Conjunto denso em lugar nenhum - Nowhere dense set

Em matemática , um subconjunto de um espaço topológico é chamado de nenhum lugar denso ou raro se seu fechamento tem um interior vazio . Em um sentido muito amplo, é um conjunto cujos elementos não estão fortemente agrupados (conforme definido pela topologia no espaço) em qualquer lugar. Por exemplo, os números inteiros não são densos em nenhum lugar entre os reais , ao passo que uma bola aberta não é.

O espaço circundante é importante: um conjunto pode não estar em nenhum lugar denso quando considerado como um subconjunto de um espaço topológico, mas não quando considerado como um subconjunto de outro espaço topológico Notavelmente, um conjunto é sempre denso em sua própria topologia de subespaço . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y.}$

Uma união contável de conjuntos densos em lugar nenhum é chamada de conjunto insuficiente . Conjuntos escassos desempenham um papel importante na formulação do teorema da categoria de Baire .

Caracterizações

A densidade em nenhum lugar pode ser caracterizada de três maneiras diferentes (mas equivalentes). A definição mais simples é a de densidade:

Um subconjunto de um espaço topológico é dito ser densa em outro conjunto se a interseção é um subconjunto denso de está em nenhuma parte densa ou rara no caso não é densa em qualquer subconjunto aberto não vazio de${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle S \ cap U}$${\ displaystyle U.}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X.}$

Expandindo a negação da densidade, é equivalente a exigir que cada conjunto aberto não vazio contenha um subconjunto aberto não vazio separado de É suficiente verificar qualquer condição em uma base para a topologia ligada e a densidade em nenhum lugar é frequentemente descrita como sendo densa em nenhuma abertura intervalo . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Definição por fechamento

A segunda definição acima é equivalente a exigir que o fechamento não possa conter nenhum conjunto aberto não vazio. Isso é o mesmo que dizer que o interior do fechamento de (ambos tomados ) está vazio; isso é,${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} S \ right) = \ varnothing.}$

Alternativamente, o complemento do fechamento deve ser um subconjunto denso de${\ displaystyle X \ setminus \ left (\ operatorname {cl} _ {X} S \ right)}$${\ displaystyle X.}$

Definição por limites

A partir da observação anterior, não há nada denso em se e somente se é um subconjunto da fronteira de um subconjunto denso aberto: a saber, de fato, pode-se remover a condição de densidade:${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X \ setminus \ left (\ operatorname {cl} _ {X} S \ right).}$

${\ displaystyle S}$não é denso se e somente se existe algum subconjunto aberto de tal que${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq \ operatorname {bd} _ {X} U,}$

Alternativamente, pode-se fortalecer a contenção para a igualdade tomando o fechamento:

${\ displaystyle S}$não é denso se e somente se existe algum subconjunto aberto de tal que${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = \ operatorname {bd} _ {X} U.}$

Se for fechado, isso implica em tricotomia que não é densa em nenhum lugar se e somente se for igual ao seu limite topológico . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Propriedades e condições suficientes

• Um conjunto não é denso em lugar nenhum se e somente se seu fechamento for. Assim, um conjunto denso em lugar nenhum não precisa ser fechado (por exemplo, o conjunto em nenhum lugar é denso em reais), mas é então devidamente contido em um conjunto fechado denso em lugar nenhum. ${\ displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {n}}: n \ in \ mathbb {N} \ right \}}$
• Suponha ${\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq X.}$
  • Se em nenhum lugar é denso, então nenhum lugar é denso em${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X.}$
  • Se não é denso em nenhum lugar e é um subconjunto aberto de então não é denso em lugar nenhum${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B.}$
• Cada subconjunto de um conjunto denso em lugar nenhum é denso em lugar nenhum.
• A união de muitos conjuntos finitos em lugar nenhum é densa em lugar nenhum.

Assim, os conjuntos densos de lugar nenhum formam um ideal de conjuntos , uma noção adequada de conjunto desprezível .

A união de muitos conjuntos contáveis ​​em lugar nenhum, entretanto, não precisa ser em lugar nenhum. (Assim, os conjuntos densos em lugar nenhum não formam, em geral, um 𝜎-ideal .) Em vez disso, tal união é chamada de conjunto reduzido ou conjunto de primeira categoria .

Exemplos

• ${\ displaystyle S: = \ left \ {{\ frac {1} {n}}: n \ in \ mathbb {N} \ right \}}$não está em nenhum lugar denso em : embora os pontos fiquem arbitrariamente próximos ao fechamento do conjunto é que tem um interior vazio (e, portanto, também não está em nenhum lugar denso em ).${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle S \ cup \ {0 \},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ não está em lugar nenhum denso em ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$não é denso em nenhum lugar, mas os racionais não são (eles são densos em todos os lugares).${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ cup [(a, b) \ cap \ mathbb {Q}]}$não é denso em nenhum lugar : é denso no intervalo e, em particular, o interior de seu fechamento é${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle [a, b],}$${\ displaystyle (a, b).}$
• O conjunto vazio não é denso em nenhum lugar. Em um espaço discreto , o conjunto vazio é o único subconjunto.
• Em um espaço T ₁ , qualquer conjunto de singleton que não seja um ponto isolado não é denso em nenhum lugar.
• O limite de cada conjunto aberto e de cada conjunto fechado não é denso em parte alguma.
• Um subespaço vetorial de um espaço vetorial topológico é denso ou em nenhum lugar denso.

