Dígito numérico - Numerical digit

Os dez dígitos dos algarismos arábicos , em ordem de valor.

Um dígito numérico é um único símbolo usado sozinho (como "2") ou em combinações (como "25"), para representar números em um sistema numeral posicional . O nome "dígito" vem do fato de que os dez dígitos ( latim digiti significa dedos) das mãos correspondem aos dez símbolos do sistema numeral de base comum 10 , ou seja, os dígitos decimais (antigo adjetivo latino decem que significa dez).

Para um determinado sistema numeral com uma base inteira , o número de dígitos diferentes necessários é dado pelo valor absoluto da base. Por exemplo, o sistema decimal (base 10) requer dez dígitos (0 a 9), enquanto o sistema binário (base 2) requer dois dígitos (0 e 1).

Visão geral

Em um sistema digital básico, um numeral é uma sequência de dígitos, que pode ter um comprimento arbitrário. Cada posição na sequência tem um valor de casa e cada dígito tem um valor. O valor do numeral é calculado multiplicando cada dígito na sequência por seu valor posicional e somando os resultados.

Valores digitais

Cada dígito em um sistema numérico representa um inteiro. Por exemplo, em decimal, o dígito "1" representa o inteiro um , e no sistema hexadecimal , a letra "A" representa o número dez . Um sistema numérico posicional tem um dígito exclusivo para cada inteiro de zero até, mas não incluindo, a raiz do sistema numérico.

Assim, no sistema decimal posicional, os números de 0 a 9 podem ser expressos usando seus respectivos numerais de "0" a "9" na posição de "unidades" mais à direita. O número 12 pode ser expresso com o numeral "2" na posição das unidades e com o numeral "1" na posição "dezenas", à esquerda do "2", enquanto o número 312 pode ser expresso por três numerais: "3" na posição "centenas", "1" na posição "dezenas" e "2" na posição "unidades".

Cálculo de valores de lugar

O sistema numérico decimal usa um separador decimal , geralmente um ponto em inglês ou uma vírgula em outras línguas europeias , para denotar a "casa das unidades" ou "casa das unidades", que tem um valor de casa. Cada casa sucessiva à esquerda deste tem um valor de casa igual ao valor de casa do dígito anterior vezes a base . Da mesma forma, cada casa sucessiva à direita do separador tem um valor de casa igual ao valor de casa do dígito anterior dividido pela base. Por exemplo, no numeral 10.34 (escrito na base 10 ),

o 0 é imediatamente à esquerda do separador, por isso é na queridos ou unidades lugar, e é chamado o dígito unidades ou os dígitos ;

o 1 à esquerda da casa das unidades está na casa das dezenas e é chamado de dígito das dezenas ;

o 3 está à direita da casa das unidades, por isso está na décima posição e é chamado de décimos dígitos ;

o 4 à direita da décima posição está na casa do centésimo e é chamado de centésimo dígito .

O valor total do número é 1 dez, 0 uns, 3 décimos e 4 centésimos. Observe que o zero, que não contribui com nenhum valor para o número, indica que o 1 está na casa das dezenas, e não na casa das unidades.

O valor posicional de qualquer dígito em um numeral pode ser dado por um cálculo simples, que em si é um complemento à lógica por trás dos sistemas numéricos. O cálculo envolve a multiplicação do dígito dado pela base elevada pelo expoente n - 1 , onde n representa a posição do dígito do separador; o valor de n é positivo (+), mas somente se o dígito estiver à esquerda do separador. E à direita, o dígito é multiplicado pela base elevada por um negativo (-) n . Por exemplo, no número 10,34 (escrito na base 10),

o 1 é o segundo à esquerda do separador, portanto, com base no cálculo, seu valor é,

{\ displaystyle n-1 = 2-1 = 1}

{\ displaystyle 1 \ times 10 ^ {1} = 10}

o 4 é o segundo à direita do separador, portanto, com base no cálculo, seu valor é,

{\ displaystyle n = -2}

{\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 2} = {\ frac {4} {100}}}

História

Glifos usados para representar dígitos do sistema numeral hindu-arábico.

O primeiro sistema numeral posicional verdadeiro escrito é considerado o sistema numeral hindu-arábico . Esse sistema foi estabelecido no século 7 na Índia, mas ainda não estava em sua forma moderna porque o uso do dígito zero ainda não era amplamente aceito. Em vez de um zero, às vezes os dígitos eram marcados com pontos para indicar seu significado, ou um espaço era usado como espaço reservado. O primeiro uso amplamente conhecido do zero foi em 876. Os numerais originais eram muito semelhantes aos modernos, até mesmo os glifos usados para representar os dígitos.

