Indistinguibilidade topológica - Topological indistinguishability

Em topologia , dois pontos de um espaço topológico X são topologicamente indistinguíveis se eles tiverem exatamente as mesmas vizinhanças . Ou seja, se x e y são pontos em X , e N _x é o conjunto de todas as vizinhanças que contêm x , e N _y é o conjunto de todas as vizinhanças que contêm y , então x e y são "topologicamente indistinguíveis" se e somente se N _x = N _y . (Veja os sistemas axiomáticos de vizinhança de Hausdorff .)

Intuitivamente, dois pontos são indistinguíveis topologicamente se a topologia de X for incapaz de discernir entre os pontos.

Dois pontos de X são topologicamente distinguíveis se eles não forem topologicamente indistinguíveis. Isso significa que há um conjunto aberto contendo exatamente um dos dois pontos (de forma equivalente, há um conjunto fechado contendo exatamente um dos dois pontos). Este conjunto aberto pode então ser usado para distinguir entre os dois pontos. Um espaço T ₀ é um espaço topológico em que cada par de pontos distintos é topologicamente distinguível. Este é o mais fraco dos axiomas de separação .

Indistinguibilidade topológica define uma relação de equivalência em qualquer espaço topológico X . Se x e y são pontos de X , escrevemos x ≡ y para " x e y são topologicamente indistinguíveis". A classe de equivalência de x será denotada por [ x ].

Exemplos

Para espaços T ₀ (em particular, para espaços de Hausdorff ) a noção de indistinguibilidade topológica é trivial, então deve-se olhar para espaços não-T ₀ para encontrar exemplos interessantes. Por outro lado, regularidade e normalidade não implicam em T ₀ , então podemos encontrar exemplos com essas propriedades. Na verdade, quase todos os exemplos dados a seguir são completamente regulares .

Em um espaço indiscreto , quaisquer dois pontos são topologicamente indistinguíveis.
Em um espaço pseudométrico , dois pontos são topologicamente indistinguíveis se e somente se a distância entre eles for zero.
Em um espaço vetorial seminormado , x ≡ y se e somente se ‖ x - y ‖ = 0.
- Por exemplo, seja L ² ( R ) o espaço de todas as funções mensuráveis de R a R que são integráveis ao quadrado (ver espaço L ^p ). Em seguida, duas funções f e g em L ² ( R ) são topologicamente indistinguíveis se e somente se eles são iguais em quase toda parte .
Em um grupo topológico , x ≡ y se e somente se x ⁻¹y ∈ cl { e } onde cl { e } é o fechamento do subgrupo trivial . As classes de equivalência são apenas os cosets de cl { e } (que é sempre um subgrupo normal ).
Espaços uniformes generalizam espaços pseudométricos e grupos topológicos. Em um espaço uniforme, x ≡ y se e somente se o par ( x , y ) pertence a todos os entornos . A interseção de todos os entornos é uma relação de equivalência em X que é apenas a indistinguibilidade topológica.
Seja X a topologia inicial com respeito a uma família de funções . Em seguida, dois pontos x e y em X será topologicamente indistinguíveis se a família não separá-los (ou seja, para todos ). ${\ displaystyle \ {f _ {\ alpha}: X \ to Y _ {\ alpha} \}}$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha} (x) = f _ {\ alpha} (y)}$ ${\ displaystyle \ alpha}$
Dada qualquer relação de equivalência em um conjunto X, há uma topologia em X para a qual a noção de indistinguibilidade topológica concorda com a relação de equivalência dada. Pode-se simplesmente tomar as classes de equivalência como base para a topologia. Isso é chamado de topologia partição em X .

Pré-encomenda de especialização

A relação de indistinguibilidade topológica em um espaço X pode ser recuperada de uma pré - ordem natural em X chamada de pré-ordem de especialização . Para pontos x e y em X deste pedido antecipado é definida pela

x ≤ y se e somente se x ∈ cl { y }

onde cl { y } denota o fechamento de { y }. Equivalentemente, x ≤ y se o sistema de vizinhança de x , denotado N _x , está contido no sistema de vizinhança de y :

x ≤ y se e somente se N _x ⊂ N _y .

É fácil ver que essa relação em X é reflexiva e transitiva e, portanto, define uma pré-ordem. Em geral, entretanto, esta encomenda não será anti-simétrica . Na verdade, a relação de equivalência determinada por ≤ é precisamente a de indistinguibilidade topológica:

x ≡ y se e somente se x ≤ y e y ≤ x .

Um espaço topológico é considerado simétrico (ou R ₀ ) se a pré-ordem de especialização for simétrica (ou seja, x ≤ y implica y ≤ x ). Nesse caso, as relações ≤ e ≡ são idênticas. A indistinguibilidade topológica é melhor comportada nesses espaços e mais fácil de entender. Observe que esta classe de espaços inclui todos os espaços regulares e completamente regulares .

