Topologia geométrica - Geometric topology
Em matemática , a topologia geométrica é o estudo de variedades e mapas entre eles, particularmente os encaixes de uma variedade em outra.
História
Pode-se dizer que a topologia geométrica como uma área distinta da topologia algébrica se originou na classificação de 1935 dos espaços das lentes por torção de Reidemeister , que exigia a distinção de espaços que são homotópicos equivalentes, mas não homeomórficos . Essa foi a origem da teoria da homotopia simples . O uso do termo topologia geométrica para descrevê-los parece ter se originado bem recentemente.
Diferenças entre topologia de baixa dimensão e alta dimensão
Os manifolds diferem radicalmente em comportamento nas dimensões alta e baixa.
Topologia de alta dimensão refere-se a variedades de dimensão 5 e acima, ou em termos relativos, embeddings na codimensão 3 e acima. A topologia de baixa dimensão se preocupa com questões em dimensões de até 4 ou embeddings em codimensões de até 2.
A dimensão 4 é especial, pois em alguns aspectos (topologicamente), a dimensão 4 é alta dimensional, enquanto em outros aspectos (diferentemente), a dimensão 4 é baixa dimensional; essa sobreposição produz fenômenos excepcionais para a dimensão 4, como estruturas exóticas diferenciáveis em R 4 . Assim, a classificação topológica de variedades de 4 é, em princípio, fácil, e as questões-chave são: uma variedade topológica admite uma estrutura diferenciável e, em caso afirmativo, quantas? Notavelmente, o caso suave da dimensão 4 é o último caso aberto da conjectura de Poincaré generalizada ; veja as reviravoltas de Gluck .
A distinção ocorre porque a teoria da cirurgia funciona na dimensão 5 e acima (na verdade, ela funciona topologicamente na dimensão 4, embora seja muito complicado provar isso) e, portanto, o comportamento das variedades na dimensão 5 e acima é controlado algebricamente pela teoria da cirurgia. Na dimensão 4 e abaixo (topologicamente, na dimensão 3 e abaixo), a teoria da cirurgia não funciona e outros fenômenos ocorrem. De fato, uma abordagem para discutir variedades de baixa dimensão é perguntar "o que a teoria da cirurgia prediz como verdade, se funcionasse?" - e então entender os fenômenos de baixa dimensão como desvios disso.
A razão precisa para a diferença na dimensão 5 é porque o teorema de incorporação de Whitney , o truque técnico chave que fundamenta a teoria da cirurgia, requer 2 + 1 dimensões. Grosso modo, o truque de Whitney permite "desatar" esferas com nós - mais precisamente, remover autointerseções de imersões; faz isso por meio de uma homotopia de um disco - o disco tem 2 dimensões, e a homotopia adiciona mais 1 - e, portanto, em codimensão maior que 2, isso pode ser feito sem se interceptar; portanto, embeddings em codimensão maior que 2 podem ser entendidos por cirurgia. Na teoria da cirurgia, a etapa principal está na dimensão intermediária e, portanto, quando a dimensão intermediária tem codimensão maior que 2 (vagamente, 2½ é o suficiente, portanto, a dimensão total 5 é suficiente), o truque de Whitney funciona. A principal consequência disso é o teorema h- co-cordismo de Smale , que funciona na dimensão 5 e acima, e forma a base para a teoria da cirurgia.
Uma modificação do truque de Whitney pode funcionar em 4 dimensões e é chamada de alças de Casson - porque não há dimensões suficientes, um disco de Whitney apresenta novas torções, que podem ser resolvidas por outro disco de Whitney, levando a uma sequência ("torre") de discos. O limite desta torre produz um mapa topológico, mas não diferenciável, portanto, a cirurgia funciona topologicamente, mas não de forma diferenciada na dimensão 4.
Ferramentas importantes em topologia geométrica
Grupo fundamental
Em todas as dimensões, o grupo fundamental de uma variedade é um invariante muito importante e determina grande parte da estrutura; nas dimensões 1, 2 e 3, os grupos fundamentais possíveis são restritos, enquanto na dimensão 4 e acima cada grupo finitamente apresentado é o grupo fundamental de uma variedade (observe que é suficiente mostrar isso para variedades de 4 e 5 dimensões, e, em seguida, levar produtos com esferas para obter os mais altos).
Orientabilidade
Um coletor é orientável se tiver uma escolha consistente de orientação , e um coletor orientável conectado tem exatamente duas orientações diferentes possíveis. Neste cenário, várias formulações equivalentes de orientabilidade podem ser dadas, dependendo da aplicação desejada e nível de generalidade. As formulações aplicáveis a variedades topológicas gerais frequentemente empregam métodos da teoria da homologia , ao passo que, para variedades diferenciáveis, mais estrutura está presente, permitindo uma formulação em termos de formas diferenciais . Uma importante generalização da noção de orientabilidade de um espaço é a da orientabilidade de uma família de espaços parametrizados por algum outro espaço (um feixe de fibras ) para o qual uma orientação deve ser selecionada em cada um dos espaços que varia continuamente em relação às mudanças em os valores dos parâmetros.
