Círculo - Circle

Círculo
Um círculo (preto), que é medido por sua circunferência ( C ), diâmetro ( D ) em azul e raio ( R ) em vermelho; seu centro ( O ) está em verde.

Geometria
Projetando uma esfera em um plano
Contorno História
Galhos Euclidiana Não Euclidiano Elíptico Esférico Hiperbólico Geometria não arquimediana Projetiva Afim Sintético Analítico Algébrico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniana Simplético Diferencial discreto Complexo Finito Discreto / Combinatório Digital Convexo Computacional Fractal Incidência
Conceitos Recursos Dimensão Construções de régua e compasso Ângulo Curva Diagonal Ortogonalidade ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruência Semelhança Simetria
Zero-dimensional Apontar
Unidimensional Linha segmento raio Comprimento
Bidimensional Plano Área Polígono Triângulo Altitude Hipotenusa teorema de Pitágoras Paralelogramo Quadrado Retângulo Losango Rombóide Quadrilátero Trapézio Pipa Círculo Diâmetro Circunferência Área
Tridimensional Volume Cubo cubóide Cilindro Pirâmide Esfera
Quatro - / outra dimensão Tesseract Hiperesfera
Geômetras
pelo nome Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolônio Arquimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geômetras
por período AC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquimedes Apolônio 1-1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Nos Dias de Hoje Atiyah Gromov
v t e

Um círculo é uma forma que consiste em todos os pontos de um plano que estão a uma determinada distância de um determinado ponto, o centro ; equivalentemente, é a curva traçada por um ponto que se move em um plano de forma que sua distância de um determinado ponto seja constante . A distância entre qualquer ponto do círculo e o centro é chamada de raio . Este artigo é sobre círculos na geometria euclidiana e, em particular, o plano euclidiano, exceto onde indicado de outra forma.

Especificamente, um círculo é uma curva fechada simples que divide o plano em duas regiões : uma interna e outra externa . No uso cotidiano, o termo "círculo" pode ser usado indistintamente para se referir aos limites da figura ou à figura inteira, incluindo seu interior; no uso estritamente técnico, o círculo é apenas a fronteira e a figura inteira é chamada de disco .

Um círculo também pode ser definido como um tipo especial de elipse em que os dois focos são coincidentes e a excentricidade é 0, ou a forma bidimensional envolvendo a maior área por unidade de perímetro ao quadrado, usando cálculo de variações .

Definição de Euclides

Um círculo é uma figura plana delimitada por uma linha curva, de modo que todas as linhas retas traçadas de um certo ponto dentro dele até a linha delimitadora são iguais. A linha limite é chamada de circunferência e o ponto, de centro.

-  Euclides , Elementos , Livro I

Definição topológica

No campo da topologia , um círculo não se limita ao conceito geométrico, mas a todos os seus homeomorfismos . Dois círculos topológicos são equivalentes se um puder ser transformado no outro por meio de uma deformação de R ³ sobre si mesmo (conhecida como isotopia ambiente ).

