Subbase - Subbase

Na topologia , uma sub-base (ou subbasis ) para um espaço topológico $X$ com topologia $T$ é um subcoleção $B$ de $T$ que gera $T$ , no sentido em que $T$ é a menor topologia contendo $B$ . Uma definição ligeiramente diferente é usada por alguns autores, e existem outras formulações equivalentes úteis da definição; estes são discutidos abaixo.

Definição

Deixe- $X$ um espaço topológico com topologia $T$ . Uma subbase de $T$ é geralmente definida como uma subcoleção $B$ de $T$ satisfazendo uma das duas seguintes condições equivalentes:

O subcoleção $B$ gera a topologia $T$ . Isto significa que $T$ é a menor topologia contendo $B$ : qualquer topologia $t'$ em $X$ contendo $B$ deve também conter $T$ .
A recolha de conjuntos abertos consistindo de todos os finitos intersecções de elementos de $B$ , em conjunto com o conjunto $X$ , forma uma base para $o t$ . Isto significa que cada adequada conjunto aberto em $T$ pode ser escrito como uma união de intersecções finitas de elementos de $B$ . Explicitamente, dado um ponto $x$ em um conjunto aberto $L \subseteq X$ , há uma quantidade finita de conjuntos $S 1, ..., S N$ de $B$ , de tal modo que a intersecção destes conjuntos contém $X$ e está contido na $L$ .

(Se usarmos a convenção de interseção nula , não há necessidade de incluir $X$ na segunda definição.)

Para qualquer subcoleção $S$ do conjunto de potência $P (X)$ , existe uma topologia única tendo $S$ como uma subbase. Em particular, a interseção de todas as topologias em $X$ contendo $S$ satisfaz essa condição. Em geral, entretanto, não há uma sub-base única para uma determinada topologia.

Assim, podemos começar com uma topologia fixa e encontrar subbases para essa topologia, e também podemos começar com uma subcoleção arbitrária do conjunto de potência $P (X)$ e formar a topologia gerada por essa subcoleção. Podemos usar livremente qualquer definição equivalente acima; na verdade, em muitos casos, uma das duas condições é mais útil do que a outra.

Definição alternativa

Às vezes, uma definição ligeiramente diferente de sub-base é dado que exige que a sub-base $ℬ$ cobertura $X$ . Nesse caso, $X$ é a união de todos os conjuntos contidos em $ℬ$ . Isso significa que não pode haver confusão quanto ao uso de interseções nulas na definição.

No entanto, essa definição nem sempre é equivalente às duas definições acima. Em outras palavras, existem espaços topológicos $(X, τ)$ com um subconjunto $ℬ \subseteq τ$ , tal que $τ$ é a menor topologia contendo $ℬ$ , mas $ℬ$ não cobre $X$ (tal exemplo é dado abaixo). Na prática, isso é uma ocorrência rara; por exemplo, uma subbase de um espaço que tem pelo menos dois pontos e satisfaz o axioma de separação T ₁ deve ser uma cobertura desse espaço.

Exemplos

A topologia gerada por qualquer subconjunto $𝒮 \subseteq {\emptyset, X}$ (incluindo pelo conjunto vazio $𝒮: = \emptyset$ ) é igual à topologia trivial ${\emptyset, X$ }.

Se $τ$ é uma topologia em $X$ e $ℬ$ é uma base para $τ,$ então a topologia gerada por $ℬ$ é $τ$ . Assim, qualquer base $ℬ$ para uma topologia $τ$ também é uma sub-base para $τ$ . Se $𝒮$ for qualquer subconjunto de $τ,$ então a topologia gerada por $𝒮$ será um subconjunto de $τ$ .

A topologia habitual sobre os números reais tem uma sub-base que consiste em todos os semi-infinito intervalos abertos, quer da forma $(-\infty,$ $um$ $)$ ou $($ $b$ $, \infty)$ , onde $um$ e $b$ são números reais. Juntos, eles geram a topologia usual, uma vez que as interseções $($ $a$ $,$ $b$ $) = (-\infty,$ $b$ $) \cap ($ $a$ $, \infty)$ para $a$ $<$ $b$ geram a topologia usual. Uma segunda sub-base é formada tomando a subfamília onde $um$ e $b$ são racional . A segunda subbase também gera a topologia usual, uma vez que os intervalos abertos $($ $a$ $,$ $b$ $)$ com $a$ , $b$ racional, são uma base para a topologia euclidiana usual. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

A subbase que consiste em todos os intervalos abertos semi-infinitos da forma $(-\infty, a)$ sozinha, onde $a$ é um número real, não gera a topologia usual. A topologia resultante não satisfaz o axioma de separação T ₁ , uma vez que todos os conjuntos abertos têm uma interseção não vazia.

A topologia inicial em $X$ definida por uma família de funções $f i : X \to Y i$ , onde cada $Y i$ tem uma topologia, é a topologia mais grosseira em $X$ tal que cada $f i$ é contínuo . Como a continuidade pode ser definida em termos de imagens inversas de conjuntos abertos, isso significa que a topologia inicial em $X$ é dada tomando todos $f i -1 (U)$ , onde $U$ varia sobre todos os subconjuntos abertos de $Y i$ , como uma sub-base .