Lidar com decomposições
Uma decomposição de alça de um m - variedade M é uma união
onde cada um é obtido pela fixação de - alças . Uma decomposição de manipulação é para uma variedade o que uma decomposição de CW é para um espaço topológico - em muitos aspectos, o propósito de uma decomposição de manipulação é ter uma linguagem análoga aos complexos de CW, mas adaptada ao mundo das variedades suaves . Assim, um i -handle é o análogo suave de uma i -cell. Manipular decomposições de variedades surgem naturalmente por meio da teoria de Morse . A modificação das estruturas do cabo está intimamente ligada à teoria de Cerf .
Nivelamento local
O nivelamento local é uma propriedade de uma subvariedade em uma variedade topológica de dimensão maior . Na categoria de variedades topológicas, as subvariedades localmente planas desempenham um papel semelhante ao das subvariedades incorporadas na categoria de variedades suaves .
Suponhamos que um d colector dimensional N é incorporado em um n dimensional colector M (onde d < n ). Se dissermos que N é localmente plano em x, se houver uma vizinhança de x tal que o par topológico seja homeomórfico ao par , com uma inclusão padrão de como um subespaço de . Ou seja, existe um homeomorfismo tal que a imagem de coincide com .
Teoremas de Schönflies
O teorema generalizado de Schoenflies afirma que, se uma esfera ( n - 1) -dimensional S está embutida na esfera n- dimensional S n de uma forma localmente plana (isto é, o embutimento se estende àquele de uma esfera espessada), então o par ( S n , S ) é homeomórfico ao par ( S n , S n −1 ), onde S n −1 é o equador da n- esfera. Brown e Mazur receberam o Prêmio Veblen por suas provas independentes deste teorema.
Ramos da topologia geométrica
Topologia de baixa dimensão
A topologia de baixa dimensão inclui:
- Superfícies (2 variedades)
- 3-manifolds
- 4-manifolds
cada um tem sua própria teoria, onde existem algumas conexões.
A topologia de baixa dimensão é fortemente geométrica, conforme refletido no teorema da uniformização em 2 dimensões - toda superfície admite uma curvatura métrica constante; geometricamente, ele tem uma das 3 geometrias possíveis: curvatura positiva / esférica, curvatura zero / plana, curvatura negativa / hiperbólica - e a conjectura de geometrização (agora teorema) em 3 dimensões - cada variedade de 3 pode ser cortada em pedaços, cada um dos quais tem uma das 8 geometrias possíveis.
A topologia bidimensional pode ser estudada como geometria complexa em uma variável (as superfícies de Riemann são curvas complexas) - pelo teorema de uniformização, cada classe conformada de métricas é equivalente a uma única complexa, e a topologia quadridimensional pode ser estudada do ponto de visão da geometria complexa em duas variáveis (superfícies complexas), embora nem toda variedade de 4 admite uma estrutura complexa.
Teoria do nó
A teoria dos nós é o estudo dos nós matemáticos . Embora seja inspirado por nós que aparecem na vida cotidiana em cadarços e cordas, o nó de um matemático difere porque as pontas são unidas de forma que não podem ser desfeitas. Em linguagem matemática, um nó é a incorporação de um círculo no espaço euclidiano tridimensional , R 3 (já que estamos usando topologia, um círculo não está vinculado ao conceito geométrico clássico, mas a todos os seus homeomorfismos ). Dois nós matemáticos são equivalentes se um pode ser transformado no outro por meio de uma deformação de R 3 sobre si mesmo (conhecido como isotopia ambiental ); essas transformações correspondem a manipulações de uma corda com nós que não envolvem cortar a corda ou passar a corda por ela mesma.
Para obter mais informações, os matemáticos generalizaram o conceito de nó de várias maneiras. Os nós podem ser considerados em outros espaços tridimensionais e objetos diferentes de círculos podem ser usados; veja nó (matemática) . Os nós de dimensão superior são esferas n- dimensionais no espaço euclidiano m- dimensional.
Topologia geométrica de alta dimensão
Na topologia de alta dimensão, as classes características são um invariante básico e a teoria da cirurgia é uma teoria chave.
Uma classe característica é uma maneira de se associar a cada fibrado principal sobre um espaço topológico X um cohomología classe de X . A classe de cohomologia mede a extensão em que o feixe é "torcido" - particularmente, se possui seções ou não. Em outras palavras, as classes características são invariantes globais que medem o desvio de uma estrutura de produto local de uma estrutura de produto global. Eles são um dos conceitos geométricos unificadores em topologia algébrica , geometria diferencial e geometria algébrica .
A teoria da cirurgia é uma coleção de técnicas usadas para produzir uma variedade a partir de outra de forma "controlada", introduzidas por Milnor ( 1961 ). Cirurgia refere-se ao corte de partes do manifold e substituí-lo por uma parte de outro manifold, combinando ao longo do corte ou limite. Isso está intimamente relacionado, mas não é idêntico, às decomposições de manipuladores . É uma ferramenta importante no estudo e classificação de variedades de dimensão maior que 3.
Mais tecnicamente, a ideia é começar com uma variedade M bem compreendida e realizar uma cirurgia nela para produzir uma variedade M ′ com alguma propriedade desejada, de modo que os efeitos na homologia , grupos de homotopia ou outros invariantes interessantes de os múltiplos são conhecidos.
A classificação de esferas exóticas por Kervaire e Milnor ( 1963 ) levou ao surgimento da teoria da cirurgia como uma ferramenta importante na topologia de alta dimensão.
Veja também
Referências
- RB Sher e RJ Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology , North-Holland. ISBN 0-444-82432-4 .