Terminologia

• Anel : um objecto em forma de anel, a região delimitada pelas duas concêntricos círculos.
• Arco : qualquer parte conectada de um círculo. Especificar dois pontos finais de um arco e um centro permite dois arcos que, juntos, formam um círculo completo.
• Centro: o ponto equidistante de todos os pontos do círculo.
• Acorde : um segmento de linha cujas extremidades estão no círculo, dividindo assim um círculo em dois segmentos.
• Circunferência : o comprimento de um circuito ao longo do círculo ou a distância ao redor do círculo.
• Diâmetro : um segmento de linha cujas extremidades estão no círculo e que passa pelo centro; ou o comprimento de tal segmento de linha. Esta é a maior distância entre dois pontos quaisquer no círculo. É um caso especial de acorde, ou seja, o acorde mais longo de um determinado círculo, e seu comprimento é duas vezes o comprimento de um raio.
• Disco: a região do plano delimitada por um círculo.
• Lente : a região comum a (a intersecção de) dois discos sobrepostos.
• Passante: uma linha reta coplanar que não tem ponto em comum com o círculo.
• Raio: um segmento de linha que une o centro de um círculo com qualquer ponto único no próprio círculo; ou o comprimento de tal segmento, que é metade (o comprimento de) um diâmetro.
• Setor : uma região delimitada por dois raios de igual comprimento com um centro comum e qualquer um dos dois arcos possíveis, determinados por este centro e os pontos finais dos raios.
• Segmento : uma região limitada por um acorde e um dos arcos conectando os pontos finais do acorde. O comprimento da corda impõe um limite inferior no diâmetro dos arcos possíveis. Às vezes, o termo segmento é usado apenas para regiões que não contêm o centro do círculo ao qual seu arco pertence.
• Secante : uma corda estendida, uma linha reta coplanar, cruzando um círculo em dois pontos.
• Semicírculo : um dos dois arcos possíveis determinados pelos extremos de um diâmetro, tendo como centro o seu ponto médio. Em uso comum não técnico, pode significar o interior da região bidimensional delimitada por um diâmetro e um de seus arcos, que é tecnicamente chamado de meio-disco. Um meio-disco é um caso especial de um segmento, ou seja, o maior.
• Tangente : uma linha reta coplanar que tem um único ponto em comum com um círculo ("toca o círculo neste ponto").

Todas as regiões especificadas podem ser consideradas abertas , ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas , incluindo seus respectivos limites.

Corda, secante, tangente, raio e diâmetro

Arco, setor e segmento

História

A bússola neste manuscrito do século 13 é um símbolo do ato de criação de Deus . Observe também a forma circular do halo .

A palavra círculo deriva do grego κίρκος / κύκλος ( kirkos / kuklos ), ela própria uma metátese do grego homérico κρίκος ( krikos ), que significa "aro" ou "anel". As origens das palavras circo e circuito estão intimamente relacionadas.

Peça circular de seda com imagens mongóis

Círculos em um antigo desenho astronômico árabe .

O círculo é conhecido desde antes do início da história registrada. Círculos naturais teriam sido observados, como a Lua, o Sol e um pequeno caule de planta ao vento na areia, que forma um círculo na areia. O círculo é a base da roda , que, com invenções relacionadas, como engrenagens , torna possível a maior parte do maquinário moderno. Na matemática, o estudo do círculo ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, astronomia e cálculo.

Cedo ciência , especialmente geometria e astrologia e astronomia , estava ligado ao divino para a maioria dos estudiosos medievais , e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente "divina" ou "perfeito" que poderia ser encontrado em círculos.

Alguns destaques na história do círculo são:

• 1700 aC - O papiro Rhind fornece um método para encontrar a área de um campo circular. O resultado corresponde a 256/81(3,16049 ...) como um valor aproximado de π .

Torre Tughrul de dentro

• 300 aC - o livro 3 dos elementos de Euclides lida com as propriedades dos círculos.
• Na Sétima Carta de Platão , há uma definição e explicação detalhadas do círculo. Platão explica o círculo perfeito e como ele é diferente de qualquer desenho, palavra, definição ou explicação.
• 1880 DC - Lindemann prova que π é transcendental , resolvendo efetivamente o problema milenar da quadratura do círculo.

Resultados analíticos

Circunferência

A razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é π (pi), uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, a circunferência C está relacionada ao raio re ao diâmetro d por:

${\ displaystyle C = 2 \ pi r = \ pi d. \,}$

Área fechada

Área delimitada por um círculo = π × área do quadrado sombreado

Como provado por Arquimedes , em sua Medição de um Círculo , a área delimitada por um círculo é igual à de um triângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo, que chega a π multiplicado pelo raio ao quadrado:

${\ displaystyle \ mathrm {Area} = \ pi r ^ {2}. \,}$

Equivalentemente, denotando diâmetro por d ,

${\ displaystyle \ mathrm {Area} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \ approx 0 {.} 7854d ^ {2},}$

ou seja, aproximadamente 79% do quadrado circunscrito (cujo lado tem comprimento d ).

