Glossário de topologia - Glossary of topology
Este é um glossário de alguns termos usados no ramo da matemática conhecido como topologia . Embora não haja uma distinção absoluta entre as diferentes áreas da topologia, o foco aqui está na topologia geral . As seguintes definições também são fundamentais para a topologia algébrica , topologia diferencial e topologia geométrica .
Todos os espaços neste glossário são considerados espaços topológicos, a menos que indicado de outra forma.
UMA
- Absolutamente fechado
- Veja H-fechado
- Ponto de acumulação
- Veja o ponto limite .
- Topologia de Alexandrov
- A topologia de um espaço X é uma topologia de Alexandrov (ou é gerada finitamente ) se as interseções arbitrárias de conjuntos abertos em X forem abertas, ou equivalentemente, se as uniões arbitrárias de conjuntos fechados forem fechadas, ou, novamente de forma equivalente, se os conjuntos abertos forem os conjuntos superiores de um poset .
- Quase discreto
- Um espaço é quase discreto se todos os conjuntos abertos forem fechados (portanto, clopen). Os espaços quase discretos são precisamente os espaços de dimensão zero gerados finitamente.
- α-fechado, α-aberto
- Um subconjunto A de um espaço topológico X é α-aberto se , e o complemento de tal conjunto é α-fechado.
- Espaço de aproximação
- Um espaço de abordagem é uma generalização do espaço métrico com base em distâncias ponto-a-conjunto, em vez de ponto-a-ponto.
B
- Espaço baire
- Isso tem dois significados comuns distintos:
- Um espaço é um espaço Baire se a interseção de qualquer coleção contável de conjuntos abertos densos for densa; veja o espaço Baire .
- O espaço de Baire é o conjunto de todas as funções dos números naturais aos naturais, com a topologia de convergência pontual; veja espaço de Baire (teoria dos conjuntos) .
- Base
- Uma coleção B de conjuntos abertos é uma base (ou base ) para uma topologia se cada conjunto aberto em for uma união de conjuntos em . A topologia é a menor topologia em conter e é considerada gerada por .
- β-aberto
- Veja Semi-preopen .
- b-aberto, b-fechado
- Um subconjunto de um espaço topológico é b-aberto se . O complemento de um conjunto b-aberto é b-fechado.
- Álgebra Borel
- A álgebra de Borel em um espaço topológico é a menor -álgebra contendo todos os conjuntos abertos. É obtido tomando a interseção de todas as -álgebras em conter .
- Conjunto borel
- Um conjunto de Borel é um elemento de uma álgebra de Borel.
- Limite
- O limite (ou fronteira ) de um conjunto é o fechamento do conjunto menos seu interior. Equivalentemente, o limite de um conjunto é a interseção de seu fechamento com o fechamento de seu complemento. O limite de um conjunto é denotado por ou .
- Delimitado
- Um conjunto em um espaço métrico é limitado se tiver diâmetro finito . Equivalentemente, um conjunto é limitado se estiver contido em alguma bola aberta de raio finito. Uma função que assume valores em um espaço métrico é limitada se sua imagem for um conjunto limitado.
C
- Categoria de espaços topológicos
- A categoria Top possui espaços topológicos como objetos e mapas contínuos como morfismos .
- Sequência de Cauchy
- Uma sequência { x n } em um espaço métrico ( M , d ) é uma sequência de Cauchy se, para cada número real positivo r , houver um inteiro N tal que para todos os inteiros m , n > N , temos d ( x m , x n ) < r .
- Conjunto Clopen
- Um conjunto é fechado se estiver aberto e fechado.
- Bola fechada
- Se ( M , d ) é um espaço métrico , uma bola fechada é um conjunto da forma D ( x ; r ): = { y em M : d ( x , y ) ≤ r }, onde x está em M e r é um número real positivo , o raio da bola. Uma bola fechada de raio r é um fechada r -ball . Cada bola fechada é um conjunto fechado na topologia induzida em M por d . Observe que a bola fechada D ( x ; r ) pode não ser igual ao fechamento da bola aberta B ( x ; r ).
- Conjunto fechado
- Um conjunto é fechado se seu complemento for membro da topologia.
- Função fechada
- Uma função de um espaço para outro é fechada se a imagem de cada conjunto fechado for fechada.
- Fecho
- O fechamento de um conjunto é o menor conjunto fechado que contém o conjunto original. É igual à interseção de todos os conjuntos fechados que o contêm. Um elemento de encerramento de um conjunto S é um ponto de fecho de S .
- Operador de fechamento
- Veja os axiomas de fechamento de Kuratowski .
- Topologia mais grosseira
- Se X for um conjunto, e se T 1 e T 2 forem topologias em X , então T 1 é mais grosseiro (ou menor , mais fraco ) do que T 2 se T 1 estiver contido em T 2 . Cuidado, alguns autores, principalmente analistas , usam o termo mais forte .
- Comeagre
- Um subconjunto A de um espaço X é comeagre ( comeagre ) se seu complemento X \ A for insuficiente . Também chamado de residual .
- Compactar
- Um espaço é compacto se toda tampa aberta tiver uma subcobertura finita. Cada espaço compacto é Lindelöf e paracompacto. Portanto, todo espaço compacto de Hausdorff é normal. Veja também quasicompact .
- Topologia compacta aberta
- A topologia compacta-aberta no conjunto C ( X , Y ) de todos os mapas contínuos entre dois espaços X e Y é definida da seguinte forma: dado um subconjunto compacto K de X e um subconjunto aberto U de Y , seja V ( K , U ) denotam o conjunto de todos os mapas f em C ( X , Y ) de modo a que f ( K ) está contido na L . Então, a coleção de todos esses V ( K , U ) é uma subbase para a topologia compacta-aberta.