Os dígitos do sistema numeral maia

No século 13, os numerais árabes ocidentais eram aceitos nos círculos matemáticos europeus ( Fibonacci os usou em seu Liber Abaci ). Eles começaram a entrar no uso comum no século XV. No final do século 20, praticamente todos os cálculos não computadorizados do mundo eram feitos com algarismos arábicos, que substituíram os sistemas de numeração nativos na maioria das culturas.

Outros sistemas históricos de numeração usando dígitos

A idade exata dos algarismos maias não é clara, mas é possível que seja mais antigo do que o sistema hindu-árabe. O sistema era vigesimal (base 20), portanto tem vinte dígitos. Os maias usavam um símbolo de concha para representar o zero. Os numerais foram escritos verticalmente, com aqueles colocados na parte inferior. Os maias não tinham equivalente ao separador decimal moderno , então seu sistema não podia representar frações.

O sistema numérico tailandês é idêntico ao sistema numeral hindu-arábico, exceto pelos símbolos usados para representar dígitos. O uso desses dígitos é menos comum na Tailândia do que antes, mas ainda são usados junto com os algarismos arábicos.

Os numerais de bastão, as formas escritas de contadores usados antigamente por matemáticos chineses e japoneses , são um sistema posicional decimal capaz de representar não apenas zero, mas também números negativos. As próprias hastes de contagem são anteriores ao sistema de numeração hindu-arábica. Os numerais de Suzhou são variantes dos numerais da haste.

Números da haste (vertical)
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

–0	-1	-2	-3	-4	–5	–6	–7	–8	–9

Sistemas digitais modernos

Em ciência da computação

Os sistemas binário (base 2), octal (base 8) e hexadecimal (base 16), amplamente usados na ciência da computação , todos seguem as convenções do sistema numeral hindu-arábico . O sistema binário usa apenas os dígitos "0" e "1", enquanto o sistema octal usa os dígitos de "0" a "7". O sistema hexadecimal usa todos os dígitos do sistema decimal, mais as letras de "A" a "F", que representam os números de 10 a 15 respectivamente.

Sistemas incomuns

Os sistemas ternário e ternário equilibrado têm sido usados algumas vezes. Ambos são sistemas de base 3.

O ternário balanceado é incomum por ter os valores de dígito 1, 0 e -1. O ternário equilibrado revelou ter algumas propriedades úteis e o sistema foi usado nos computadores Setun experimentais da Rússia .

Vários autores nos últimos 300 anos notaram uma facilidade de notação posicional que equivale a uma representação decimal modificada . Algumas vantagens são citadas para o uso de dígitos numéricos que representam valores negativos. Em 1840, Augustin-Louis Cauchy defendeu o uso da representação de números com dígitos assinados , e em 1928 Florian Cajori apresentou sua coleção de referências para numerais negativos . O conceito de representação de dígitos assinados também foi adotado no design de computadores .

Dígitos em matemática

Apesar do papel essencial dos dígitos na descrição dos números, eles são relativamente sem importância para a matemática moderna . No entanto, existem alguns conceitos matemáticos importantes que fazem uso da representação de um número como uma sequência de dígitos.

Raízes digitais

A raiz digital é o número de um dígito obtido pela soma dos dígitos de um determinado número, depois somando os dígitos do resultado e assim por diante até que um número de um dígito seja obtido.

Expulsando noves

Lançar fora os noves é um procedimento para verificar a aritmética feita à mão. Para descrevê-lo, vamos representar a raiz digital de , conforme descrito acima. Eliminar noves faz uso do fato de que se , então . No processo de expulsão de noves, ambos os lados da última equação são calculados e, se eles não forem iguais, a adição original deve ter sido incorreta. ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A + B = C}$ ${\ displaystyle f (f (A) + f (B)) = f (C)}$

Repunits e repdigits

Repunidades são números inteiros representados apenas com o dígito 1. Por exemplo, 1111 (mil, cento e onze) é uma nova unidade. Repdigits são uma generalização de repunits; eles são inteiros representados por instâncias repetidas do mesmo dígito. Por exemplo, 333 é um repdigit. A primalidade das unidades é de interesse dos matemáticos.

Números palindrômicos e números de Lychrel

Os números palindrômicos são números que têm a mesma leitura quando seus dígitos são invertidos. Um número de Lychrel é um número inteiro positivo que nunca produz um número palíndromo quando sujeito ao processo iterativo de ser adicionado a si mesmo com os dígitos invertidos. A questão de saber se há algum número de Lychrel na base 10 é um problema aberto na matemática recreativa ; o menor candidato é 196 .