Propriedades

Condições equivalentes

Existem várias maneiras equivalentes de determinar quando dois pontos são topologicamente indistinguíveis. Deixe- X um espaço topológico e deixá- x e y ser pontos de X . Denotam os respectivos fechos de x e y por cl { x } e {Cl y }, e os respectivos sistemas de vizinhança de N _x e N _y . Então as afirmações seguintes são equivalentes:

x ≡ y
para cada conjunto aberto L em X , L contém ou ambos x e y ou nenhum deles
N _x = N _y
x ∈ cl { y } ey ∈ cl { x }
cl { x } = cl { y }
x ∈ ∩ N _y e y ∈ ∩ N _x
∩ N _x = ∩ N _y
x ∈ cl { y } e x ∈ ∩ N _y
x pertence a todo conjunto aberto e todo conjunto fechado contendo y
uma rede ou filtro converge para x se e somente se convergir para y

Essas condições podem ser simplificadas no caso em que X é um espaço simétrico . Para esses espaços (em particular, para espaços regulares ), as seguintes instruções são equivalentes:

x ≡ y
para cada conjunto aberto U , se x ∈ U então y ∈ U
N _x ⊂ N _y
x ∈ cl { y }
x ∈ ∩ N _y
x pertence a todo conjunto fechado contendo y
x pertence a todo conjunto aberto contendo y
toda rede ou filtro que converge para x converge para y

Classes de equivalência

Para discutir a classe de equivalência de x , é conveniente primeiro definir os conjuntos superior e inferior de x . Ambos são definidos em relação à pré-encomenda de especialização discutida acima.

O conjunto inferior de x é apenas o fechamento de { x }:

{\ displaystyle \ mathop {\ downarrow} x = \ {y \ in X: y \ leq x \} = {\ textrm {cl}} \ {x \}}

enquanto o conjunto superior de x é a interseção do sistema de vizinhança em x :

{\ displaystyle \ mathop {\ uparrow} x = \ {y \ in X: x \ leq y \} = \ bigcap {\ mathcal {N}} _ {x}.}

A classe de equivalência de x é então dada pela interseção

{\ displaystyle [x] = {\ mathop {\ downarrow} x} \ cap {\ mathop {\ uparrow} x}.}

Como ↓ x é a interseção de todos os conjuntos fechados contendo x e and x é a interseção de todos os conjuntos abertos contendo x , a classe de equivalência [ x ] é a interseção de todos os conjuntos abertos e conjuntos fechados contendo x .

Ambos cl { x } e ∩ N _x conterão a classe de equivalência [ x ]. Em geral, ambos os conjuntos também conterão pontos adicionais. Em espaços simétricos (em particular, em espaços regulares ), no entanto, os três conjuntos coincidem:

{\ displaystyle [x] = {\ textrm {cl}} \ {x \} = \ bigcap {\ mathcal {N}} _ {x}.}

Em geral, as classes de equivalência [ x ] serão fechadas se e somente se o espaço for simétrico.

Funções contínuas

Seja f : X → Y uma função contínua . Então, para qualquer x e y em X

x ≡ y implica f ( x ) ≡ f ( y ).

O inverso é geralmente falso (há quocientes de espaços T ₀ que são triviais ). O inverso será válido se X tiver a topologia inicial induzida por f . Mais geralmente, se X tem a topologia inicial induzida por uma família de mapas, então ${\ displaystyle f _ {\ alpha}: X \ to Y _ {\ alpha}}$

x ≡ y se e somente se f _α ( x ) ≡ f _α ( y ) para todo α.

Segue-se que dois elementos em um espaço de produto são topologicamente indistinguíveis se e somente se cada um de seus componentes é topologicamente indistinguível.

Quociente de Kolmogorov

Visto que a indistinguibilidade topológica é uma relação de equivalência em qualquer espaço topológico X , podemos formar o espaço quociente KX = X / ≡. O espaço KX é chamado o quociente de Kolmogorov ou T ₀ identificação de X . O espaço KX é, de fato, T ₀ (ou seja, todos os pontos são topologicamente distinguíveis). Além disso, pela propriedade característica do mapa de quociente qualquer mapa contínuo f : X → Y de X a T ₀ fatores espaciais através do mapa de quociente q : X → KX .

Embora o mapa de quociente q geralmente não seja um homeomorfismo (já que geralmente não é injetivo ), ele induz uma bijeção entre a topologia em X e a topologia em KX . Intuitivamente, o quociente de Kolmogorov não altera a topologia de um espaço. Ele apenas reduz o conjunto de pontos até que os pontos se tornem topologicamente distinguíveis.

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