O círculo é a curva plana que envolve a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo das variações, a saber, a desigualdade isoperimétrica .

Equações

Coordenadas cartesianas

Círculo de raio r  = 1, centro ( a ,  b ) = (1,2, −0,5)

Equação de um círculo

Em um sistema de coordenadas cartesianas x - y , o círculo com coordenadas centrais ( a , b ) e raio r é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) de modo que

${\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Esta equação , conhecida como equação do círculo , segue do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto do círculo: como mostrado no diagrama adjacente, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados têm comprimento | x - a | e | y - b |. Se o círculo estiver centralizado na origem (0, 0), a equação se simplifica para

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}.}$

Forma paramétrica

A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as funções trigonométricas seno e cosseno como

${\ displaystyle x = a + r \, \ cos t,}$

${\ displaystyle y = b + r \, \ sin t,}$

onde t é uma variável paramétrica no intervalo de 0 a 2 π , interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de ( a ,  b ) a ( x ,  y ) faz com o  eixo x positivo .

Uma parametrização alternativa do círculo é

${\ displaystyle x = a + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}},}$

${\ displaystyle y = b + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}.}$

Nesta parametrização, a razão de t para r pode ser interpretada geometricamente como a projeção estereográfica da linha que passa pelo centro paralelo ao  eixo x (ver Substituição do meio-ângulo tangente ). No entanto, esta parametrização funciona apenas se t for feito para variar não apenas através de todos os reais, mas também até um ponto no infinito; caso contrário, o ponto mais à esquerda do círculo seria omitido.

Forma de 3 pontos

A equação do círculo determinada por três pontos não em uma linha é obtida por uma conversão da forma de 3 pontos de uma equação de círculo : ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}$

${\ displaystyle {\ frac {({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) + ({\ color {red} y} -y_ { 1}) ({\ color {red} y} -y_ {2})} {({\ color {red} y} -y_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) - ({\ color {red} y} -y_ {2}) ({\ color {green} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}$

Forma homogênea

Em coordenadas homogêneas , cada seção cônica com a equação de um círculo tem a forma

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -2axz-2byz + cz ^ {2} = 0.}$

Pode-se comprovar que uma seção cônica é um círculo exatamente quando contém (quando estendida ao plano projetivo complexo ) os pontos I (1: i : 0) e J (1: - i : 0). Esses pontos são chamados de pontos circulares no infinito .

Coordenadas polares

Em coordenadas polares , a equação de um círculo é

${\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2},}$

onde a é o raio do círculo, são as coordenadas polares de um ponto genérico no círculo e são as coordenadas polares do centro do círculo (ou seja, r ₀ é a distância da origem ao centro do círculo, e φ é o ângulo anti-horário do  eixo x positivo à linha que conecta a origem ao centro do círculo). Para um círculo centrado na origem, ou seja, r ₀ = 0 , isso se reduz a simplesmente r = a . Quando r ₀ = a , ou quando a origem está no círculo, a equação torna-se ${\ displaystyle (r, \ theta)}$${\ displaystyle (r_ {0}, \ phi)}$

${\ displaystyle r = 2a \ cos (\ theta - \ phi).}$

No caso geral, a equação pode ser resolvida para r , dando

${\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta - \ phi )}}.}$

Observe que sem o sinal ±, a equação, em alguns casos, descreveria apenas meio círculo.