História de números antigos

Auxiliares de contagem, especialmente o uso de partes do corpo (contagem nos dedos), certamente foram usados em tempos pré-históricos como hoje. Existem muitas variações. Além de contar dez dedos, algumas culturas contam os nós dos dedos, o espaço entre os dedos das mãos e dos pés, assim como os dedos das mãos. A cultura Oksapmin da Nova Guiné usa um sistema de 27 localizações da parte superior do corpo para representar números.

Para preservar as informações numéricas, contagens esculpidas em madeira, osso e pedra têm sido usadas desde os tempos pré-históricos. As culturas da idade da pedra, incluindo os antigos grupos indígenas americanos , usavam contagens para jogos de azar, serviços pessoais e mercadorias comerciais.

Um método de preservação de informações numéricas em argila foi inventado pelos sumérios entre 8.000 e 3.500 aC. Isso era feito com pequenas fichas de argila de várias formas enfiadas como contas em um cordão. Começando por volta de 3500 aC, as fichas de argila foram gradualmente substituídas por sinais numéricos impressos com um estilete redondo em diferentes ângulos em tabuletas de argila (originalmente recipientes para fichas) que eram então cozidos. Por volta de 3100 aC, os números escritos foram dissociados das coisas que estavam sendo contadas e tornaram-se numerais abstratos.

Entre 2700 e 2000 aC, na Suméria, o estilete redondo foi gradualmente substituído por um estilete de junco que era usado para imprimir sinais cuneiformes em forma de cunha na argila. Esses sinais de número cuneiformes assemelhavam-se aos sinais de número redondos que substituíram e retiveram a notação de valor de sinal aditivo dos sinais de número redondos. Esses sistemas convergiram gradualmente para um sistema numérico sexagesimal comum ; tratava-se de um sistema de valor nominal que consistia em apenas duas marcas impressas, a cunha vertical e a divisa, que também podiam representar frações. Este sistema numérico sexagesimal foi totalmente desenvolvido no início do período da Velha Babilônia (por volta de 1950 aC) e se tornou o padrão na Babilônia.

Os numerais sexagesimais eram um sistema de radix misto que retinha a base alternada 10 e a base 6 em uma sequência de cunhas verticais cuneiformes e divisas. Em 1950 aC, este era um sistema de notação posicional . Os numerais sexagesimais passaram a ser amplamente usados no comércio, mas também em cálculos astronômicos e outros. Este sistema foi exportado da Babilônia e usado em toda a Mesopotâmia e por todas as nações mediterrâneas que usavam unidades de medida e contagem padrão da Babilônia, incluindo gregos, romanos e egípcios. A numeração sexagesimal no estilo babilônico ainda é usada nas sociedades modernas para medir o tempo (minutos por hora) e os ângulos (graus).

História dos números modernos

Na China , exércitos e provisões foram contados usando contagens modulares de números primos . Números únicos de tropas e medidas de arroz aparecem como combinações únicas dessas contagens. Uma grande conveniência da aritmética modular é que ela é fácil de multiplicar. Isso torna o uso da aritmética modular para provisões especialmente atraente. As contagens convencionais são muito difíceis de multiplicar e dividir. Nos tempos modernos, a aritmética modular é às vezes usada no processamento digital de sinais .

O sistema grego mais antigo era o dos numerais áticos , mas no século 4 aC eles começaram a usar um sistema alfabético quase-decimal (ver numerais gregos ). Os judeus começaram a usar um sistema semelhante ( numerais hebraicos ), com os exemplos mais antigos conhecidos sendo moedas de cerca de 100 AC.

O Império Romano usava contagens escritas em cera, papiro e pedra, e seguia aproximadamente o costume grego de atribuir letras a vários números. O sistema de numeração romana permaneceu em uso comum na Europa até que a notação posicional passou a ser usada no século XVI.

Os maias da América Central usavam um sistema misto de base 18 e 20, possivelmente herdado dos olmecas , incluindo recursos avançados como notação posicional e zero . Eles usaram esse sistema para fazer cálculos astronômicos avançados, incluindo cálculos altamente precisos da duração do ano solar e da órbita de Vênus .

O Império Inca administrava uma grande economia de comando usando quipus , contagens feitas por nós de fibras coloridas. Conhecimento das codificações dos nós e cores foi suprimido pelos espanhóis conquistadores no século 16, e não sobreviveu embora quipu-like simples dispositivos de gravação ainda são usados na andina região.

Algumas autoridades acreditam que a aritmética posicional começou com o amplo uso de hastes de contagem na China. Os primeiros registros posicionais escritos parecem ser resultados de cálculo com bastão na China por volta de 400. O zero foi usado pela primeira vez na Índia no século 7 dC por Brahmagupta .