- Completamente metrizável / completamente metrizável
- Veja o espaço completo .
- Completamente normal
- Um espaço é completamente normal se quaisquer dois conjuntos separados tiverem vizinhanças disjuntas .
- Hausdorff completamente normal
- Um espaço completamente normal Hausdorff (ou T 5 espaço ) é um completamente normal t um espaço. (Um espaço completamente normal é Hausdorff se e somente se for T 1 , então a terminologia é consistente .) Todo espaço de Hausdorff completamente normal é Hausdorff normal.
- Completamente regular
- Um espaço é completamente regular se, sempre que C é um conjunto fechado e x é um ponto que não está em C , então C e { x } são funcionalmente separados.
- Completamente T 3
- Veja Tychonoff .
- Componente
- Consulte Componente conectado / Componente conectado por caminho .
- Conectado
- Um espaço está conectado se não for a união de um par de conjuntos abertos não vazios separados . Equivalentemente, um espaço está conectado se os únicos conjuntos clopen forem o espaço inteiro e o conjunto vazio.
- Componente conectado
- Um componente conectado de um espaço é um subespaço conectado não vazio máximo . Cada componente conectado é fechado e o conjunto de componentes conectados de um espaço é uma partição desse espaço.
- Contínuo
- Uma função de um espaço para outro é contínua se a pré - imagem de cada conjunto aberto estiver aberta.
- Continuum
- Um espaço é denominado contínuo se for um espaço de Hausdorff compacto e conectado.
- Contratível
- Um espaço X é contraível se o mapa de identidade em X for homotópico a um mapa constante. Todo espaço contraível é simplesmente conectado.
- Topologia de coproduto
- Se { X i } é uma coleção de espaços e X é a união disjunta (teórica do conjunto) de { X i }, então a topologia do coproduto (ou topologia de união disjunta , soma topológica de X i ) em X é a topologia mais fina para o qual todos os mapas de injeção são contínuos.
- Condição de cadeia contável
- Um espaço X satisfaz a condição de cadeia contável se todas as famílias de conjuntos abertos não vazios e disjuntos em pares forem contáveis.
- Contavelmente compacto
- Um espaço é contavelmente compacto se cada tampa aberta contável tiver uma subcobertura finita. Cada espaço compacto contável é pseudocompacto e fracamente contável.
- Contabilmente finito localmente
- Uma coleção de subconjuntos de um espaço X é countably localmente finito (ou σ-localmente finito ) se é a união de um contável coleção de coleções localmente finitos de subconjuntos de X .
- Cobrir
- Uma coleção de subconjuntos de um espaço é uma cobertura (ou cobertura ) desse espaço se a união da coleção for o espaço inteiro.
- Cobertura
- Veja a capa .
- Ponto de corte
- Se X for um espaço conectado com mais de um ponto, então um ponto x de X é um ponto de corte se o subespaço X - { x } estiver desconectado.
D
- ponto do cluster δ, δ-fechado, δ-aberto
- Um ponto x de um espaço topológico X é um ponto δ-conjunto de um subconjunto Um se para cada vizinhança aberta L de X em X . O subconjunto A é δ-fechado se for igual ao conjunto de seus pontos δ-cluster, e δ-aberto se seu complemento for δ-fechado.
- Conjunto denso
- Um conjunto é denso se tiver interseção não vazia com cada conjunto aberto não vazio. Da mesma forma, um conjunto é denso se seu fechamento é todo o espaço.
- Conjunto denso em si mesmo
- Um conjunto é denso em si mesmo se não tiver um ponto isolado .
- Densidade
- a cardinalidade mínima de um subconjunto denso de um espaço topológico. Um conjunto de densidade ℵ 0 é um espaço separável .
- Conjunto derivado
- Se X é um espaço e S é um subconjunto de X , o conjunto derivado de S em X é o conjunto dos pontos limite de S em X .
- Espaço desenvolvível
- Um espaço topológico com um desenvolvimento .
- Desenvolvimento
- Um contáveis recolha de tampas abertas de um espaço topológico, de tal modo que para qualquer conjunto fechado C e qualquer ponto P no seu complemento, existe uma tampa no conjunto de tal modo que cada vizinhança de p na tampa é separado a partir de C .
- Diâmetro
- Se ( M , d ) é um espaço métrica e S é um subconjunto de H , o diâmetro de S é a supremum das distâncias d ( x , y ), onde x e y gama sobre S .
- Métrica discreta
- A métrica discreta em um conjunto X é a função d : X × X → R tal que para todo x , y em X , d ( x , x ) = 0 e d ( x , y ) = 1 se x ≠ y . As métricas discretas induz a topologia discreta em X .
- Espaço discreto
- Um espaço X é discreto se cada subconjunto de X estiver aberto. Dizemos que X carrega a topologia discreta .
- Topologia de união disjunta
- Consulte a topologia do coproduto .
- Ponto de dispersão
- Se X for um espaço conectado com mais de um ponto, então um ponto x de X é um ponto de dispersão se o subespaço X - { x } estiver hereditariamente desconectado (seus únicos componentes conectados são os conjuntos de um ponto).
- Distância
- Veja espaço métrico .
E
- Comitiva
- Veja espaço uniforme .
- Exterior
- O exterior de um conjunto é o interior de seu complemento.
F
- F σ definido
- Um conjunto F σ é uma união contável de conjuntos fechados.
