Divisor - Divisor

Os divisores de 10 ilustrados com hastes Cuisenaire : 1, 2, 5 e 10

Em matemática , o divisor de um número inteiro , também chamado de fator de , é um número inteiro que pode ser multiplicado por algum número inteiro para produzir . Nesse caso, também se diz que é um múltiplo de Um inteiro é divisível ou igualmente divisível por outro inteiro se for um divisor de ; isso implica dividir por não deixar nenhum resto.

Definição

Um inteiro é divisível por um inteiro diferente de zero se houver um inteiro como esse . Isto é escrito como

Outras maneiras de dizer a mesma coisa são que divide , é um divisor de , é um fator de , e é um múltiplo de . Se m não divide n , então a notação é .

Normalmente, m deve ser diferente de zero, mas n pode ser zero. Com esta convenção, para cada inteiro diferente de zero m . Algumas definições omitem o requisito de ser diferente de zero.

Em geral

Divisores podem ser negativos ou positivos, embora às vezes o termo seja restrito a divisores positivos. Por exemplo, existem seis divisores de 4; eles são 1, 2, 4, −1, −2 e −4, mas apenas os positivos (1, 2 e 4) normalmente seriam mencionados.

1 e −1 dividem (são divisores de) cada inteiro. Cada número inteiro (e sua negação) é um divisor de si mesmo. Os inteiros divisíveis por 2 são chamados de pares , e os inteiros não divisíveis por 2 são chamados de ímpares .

1, −1, n e - n são conhecidos como divisores triviais de n . Um divisor de n que não é um divisor trivial é conhecido como um divisor não trivial (ou divisor estrito). Um número inteiro diferente de zero com pelo menos um divisor não trivial é conhecido como um número composto , enquanto as unidades -1 e 1 e os números primos não têm divisores não triviais.

Existem regras de divisibilidade que permitem reconhecer certos divisores de um número dos dígitos do número.

Exemplos

Gráfico do número de divisores de inteiros de 1 a 1000. Os números primos têm exatamente 2 divisores e os números altamente compostos estão em negrito.
  • 7 é um divisor de 42 porque , então podemos dizer . Também pode ser dito que 42 é divisível por 7, 42 é um múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é um fator de 42.
  • Os divisores não triviais de 6 são 2, −2, 3, −3.
  • Os divisores positivos de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • O conjunto de todos os divisores positivos de 60, , parcialmente ordenado por divisibilidade, tem o diagrama de Hasse :
Malha da divisibilidade de 60;  fatores.svg

Outras noções e fatos

Existem algumas regras elementares:

  • Se e , então , isto é, a divisibilidade é uma relação transitiva .
  • Se e , então ou .
  • Se e , então se mantém, assim como . No entanto, se e , em seguida, se não sempre segure (por exemplo, e , mas 5 não divide 6).

Se , e então . Isso é chamado de lema de Euclides .

Se for um número primo e depois ou .

Um divisor positivo diferente de é chamado de divisor adequado ou umparte alíquota de. Um número que não se divide uniformemente,mas deixa um resto, às vezes é chamado departe aliquant de.

Um número inteiro cujo único divisor adequado é 1 é chamado de número primo . Equivalentemente, um número primo é um número inteiro positivo que tem exatamente dois fatores positivos: 1 e ele mesmo.

Qualquer divisor positivo de é um produto dos divisores primos de elevado a alguma potência. Isso é uma consequência do teorema fundamental da aritmética .

Diz- se que um número é perfeito se for igual à soma de seus divisores próprios, deficiente se a soma de seus divisores próprios for menor que , e abundante se essa soma for superior .

O número total de divisores positivos de é uma função multiplicativa , o que significa que quando dois números e são relativamente primos , então . Por exemplo ,; os oito divisores de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. No entanto, o número de divisores positivos não é uma função totalmente multiplicativo: se os dois números e partilhar um divisor comum, então não pode seja verdade isso . A soma dos divisores positivos de é outra função multiplicativa (por exemplo ). Ambas as funções são exemplos de funções divisórias .

Se a fatoração primária de é dada por

então o número de divisores positivos de é

e cada um dos divisores tem a forma

onde para cada

Para cada naturais , .

Além disso,

onde é a constante de Euler-Mascheroni . Uma interpretação desse resultado é que um número inteiro positivo n escolhido aleatoriamente tem um número médio de divisores de cerca de . No entanto, isso é resultado das contribuições de números com divisores "anormalmente muitos" .

Em álgebra abstrata

Teoria do anel

Malha de divisão

Em definições que incluem 0, a relação de divisibilidade transforma o conjunto de inteiros não negativos em um conjunto parcialmente ordenado : uma rede distributiva completa . O maior elemento desta rede é 0 e o menor é 1. A operação de encontro é dada pelo maior divisor comum e a operação de junção pelo mínimo múltiplo comum . Esta rede é isomórfica ao dual da rede de subgrupos do grupo cíclico infinito .

Veja também

Notas

Referências

  • Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6ª ed.). Nova York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
  • Richard K. Guy , Unsolved Problems in Number Theory (3ª ed), Springer Verlag , 2004 ISBN  0-387-20860-7 ; seção B.
  • Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Uma introdução à teoria dos números (4ª ed.). Imprensa da Universidade de Oxford.
  • Herstein, IN (1986), Abstract Algebra , New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
  • Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S .; Montgomery, Hugh L. (1991). Uma introdução à teoria dos números (5ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9.
  • Øystein Ore , Number Theory and its History, McGraw – Hill, NY, 1944 (e reimpressões de Dover).
  • Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach , Nova York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9