Teorema de representação de Stone para álgebras booleanas - Stone's representation theorem for Boolean algebras
Em matemática , o teorema de representação de Stone para álgebras booleanas afirma que toda álgebra booleana é isomórfica a um determinado campo de conjuntos . O teorema é fundamental para o aprofundamento da compreensão da álgebra booleana que surgiu na primeira metade do século XX. O teorema foi provado pela primeira vez por Marshall H. Stone . Stone foi levado a isso por seu estudo da teoria espectral de operadores em um espaço de Hilbert .
Espaços de pedra
Cada álgebra booleana B tem um espaço topológico associado, denotado aqui S ( B ), chamado de espaço de pedra . Os pontos em S ( B ) são os ultrafiltros em B , ou equivalentemente os homomorfismos de B para a álgebra booleana de dois elementos . A topologia em S ( B ) é gerada por uma base (fechada) que consiste em todos os conjuntos do formulário
Para cada álgebra booleana B , S ( B ) é um espaço de Hausdorff compacto totalmente desconectado ; tais espaços são chamados de espaços de Pedra (também espaços profinitos ). Por outro lado, dado qualquer espaço topológico X , a coleção de subconjuntos de X que são clopen (fechados e abertos) é uma álgebra booleana.
Teorema de representação
Uma versão simples do teorema da representação de Stone afirma que toda álgebra booleana B é isomórfica à álgebra de subconjuntos clopen de seu espaço de Stone S ( B ). O isomorfismo envia um elemento para o conjunto de todos os ultrafiltros que contêm b . Este é um conjunto clopen devido à escolha da topologia em S ( B ) e porque B é uma álgebra booleana.
Reafirmando o teorema usando a linguagem da teoria das categorias ; o teorema afirma que há uma dualidade entre a categoria das álgebras booleanas e a categoria dos espaços de Stone. Essa dualidade significa que além da correspondência entre as álgebras booleanas e seus espaços de Stone, cada homomorfismo de uma álgebra booleana A para uma álgebra booleana B corresponde de forma natural a uma função contínua de S ( B ) a S ( A ). Em outras palavras, existe um functor contravariante que dá uma equivalência entre as categorias. Este foi um dos primeiros exemplos de uma dualidade não trivial de categorias.
O teorema é um caso especial de dualidade de Stone , uma estrutura mais geral para dualidades entre espaços topológicos e conjuntos parcialmente ordenados .
A prova requer o axioma da escolha ou uma forma enfraquecida dele. Especificamente, o teorema é equivalente ao teorema do ideal primo Booleano , um princípio de escolha enfraquecido que afirma que toda álgebra booleana tem um ideal primo.
Uma extensão da dualidade de Stone clássica para a categoria de espaços booleanos (= espaços de Hausdorff compactos localmente de dimensão zero) e mapas contínuos (respectivamente, mapas perfeitos) foi obtida por GD Dimov (respectivamente, por HP Doctor).
Veja também
- Campo de conjuntos - conceito algébrico na teoria da medida, também conhecido como álgebra de conjuntos.
- Lista de tópicos de álgebra booleana - artigo da lista da Wikimedia
- Espaço Stonean
- Stone functor
- Grupo Profinite
- Teorema da representação - prova de que toda estrutura com certas propriedades é isomórfica a outra estrutura
- Lema do ultrafiltro
Citações
Referências
- Paul Halmos e Givant, Steven (1998) Logic as Algebra . Dolciani Mathematical Expositions No. 21. The Mathematical Association of America .
- Johnstone, Peter T. (1982) Stone Spaces . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5 .
- Burris, Stanley N. e HP Sankappanavar, HP (1981) A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .