Medida Lebesgue - Lebesgue measure

Na teoria da medida , um ramo da matemática , a medida de Lebesgue , em homenagem ao matemático francês Henri Lebesgue , é a forma padrão de atribuir uma medida a subconjuntos do espaço euclidiano n- dimensional . Para n = 1, 2 ou 3, coincide com a medida padrão de comprimento , área ou volume . Em geral, também é chamado de volume n- dimensional , n -volume ou simplesmente volume . Ele é usado em toda a análise real , em particular para definir a integração de Lebesgue . Os conjuntos que podem ser atribuídos a uma medida de Lebesgue são chamados de mensuráveis ​​de Lebesgue ; a medida do conjunto A mensurável de Lebesgue é aqui denotada por λ ( A ).

Henri Lebesgue descreveu essa medida no ano de 1901, seguido no ano seguinte por sua descrição da integral de Lebesgue . Ambos foram publicados como parte de sua dissertação em 1902.

A medida de Lebesgue é freqüentemente denotada por dx , mas isso não deve ser confundido com a noção distinta de uma forma de volume .

Definição

Para qualquer intervalo (ou ) no conjunto de números reais, vamos denotar seu comprimento. Para qualquer subconjunto , a medida externa de Lebesgue é definida como um mínimo

Alguns conjuntos satisfazem o critério Carathéodory , que exige que, para cada ,

O conjunto de todas essas formas uma σ -álgebra . Para tal , a sua medida de Lebesgue é definida como sendo a sua medida exterior de Lebesgue: .

Um conjunto que não satisfaz o critério Carathéodory não é mensurável por Lebesgue. Conjuntos não mensuráveis existem; um exemplo são os conjuntos Vitali .

Intuição

A primeira parte da definição afirma que o subconjunto dos números reais é reduzido à sua medida externa pela cobertura de conjuntos de intervalos abertos. Cada um desses conjuntos de intervalos abrange em certo sentido, uma vez que a união desses intervalos contém . O comprimento total de qualquer conjunto de intervalo de cobertura pode superestimar a medida de porque é um subconjunto da união dos intervalos e, portanto, os intervalos podem incluir pontos que não estão em . A medida externa de Lebesgue emerge como o maior limite inferior (ínfimo) dos comprimentos entre todos os conjuntos possíveis. Intuitivamente, é a duração total dos conjuntos de intervalos que se ajustam mais firmemente e não se sobrepõem.

Isso caracteriza a medida externa de Lebesgue. Se essa medida externa se traduz na medida de Lebesgue adequada, depende de uma condição adicional. Esta condição é testada tomando subconjuntos dos números reais usando como um instrumento para dividir em duas partições: a parte da qual se cruza com e a parte restante da qual não está em : a diferença de conjunto de e . Essas partições de estão sujeitas à medida externa. Se, para todos os possíveis subconjuntos dos números reais, as partições de corte separado por têm medidas externas cuja soma é a medida externa de , então a medida de Lebesgue externa de dá sua medida de Lebesgue. Intuitivamente, esta condição significa que o conjunto não deve ter algumas propriedades curiosas que causem uma discrepância na medida de outro conjunto quando usado como "máscara" para "recortar" aquele conjunto, sugerindo a existência de conjuntos para os quais o Lebesgue exterior medida não dá medida de Lebesgue. (Esses conjuntos são, na verdade, não mensuráveis ​​de Lebesgue.)

Exemplos

Propriedades

Invariância de translação: a medida de Lebesgue de e são iguais.

A medida de Lebesgue em R n tem as seguintes propriedades:

  1. Se A é um produto cartesiano de intervalos I 1 × I 2 × ⋯ × I n , então A é Lebesgue-mensurável e Aqui, | I | denota a duração do intervalo I .
  2. Se A é uma união disjunta de muitos conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue contáveis , então A é ele próprio mensurável de Lebesgue e λ ( A ) é igual à soma (ou série infinita ) das medidas dos conjuntos mensuráveis ​​envolvidos.
  3. Se A é mensurável por Lebesgue, então o seu complemento também o é .
  4. λ ( A ) ≥ 0 para cada conjunto A mensurável de Lebesgue .
  5. Se A e B são mensuráveis ​​por Lebesgue e A é um subconjunto de B , então λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Uma consequência de 2, 3 e 4.)
  6. Uniões contáveis e interseções de conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue são mensuráveis ​​por Lebesgue. (Não é uma consequência de 2 e 3, porque uma família de conjuntos que é fechada em complementos e uniões contábeis disjuntas não precisa ser fechada em uniões contáveis:. )
  7. Se A é um subconjunto aberto ou fechado de R n (ou mesmo conjunto de Borel , veja espaço métrico ), então A é mensurável por Lebesgue.
  8. Se A é um conjunto mensurável de Lebesgue, então ele é "aproximadamente aberto" e "aproximadamente fechado" no sentido da medida de Lebesgue (veja o teorema de regularidade para medida de Lebesgue ).
  9. Um conjunto mensurável de Lebesgue pode ser "espremido" entre um conjunto aberto contido e um conjunto fechado contido. Esta propriedade foi usada como uma definição alternativa da mensurabilidade de Lebesgue. Mais precisamente, Lebesgue é mensurável se e somente se para cada existe um conjunto aberto e um conjunto fechado tal que e .
  10. Um conjunto mensurável de Lebesgue pode ser "espremido" entre um conjunto contido G δ e um contido F σ . Ou seja, se A é mensurável por Lebesgue, então existe um G δ conjunto G e um F σ F tal que G  ⊇  A  ⊇  F e λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
  11. A medida de Lebesgue é localmente finita e regular interna e, portanto, é uma medida de Radon .
  12. A medida de Lebesgue é estritamente positiva em conjuntos abertos não vazios e, portanto, seu suporte é a totalidade de R n .
  13. Se A é um conjunto mensurável de Lebesgue com λ ( A ) = 0 (um conjunto nulo ), então cada subconjunto de A também é um conjunto nulo. A fortiori , todo subconjunto de A é mensurável.
  14. Se A é Lebesgue-mensurável e x é um elemento de R n , então a tradução de A por x , definida por A + x = { a + x  : aA }, também é Lebesgue-mensurável e tem a mesma medida que Um .
  15. Se A é Lebesgue-mensurável e , então a dilatação de por definida por também é Lebesgue-mensurável e tem medida
  16. Mais geralmente, se T é uma transformação linear e A é um subconjunto mensurável de R n , então T ( A ) também é mensurável de Lebesgue e tem a medida .

Todos os itens acima podem ser resumidos sucintamente da seguinte forma (embora as duas últimas afirmações não sejam trivialmente ligadas ao seguinte):

Os conjuntos Lebesgue mensuráveis formar uma σ -álgebra contendo todos os produtos de intervalos, e λ é a única completa tradução invariante medida em que σ-álgebra com

A medida de Lebesgue também tem a propriedade de ser σ -finita .

Conjuntos nulos

Um subconjunto de R n é um conjunto nulo se, para cada ε> 0, ele pode ser coberto com contáveis ​​muitos produtos de n intervalos cujo volume total é no máximo ε. Todos os conjuntos contáveis são conjuntos nulos.

Se um subconjunto de R n tem dimensão de Hausdorff menor que n, então ele é um conjunto nulo em relação à medida de Lebesgue n- dimensional. Aqui, a dimensão de Hausdorff é relativa à métrica euclidiana em R n (ou qualquer métrica Lipschitz equivalente a ela). Por outro lado, um conjunto pode ter dimensão topológica menor que n e ter medida de Lebesgue n- dimensional positiva . Um exemplo disso é o conjunto Smith – Volterra – Cantor que tem dimensão topológica 0, mas tem medida de Lebesgue unidimensional positiva.

Para mostrar que um dado conjunto A é mensurável por Lebesgue, geralmente se tenta encontrar um conjunto "mais agradável" B que difere de A apenas por um conjunto nulo (no sentido de que a diferença simétrica ( A - B ) ∪ ( B - A ) é um conjunto nulo) e mostra que B pode ser gerado usando uniões contáveis ​​e interseções de conjuntos abertos ou fechados.

Construção da medida Lebesgue

A construção moderna da medida de Lebesgue é uma aplicação do teorema de extensão de Carathéodory . Ele procede da seguinte maneira.

Fix nN . Uma caixa em R n é um conjunto do formulário

onde b ia i , e o símbolo do produto aqui representa um produto cartesiano. O volume desta caixa é definido para ser

Para qualquer subconjunto A de R n , podemos definir sua medida externa λ * ( A ) por:

Em seguida, definimos o conjunto A como sendo mensurável por Lebesgue se para cada subconjunto S de R n ,

Esses conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue formam uma σ- álgebra , e a medida de Lebesgue é definida por λ ( A ) = λ * ( A ) para qualquer conjunto A mensurável de Lebesgue .

A existência de conjuntos que não são mensuráveis ​​de Lebesgue é uma consequência do axioma de escolha teórico dos conjuntos , que é independente de muitos dos sistemas convencionais de axiomas da teoria dos conjuntos . O teorema de Vitali , que segue do axioma, afirma que existem subconjuntos de R que não são mensuráveis ​​de Lebesgue. Assumindo o axioma da escolha, conjuntos não mensuráveis com muitas propriedades surpreendentes foram demonstrados, como aqueles do paradoxo de Banach-Tarski .

Em 1970, Robert M. Solovay mostrou que a existência de conjuntos que não são mensuráveis ​​por Lebesgue não é demonstrável dentro da estrutura da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel na ausência do axioma de escolha (ver o modelo de Solovay ).

Relação com outras medidas

A medida do Borel concorda com a medida de Lebesgue nos conjuntos para os quais é definida; entretanto, existem muitos mais conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue do que conjuntos mensuráveis ​​de Borel. A medida do Borel é invariante à translação, mas não completa .

A medida Haar pode ser definida em qualquer grupo localmente compacto e é uma generalização da medida de Lebesgue ( R n com adição é um grupo localmente compacto).

A medida de Hausdorff é uma generalização da medida de Lebesgue que é útil para medir os subconjuntos de R n de dimensões inferiores a n , como subvariedades , por exemplo, superfícies ou curvas em R 3 e conjuntos de fractais . A medida de Hausdorff não deve ser confundida com a noção de dimensão de Hausdorff .

Pode-se mostrar que não existe um análogo de dimensão infinita da medida de Lebesgue .

Veja também

Referências