O moderno sistema posicional de numeração árabe foi desenvolvido por matemáticos na Índia e passado para matemáticos muçulmanos , junto com tabelas astronômicas trazidas a Bagdá por um embaixador indiano por volta de 773.

Da Índia , o próspero comércio entre os sultões islâmicos e a África levou o conceito ao Cairo . Os matemáticos árabes estenderam o sistema para incluir frações decimais , e Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī escreveu uma importante obra sobre isso no século IX. Os modernos numerais arábicos foram introduzidos para a Europa com a tradução deste trabalho em em Espanha e no século 12 Leonardo de Pisa 's Liber Abaci de 1201. Na Europa, o sistema indiano completo com o zero foi derivada dos árabes no século 12 .

O sistema binário (base 2), foi propagado no século 17 por Gottfried Leibniz . Leibniz desenvolveu o conceito no início de sua carreira e o revisitou quando revisou uma cópia do I Ching da China. Os números binários começaram a ser usados no século 20 por causa de aplicativos de computador.

Numerais nos sistemas mais populares

Árabe ocidental	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Asomiya (Assamês); bengali	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Devanágari	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Árabe oriental	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
persa	٠	١	٢	٣	۴	۵	۶	٧	٨	٩
Gurmukhi	੦	੧	੨	੩	੪	੫	੬	੭	੮	੯
urdu
Chinês (todos os dias)	〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
Chinês (formal)	零	壹	贰 / 貳	叁 / 叄	肆	伍	陆 / 陸	柒	捌	玖
Chinês (Suzhou)	〇	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩
Ge'ez (etíope)		፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
Guzerate	૦	૧	૨	૩	૪	૫	૬	૭	૮	૯
Egípcio hieroglífico		𓏺	𓏻	𓏼	𓏽	𓏾	𓏿	𓐀	𓐁	𓐂
japonês	零/ 〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
Canarim	೦	೧	೨	೩	೪	೫	೬	೭	೮	೯
Khmer (Camboja)	០	១	២	៣	៤	៥	៦	៧	៨	៩
Lao	໐	໑	໒	໓	໔	໕	໖	໗	໘	໙
Limbu	᥆	᥇	᥈	᥉	᥊	᥋	᥌	᥍	᥎	᥏
Malaiala	൦	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯
mongol	᠐	᠑	᠒	᠓	᠔	᠕	᠖	᠗	᠘	᠙
birmanês	၀	၁	၂	၃	၄	၅	၆	၇	၈	၉
Oriya	୦	୧	୨	୩	୪	୫	୬	୭	୮	୯
romano		eu	II	III	4	V	VI	VII	VIII	IX
Shan	႐	႑	ဋ္ဌ	႓	႔	႕	႖	႗	႘	႙
Sinhala		𑇡	𑇢	𑇣	𑇤	𑇥	𑇦	𑇧	𑇨	𑇩
tâmil	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯
Telugu	౦	౧	౨	౩	౪	౫	౬	౭	౮	౯
tailandês	๐	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙
Tibetano	༠	༡	༢	༣	༤	༥	༦	༧	༨	༩
Novo Tai Lue	᧐	᧑	᧒	᧓	᧔	᧕	᧖	᧗	᧘	᧙
Javanês	꧐	꧑	꧒	꧓	꧔	꧕	꧖	꧗	꧘	꧙

Numerais adicionais

	1	5	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	500	1000	10.000	10 ⁸
Chinês (simples)	一	五	十	二十	三十	四十	五十	六十	七十	八十	九十	百	五百	千	万	亿
Chinês (complexo)	壹	伍	拾	贰拾	叁拾	肆拾	伍拾	陆拾	柒拾	捌拾	玖拾	佰	伍佰	仟	萬	億
Ge'ez (etíope)	፩	፭	፲	፳	፴	፵	፶	፷	፸	፹	፺	፻	፭፻	፲፻	፼	፼፼
romano	eu	V	X	XX	Xxx	XL	eu	LX	LXX	LXXX	XC	C	D	M	X

Veja também

Hexadecimal
Dígito binário ( bit ), dígito binário quântico ( qubit )
Dígito ternário ( trit ), dígito ternário quântico ( qutrit )
Dígito decimal ( dit )
Dígito hexadecimal ( hexadecimal )
Dígito natural ( nat , nit )
Dígito Naperiano ( nepit )
Dígito significativo
Grandes números
Figuras de texto
Ábaco
História de grandes números
Lista de tópicos do sistema numeral

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