Avião complexo

No plano complexo , um círculo com um centro em ce raio r tem a equação

${\ displaystyle | zc | = r.}$

Na forma paramétrica, isso pode ser escrito como

${\ displaystyle z = re ^ {it} + c.}$

A equação ligeiramente generalizada

${\ displaystyle pz {\ overline {z}} + gz + {\ overline {gz}} = q}$

para p real , qe complexo g é algumas vezes chamado de círculo generalizado . Esta se torna a equação acima para um círculo com , desde . Nem todos os círculos generalizados são realmente círculos: um círculo generalizado é um círculo (verdadeiro) ou uma linha . ${\ displaystyle p = 1, \ g = - {\ overline {c}}, \ q = r ^ {2} - | c | ^ {2}}$${\ displaystyle | zc | ^ {2} = z {\ overline {z}} - {\ overline {c}} zc {\ overline {z}} + c {\ overline {c}}}$

Linhas tangentes

A linha tangente por meio de um ponto P sobre o círculo é perpendicular ao diâmetro que passa através de P . Se P = ( x ₁ , y ₁ ) e o círculo tem centro ( a , b ) e raio r , então a linha tangente é perpendicular à linha de ( a , b ) a ( x ₁ , y ₁ ), então tem a forma ( x ₁ - a ) x + ( y ₁ - b ) y = c . Avaliando em ( x ₁ , y ₁ ) determina o valor de c , e o resultado é que a equação da tangente é

${\ displaystyle (x_ {1} -a) x + (y_ {1} -b) y = (x_ {1} -a) x_ {1} + (y_ {1} -b) y_ {1},}$

ou

${\ displaystyle (x_ {1} -a) (xa) + (y_ {1} -b) (yb) = r ^ {2}.}$

Se y ₁ ≠ b , então a inclinação desta linha é

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1} -a} {y_ {1} -b}}.}$

Isso também pode ser encontrado usando a diferenciação implícita .

Quando o centro do círculo está na origem, a equação da linha tangente torna-se

${\ displaystyle x_ {1} x + y_ {1} y = r ^ {2},}$

e sua inclinação é

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1}} {y_ {1}}}.}$

Propriedades

• O círculo é a forma com a maior área para um determinado comprimento de perímetro (consulte Desigualdade isoperimétrica ).
• O círculo é uma forma altamente simétrica: cada linha através do centro forma uma linha de simetria de reflexão e tem simetria rotacional em torno do centro para cada ângulo. Seu grupo de simetria é o grupo ortogonal O (2, R ). O grupo de rotações por si só é o grupo círculo T .
• Todos os círculos são semelhantes .
  • A circunferência do círculo e o raio são proporcionais .
  • A área delimitada e o quadrado do seu raio são proporcionais.
  • As constantes de proporcionalidade são 2 π e π respectivamente.
• O círculo centrado na origem com raio 1 é chamado de círculo unitário .
  • Pensado como um grande círculo da esfera unitária , torna-se o círculo Riemanniano .
• Através de quaisquer três pontos, nem todos na mesma linha, existe um círculo único. Nas coordenadas cartesianas, é possível dar fórmulas explícitas para as coordenadas do centro do círculo e do raio em termos das coordenadas dos três pontos dados. Veja circunferência .

Acorde

• Os acordes são equidistantes do centro de um círculo se e somente se eles têm o mesmo comprimento.
• A bissetriz perpendicular de uma corda passa pelo centro de um círculo; declarações equivalentes decorrentes da exclusividade da bissetriz perpendicular são:
  • Uma linha perpendicular do centro de um círculo corta a corda ao meio.
  • O segmento de linha através do centro que divide um acorde é perpendicular ao acorde.
• Se um ângulo central e um ângulo inscrito de um círculo são subtendidos pela mesma corda e no mesmo lado da corda, então o ângulo central é duas vezes o ângulo inscrito.
• Se dois ângulos estão inscritos no mesmo acorde e no mesmo lado do acorde, eles são iguais.
• Se dois ângulos estiverem inscritos no mesmo acorde e em lados opostos do acorde, eles serão complementares .
  • Para um quadrilátero cíclico , o ângulo externo é igual ao ângulo oposto interno.
• Um ângulo inscrito subtendido por um diâmetro é um ângulo reto (veja o teorema de Tales ).
• O diâmetro é a corda mais longa do círculo.
  • Dentre todos os círculos com corda AB em comum, o círculo com raio mínimo é aquele com diâmetro AB.
• Se a intersecção de qualquer dois acordes divide uma corda em comprimentos de um e b e divide o outro acorde em comprimentos c e d , em seguida, AB = CD .
• Se a intersecção de qualquer dois perpendiculares acordes divide uma corda em comprimentos de um e b e divide o outro acorde em comprimentos c e d , em seguida, um ² + b ² + C ² + d ² é igual ao quadrado do diâmetro.
• A soma dos comprimentos quadrados de quaisquer duas cordas que se cruzam em ângulos retos em um determinado ponto é a mesma que a de quaisquer outras duas cordas perpendiculares que se cruzam no mesmo ponto e é dada por 8 r ² - 4 p ² , onde r é o raio do círculo e p é a distância do ponto central ao ponto de interseção.
• A distância de um ponto no círculo a uma determinada corda vezes o diâmetro do círculo é igual ao produto das distâncias do ponto às pontas da corda.