- Filtro
- Veja também: Filtros na topologia . Um filtro em um espaço X é uma família F não vazia de subconjuntos de X, de modo que as seguintes condições se mantêm:
- O conjunto vazio não é em F .
- A intersecção de qualquer finito número de elementos de F é de novo em F .
- Se A é em F e se B contém um , então B é em F .
- Topologia final
- Em um conjunto X em relação a uma família de funções em , é a melhor topologia em X que torna essas funções contínuas .
- Topologia fina (teoria potencial)
- No espaço euclidiano , a topologia mais grosseira tornando todas as funções sub-harmônicas (equivalentemente todas as funções super- harmônicas ) contínuas.
- Topologia mais fina
- Se X for um conjunto, e se T 1 e T 2 forem topologias em X , então T 2 é mais fino (ou maior , mais forte ) do que T 1 se T 2 contiver T 1 . Cuidado, alguns autores, principalmente analistas , usam o termo mais fraco .
- Finitamente gerado
- Consulte a topologia de Alexandrov .
- Primeira categoria
- Veja Meager .
- Primeira contagem
- Um espaço é contável pela primeira vez se cada ponto tiver uma base local contável .
- Fréchet
- Consulte T 1 .
- Fronteira
- Veja Limite .
- Conjunto completo
- Um subconjunto compacto K do plano complexo é denominado completo se seu complemento estiver conectado. Por exemplo, o disco da unidade fechada está cheio, enquanto o círculo da unidade não está.
- Separado funcionalmente
- Dois conjuntos A e B em um espaço X são funcionalmente separados se houver um mapa contínuo f : X → [0, 1] tal que f ( A ) = 0 ef ( B ) = 1.
G
- Conjunto G δ
- Um conjunto G δ ou conjunto limitador interno é uma interseção contável de conjuntos abertos.
- G δ espaço
- Um espaço em que todo conjunto fechado é um conjunto G δ .
- Ponto genérico
- Um ponto genérico para um conjunto fechado é um ponto para o qual o conjunto fechado é o fechamento do conjunto singleton que contém aquele ponto.
H
- Hausdorff
- Um Hausdorff espaço (ou T 2 espaço ) é um em que cada dois pontos distintos têm disjuntos vizinhanças. Cada espaço de Hausdorff é T 1 .
- H-fechado
- Um espaço é H-fechado, ou Hausdorff fechado ou absolutamente fechado , se for fechado em todos os espaços de Hausdorff que o contenham.
- Hereditariamente P
- Um espaço é hereditariamente P para alguma propriedade P se cada subespaço é também P .
- Hereditário
- Uma propriedade dos espaços é considerada hereditária se sempre que um espaço tiver essa propriedade, todos os subespaços dele também terão. Por exemplo, a segunda contagem é uma propriedade hereditária.
- Homeomorfismo
- Se X e Y são espaços, um homeomorfismo de X a Y é uma função bijetiva f : X → Y tal que f e f −1 são contínuos. Os espaços X e Y são então considerados homeomórficos . Do ponto de vista da topologia, os espaços homeomórficos são idênticos.
- Homogêneo
- Um espaço X é homogénea se, para todos os x e y em X , há uma homeomorphism f : X → X tal que f ( x ) = y . Intuitivamente, o espaço parece o mesmo em todos os pontos. Todo grupo topológico é homogêneo.
- Mapas homotópicos
- Dois mapas contínuos f , g : X → Y são homotópicos (em Y ) se houver um mapa contínuo H : X × [0, 1] → Y tal que H ( x , 0) = f ( x ) e H ( x , 1) = g ( x ) para todos os x em X . Aqui, X × [0, 1] é dada a topologia do produto. A função H é chamada de homotopia (em Y ) entre f e g .
- Homotopia
- Veja mapas homotópicos .
- Hiperconectado
- Um espaço é hiperconectado se não houver dois conjuntos abertos não vazios separados. Todo espaço hiperconectado está conectado.
eu
- Mapa de identificação
- Veja o mapa de quocientes .
- Espaço de identificação
- Veja espaço quociente .
- Espaço indiscreto
- Consulte Topologia trivial .
- Topologia de dimensão infinita
- Veja variedades de Hilbert e variedades Q , isto é, variedades (generalizadas) modeladas no espaço de Hilbert e no cubo de Hilbert, respectivamente.
- Conjunto de limitação interna
- Um conjunto G δ .
- Interior
- O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto contido no conjunto original. É igual à união de todos os conjuntos abertos contidos nele. Um elemento do interior de um conjunto S é um ponto interior de S .
- Ponto Interior
- Consulte Interior .
- Ponto isolado
- Um ponto x é um ponto isolado se o singleton { x } estiver aberto. De modo mais geral, se S é um subconjunto de um espaço X , e, se x é um ponto de S , então x é um ponto isolado de S se { x } é aberta na topologia subespaço em S .
- Isomorfismo isométrico
- Se M 1 e M 2 são espaços métricos, um isomorfismo isométrico de M 1 a M 2 é uma isometria bijetiva f : M 1 → M 2 . Os espaços métricos são então considerados isometricamente isomórficos . Do ponto de vista da teoria do espaço métrico, os espaços isometricamente isomórficos são idênticos.
- Isometria
- Se ( M 1 , d 1 ) e ( M 2 , d 2 ) são espaços métricos, uma isometria de M 1 a M 2 é uma função f : M 1 → M 2 tal que d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 1 ( x , y ) para todo x , y em M 1 . Toda isometria é injetiva , embora nem toda isometria seja sobrejetora .
K
- Axioma de Kolmogorov
- Veja T 0 .