Conjuntos densos em lugar nenhum com medida positiva

Um conjunto denso em lugar nenhum não é necessariamente desprezível em todos os sentidos. Por exemplo, se for o intervalo unitário, não apenas é possível ter um conjunto denso de medida zero de Lebesgue (como o conjunto de racionais), mas também é possível ter um conjunto denso em lugar nenhum com medida positiva. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle [0,1],}$

Por exemplo (uma variante do conjunto de Cantor ), remova de todas as frações diádicas , ou seja, as frações da forma em termos mais baixos para inteiros positivos e os intervalos ao redor deles: uma vez que para cada um, isso remove os intervalos somando no máximo o conjunto denso de lugar nenhum permanecer após todos esses intervalos terem sido removidos tem uma medida de pelo menos (na verdade, um pouco mais por causa das sobreposições) e, portanto, em certo sentido, representa a maior parte do espaço ambiente. Este conjunto não é denso em nenhum lugar, pois é fechado e tem um interior vazio: qualquer intervalo não está contido no conjunto, uma vez que as frações diádicas em foram removidas. ${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle a / 2 ^ {n}}$${\ displaystyle a, n \ in \ mathbb {N},}$${\ displaystyle \ left (a / 2 ^ {n} -1 / 2 ^ {2n + 1}, a / 2 ^ {n} + 1/2 ^ {2n + 1} \ right).}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1/2 ^ {n + 1},}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle 0,535 \ ldots}$${\ displaystyle [0,1].}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle (a, b)}$

Generalizando este método, não se pode construir no intervalo de unidade em nenhum lugar conjuntos densos de qualquer medida menor do que embora a medida não possa ser exatamente 1 (porque caso contrário o complemento de seu fechamento seria um conjunto aberto não vazio com medida zero, o que é impossível). ${\ displaystyle 1,}$

Para outro exemplo mais simples, se houver qualquer subconjunto aberto denso de ter medida de Lebesgue finita , então é necessariamente um subconjunto fechado de medida de Lebesgue infinita que também não é denso em nenhum lugar (porque seu interior topológico está vazio). Esse subconjunto aberto denso de medida de Lebesgue finita é comumente construído ao provar que a medida de Lebesgue dos números racionais é. Isso pode ser feito escolhendo qualquer bijeção (na verdade, basta ser meramente uma sobreposição ) e para cada locação ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus U}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle r> 0,}$

(aqui, a notação de soma de Minkowski foi usada para simplificar a descrição dos intervalos). O subconjunto aberto é denso porque isso é verdadeiro para seu subconjunto e sua medida de Lebesgue não é maior do que Tomar a união de intervalos fechados, em vez de abertos, produz o subconjunto F _𝜎${\ displaystyle f (n) + \ left (-r / 2 ^ {n}, r / 2 ^ {n} \ right): = \ left (f (n) -r / 2 ^ {n}, f ( n) + r / 2 ^ {n} \ direita)}$${\ displaystyle U_ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} 2r / 2 ^ {n} = 2r.}$ que satisfaz Porque é um subconjunto do conjunto denso de lugar nenhum , também é denso de lugar nenhum em Porque é um espaço Baire , o conjunto ${\ displaystyle S_ {r / 2} \ subseteq U_ {r} \ subseteq S_ {r} \ subseteq U_ {2r}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus S_ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus U_ {r},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle D: = \ bigcap _ {m = 1} ^ {\ infty} U_ {1 / m} = \ bigcap _ {m = 1} ^ {\ infty} S_ {1 / m}}$$

é um subconjunto denso de (o que significa que como seu subconjunto não pode estar em nenhum lugar denso em ) com medida de Lebesgue que também é um subconjunto não moderado de (isto é, é da segunda categoria em ), o que torna um subconjunto de comeager cujo interior em também está vazio; no entanto, em nenhuma parte densa em se e apenas se o seu fecho em tem interior vazio. O subconjunto neste exemplo pode ser substituído por qualquer subconjunto denso contável de e, além disso, até mesmo o conjunto pode ser substituído por para qualquer inteiro${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus D}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus D}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n> 0.}$

Veja também

• Espaço baire
• Conjunto Fat Cantor
• Conjunto mínimo  - Uma noção na topologia geral de um subconjunto "pequeno" ou "insignificante" de um espaço topológico

Notas

Referências

Bibliografia

• Fremlin, D. H. (2002). Teoria da medida . Lulu.com. 3A3F (a). ISBN 978-0-9566071-1-9.
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links externos

• Alguns conjuntos densos em lugar nenhum com medida positiva