Divisor - Divisor
Em matemática , o divisor de um número inteiro , também chamado de fator de , é um número inteiro que pode ser multiplicado por algum número inteiro para produzir . Nesse caso, também se diz que é um múltiplo de Um inteiro é divisível ou igualmente divisível por outro inteiro se for um divisor de ; isso implica dividir por não deixar nenhum resto.
Definição
Um inteiro é divisível por um inteiro diferente de zero se houver um inteiro como esse . Isto é escrito como
Outras maneiras de dizer a mesma coisa são que divide , é um divisor de , é um fator de , e é um múltiplo de . Se m não divide n , então a notação é .
Normalmente, m deve ser diferente de zero, mas n pode ser zero. Com esta convenção, para cada inteiro diferente de zero m . Algumas definições omitem o requisito de ser diferente de zero.
Em geral
Divisores podem ser negativos ou positivos, embora às vezes o termo seja restrito a divisores positivos. Por exemplo, existem seis divisores de 4; eles são 1, 2, 4, −1, −2 e −4, mas apenas os positivos (1, 2 e 4) normalmente seriam mencionados.
1 e −1 dividem (são divisores de) cada inteiro. Cada número inteiro (e sua negação) é um divisor de si mesmo. Os inteiros divisíveis por 2 são chamados de pares , e os inteiros não divisíveis por 2 são chamados de ímpares .
1, −1, n e - n são conhecidos como divisores triviais de n . Um divisor de n que não é um divisor trivial é conhecido como um divisor não trivial (ou divisor estrito). Um número inteiro diferente de zero com pelo menos um divisor não trivial é conhecido como um número composto , enquanto as unidades -1 e 1 e os números primos não têm divisores não triviais.
Existem regras de divisibilidade que permitem reconhecer certos divisores de um número dos dígitos do número.
Exemplos
- 7 é um divisor de 42 porque , então podemos dizer . Também pode ser dito que 42 é divisível por 7, 42 é um múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é um fator de 42.
- Os divisores não triviais de 6 são 2, −2, 3, −3.
- Os divisores positivos de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- O conjunto de todos os divisores positivos de 60, , parcialmente ordenado por divisibilidade, tem o diagrama de Hasse :
Outras noções e fatos
Existem algumas regras elementares:
- Se e , então , isto é, a divisibilidade é uma relação transitiva .
- Se e , então ou .
- Se e , então se mantém, assim como . No entanto, se e , em seguida, se não sempre segure (por exemplo, e , mas 5 não divide 6).
Se , e então . Isso é chamado de lema de Euclides .
Se for um número primo e depois ou .
Um divisor positivo diferente de é chamado de divisor adequado ou umparte alíquota de. Um número que não se divide uniformemente,mas deixa um resto, às vezes é chamado departe aliquant de.
Um número inteiro cujo único divisor adequado é 1 é chamado de número primo . Equivalentemente, um número primo é um número inteiro positivo que tem exatamente dois fatores positivos: 1 e ele mesmo.
Qualquer divisor positivo de é um produto dos divisores primos de elevado a alguma potência. Isso é uma consequência do teorema fundamental da aritmética .
Diz- se que um número é perfeito se for igual à soma de seus divisores próprios, deficiente se a soma de seus divisores próprios for menor que , e abundante se essa soma for superior .
O número total de divisores positivos de é uma função multiplicativa , o que significa que quando dois números e são relativamente primos , então . Por exemplo ,; os oito divisores de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. No entanto, o número de divisores positivos não é uma função totalmente multiplicativo: se os dois números e partilhar um divisor comum, então não pode seja verdade isso . A soma dos divisores positivos de é outra função multiplicativa (por exemplo ). Ambas as funções são exemplos de funções divisórias .
Se a fatoração primária de é dada por
então o número de divisores positivos de é
e cada um dos divisores tem a forma
onde para cada
Para cada naturais , .
Além disso,
onde é a constante de Euler-Mascheroni . Uma interpretação desse resultado é que um número inteiro positivo n escolhido aleatoriamente tem um número médio de divisores de cerca de . No entanto, isso é resultado das contribuições de números com divisores "anormalmente muitos" .
Em álgebra abstrata
Teoria do anel
Malha de divisão
Em definições que incluem 0, a relação de divisibilidade transforma o conjunto de inteiros não negativos em um conjunto parcialmente ordenado : uma rede distributiva completa . O maior elemento desta rede é 0 e o menor é 1. A operação de encontro ∧ é dada pelo maior divisor comum e a operação de junção ∨ pelo mínimo múltiplo comum . Esta rede é isomórfica ao dual da rede de subgrupos do grupo cíclico infinito .
Veja também
- Funções aritméticas
- Algoritmo de Euclides
- Fração (matemática)
- Tabela de divisores - Uma tabela de divisores primos e não primos para 1–1000
- Tabela de fatores primos - Uma tabela de fatores primos para 1–1000
- Divisor unitário
Notas
Referências
- Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6ª ed.). Nova York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
- Richard K. Guy , Unsolved Problems in Number Theory (3ª ed), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; seção B.
- Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Uma introdução à teoria dos números (4ª ed.). Imprensa da Universidade de Oxford.
- Herstein, IN (1986), Abstract Algebra , New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
- Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S .; Montgomery, Hugh L. (1991). Uma introdução à teoria dos números (5ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9.
- Øystein Ore , Number Theory and its History, McGraw – Hill, NY, 1944 (e reimpressões de Dover).
- Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach , Nova York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9