Tangente

• Uma linha desenhada perpendicular a um raio através do ponto final do raio situado no círculo é uma tangente ao círculo.
• Uma linha desenhada perpendicular a uma tangente através do ponto de contato com um círculo passa pelo centro do círculo.
• Duas tangentes sempre podem ser desenhadas em um círculo a partir de qualquer ponto fora do círculo, e essas tangentes têm o mesmo comprimento.
• Se uma tangente em A e uma tangente em B se cruzam no ponto exterior P , denotando o centro como O , os ângulos ∠ BOA e ∠ BPA são suplementares.
• Se AD for tangente ao círculo em A e se AQ for uma corda do círculo, então ∠ DAQ =1/2arco ( AQ ) .

Teoremas

Teorema secante-secante

• O teorema do acorde afirma que, se dois acordes, CD e EB , se cruzam em A , então AC × AD = AB × AE .
• Se duas secantes, AE e AD , também cortam o círculo em B e C respectivamente, então AC × AD = AB × AE (corolário do teorema do acorde).
• Uma tangente pode ser considerada um caso limite de uma secante cujas extremidades são coincidentes. Se uma tangente de um ponto externo A encontra o círculo em F e uma secante do ponto externo A encontra o círculo em C e D respectivamente, então AF ² = AC × AD (teorema da tangente-secante).
• O ângulo entre uma corda e a tangente em uma de suas extremidades é igual a metade do ângulo subtendido no centro do círculo, no lado oposto da corda (ângulo da corda tangente).
• Se o ângulo subtendido pela corda no centro for 90 ° , então ℓ = r √ 2 , onde ℓ é o comprimento da corda e r é o raio do círculo.
• Se duas secantes estão inscritas no círculo como mostrado à direita, então a medida do ângulo A é igual a metade da diferença das medidas dos arcos fechados ( e ). Ou seja, onde O é o centro do círculo (teorema secante-secante).${\ displaystyle {\ overset {\ frown} {DE}}}$${\ displaystyle {\ overset {\ frown} {BC}}}$${\ displaystyle 2 \ angle {CAB} = \ angle {DOE} - \ angle {BOC}}$

Ângulos inscritos

Teorema do ângulo inscrito

Um ângulo inscrito (exemplos são os ângulos azul e verde na figura) é exatamente a metade do ângulo central correspondente (vermelho). Portanto, todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (rosa) são iguais. Os ângulos inscritos no arco (marrom) são complementares. Em particular, todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto (já que o ângulo central é 180 °).

Sagitta

O sagitta é o segmento vertical.

O sagitta (também conhecido como versine ) é um segmento de linha desenhado perpendicularmente a uma corda, entre o ponto médio dessa corda e o arco do círculo.

