Conjuntos separados - Separated sets

Na topologia e nos ramos relacionados da matemática , os conjuntos separados são pares de subconjuntos de um determinado espaço topológico que estão relacionados entre si de uma certa maneira: grosso modo, sem se sobrepor nem se tocar. A noção de quando dois conjuntos são separados ou não é importante tanto para a noção de espaços conectados (e seus componentes conectados) quanto para os axiomas de separação para espaços topológicos.

Conjuntos separados não devem ser confundidos com espaços separados (definidos abaixo), que são um tanto relacionados, mas diferentes. Espaços separáveis são novamente um conceito topológico completamente diferente.

Definições

Existem várias maneiras pelas quais dois subconjuntos de um espaço topológico X podem ser considerados separados.

• A e B são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio . Esta propriedade nada tem a ver com a topologia como tal, mas apenas com a teoria dos conjuntos . Ele está incluído aqui porque é o mais fraco na sequência de diferentes noções. Para obter mais informações sobre desconexão em geral, consulte Conjuntos desconexos .
• A e B são separados em X se cada um for separado do fechamento do outro . Os fechos em si não precisam ser separados uns dos outros; por exemplo, os intervalos [0,1) e (1,2] são separados na linha real R , embora o ponto 1 pertença a ambos os seus fechamentos. Um exemplo mais geral é que em qualquer espaço métrico , duas bolas abertas B _r (x ₁ ) = {y: d (x ₁ , y) < r } e B _s (x ₂ ) = {y: d (x ₂ , y) < s } são separados sempre que d (x ₁ , x ₂ ) ≥ r + s . Observe que quaisquer dois conjuntos separados automaticamente devem ser disjuntos.
• A e B são separados por vizinhanças se houver vizinhanças U de A e V de B tais que U e V são disjuntos. (Às vezes você verá o requisito de que U e V sejam bairros abertos , mas isso não faz diferença no final.) Para o exemplo de A = [0,1) e B = (1,2], você poderia tomar U = (-1,1) e V = (1,3). Observe que se quaisquer dois conjuntos são separados por vizinhanças, então certamente eles são separados. Se A e B são abertos e disjuntos, então eles devem ser separados por vizinhanças; tome U = A e V = B. Por esta razão, separação é freqüentemente usada com conjuntos fechados (como no axioma de separação normal ).
• A e B são separados por vizinhanças fechadas se houver uma vizinhança fechada U de A e uma vizinhança fechada V de B tais que U e V são disjuntos. Nossos exemplos, [0,1) e (1,2], não são separados por vizinhanças fechadas. Você poderia tornar U ou V fechado incluindo o ponto 1 nele, mas não pode torná-los fechados mantendo-os disjuntos. Observe que se quaisquer dois conjuntos forem separados por vizinhanças fechadas, então certamente eles serão separados por vizinhanças.
• A e B são separados por uma função se existe uma função contínua f do espaço X para a linha real R tal que f ( A ) = {0} e f ( B ) = {1}. (Às vezes você verá o intervalo de unidade [0,1] usado no lugar de R nesta definição, mas isso não faz diferença.) Em nosso exemplo, [0,1) e (1,2] não são separados por uma função , porque não há como definir continuamente f no ponto 1. Observe que se quaisquer dois conjuntos forem separados por uma função, eles também serão separados por vizinhanças fechadas; as vizinhanças podem ser dadas em termos da pré - imagem de f como U  : = f ⁻¹ [- e , e ] e V  : = f ⁻¹ [1- e , 1 + e ], desde que e seja um número real positivo menor que 1/2.
• A e B são precisamente separadas por uma função se existe uma função contínua f de X a R tal que f ^-1 (0) = A e F ^-1 (1) = B . (Novamente, você também pode ver o intervalo de unidade no lugar de R e, novamente, isso não faz diferença.) Observe que, se quaisquer dois conjuntos são separados com precisão por uma função, então certamente eles são separados por uma função. Uma vez que {0} e {1} são fechados em R , apenas conjuntos fechados são capazes de ser precisamente separados por uma função, mas só porque dois conjuntos são fechados e separados por uma função não significa que eles são automaticamente separados com precisão por uma função (mesmo uma função diferente).

Relação com axiomas de separação e espaços separados

Os axiomas de separação são várias condições que às vezes são impostas aos espaços topológicos, muitos dos quais podem ser descritos em termos dos vários tipos de conjuntos separados. Como exemplo, vai definir a t ₂ axioma, que é a condição imposta em espaços separados. Especificamente, um espaço topológico é separada se, dadas quaisquer dois distintos pontos x e y , os conjuntos únicos { x } e { y } são separados por vizinhanças.

Espaços separados também são chamados de espaços de Hausdorff ou T ₂ espaços . Uma discussão mais aprofundada sobre os espaços separados pode ser encontrada no artigo Espaço de Hausdorff . A discussão geral dos vários axiomas de separação está no artigo Axioma de separação .

Relação com espaços conectados

Dado um espaço topológico X , às vezes é útil considerar se é possível separar um subconjunto A de seu complemento . Isso certamente é verdade se A for o conjunto vazio ou todo o espaço X , mas pode haver outras possibilidades. Um espaço topológico X está conectado se essas forem as únicas duas possibilidades. Por outro lado, se um subconjunto não vazio Um é separada a partir do seu próprio complemento, e, se o único subconjunto de uma partilhar esta propriedade é o conjunto vazio, em seguida, um é um componente aberto-conectado de X . (No caso degenerado em que X é o próprio conjunto vazio , as autoridades diferem quanto a se ele está conectado e se é um componente de conexão aberta de si mesmo.) ${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle \ emptyset}$

Para mais informações sobre espaços conectados, consulte Espaço conectado .

Relação com pontos topologicamente distinguíveis

Dado um espaço topológico X , dois pontos x e y são topologicamente distinguíveis se existe um conjunto aberto que um ponto pertence a, mas o outro ponto não. Se x e y são topologicamente distinguíveis, então os conjuntos singleton { x } e { y } devem ser disjuntos. Por outro lado, se os únicos { x } e { y } são separados, então os pontos x e y deve ser topologicamente distinguíveis. Assim, para singletons, a distinguibilidade topológica é uma condição entre a desconexão e a separação.

Para obter mais informações sobre pontos topologicamente distinguíveis, consulte Distinção topológica .

Citações

Origens