Teorema de representação de Stone para álgebras booleanas - Stone's representation theorem for Boolean algebras

Em matemática , o teorema de representação de Stone para álgebras booleanas afirma que toda álgebra booleana é isomórfica a um determinado campo de conjuntos . O teorema é fundamental para o aprofundamento da compreensão da álgebra booleana que surgiu na primeira metade do século XX. O teorema foi provado pela primeira vez por Marshall H. Stone . Stone foi levado a isso por seu estudo da teoria espectral de operadores em um espaço de Hilbert .

Espaços de pedra

Cada álgebra booleana B tem um espaço topológico associado, denotado aqui S ( B ), chamado de espaço de pedra . Os pontos em S ( B ) são os ultrafiltros em B , ou equivalentemente os homomorfismos de B para a álgebra booleana de dois elementos . A topologia em S ( B ) é gerada por uma base (fechada) que consiste em todos os conjuntos do formulário

onde b é um elemento de B . Esta é a topologia da convergência pontual de redes de homomorfismos na álgebra booleana de dois elementos.

Para cada álgebra booleana B , S ( B ) é um espaço de Hausdorff compacto totalmente desconectado ; tais espaços são chamados de espaços de Pedra (também espaços profinitos ). Por outro lado, dado qualquer espaço topológico X , a coleção de subconjuntos de X que são clopen (fechados e abertos) é uma álgebra booleana.

Teorema de representação

Uma versão simples do teorema da representação de Stone afirma que toda álgebra booleana B é isomórfica à álgebra de subconjuntos clopen de seu espaço de Stone S ( B ). O isomorfismo envia um elemento para o conjunto de todos os ultrafiltros que contêm b . Este é um conjunto clopen devido à escolha da topologia em S ( B ) e porque B é uma álgebra booleana.

Reafirmando o teorema usando a linguagem da teoria das categorias ; o teorema afirma que há uma dualidade entre a categoria das álgebras booleanas e a categoria dos espaços de Stone. Essa dualidade significa que além da correspondência entre as álgebras booleanas e seus espaços de Stone, cada homomorfismo de uma álgebra booleana A para uma álgebra booleana B corresponde de forma natural a uma função contínua de S ( B ) a S ( A ). Em outras palavras, existe um functor contravariante que dá uma equivalência entre as categorias. Este foi um dos primeiros exemplos de uma dualidade não trivial de categorias.

O teorema é um caso especial de dualidade de Stone , uma estrutura mais geral para dualidades entre espaços topológicos e conjuntos parcialmente ordenados .

A prova requer o axioma da escolha ou uma forma enfraquecida dele. Especificamente, o teorema é equivalente ao teorema do ideal primo Booleano , um princípio de escolha enfraquecido que afirma que toda álgebra booleana tem um ideal primo.

Uma extensão da dualidade de Stone clássica para a categoria de espaços booleanos (= espaços de Hausdorff compactos localmente de dimensão zero) e mapas contínuos (respectivamente, mapas perfeitos) foi obtida por GD Dimov (respectivamente, por HP Doctor).

Veja também

Citações

Referências