- Axiomas de fechamento de Kuratowski
- Os axiomas de fechamento de Kuratowski são um conjunto de axiomas satisfeitos pela função que leva cada subconjunto de X ao seu fechamento:
- Isotonicidade : Todo conjunto está contido em seu fechamento.
- Idempotência : O fechamento do fechamento de um conjunto é igual ao fechamento desse conjunto.
- Preservação das uniões binárias : O fechamento da união de dois conjuntos é a união de seus fechamentos.
- Preservação de uniões nulas : O fechamento do conjunto vazio está vazio.
- Se c é uma função do conjunto de potência de X para si mesmo, então c é um operador de fechamento se satisfizer os axiomas de fechamento de Kuratowski. Os axiomas de fecho Kuratowski pode então ser utilizado para definir uma topologia em X , declarando os conjuntos fechados a ser os pontos fixos de este operador, ou seja, um conjunto A é fechada , se e somente se c ( A ) = Uma .
- Topologia de Kolmogorov
- T Kol = {R, } ∪ {(a, ∞): a é um número real}; o par (R, T Kol ) é denominado Kolmogorov Straight .
eu
- Espaço L
- Um espaço L é um espaço Lindelöf hereditariamente que não é separável hereditariamente . Uma linha Suslin seria um L-espaço.
- Topologia maior
- Consulte Topologia mais fina .
- Ponto limite
- Um ponto x em um espaço X é um ponto limite de um subconjunto S se cada conjunto aberto contendo x também contém um ponto de S diferente do próprio x . Isso é equivalente a exigir que toda vizinhança de x contenha um ponto de S diferente do próprio x .
- Ponto limite compacto
- Consulte Fracamente contável e compacto .
- Base local
- Um conjunto B de vizinhanças de um ponto x de um espaço X é uma base local (ou base local , base de vizinhança , com base bairro ) a x se cada vizinhança de x contém algum membro de B .
- Base local
- Veja Base local .
- Espaço local (P)
- Existem duas definições para um espaço ser "localmente (P)", onde (P) é uma propriedade topológica ou teórica de conjuntos: que cada ponto tem uma vizinhança com propriedade (P), ou que cada ponto tem uma base de vizinhança para a qual cada membro possui uma propriedade (P). A primeira definição é geralmente considerada como localmente compacto, contável compacto, metrisável, separável, contável; o segundo para conectado localmente.
- Subconjunto localmente fechado
- Um subconjunto de um espaço topológico que é a interseção de um subconjunto aberto e fechado. Equivalentemente, é um subconjunto relativamente aberto de seu fechamento.
- Localmente compacto
- Um espaço é localmente compacto se cada ponto tem uma vizinhança compacta: a definição alternativa de que cada ponto tem uma base local consistindo de vizinhanças compactas é às vezes usada: estes são equivalentes para espaços de Hausdorff. Cada espaço localmente compacto de Hausdorff é Tychonoff.
- Conectado localmente
- Um espaço está conectado localmente se cada ponto tiver uma base local consistindo de bairros conectados.
- Localmente denso
- veja Preopen .
- Localmente finito
- Uma coleção de subconjuntos de um espaço é localmente finita se cada ponto tiver uma vizinhança que tenha interseção não vazia com apenas finitamente muitos dos subconjuntos. Veja também contably localmente finito , ponto finito .
- Localmente metrizável / Localmente metrizável
- Um espaço é localmente metrizável se cada ponto tiver uma vizinhança metrizável.
- Conectado localmente por caminho
- Um espaço é localmente conectado por caminho se cada ponto tiver uma base local consistindo de vizinhanças conectadas por caminho. Um espaço conectado por caminho local é conectado se, e somente se , estiver conectado por caminho.
- Simplesmente conectado localmente
- Um espaço está localmente conectado de forma simples se cada ponto tiver uma base local consistindo em bairros simplesmente conectados.
- Ciclo
- Se x é um ponto em um espaço X , um loop em x em X (ou um loop em X com ponto base x ) é um caminho f em X , tal que f (0) = f (1) = x . De forma equivalente, um laço em X é um mapa contínua a partir da unidade de círculo S 1 em X .
M
- Meager
- Se X é um espaço e A é um subconjunto de X , então A é insuficiente em X (ou da primeira categoria em X ) se for a união contável de conjuntos densos em lugar nenhum. Se A não é escassa em X , A é de segunda categoria em X .
- Metacompacto
- Um espaço é metacompacto se cada tampa aberta tem um ponto de refinamento aberto finito.
- Métrica
- Veja espaço métrico .
- Invariante métrico
- Um invariante métrico é uma propriedade que é preservada sob isomorfismo isométrico.
- Mapa métrico
- Se X e Y são espaços métricas com as métricas d X e d Y , respectivamente, em seguida, um mapa métrica é uma função F a partir de X para Y , de tal modo que para todos os pontos X e Y em X , d Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d X ( x , y ). Um mapa métrica é estritamente métrica se a desigualdade acima é rigoroso para todos os x e y em X .
- Espaço métrico
- Um espaço métrico ( M , d ) é um conjunto M equipado com uma função d : M × M → R satisfazendo os seguintes axiomas para todos os x , y e z em M :
- d ( x , y ) ≥ 0
- d ( x , x ) = 0
- se d ( x , y ) = 0 então x = y ( identidade de indiscerníveis )
- d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetria )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( desigualdade triangular )
- A função d é uma métrica em M e d ( x , y ) é a distância entre x e y . A coleção de todas as bolas abertas de M é uma base para uma topologia em M ; esta é a topologia em M induzida por d . Cada espaço métrico é Hausdorff e paracompacto (e, portanto, normal e Tychonoff). Cada espaço métrico é contável pela primeira vez.