Dado o comprimento y de um acorde e o comprimento x do sagitta, o teorema de Pitágoras pode ser usado para calcular o raio do círculo único que caberá em torno das duas linhas:

${\ displaystyle r = {\ frac {y ^ {2}} {8x}} + {\ frac {x} {2}}.}$

Outra prova desse resultado, que depende apenas de duas propriedades do acorde fornecidas acima, é a seguinte. Dado um acorde de comprimento y e com sagitta de comprimento x , como o sagitta cruza o ponto médio do acorde, sabemos que ele faz parte do diâmetro do círculo. Como o diâmetro é duas vezes o raio, a parte "ausente" do diâmetro tem ( 2 r - x ) de comprimento. Usando o fato de que uma parte de um acorde vezes a outra parte é igual ao mesmo produto obtido ao longo de um acorde que cruza o primeiro acorde, descobrimos que ( 2 r - x ) x = ( y / 2) ² . Resolvendo para r , encontramos o resultado necessário.

Construções de compasso e régua

Existem muitas construções de compasso e régua que resultam em círculos.

O mais simples e básico é a construção, dado o centro do círculo e um ponto no círculo. Coloque a perna fixa da bússola no ponto central, a perna móvel no ponto do círculo e gire a bússola.

Construção com determinado diâmetro

• Construa o ponto médio M do diâmetro.
• Construa o círculo com o centro M passando por um dos pontos finais do diâmetro (ele também passará pelo outro ponto final).

Construa um círculo através dos pontos A, B e C encontrando as bissetoras perpendiculares (vermelho) dos lados do triângulo (azul). Apenas duas das três bissetoras são necessárias para encontrar o centro.

Construção através de três pontos não colineares

• Nomeie os pontos P , Q e R ,
• Construa a bissetriz perpendicular do segmento PQ .
• Construa a bissetriz perpendicular do segmento PR .
• Rotular o ponto de intersecção destes dois bissectrizes perpendiculares M . (Eles se encontram porque os pontos não são colineares ).
• Construa o círculo com o centro M passando por um dos pontos P , Q ou R (ele também passará pelos outros dois pontos).

Círculo de Apolônio

Definição de círculo de Apolônio: constante d ₁ / d ₂

Apolônio de Perga mostrou que um círculo pode também ser definido como o conjunto de pontos num plano tendo uma constante de proporção (excepto um) de distâncias para dois focos fixo, um e B . (O conjunto de pontos onde as distâncias são iguais é a bissetriz perpendicular do segmento AB , uma linha.) Às vezes, diz-se que esse círculo é desenhado em torno de dois pontos.

A prova está dividida em duas partes. Primeiro, deve-se provar que, dados dois focos A e B e uma razão de distâncias, qualquer ponto P que satisfaça a razão de distâncias deve cair em um círculo particular. Seja C outro ponto, também satisfazendo a razão e encontrando-se no segmento AB . Pelo teorema da bissetriz do ângulo, o segmento de linha PC dividirá o ângulo interno APB , uma vez que os segmentos são semelhantes:

${\ displaystyle {\ frac {AP} {BP}} = {\ frac {AC} {BC}}.}$

Analogamente, um segmento de linha PD através de algum ponto D em AB estendido corta o ângulo externo correspondente BPQ onde Q está em AP estendido. Como os ângulos internos e externos somam 180 graus, o ângulo CPD é exatamente 90 graus; ou seja, um ângulo reto. O conjunto de pontos P de modo que o ângulo CPD seja um ângulo reto forma um círculo, do qual CD é um diâmetro.

Em segundo lugar, veja para uma prova de que cada ponto no círculo indicado satisfaz a proporção dada.

Razões cruzadas

Uma propriedade intimamente relacionada dos círculos envolve a geometria da razão cruzada de pontos no plano complexo. Se A , B e C são como acima, então o círculo de Apolônio para esses três pontos é a coleção de pontos P para os quais o valor absoluto da razão cruzada é igual a um:

${\ displaystyle {\ big |} [A, B; C, P] {\ big |} = 1.}$

Dito de outra forma, P é um ponto no círculo de Apolônio se e somente se a razão cruzada [ A , B ; C , P ] está no círculo unitário do plano complexo.

