outras informações tabulares com frações de olho de Hórus repetidas.
81 Faça "outra avaliação do hinu". Isto é, expressa uma variedade de frações egípcias, muitos termos das quais também são frações do olho de Hórus, em vários termos de heqats, hinu e ro.
Rhind Papyrus Problem 81.png
A seção principal do problema 81 é uma tabela de conversão muito maior de frações egípcias variadas, que expande a ideia do problema 80 - na verdade, ela representa uma das maiores formas tabulares em todo o papiro. A primeira parte do problema 81 é uma repetição exata da tabela do problema 80, sem a primeira linha que afirma que 1 heqat = 10 hinu; portanto, não é repetido aqui. A segunda parte do problema 81, ou seu "corpo", é a grande mesa apresentada aqui. O leitor atento notará duas coisas: várias linhas repetem informações idênticas e várias formas (mas não todas) fornecidas em ambas as áreas "heqat" em ambos os lados da tabela são de fato idênticas. Há dois pontos que valem a pena mencionar, para explicar por que a tabela tem essa aparência. Por um lado, Ahmes de fato repete exatamente certos grupos de informações em diferentes áreas da tabela, e eles são repetidos aqui de acordo. Por outro lado, Ahmes também começa com certas formas heqat "à esquerda" e comete alguns erros em seus cálculos iniciais. No entanto, em muitos casos, ele corrige esses erros posteriormente ao escrever a tabela, produzindo um resultado consistente. Visto que a informação presente é simplesmente uma recriação da tradução e interpretação de Chace do papiro, e uma vez que Chace optou por interpretar e corrigir os erros de Ahmes, substituindo a informação correta posterior em certas linhas anteriores, corrigindo assim os erros de Ahmes e, portanto, repetindo informações durante a tradução, este método de interpretação explica a duplicação de informações em certas linhas. Quanto à duplicação de informações em certas colunas (1/4 heqat = ... = 1/4 heqat, etc.), isso parece simplesmente ter sido uma convenção que Ahmes preencheu enquanto considerava certas proporções fracionárias importantes de Horus-olho de tanto o ponto de vista do hinu, como também do heqat (e suas conversões). Em suma, as várias repetições de informações são o resultado de escolhas feitas por Ahmes, seu documento-fonte potencial, e as escolhas editoriais de Chace, a fim de apresentar uma tradução matematicamente consistente da tabela maior do problema 81.
82 Calcule em farinha de wedyet, transformada em pão, a porção diária de alimento para dez gansos de engorda . Para fazer isso, execute os seguintes cálculos, expressando as quantidades em termos fracionários egípcios de centenas de heqats, heqats e ro, exceto onde especificado de outra forma:

Comece com a afirmação de que "10 gansos de engorda comem 2 + 1/2 heqats em um dia". Em outras palavras, a taxa diária de consumo (e condição inicial) é igual a 2 + 1/2. Determine o número de heqats que 10 gansos de engorda comem em 10 dias e em 40 dias. Chame essas quantidades e , respectivamente.

Multiplique a última quantidade acima por 5/3 para expressar a quantidade de "soletrado", ou , necessário para ser triturado.

Multiplique por 2/3 para expressar a quantidade de "trigo", ou , necessária.

Divida por 10 para expressar uma "porção de trigo", ou , que deve ser subtraída .

Encontre . Esta é a quantidade de "grão" (ou farinha de wedyet, ao que parece), que é necessária para fazer a alimentação para gansos, presumivelmente no intervalo de 40 dias (o que parece contradizer a afirmação original do problema, de certa forma ) Finalmente, expresse novamente em termos de centenas de heqats duplos, heqats duplos e ro duplo , onde cem heqat duplo = 200 heqat = 100 heqat duplo = 200 heqat = 32.000 ro duplo = 64.000 ro. Chame esta quantidade final .

A partir do problema 82, o papiro torna-se cada vez mais difícil de interpretar (devido a erros e informações ausentes), a ponto de ficar ininteligível. No entanto, ainda é possível dar algum sentido a 82. Simplificando, parece haver regras estabelecidas, ou boas estimativas, para que as frações sejam retiradas deste ou daquele alimento em um processo de cozimento ou produção. O 82 de Ahmes simplesmente dá expressão a algumas dessas quantidades, no que afinal é declarado no documento original como uma "estimativa", apesar de sua linguagem um tanto contraditória e confusa. Além de sua estranheza, os problemas 82, 82B, 83 e 84 também são notáveis ​​por continuar a linha de pensamento "alimentar" dos recentes problemas de pefsu, desta vez considerando como alimentar animais em vez de pessoas. Tanto 82 quanto 82B fazem uso da unidade "cem heqat" em relação a t e f; essas convenções são cosméticas e não se repetem aqui. Licença também é obtida ao longo desses últimos problemas (por Chace) para corrigir erros numéricos do documento original, para tentar apresentar uma paráfrase coerente.
82B Faça uma estimativa da quantidade de alimento para outros gansos. Ou seja, considere uma situação que é idêntica ao problema 82, com a única exceção de que a condição inicial, ou taxa diária de consumo, é exatamente a metade do tamanho. Ou seja, deixe = 1 + 1/4. Encontre e , especialmente , usando álgebra elementar para pular as etapas intermediárias.

