Liber Abaci - Liber Abaci

Uma página do Liber Abaci da Biblioteca Nazionale di Firenze . A lista à direita mostra os números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (a sequência de Fibonacci ). O 2, 8 e 9 se assemelham a numerais arábicos mais do que numerais arábicos orientais ou numerais indianos

Liber Abaci (também soletrado como Liber Abbaci ; "O Livro do Cálculo") é um manuscrito latino de 1202 histórico sobre aritmética de Leonardo de Pisa, postumamente conhecido como Fibonacci .

Liber Abaci foi um dos primeiros livros ocidentais a descrever o sistema numeral hindu-arábico e a usar símbolos que lembram os modernos " numerais arábicos ". Ao abordar as aplicações de comerciantes comerciais e matemáticos, promoveu a superioridade do sistema e o uso desses glifos.

Embora o título do livro também tenha sido traduzido como "O Livro do Ábaco", Sigler (2002) escreve que isso é um erro: a intenção do livro é descrever métodos de fazer cálculos sem o auxílio de um ábaco , e como Minério ( 1948) confirma que durante séculos após sua publicação os algorismistas (seguidores do estilo de cálculo demonstrado no Liber Abaci ) permaneceram em conflito com os abacistas (tradicionalistas que continuaram a usar o ábaco em combinação com os algarismos romanos). O historiador da matemática Carl Boyer afirmou em sua História da Matemática : "O livro em que Fibonacci descreveu o novo algoritmo é um célebre clássico, concluído em 1202, mas tem um título enganoso - Liber ábacos (ou livro do ábaco). não está no ábaco; é um tratado muito completo sobre métodos e problemas algébricos em que o uso de numerais hindu-arábicos é fortemente defendido. "

Resumo das seções

A primeira seção apresenta o sistema numeral hindu-arábico, incluindo métodos para conversão entre diferentes sistemas de representação. Esta seção também inclui a primeira descrição conhecida da divisão experimental para testar se um número é composto e, em caso afirmativo, fatorá- lo.

A segunda seção apresenta exemplos de comércio, como conversões de moeda e medidas e cálculos de lucro e juros .

A terceira seção discute uma série de problemas matemáticos; por exemplo, inclui (cap. II.12) o teorema do resto chinês , números perfeitos e primos de Mersenne , bem como fórmulas para séries aritméticas e para números piramidais quadrados . Outro exemplo neste capítulo, que descreve o crescimento de uma população de coelhos, foi a origem da sequência de Fibonacci, pela qual o autor é mais famoso hoje.

A quarta seção deriva aproximações, tanto numéricas quanto geométricas, de números irracionais , como raízes quadradas.

O livro também inclui provas em geometria euclidiana . O método de Fibonacci para resolver equações algébricas mostra a influência do matemático egípcio do início do século X, Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam .

Notação de Fibonacci para frações

Ao ler Liber Abaci , é útil entender a notação de Fibonacci para números racionais, uma notação que é intermediária na forma entre as frações egípcias comumente usadas até aquele tempo e as frações vulgares ainda em uso hoje. Existem três diferenças principais entre a notação de Fibonacci e a notação de fração moderna.

1. Geralmente escrevemos uma fração à direita do número inteiro ao qual ela é adicionada, por exemplo, para 7/3. Em vez disso, Fibonacci escreveria a mesma fração à esquerda, ou seja ,. ${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$
2. Fibonacci usou uma notação de fração composta na qual uma seqüência de numeradores e denominadores compartilhavam a mesma barra de fração; cada um desses termos representava uma fração adicional do numerador dado dividido pelo produto de todos os denominadores abaixo e à direita dele. Ou seja , e . A notação foi lida da direita para a esquerda. Por exemplo, 29/30 pode ser escrito como , representando o valor . Isso pode ser visto como uma forma de notação de raiz mista e era muito conveniente para lidar com sistemas tradicionais de pesos, medidas e moeda. Por exemplo, para unidades de comprimento, um pé equivale a 1/3 de jarda e uma polegada equivale a 1/12 de um pé, portanto, uma quantidade de 5 jardas, 2 pés e polegadas pode ser representada como uma fração composta: jardas . No entanto, notações típicas para medidas tradicionais, embora similarmente baseadas em radixes mistos, não escrevem os denominadores explicitamente; os denominadores explícitos na notação de Fibonacci permitem que ele use diferentes radixes para diferentes problemas quando for conveniente. Sigler também aponta um caso em que Fibonacci usa frações compostas em que todos os denominadores são 10, prefigurando a notação decimal moderna para frações. ${\ displaystyle {\ tfrac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ tfrac {a} {c}} + {\ tfrac {b} {cd}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ tfrac {a} {d}} + {\ tfrac {b } {de}} + {\ tfrac {c} {def}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4} {5}} + {\ tfrac {2} {3 \ times 5}} + {\ tfrac {1} {2 \ times 3 \ times 5}}}$${\ displaystyle 7 {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5}$
3. Fibonacci às vezes escrevia várias frações lado a lado, representando uma soma das frações fornecidas. Por exemplo, 1/3 + 1/4 = 7/12, então uma notação como representaria o número que agora seria mais comumente escrito como o número misto , ou simplesmente a fração imprópria . A notação desta forma pode ser distinguida de sequências de numeradores e denominadores que compartilham uma barra de fração pela quebra visível na barra. Se todos os numeradores forem 1 em uma fração escrita nesta forma, e todos os denominadores forem diferentes uns dos outros, o resultado é uma representação de fração egípcia do número. Essa notação às vezes também era combinada com a notação de fração composta: duas frações compostas escritas uma ao lado da outra representariam a soma das frações. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} \, {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {7} {12}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {31} {12}}}$