- Metrizable / Metrisable
- Um espaço é metrizável se for homeomorfo a um espaço métrico. Todo espaço metrizável é Hausdorff e paracompacto (e portanto normal e Tychonoff). Cada espaço metrizável é contável pela primeira vez.
- Monolith
- Cada espaço compacto ultra-conectado não vazio X tem um maior subconjunto aberto adequado; este subconjunto é chamado de monólito .
N
- Quase aberto
- veja preopen .
- Vizinhança / Vizinhança
- Uma vizinhança de um ponto x é um conjunto que contém um conjunto aberto que, por sua vez, contém o ponto x . Mais geralmente, uma vizinhança de um conjunto S é um conjunto contendo um conjunto aberto que por sua vez contém o conjunto S . Uma vizinhança de um ponto x é, portanto, uma vizinhança do conjunto singleton { x }. (Observe que, segundo esta definição, a própria vizinhança não precisa ser aberta. Muitos autores exigem que as vizinhanças sejam abertas; tome cuidado para observar as convenções.)
- Base / base da vizinhança
- Veja Base local .
- Sistema de vizinhança para um ponto x
- Um sistema de vizinhança em um ponto x em um espaço é a coleção de todas as vizinhanças de x .
- Internet
- Um líquido num espaço X é um mapa de um conjunto dirigido Um de X . Um líquido a partir de um de X é normalmente designado por ( x α ), onde α é uma variável índice que varia ao longo Uma . Cada sequência é uma rede, considerando A como o conjunto direcionado de números naturais com a ordem usual.
- Normal
- Um espaço é normal se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos tiverem vizinhanças disjuntas. Todo espaço normal admite uma partição de unidade.
- Hausdorff normal
- Um normais Hausdorff espaço (ou T 4 espaço ) é um T normais um espaço. (Um espaço normal é Hausdorff se e somente se for T 1 , então a terminologia é consistente.) Todo espaço normal de Hausdorff é Tychonoff.
- Nenhum lugar denso
- Um conjunto denso em lugar nenhum é um conjunto cujo fechamento tem interior vazio.
O
- Tampa aberta
- Uma tampa aberta é uma tampa que consiste em conjuntos abertos.
- Bola aberta
- Se ( M , d ) é um espaço métrico, uma bola aberta é um conjunto da forma B ( x ; r ): = { y em M : d ( x , y ) < r }, onde x está em M e r é um número real positivo , o raio da bola. Uma bola aberta de raio r é uma aberta r -ball . Cada bola aberta é um conjunto aberto na topologia em M induzida por d .
- Condição aberta
- Veja propriedade aberta .
- Conjunto aberto
- Um conjunto aberto é membro da topologia.
- Função aberta
- Uma função de um espaço para outro é aberta se a imagem de cada conjunto aberto estiver aberta.
- Propriedade aberta
- Uma propriedade de pontos em um espaço topológico é considerada "aberta" se os pontos que a possuem formarem um conjunto aberto . Essas condições geralmente assumem uma forma comum, e essa forma pode ser considerada uma condição aberta ; por exemplo, em espaços métricos , define-se uma bola aberta como acima, e diz-se que "desigualdade estrita é uma condição aberta".
P
- Paracompacto
- Um espaço é paracompacto se cada tampa aberta tem um refinamento aberto localmente finito. Paracompacto implica metacompacto. Espaços de Hausdorff paracompactos são normais.
- Partição de unidade
- Uma partição de unidade de um espaço X é um conjunto de funções contínuas de X a [0, 1] de modo que qualquer ponto tem uma vizinhança onde todas, exceto um número finito de funções são identicamente zero, e a soma de todas as funções em todo o espaço é identicamente 1.
- Caminho
- Um caminho em um espaço X é um mapa contínua f a partir da unidade fechada intervalo [0, 1] em X . O ponto f (0) é o ponto inicial de f ; o ponto f (1) é o ponto terminal de f .
- Conectado por caminho
- Um espaço X é conectado por caminho se, para cada dois pontos x , y em X , houver um caminho f de x a y , ou seja, um caminho com ponto inicial f (0) = xe ponto terminal f (1) = y . Cada espaço conectado por caminho está conectado.
- Componente conectado por caminho
- Um componente conectado por caminho de um espaço é um subespaço conectado por caminho não vazio máximo. O conjunto de componentes conectados por caminho de um espaço é uma partição desse espaço, que é mais fina do que a partição em componentes conectados. O conjunto de componentes conectados por caminho de um espaço X é denotado como π 0 ( X ) .
- Perfeitamente normal
- um espaço normal que também é um G δ .
- π-base
- Um conjunto B de conjuntos abertos não vazios é um π-base para uma topologia τ se cada conjunto aberto não vazio em τ inclui um conjunto de B .
- Apontar
- Um ponto é um elemento de um espaço topológico. Mais geralmente, um ponto é um elemento de qualquer conjunto com uma estrutura topológica subjacente; por exemplo, um elemento de um espaço métrico ou um grupo topológico também é um "ponto".
- Ponto de Fechamento
- Veja Encerramento .
- polonês
- Um espaço é polonês se for separável e completamente metrizável, ou seja, se for homeomorfo a um espaço métrico separável e completo.
- Poliádico
- Um espaço é poládico se for a imagem contínua do poder de uma compactação de um ponto de um espaço de Hausdorff localmente compacto e não compacto.
- Ponto P
- Um ponto de um espaço topológico é um ponto P se seu filtro de vizinhanças for fechado sob interseções contáveis.