Dois casos especiais importantes da topologia inicial são a topologia do produto , onde a família de funções é o conjunto de projeções do produto para cada fator, e a topologia do subespaço , onde a família consiste em apenas uma função, o mapa de inclusão .

A topologia compacta-aberta no espaço de funções contínuas de $X$ a $Y$ tem por subbase o conjunto de funções

{\ displaystyle V (K, U) = \ {f \ dois pontos X \ a Y \ mid f (K) \ subseteq U \}}

onde $K \subseteq X$ é compacto e $L$ é um subconjunto aberto de $Y$ .

Suponha que $(X, τ)$ seja um espaço topológico de Hausdorff com $X$ contendo dois ou mais elementos (por exemplo, com a topologia euclidiana ). Seja $Y$ $\in τ$ qualquer subconjunto aberto não vazio de $($ $X$ $, τ)$ (por exemplo, $Y$ poderia ser um intervalo aberto limitado não vazio em ) e seja $ν$ denotar a topologia do subespaço em $Y da$ qual $Y$ herda $($ $X$ $, τ)$ ( então $ν \subseteq τ$ ). Então a topologia gerada por $ν$ em $X$ é igual à união ${$ $X$ $} \cup ν$ (veja esta nota de rodapé para uma explicação), onde ${$ $X$ $} \cup ν \subseteq τ$ (uma vez que $($ $X$ $, τ)$ é Hausdorff, a igualdade será mantida se e apenas se $Y$ $=$ $X$ ). Observe que se $Y$ é um subconjunto próprio de $X$ , então ${$ $X$ $} \cup ν$ é a menor topologia em $X$ contendo $ν$ embora $ν$ não cubra $X$ (ou seja, a união ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\cup V \in ν V = Y$ é um subconjunto adequado de $X$ ).

Resultados usando subbases

Um fato interessante sobre as subbases é que a continuidade de uma função só precisa ser verificada em uma subbase do intervalo. Ou seja, se $f : X \to Y$ é um mapa entre espaços topológicos e se $ℬ$ é uma subbase para $Y$ , então $f : X \to Y$ é contínuo se e somente se $f -1 (B)$ é aberto em $X$ para cada $B \in ℬ$ . Uma rede (ou sequência) $x • = (x i) i \in I$ converge para um ponto $x$ se e somente se toda vizinhança sub- básica de $x$ contém todo $x i$ para $i \in I$ suficientemente grande .

Teorema da subbase de Alexander

O Teorema de Subbases de Alexander é um resultado significativo relativo a subbases que é devido a James Waddell Alexander II . O resultado correspondente para tampas abertas básicas (em vez de sub-básicas) é muito mais fácil de provar.

Teorema da Subbase de Alexander : Seja

(X, τ)

um espaço topológico. Se

X

tem uma sub-base

𝒮

tal que toda cobertura de

X

por elementos de

𝒮

tem uma subcobertura finita, então

X

é compacto .

O inverso desse teorema também é válido e é provado usando $𝒮 = τ$ (uma vez que toda topologia é uma sub-base para si mesma).

Se

X

for compacto e

𝒮

for uma sub-base de

X

, toda cobertura de

X

por elementos de

𝒮 terá

uma subcobertura finita.

Prova

Suponha, por uma questão de contradição, que o espaço $X$ não seja compacto (então $X$ é um conjunto infinito), ainda que toda cobertura $subbásica$ de $𝒮$ tenha uma subcobertura finita. Vamos denotar o conjunto de todas as tampas abertas de $X$ que não têm qualquer subcobertura finita de $X$ . $Ordene$ parcialmente por inclusão de subconjunto e use o Lema de Zorn para encontrar um elemento $𝒞 \in$ que seja um elemento máximo de . Observe aquilo: ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$

Uma vez que ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ , por definição de , $𝒞$ é uma cobertura aberta de $X$ e não existe nenhum subconjunto finito de $𝒞$ que cubra $X$ (então, em particular, $𝒞$ é infinito). ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$
A maximalidade de $𝒞$ in implica que se $V$ é um conjunto aberto de $X$ tal que $V$ $\notin 𝒞$ então $𝒞 \cup {$ $V$ $}$ tem uma subcobertura finita, que deve necessariamente ser da forma ${$ $V$ $} \cup 𝒞$ $V$ para algum subconjunto finito $𝒞$ $V$ de $𝒞$ (este subconjunto finito depende da escolha de $V$ ). ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$

Começaremos mostrando que $𝒞 \cap 𝒮$ é não um cover de $X$ . Suponha que $𝒞 \cap 𝒮$ fosse uma cobertura de $X$ , o que em particular implica que $𝒞 \cap 𝒮$ é uma cobertura de $X$ por elementos de $𝒮$ . A hipótese do teorema sobre $𝒮$ implica que existe um subconjunto finito de $𝒞 \cap 𝒮$ que cobre $X$ , que seria simultaneamente também uma subcobertura finita de $X$ por elementos de $𝒞$ (uma vez que $𝒞 \cap 𝒮 \subseteq 𝒞$ ). Mas isso contradiz ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ , o que prova que $𝒞 \cap 𝒮$ não cobre $X$ .