O problema 82B é apresentado em paralelo com o problema 82 e considera rapidamente a situação idêntica em que as quantidades associadas são reduzidas à metade. Em ambos os casos, parece que o verdadeiro objetivo de Ahmes é encontrar g_2. Agora que ele tem um "procedimento", ele se sente à vontade para pular as etapas onerosas da 82. Pode-se simplesmente observar que a divisão por dois realiza todo o trabalho do problema, de modo que g_2 também é exatamente a metade do tamanho do problema 82. Uma abordagem um pouco mais completa usando álgebra elementar seria retroceder as relações entre as quantidades em 82, faça a observação essencial de que g = 14/15 xf, e então execute as conversões de unidades para transformar g em g_2.
83 Faça uma estimativa da alimentação para vários tipos de pássaros. Este é um "problema" com vários componentes, que pode ser interpretado como uma série de observações:

Suponha que quatro gansos estejam confinados e que sua quantidade diária coletiva de ração seja igual a um hinu. Expresse a ração diária de um ganso em termos de heqats e ro.

Suponha que a alimentação diária de um ganso "que vai para o tanque" seja igual a 1/16 + 1/32 heqats + 2 ro. Expresse essa mesma dose diária em termos de hinu.

Suponha que a oferta diária de ração para 10 gansos seja um heqat. Encontre o subsídio de 10 dias e o subsídio de 30 dias, ou um mês para o mesmo grupo de animais, em heqats.

Por fim, será apresentada uma tabela com as porções diárias de ração para engordar um animal de qualquer uma das espécies indicadas.

Uma vez que os vários itens do problema 83 estão preocupados com conversões de unidades entre heqats, ro e hinu, no espírito de 80 e 81, é natural imaginar o que os itens da tabela se tornam quando convertidos em hinu. A porção compartilhada pelo ganso, ganso terp e guindaste é igual a 5/3 hinu, a porção dos patos fixos é igual a 1/2 hinu, a porção dos ser-gooses é igual a 1/4 hinu (compare o primeiro item no problema), e a porção compartilhada pela pomba e codorniz é igual a 1/16 + 1/32 hinu. A presença de várias frações do olho de Hórus é conhecida pelo resto do papiro, e a tabela parece considerar estimativas de alimentação para pássaros, variando da maior à menor. As porções "5/3 hinu" no topo da mesa, especificamente seu fator de 5/3, lembra o método para encontrar s no problema 82. O problema 83 menciona "grãos do Baixo Egito", ou cevada, e também usa a unidade de "cem heqat" em um lugar; estes são cosméticos e deixados de fora da presente declaração.
84 Faça uma estimativa da alimentação para um estábulo de bois.

84 é o último problema, ou número, compreendendo o conteúdo matemático do papiro Rhind. Com relação ao próprio 84, Chace ecoa Peet: "Só podemos concordar com Peet que 'com este problema o papiro atinge seu limite de ininteligibilidade e imprecisão.'" (Chace, V.2, Problema 84). Aqui, as instâncias da unidade "cem heqat" foram expressas por "c. Heqat" para economizar espaço. Os três "bovinos" mencionados são descritos como gado "comum", para diferenciá-los dos outros animais, e as duas cabeças referentes aos pães e "alimento comum" são referentes aos heqats. Os "bons bois" no início da mesa são descritos como bois do Alto Egito, uma expressão também removida aqui por razões de espaço.

O problema 84 parece sugerir um procedimento para estimar vários materiais alimentares e reservas em termos semelhantes aos dos três problemas anteriores, mas a informação existente é profundamente confusa. Ainda assim, há indícios de consistência. O problema parece começar como um problema de história convencional, descrevendo um estábulo com dez animais de quatro tipos diferentes. Parece que os quatro tipos de animais consomem ração, ou "pães" em taxas diferentes, e que há quantidades correspondentes de comida "comum". Essas duas colunas de informações são somadas corretamente na linha "total", no entanto, são seguidas por dois itens "soletrados" de relação duvidosa com o anterior. Esses dois itens escritos são, de fato, cada um multiplicado por dez para dar as duas entradas na linha "10 dias", uma vez que as conversões de unidades são contabilizadas. Os itens da linha de "um mês" não parecem ser consistentes com os dois anteriores, entretanto. Finalmente, as informações em "heqats duplos" (leia cem heqats duplos, heqats duplos e ro duplo para esses itens) concluem o problema, de uma maneira que lembra 82 e 82B. Os dois itens na linha final estão aproximadamente, mas não exatamente, na mesma proporção um do outro que os dois itens na linha "um mês".