- Pré-compacto
- Veja Relativamente compacto .
- Conjunto pré-aberto
- Um subconjunto A de um espaço topológico X é pré-aberto se .
- Topologia Prodiscreta
- A topologia prodiscreta em um produto A G é a topologia do produto quando cada fator A recebe a topologia discreta.
- Topologia do produto
- Se é um conjunto de espaços e X é o (conjunto da teoria) do produto cartesiano de seguida, a topologia produto em X é a topologia mais grosseira para que todos os mapas de projecção são contínuas.
- Função / mapeamento adequado
- A função contínua f a partir de um espaço de X para um espaço Y é adequada, se é um conjunto compacto em X para qualquer subespaço compacto C de Y .
- Espaço de proximidade
- Um espaço de proximidade ( X , d ) é um conjunto X equipado com uma relação binária d entre subconjuntos de X satisfazendo as seguintes propriedades:
- Para todos os subconjuntos A , B e C de X ,
- A d B implica B d A
- A d B implica que A não é vazio
- Se A e B têm interseção não vazia, então A d B
- A d ( B C ) se e somente se ( A d B ou A d C )
- Se, para todos os subconjuntos E de X , temos ( A d E ou B d E ), então devemos ter A d ( X - B )
- Pseudocompacto
- Um espaço é pseudocompacto se todas as funções contínuas de valor real no espaço forem limitadas.
- Pseudométrico
- Consulte Espaço pseudométrico .
- Espaço pseudométrico
- Um espaço pseudométrico ( M , d ) é um conjunto M equipado com uma função real- avaliada que satisfaz todas as condições de um espaço métrico, exceto possivelmente a identidade de indiscerníveis. Ou seja, os pontos em um espaço pseudométrico podem ser "infinitamente próximos" sem serem idênticos. A função d é um pseudometric em H . Cada métrica é uma pseudométrica.
- Bairro perfurado / Bairro perfurado
- Uma vizinhança puncionada de um ponto x é uma vizinhança de x , menos { x }. Por exemplo, o intervalo (−1, 1) = { y : −1 < y <1} é uma vizinhança de x = 0 na linha real , então o conjunto é uma vizinhança puncionada de 0.
Q
- Quasicompact
- Veja compacto . Alguns autores definem "compacto" para incluir o axioma de separação de Hausdorff e usam o termo quase compacto para significar o que chamamos neste glossário simplesmente de "compacto" (sem o axioma de Hausdorff). Essa convenção é mais comumente encontrada em francês, e ramos da matemática fortemente influenciados pelo francês.
- Mapa de quociente
- Se X e Y são espaços, e se f é uma sobreposição de X para Y , então f é um mapa quociente (ou mapa de identificação ) se, para cada subconjunto U de Y , U está aberto em Y se e somente se f - 1 ( L ) é aberta em X . Em outras palavras, Y tem a f topologia -novo. Equivalentemente, é um mapa quociente se e somente se for a composição transfinita de mapas , onde é um subconjunto. Observe que isso não significa que f seja uma função aberta.
- Espaço quociente
- Se X é um espaço, Y é um conjunto ef : X → Y é qualquer função sobrejetiva , então a topologia do Quociente em Y induzida por f é a topologia mais fina para a qual f é contínua. O espaço X é um espaço quociente ou espaço de identificação . Por definição, f é um mapa de quociente. O exemplo mais comum deste é de considerar uma relação de equivalência em X , com Y o conjunto de classes de equivalência e f o mapa de projecção natural. Esta construção é dual para a construção da topologia do subespaço.
R
- Refinamento
- Uma tampa K é um refinamento de uma tampa L se cada membro de K é um subconjunto de algum membro do L .
- Regular
- Um espaço é regular se, sempre que C é um conjunto fechado e x é um ponto que não está em C , então C e x têm vizinhanças disjuntas .
- Hausdorff regular
- Um espaço é Hausdorff regular (ou T 3 ) se for um espaço T 0 regular . (Um espaço regular é Hausdorff se e somente se for T 0 , então a terminologia é consistente.)
- Aberto regular
- Um subconjunto de um espaço X é aberto regularmente se for igual ao interior de seu fechamento; duplamente, um conjunto fechado regular é igual ao fechamento de seu interior. Um exemplo de um conjunto aberto não regular é o conjunto L = (0,1) ∪ (1,2) em R com a sua topologia normal, uma vez que uma é, no interior do fecho de L , mas não em L . Os subconjuntos regulares abertos de um espaço formam uma álgebra booleana completa .
- Relativamente compacto
- Um subconjunto Y de um espaço X é relativamente compacto em X se o fechamento de Y em X for compacto.
- Residual
- Se X é um espaço e A é um subconjunto de X , então A é residual em X , se o complemento de uma é escasso em X . Também chamado de comeagre ou comeager .
- Solucionável
- Um espaço topológico é denominado resolvível se for expressável como a união de dois subconjuntos densos disjuntos .
- Rim-compacto
- Um espaço é compacto de borda se ele tem uma base de conjuntos abertos cujos limites são compactos.
S
- S-espaço
- Um S-espaço é um espaço separável hereditariamente que não é hereditariamente Lindelöf .
- Espalhado
- Um espaço X é dispersado se cada subconjunto não vazio Um de X contém um ponto isolado em um .
- Scott
- A topologia Scott em um poset é aquela em que os conjuntos abertos são aqueles conjuntos superiores inacessíveis por junções direcionadas.
- Segunda categoria
- Veja Meager .
- Segunda contável
- Um espaço é contável por segundo ou perfeitamente separável se tiver uma base contável para sua topologia. Cada segundo espaço contável é primeiro contável, separável e Lindelöf.
