relação antisimétrico - Antisymmetric relation


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Em matemática , uma relação binária R em um conjunto X é anti-simétrica se não houver nenhum par dos distintos elementos de X cada um dos quais está relacionado para R para o outro. Mais formalmente, R é anti-simétrica precisamente se para todo um e b em X

se R ( a , b ) com a  ≠  b , então R ( b , a ) não deve segurar,

ou equivalente,

se R ( um , b ) e R ( b , um ), em seguida, um  =  b .

(A definição de anti-simetria não diz nada sobre se R ( a , a ) realmente detém ou não para qualquer um .)

A divisibilidade relação sobre os números naturais é um exemplo importante de uma relação anti-simétrico. Neste contexto, anti-simetria significa que a única maneira de cada um de dois números podem ser divisível pelo outro é, se os dois são, na verdade, o mesmo número; equivalentemente, se n e m são distintos e n é um factor de m , então m não pode ser um factor de n . Por exemplo, 12 é divisível por quatro, mas 4 não é divisível por 12.

O habitual relação de ordem ≤ sobre os números reais é anti-simétrica: se por dois números reais x e y tanto desigualdades x  ≤  y e y  ≤  x segurar então x e y devem ser iguais. Da mesma forma, a fim subconjunto ⊆ sobre os subconjuntos de qualquer dado conjunto é anti-simétrica: dado dois conjuntos A e B , se cada elemento em A também é em B e cada elemento B está também em A , então A e B deve conter todos os mesmos elementos e, por conseguinte, ser iguais:

Parciais e total de encomendas são anti-simétricos, por definição. A relação pode ser tanto simétrica e anti-simétrica (por exemplo, a relação de igualdade ), e há relações que não são nem simétrica nem anti-simétrica (por exemplo, as "presas no" relação no biológicos espécies ).

Anti-simetria é diferente de assimetria , que requer tanto anti-simetria e irreflexibilidade . Assim, cada relação assimétrica é anti-simétricos, mas o inverso é falsa.

Veja também

Referências

  • Weisstein, Eric W. "Relação antisimétrico" . MathWorld .
  • Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teoria e Problemas de Matemática Discreta . McGraw-Hill. p. 33. ISBN  0-07-038045-7 .