Número 85 Um pequeno grupo de sinais hieroglíficos cursivos é escrito, o que Chace sugere que podem representar o escriba "tentando sua caneta". Parece ser uma frase ou sentença de algum tipo, e duas traduções são sugeridas. 1) "Mate vermes, ratos, ervas daninhas, numerosas aranhas. Ore ao deus Re por calor, vento e águas altas." 2) Interprete este estranho assunto, que o escriba escreveu ... de acordo com o que ele sabia. "
Rhind Papyrus Number 85.png
Os restantes itens 85, 86 e 87, sendo várias erratas que não são de natureza matemática, são, portanto, denominados por Chace como "números" em oposição a problemas. Eles também estão localizados em áreas do papiro que estão bem longe do corpo da escrita, que acabou de terminar com o Problema 84. O número 85, por exemplo, está a alguma distância do problema 84 no verso - mas não muito longe . Sua colocação no papiro, portanto, sugere uma espécie de coda, caso em que a última tradução, que Chace descreve como um exemplo da interpretação da "escrita enigmática" de documentos egípcios antigos, parece mais apropriada ao seu contexto no documento.
Número 86 O número 86 parece ser de algum relato, ou memorando, e lista uma variedade de mercadorias e quantidades, usando palavras familiares do contexto do resto do próprio papiro. [O texto original é uma série de linhas de escrita, que são, portanto, numeradas a seguir.]

"1 ... vivendo para sempre. Lista dos alimentos em Hebenti ...

2 ... seu irmão, o mordomo Ka-mose ...

3 ... do ano dele, prata, 50 peças duas vezes no ano ...

4 ... gado 2, em prata 3 peças no ano ...

5 ... um duas vezes; ou seja, 1/6 e 1/6. Agora quanto a um ...

6 ... 12 hinu; ou seja, prata, 1/4 peça; 1...

7 ... (ouro ou prata) 5 peças, o preço delas; peixe, 120, duas vezes ...

8 ... ano, cevada, em heqat quádruplo, 1/2 + 1/4 de 100 heqat 15 heqat; soletrado, 100 heqat ... heqat ...

9 ... cevada, em heqat quádruplo, 1/2 + 1/4 de 100 heqat 15 heqat; escrito, 1 + 1/2 + 1/4 vezes 100 heqat 17 heqat ...

10 ... 146 + 1/2; cevada, 1 + 1/2 + 1/4 vezes 100 heqat 10 heqat; soletrado, 300 heqat ... heqat ...

11 ... 1/2, trouxe vinho, 1 cuzinho (carregar?) ...

12 ... 1/2 peça de prata; ... 4; ou seja, em prata ...

13 ... 1 + 1/4; gordura, 36 hinu; ou seja, em prata ...

14 ... 1 + 1/2 + 1/4 vezes 100 heqat 21 heqat; escrito, em quádruplo heqat, 400 heqat 10 heqat ...

15-18 (Estas linhas são repetições da linha 14.) "

Chace indica que o número 86 foi colado no lado esquerdo do verso (oposto aos problemas de geometria posteriores na frente), para fortalecer o papiro. O número 86 pode, portanto, ser interpretado como um "pedaço de papel".
Número 87 O número 87 é um breve relato de certos eventos. Chace indica um consenso acadêmico (reconhecidamente agora datado e possivelmente alterado) de que 87 foi adicionado ao papiro não muito depois da conclusão de seu conteúdo matemático. Ele prossegue indicando que os eventos nele descritos "ocorreram durante o período da dominação hicsa". “Ano 11, segundo mês da safra. Heliópolis entrou.

No primeiro mês da estação de inundação, 23º dia, o comandante (?) Do exército (?) Atacou (?) Zaru.

25º dia, soube-se que Zaru havia entrado.

Ano 11, primeiro mês da estação de inundação, terceiro dia. Nascimento de Set; a majestade deste deus fez com que sua voz fosse ouvida.

Nascimento de Ísis, o céu choveu. "

O número 87 está localizado próximo ao meio do verso, cercado por um grande espaço vazio e sem uso.

Veja também

Bibliografia

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  • Chace, Arnold Buffum; et al. (1929). O papiro matemático Rhind . 2 . Oberlin, Ohio: Mathematical Association of America - via Internet Archive .
  • Gillings, Richard J. (1972). Matemática na época dos Faraós (edição reimpressa de Dover). MIT Press. ISBN 0-486-24315-X.
  • Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text . Londres: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4.

Referências

links externos

Precedido por
16: tablet de inundação
Uma História do Mundo em 100 Objetos,
Objeto 17
Vencido por
18: Minoan Bull-leaper