Círculos generalizados

Se C é o ponto médio do segmento AB , então a coleção de pontos P satisfazendo a condição de Apolônio

${\ displaystyle {\ frac {| AP |} {| BP |}} = {\ frac {| AC |} {| BC |}}}$ 

não é um círculo, mas sim uma linha.

Assim, se A , B e C recebem pontos distintos no plano, então o lugar geométrico dos pontos P que satisfazem a equação acima é chamado de "círculo generalizado". Pode ser um círculo verdadeiro ou uma linha. Nesse sentido, uma linha é um círculo generalizado de raio infinito.

Inscrição ou circunscrição sobre outras figuras

Em cada triângulo, um círculo único, chamado de círculo incerto , pode ser inscrito de forma que seja tangente a cada um dos três lados do triângulo.

Em cada triângulo, um círculo único, chamado circunferência, pode ser circunscrito de forma que passe por cada um dos três vértices do triângulo .

Um polígono tangencial , como um quadrilátero tangencial , é qualquer polígono convexo dentro do qual pode ser inscrito um círculo tangente a cada lado do polígono. Cada polígono regular e cada triângulo é um polígono tangencial.

Um polígono cíclico é qualquer polígono convexo sobre o qual um círculo pode ser circunscrito , passando por cada vértice. Um exemplo bem estudado é o quadrilátero cíclico. Cada polígono regular e cada triângulo é um polígono cíclico. Um polígono cíclico e tangencial é denominado polígono bicêntrico .

Um hipociclóide é uma curva que é inscrita em um determinado círculo traçando um ponto fixo em um círculo menor que rola dentro e tangencia o círculo dado.

Caso limite de outras figuras

O círculo pode ser visto como um caso limite de cada uma das várias outras figuras:

• Uma oval cartesiana é um conjunto de pontos tal que uma soma ponderada das distâncias de qualquer um de seus pontos a dois pontos fixos (focos) é uma constante. Uma elipse é o caso em que os pesos são iguais. Um círculo é uma elipse com excentricidade zero, o que significa que os dois focos coincidem um com o outro como o centro do círculo. Um círculo também é um caso especial diferente de uma oval cartesiana em que um dos pesos é zero.
• Um superelipse tem uma equação da forma para a , b e n positivos . Um supercírculo tem b = a . Um círculo é o caso especial de um supercírculo em que n = 2 .${\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | ^ {n} \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | ^ {n} \! = 1 }$
• Uma oval Cassini é um conjunto de pontos em que o produto das distâncias de qualquer um de seus pontos a dois pontos fixos é uma constante. Quando os dois pontos fixos coincidem, o resultado é um círculo.
• Uma curva de largura constante é uma figura cuja largura, definida como a distância perpendicular entre duas linhas paralelas distintas, cada uma cruzando seu limite em um único ponto, é a mesma, independentemente da direção dessas duas linhas paralelas. O círculo é o exemplo mais simples desse tipo de figura.

Em outras p- normas

Ilustrações de círculos unitários (ver também superelipse ) em diferentes p -norms (cada vetor da origem ao círculo unitário tem um comprimento de um, o comprimento sendo calculado com a fórmula de comprimento do p correspondente ).

Definindo um círculo como o conjunto de pontos com uma distância fixa de um ponto, diferentes formas podem ser consideradas círculos sob diferentes definições de distância. Na norma p , a distância é determinada por

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dotsb + | x_ {n} | ^ {p} \ direita) ^ {1 / p}.}$

Na geometria euclidiana, p = 2, dando o familiar

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2} + \ dotsb + | x_ {n } | ^ {2}}}.}$

Na geometria de táxi , p = 1. Círculos de táxi são quadrados com lados orientados em um ângulo de 45 ° em relação aos eixos coordenados. Enquanto cada lado teria comprimento usando uma métrica euclidiana , onde r é o raio do círculo, seu comprimento na geometria do táxi é 2 r . Portanto, a circunferência de um círculo é 8 r . Assim, o valor de um análogo geométrico a é 4 nesta geometria. A fórmula para o círculo unitário na geometria do táxi é em coordenadas cartesianas e ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} r}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle | x | + | y ​​| = 1}$

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {| \ sin \ theta | + | \ cos \ theta |}}}$

em coordenadas polares.