- Semilocalmente conectado de forma simples
- Um espaço X é semilocalmente conectado de forma simples se, para cada ponto x em X , houver uma vizinhança U de x tal que todo loop em x em U seja homotópico em X ao loop constante x . Cada espaço conectado de forma simples e cada espaço conectado de forma simples local é conectado de forma semilocal de forma simples. (Compare com localmente conectado simplesmente; aqui, a homotopia pode viver em X , enquanto na definição de localmente conectado simplesmente, a homotopia deve viver em U ).
- Semi-aberto
- Um subconjunto A de um espaço topológico X é denominado semiaberto se .
- Semi-pré-aberto
- Um subconjunto A de um espaço topológico X é chamado de semi-pré-aberto se
- Semiregular
- Um espaço é semirregular se os conjuntos regulares abertos formarem uma base.
- Sequencialmente compacto
- Um espaço é sequencialmente compacto se cada sequência tem uma subsequência convergente. Cada espaço sequencialmente compacto é contável e todo espaço contável e compacto é sequencialmente compacto.
- Simplesmente conectado
- Um espaço é simplesmente conectado se estiver conectado por caminho e cada loop for homotópico a um mapa constante.
- Topologia menor
- Consulte topologia mais grosseira .
- Sóbrio
- Em um espaço sóbrio , todo subconjunto fechado irredutível é o fechamento de exatamente um ponto: isto é, tem um ponto genérico único .
- Estrela
- A estrela de um ponto em uma dada capa de um espaço topológico é a união de todos os conjuntos da capa que contém o ponto. Veja o refinamento das estrelas .
- -Topologia forte
- Seja um mapa de espaços topológicos. Dizemos que tem a topologia forte se, para cada subconjunto , um tem que está aberto em se e somente se está aberto em
- Topologia mais forte
- Consulte Topologia mais fina . Cuidado, alguns autores, especialmente analistas , usam o termo topologia mais fraca .
- Subbase
- Uma coleção de conjuntos abertos é uma subbase (ou subbase ) para uma topologia se cada conjunto aberto adequado não vazio na topologia for uma união de interseções finitas de conjuntos na subbase. Se B for qualquer coleção de subconjuntos de um conjunto X , a topologia em X gerada por B é a menor topologia que contém B ; Nesta topologia consiste no conjunto vazio, X e todas as uniões de cruzamentos de elementos finitos de B .
- Subcobertura
- Uma tampa K é uma subcobertura (ou subcovering ) de uma tampa L se cada membro de K é um membro de L .
- Subcobertura
- Veja Subcover .
- Espaço submáximo
- Um espaço topológico é considerado submáximo se cada subconjunto dele for localmente fechado, ou seja, cada subconjunto é a interseção de um conjunto aberto e um conjunto fechado .
Aqui estão alguns fatos sobre a submaximalidade como uma propriedade dos espaços topológicos:
- Cada espaço de porta é submáximo.
- Cada espaço submáximo é fracamente submáximo, pois todo conjunto finito é fechado localmente.
- Cada espaço submáximo é insolúvel
- Subespaço
- Se T é uma topologia em um espaço X , e, se A é um subconjunto de X , então a topologia subespaço em Um induzida por T consiste de todas as intersecções de conjuntos abertos em T com um . Esta construção é dupla à construção da topologia de quociente.
T
- T 0
- Um espaço é T 0 (ou de Kolmogorov ) se, para cada par de pontos distintos x e y no espaço, ou há um conjunto aberto contendo X mas não y , ou há um conjunto aberto contendo y mas não x .
- T 1
- Um espaço é T 1 (ou Fréchet ou acessível ) se, para cada par de pontos distintos x e y no espaço, há um conjunto aberto contendo X mas não y . (Compare com T 0 ; aqui, podemos especificar qual ponto estará contido no conjunto aberto.) Equivalentemente, um espaço é T 1 se todos os seus singletons estiverem fechados. Cada espaço T 1 é T 0 .
- T 2
- Veja o espaço de Hausdorff .
- T 3
- Veja Regular Hausdorff .
- T 3½
- Veja o espaço de Tychonoff .
- T 4
- Veja Normal Hausdorff .
- ponto θ-cluster, θ-fechado, θ-aberto
- Um ponto x de um espaço topológico X é um ponto θ-cluster de um subconjunto A , se para cada vizinhança aberta U de x em X . O subconjunto A é θ-fechado se for igual ao conjunto de seus pontos θ-cluster, e θ-aberto se seu complemento for θ-fechado.
- Invariante topológico
- Um invariante topológico é uma propriedade que é preservada sob o homeomorfismo. Por exemplo, compactação e conectividade são propriedades topológicas, enquanto limitação e integridade não são. Topologia algébrica é o estudo de construções de álgebra abstratas topologicamente invariáveis em espaços topológicos.
- Espaço topológico
- Um espaço topológico ( X , T ) é um conjunto X equipado com uma coleção T de subconjuntos de X satisfazendo os seguintes axiomas :
- O conjunto vazio e X são em T .
- A união de qualquer coleção de conjuntos em T também está em T .
- A interseção de qualquer par de conjuntos em T também está em T .
- A coleção de T é uma topologia em X .
- Soma topológica
- Consulte a topologia do coproduto .
- Topologicamente completo
- Espaços completamente metrizáveis (isto é, espaços topológicos homeomórficos a espaços métricos completos) são freqüentemente chamados de topologicamente completos ; às vezes, o termo também é usado para espaços Čech-completos ou espaços completamente uniformizáveis .
- Topologia
- Consulte Espaço topológico .