A complexidade dessa notação permite que os números sejam escritos de muitas maneiras diferentes, e Fibonacci descreveu vários métodos para converter de um estilo de representação para outro. Em particular, o capítulo II.7 contém uma lista de métodos para converter uma fração imprópria em uma fração egípcia, incluindo o algoritmo guloso para frações egípcias , também conhecido como a expansão Fibonacci – Sylvester.

Modus Indorum

No Liber Abaci , Fibonacci diz o seguinte introduzindo o Modus Indorum (o método dos índios), hoje conhecido como sistema numeral hindu-arábico ou notação posicional de base 10. Ele também introduziu dígitos que se assemelhavam muito aos algarismos arábicos modernos .

Como meu pai era um funcionário público afastado de nossa pátria na alfândega da Bugia, estabelecida para os mercadores Pisan que ali se reuniam com frequência, ele me trouxe até ele na minha juventude, procurando encontrar para mim um futuro útil e confortável; lá ele queria que eu estudasse matemática e fosse ensinado por alguns dias. Lá, de uma instrução maravilhosa na arte das nove figuras indianas, a introdução e o conhecimento da arte me agradaram muito acima de tudo, e eu aprendi com eles, quem quer que fosse instruído nela, do vizinho Egito, Síria, Grécia, Sicília e Provença, e seus vários métodos, para os locais de negócios que viajei consideravelmente depois para muito estudo, e aprendi com as disputas reunidas. Mas isso, no geral, o algoritmo e mesmo os arcos pitagóricos, ainda achei quase um erro em comparação com o método indiano. Portanto, abraçando estritamente o método indiano, e atento ao seu estudo, a partir do meu próprio sentido acrescentando alguns, e mais ainda da sutil arte geométrica euclidiana, aplicando a este livro a soma que pude perceber, trabalhei para colocar junta-se em xv capítulos distintos, mostrando certas provas para quase tudo o que coloquei, para que mais além, este método aperfeiçoado acima do resto, esta ciência seja instruída aos ávidos, e ao povo italiano acima de todos os outros, que até agora são encontrados sem um mínimo. Se, por acaso, omiti algo menos ou mais adequado ou necessário, sua indulgência para mim é solicitada, pois não há ninguém que seja isento de culpa, e em todas as coisas é totalmente circunspecto.

As nove figuras indianas são:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Com esses nove algarismos e com o sinal 0 que os árabes chamam de zephir qualquer número que esteja escrito ... ( Sigler 2002 ; ver Grimm 1973 para outra tradução)

Em outras palavras, em seu livro, ele defendeu o uso dos dígitos de 0 a 9 e do valor posicional . Até essa época, a Europa usava numerais romanos, tornando a matemática moderna quase impossível. O livro, portanto, deu uma importante contribuição para a difusão dos algarismos decimais. A disseminação do sistema hindu-árabe, no entanto, como escreve Ore, foi "prolongada", levando muitos mais séculos para se espalhar amplamente, e não se tornou completa até a última parte do século 16, acelerando dramaticamente apenas em os anos 1500 com o advento da impressão.

História textual

A primeira aparição do manuscrito foi em 1202. Nenhuma cópia desta versão é conhecida. Uma versão revisada de Liber Abaci, dedicada a Michael Scot , apareceu em 1227 CE. Existem pelo menos dezenove manuscritos existentes contendo partes deste texto. Existem três versões completas deste manuscrito dos séculos XIII e XIV. Existem outras nove cópias incompletas conhecidas entre os séculos XIII e XV, e pode haver mais ainda não identificadas.

Não havia nenhuma versão impressa conhecida de Liber Abaci até a tradução italiana de Boncompagni de 1857. A primeira tradução completa para o inglês foi o texto de Sigler de 2002.

Notas

Referências

• Grimm, RE (1973), "The Autobiography of Leonardo Pisano" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99-104 .
• Sigler, Laurence E. (trad.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci , Springer-Verlag, ISBN   0-387-95419-8 .
• Ore, Øystein (1948), Number Theory and its History , McGraw Hill . Versão de Dover também disponível, 1988, ISBN   978-0-486-65620-5 .