Um círculo de raio 1 (usando esta distância) é a vizinhança de von Neumann de seu centro.

Um círculo de raio r para a distância Chebyshev ( L _∞ métrica ) em um plano também é um quadrado com comprimento lateral 2 r paralelo aos eixos coordenados, de modo que a distância Chebyshev plana pode ser vista como equivalente por rotação e escalonamento à distância plana do táxi. No entanto, essa equivalência entre as métricas L ₁ e L _∞ não se generaliza para dimensões superiores.

Locus de soma constante

Considere um conjunto finito de pontos no plano. O lugar geométrico dos pontos de modo que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos dados seja constante é um círculo, cujo centro está no centróide dos pontos dados. Uma generalização para maiores potências de distâncias é obtida se sob pontos os vértices do polígono regular são tomados. O locus de pontos tais que a soma da -ésima potência das distâncias aos vértices de um dado polígono regular com circunradius é constante é um círculo, se ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P_ {n}}$${\ displaystyle (2m)}$${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}> nR ^ {2m}}$, onde = 1,2,…, -1;${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

cujo centro é o centróide do . ${\ displaystyle P_ {n}}$

No caso do triângulo equilátero , os loci das somas constantes da segunda e quarta potências são círculos, enquanto para o quadrado, os loci são círculos para as somas constantes da segunda, quarta e sexta potências. Para o pentágono regular, a soma constante das oitavas potências das distâncias será adicionada e assim por diante.

Quadrando o círculo

Quadrar o círculo é o problema, proposto por antigos geômetras , de construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo usando apenas um número finito de passos com compasso e régua .

Em 1882, a tarefa provou ser impossível, como consequência do teorema de Lindemann-Weierstrass , que prova que pi ( π ) é um número transcendental , ao invés de um número irracional algébrico ; ou seja, não é a raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais . Apesar da impossibilidade, este tópico continua a ser do interesse dos entusiastas do pseudomath .

Significado na arte e simbolismo

Desde o tempo das primeiras civilizações conhecidas - como os assírios e os antigos egípcios, as do Vale do Indo e ao longo do rio Amarelo na China e as civilizações ocidentais da Grécia e Roma antigas durante a Antiguidade clássica - o círculo foi usado diretamente ou indiretamente nas artes visuais para transmitir a mensagem do artista e expressar certas ideias. No entanto, as diferenças na visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto nas percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizaram o perímetro do círculo para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentraram em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, o círculo simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas representa corpos celestes e espíritos divinos. O círculo significa muitos conceitos sagrados e espirituais, incluindo unidade, infinito, totalidade, o universo, divindade, equilíbrio, estabilidade e perfeição, entre outros. Tais conceitos foram transmitidos em culturas em todo o mundo através do uso de símbolos, por exemplo, uma bússola, um halo, a vesica piscis e seus derivados (peixe, olho, auréola, mandorla, etc.), o ouroboros, a roda do Dharma , um arco-íris, mandalas, janelas rosadas e assim por diante.

Veja também

Referências

Leitura adicional

• Pedoe, Dan (1988). Geometria: um curso abrangente . Dover.
• "Circle" no arquivo MacTutor History of Mathematics

links externos

• "Circle" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Círculo em PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Circle" . MathWorld .
• "Applets Java interativos" . para as propriedades e construções elementares envolvendo círculos
• "Equação de forma padrão interativa do círculo" . Clique e arraste os pontos para ver a equação do formulário padrão em ação
• "Mastigando Círculos" . cortar o nó