- Totalmente limitado
- Um espaço métrico M é totalmente limitado se, para cada r > 0, existe uma cobertura finita de M por bolas abertas de raio r . Um espaço métrico é compacto se e somente se for completo e totalmente limitado.
- Totalmente desconectado
- Um espaço está totalmente desconectado se não tiver nenhum subconjunto conectado com mais de um ponto.
- Topologia trivial
- A topologia grosseira (ou topologia indiscrete ) sobre um conjunto X consiste precisamente o conjunto vazio e todo o espaço X .
- Tychonoff
- Um espaço Tychonoff (ou espaço de Hausdorff completamente regular , espaço T 3 completo , espaço T 3.5 ) é um espaço T 0 completamente regular . (Um espaço completamente regular é Hausdorff se e somente se for T 0 , então a terminologia é consistente.) Todo espaço de Tychonoff é Hausdorff regular.
você
- Ultra-conectado
- Um espaço é ultraconectado se não houver dois conjuntos fechados não vazios separados. Todo espaço ultraconectado é conectado por caminhos.
- Ultramétrico
- Uma métrica é ultramétrica se satisfaz a seguinte versão mais forte da desigualdade do triângulo : para todo x , y , z em M , d ( x , z ) ≤ max ( d ( x , y ), d ( y , z )) .
- Isomorfismo uniforme
- Se X e Y são espaços uniformes , um isomorfismo uniforme de X para Y é uma função bijetiva f : X → Y tal que f e f −1 são uniformemente contínuos . Os espaços são então considerados uniformemente isomórficos e compartilham as mesmas propriedades uniformes .
- Uniformizável / Uniformizável
- Um espaço é uniformizável se for homeomórfico a um espaço uniforme.
- Espaço uniforme
- Um espaço uniforme é um conjunto X equipado com uma coleção não vazia Φ de subconjuntos do produto cartesiano X × X satisfazendo os seguintes axiomas :
- se U estiver em Φ, então U contém {( x , x ) | x em X }.
- se U estiver em Φ, então {( y , x ) | ( x , y ) em U } também está em Φ
- se U está em Φ e V é um subconjunto de X × X que contém U , então V está em Φ
- se U e V estão em Φ, então U ∩ V está em Φ
- Se L é em Φ, então existe V em Φ tal que, sempre que ( x , y ) e ( y , z ) estão em V , então ( x , z ) é em L .
- Os elementos de Φ são chamados entourages , e em si Φ é chamado uma estrutura uniforme em X . A estrutura uniforme induz uma topologia em X onde as vizinhanças básicas de x são conjuntos da forma { y : ( x , y ) ∈ U } para U ∈Φ.
- Estrutura uniforme
- Veja espaço uniforme .
C
- Topologia fraca
- A topologia fraca em um conjunto, com relação a uma coleção de funções desse conjunto em espaços topológicos, é a topologia mais grosseira do conjunto que torna todas as funções contínuas.
- Topologia mais fraca
- Consulte topologia mais grosseira . Cuidado, alguns autores, especialmente analistas , usam o termo topologia mais forte .
- Fracamente contável e compacto
- Um espaço é compactamente contável (ou compacto de ponto limite ) se cada subconjunto infinito tiver um ponto limite.
- Fracamente hereditário
- Diz-se que uma propriedade dos espaços é fracamente hereditária se sempre que um espaço tiver essa propriedade, o mesmo ocorrerá com todos os subespaços fechados dele. Por exemplo, compactação e a propriedade Lindelöf são ambas propriedades hereditárias fracas, embora nenhuma seja hereditária.
- Peso
- O peso de um espaço X é o menor número cardinal κ, de modo que X tem uma base cardinal κ. (Observe que esse número cardinal existe, porque toda a topologia forma uma base e porque a classe dos números cardinais é bem ordenada .)
- Bem conectado
- Consulte Ultra-conectado . (Alguns autores usam este termo estritamente para espaços compactos ultraconectados.)
Z
- Zero-dimensional
- Um espaço tem dimensão zero se tiver uma base de conjuntos clopen.
Veja também
- Teoria ingênua dos conjuntos , teoria axiomática dos conjuntos e Função para definições relativas a conjuntos e funções.
- Topologia para um breve histórico e descrição da área de assunto
- Espaços topológicos para definições básicas e exemplos
- lista de tópicos gerais de topologia
- lista de exemplos em topologia geral
- Conceitos específicos de topologia
- Espaço compacto
- Espaço conectado
- Continuidade
- Espaço métrico
- Conjuntos separados
- Axioma de separação
- Espaço topológico
- Espaço uniforme
- Outros glossários
- Glossário de topologia algébrica
- Glossário de geometria diferencial e topologia
- Glossário de áreas da matemática
- Glossário de geometria riemanniana e métrica
Referências
- Hart, Klaas (2004). Enciclopédia de topologia geral . Amsterdam Boston: Elsevier / North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277 .
- Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopédia de topologia geral . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
- Kunen, Kenneth ; Vaughan, Jerry E., eds. (1984). Handbook of Set-Theoretic Topology . Holanda do Norte. ISBN 0-444-86580-2.
- Nagata, Jun-iti (1985). Topologia geral moderna . Biblioteca Matemática da Holanda do Norte. 33 (2ª edição revisada). Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001 .
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology ( reimpressão de Dover da edição de 1978). Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 .
- Vickers, Steven (1989). Topologia via lógica . Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. 5 . ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 .
- Willard, Stephen (1970). Topologia geral . Addison-Wesley Series in Mathematics. Leitura, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601 . Também disponível como reimpressão Dover.