Visto que $𝒞 \cap 𝒮$ não cobre $X$ , existe algum $x \in X$ que não é coberto por $𝒞 \cap 𝒮$ (ou seja, $x$ não está contido em nenhum elemento de $𝒞 \cap 𝒮$ ). Mas desde $𝒞$ faz cover $X$ , também existe alguma $U \in 𝒞$ tal que $x \in U$ . Uma vez que $𝒮$ é uma sub-base que gera a topologia de $X$ , a partir da definição da topologia gerada por $𝒮$ , deve existir uma coleção finita de conjuntos abertos sub-básicos $S 1, ..., S n \in 𝒮$ tais que

x \in S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq L

.

Mostraremos agora por contradição que $S i \notin 𝒞$ para todo $i = 1, ..., n$ . Se $i$ fosse tal que $S i \in 𝒞$ , então também $S i \in 𝒞 \cap 𝒮$ então o fato de $x \in S i$ implicaria que $x$ é coberto por $𝒞 \cap 𝒮$ , o que contradiz como $x$ foi escolhido (lembre-se de que $x$ foi escolhido especificamente para que não fosse coberto por $𝒞 \cap 𝒮$ ).

Como mencionado anteriormente, o maximalidade de $𝒞$ em implica que para cada $i$ $= 1, ...,$ $n$ , existe um subconjunto finito $𝒞$ $S$ $i$ de $𝒞$ tal que ${$ $S$ $i$ $} \cup 𝒞$ $S$ $i$ forma uma tampa finito de $X$ . Definir ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$

𝒞 F : = 𝒞 S 1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup 𝒞 S n

.

que é um subconjunto finito de $𝒞$ . Observe que para cada $i = 1, ..., n$ , ${S i} \cup 𝒞 F$ é uma cobertura finita de $X$ então vamos substituir cada $𝒞 S i$ com $𝒞 F$ .

Deixe $\cup 𝒞 F$ denotar a união de todos os conjuntos no $𝒞 F$ (que é um subconjunto aberto de $X$ ) e deixe que $Z$ denota o complemento de $\cup 𝒞 F$ em $X$ . Observe-se que para qualquer subconjunto $Um \subseteq X$ , ${A} \cup 𝒞 F$ abrange $X$ se e somente se $Z \subseteq Uma$ . Em particular, para todo $i = 1, ..., n$ , o fato de ${S i} \cup 𝒞 F$ cobrir $X$ implica que $Z \subseteq S i$ . Como $eu$ era arbitrário, temos $Z \subseteq S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n$ . Recordando que $S um \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq L$ , temos, portanto, $Z \subseteq L$ , que é equivalente a ${L} \cup 𝒞 F$ sendo uma tampa de $X$ . Além disso, ${U} \cup 𝒞 F$ é uma cobertura finita de $X$ com ${U} \cup 𝒞 F \subseteq 𝒞$ . Assim, $𝒞$ tem uma subcobertura finita de $X$ , o que contradiz o fato de que ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ . Portanto, a suposição original de que $X$ não é compacto deve estar errada, o que prova que $X$ é compacto. ∎

Embora essa prova faça uso do Lema de Zorn , a prova não precisa de toda a força de escolha. Em vez disso, ele se baseia no princípio do Ultrafiltro intermediário .

Usando este teorema com a subbase acima, pode-se dar uma prova muito fácil de que intervalos fechados limitados em são compactos. De forma mais geral, o teorema de Tychonoff , que afirma que o produto de espaços compactos não vazios é compacto, tem uma prova curta se o Teorema da Subbase de Alexander for usado. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Prova

A topologia do produto em $Π i X i$ tem, por definição, uma subbase que consiste em conjuntos de cilindros que são as projeções inversas de um conjunto aberto em um fator. Dada uma família subbásica $C$ do produto que não tem uma subcobertura finita, podemos particionar $C = \cup i C i$ em subfamílias que consistem exatamente naqueles conjuntos de cilindros correspondentes a um dado espaço de fator. Por hipótese, se $C i \neq \emptyset$ então $C i$ que não tem uma subcobertura finita. Sendo conjuntos de cilindros, isso significa que suas projeções em $X i$ não têm subcobertura finita, e como cada $X i$ é compacto, podemos encontrar um ponto $x i \in X i$ que não é coberto pelas projeções de $C i$ em $X i$ . Mas, em seguida, $(x i) i \in Π i X i$ não é coberto por $C$ . ∎

Observe que, na última etapa, usamos implicitamente o axioma da escolha (que na verdade é equivalente ao lema de Zorn ) para garantir a existência de $(x i) i$ .

Veja também

Base (topologia)

Notas

Referências

Munkres, James R. (2000). Topologia (segunda edição). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia geral: capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn e Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia geral . Dover Books on Mathematics (Primeira edição). Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .

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