Conjunto Clopen - Clopen set

Um gráfico com vários conjuntos de clopen. Cada uma das três peças grandes (ou seja, componentes ) é um conjunto clopen, assim como a união de quaisquer duas ou todas as três.

Em topologia , um conjunto clopen (uma maleta de conjunto fechado-aberto ) em um espaço topológico é um conjunto que é aberto e fechado . Que isso seja possível pode parecer contra-intuitivo, já que os significados comuns de aberto e fechado são antônimos, mas suas definições matemáticas não são mutuamente exclusivas . Um conjunto é fechado se seu complemento for aberto, o que deixa a possibilidade de um conjunto aberto cujo complemento também é aberto, tornando ambos os conjuntos abertos e fechados e, portanto, clopen. Conforme descrito pelo topólogo James Munkres , ao contrário de uma porta , "um conjunto pode ser aberto, ou fechado, ou ambos, ou nenhum!" enfatizando que o significado de "aberto" / "fechado" para portas não está relacionado ao seu significado para conjuntos (e, portanto, a dicotomia porta aberta / fechada não se transfere para conjuntos abertos / fechados). Esse contraste com as portas deu à classe de espaços topológicos conhecidos como " espaços das portas " seu nome.

Exemplos

Em qualquer espaço topológico, o conjunto vazio e todo o espaço são clopen. ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$

Agora considere o espaço que consiste na união dos dois intervalos abertos e de A topologia em é herdada como a topologia de subespaço da topologia comum na linha real No conjunto é clopen, como está o conjunto Este é um exemplo bastante típico: sempre que um espaço é feito de um número finito de componentes conectados disjuntos dessa maneira, os componentes serão clopados. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (2,3)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (2,3).}$

Agora, seja um conjunto infinito sob a métrica discreta - ou seja, dois pontos têm distância 1 se não forem o mesmo ponto e 0 caso contrário. Sob o espaço métrico resultante, qualquer conjunto de singleton está aberto; portanto, qualquer conjunto, sendo a união de pontos únicos, é aberto. Uma vez que o complemento de qualquer conjunto é, portanto, fechado, todos os conjuntos no espaço métrico são fechados. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p, q \ in X}$

Como um exemplo menos trivial, considere o espaço de todos os números racionais com sua topologia ordinária e o conjunto de todos os números racionais positivos cujo quadrado é maior que 2. Usando o fato de que não está em um, pode-se mostrar facilmente que é um subconjunto clopen de ( não é um subconjunto clopen da linha real ; não é nem aberto nem fechado em ) ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Propriedades

• Um espaço topológico é conectado se e somente se os únicos conjuntos clopen são o conjunto vazio e${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Um conjunto é fechado se e somente se seu limite estiver vazio.
• Qualquer conjunto clopen é uma união de (possivelmente um número infinito) de componentes conectados .
• Se todos os componentes conectados de estiverem abertos (por exemplo, se tiver apenas um número finito de componentes ou se estiver conectado localmente ), um conjunto será fechado se e somente se for uma união de componentes conectados.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Um espaço topológico é discreto se e somente se todos os seus subconjuntos são clopen.${\ displaystyle X}$
• Usando a união e a interseção como operações, os subconjuntos clopen de um determinado espaço topológico formam uma álgebra booleana . Toda álgebra booleana pode ser obtida dessa forma a partir de um espaço topológico adequado: veja o teorema de representação de Stone para álgebras booleanas .${\ displaystyle X}$

Veja também

• Espaço da porta

Notas

Referências

• Munkres, James R. (2000). Topologia (segunda edição). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Morris, Sidney A. "Topology Without Tears" . Arquivado do original em 19 de abril de 2013.