Relação anti-simétrica - Antisymmetric relation

Relações binárias transitivas

	Simétrico	Anti-simétrico	Conectado	Bem fundado	Tem junções	Tem encontros	Reflexivo	Irreflexive	Assimétrico
Também conhecido como:			Total, Semiconnex					Anti-reflexivo
Relação de equivalência	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Pré-encomenda (quase ordem)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Pedido parcial	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Pré-encomenda total	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Ordem total	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Quase ordenado	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Bem ordenado	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Malha	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Unir-semilattice	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Meet-semilattice	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗


Ordem parcial estrita	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Ordem estrita fraca	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Pedido total estrito	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Simétrico	Anti-simétrico	Conectado	Bem fundado	Tem junções	Tem encontros	Reflexivo	Irreflexive	Assimétrico
Definições: ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Para todos}} \, a, b \, {\ text {e}} \, S \ neq \ varnothing:}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow bRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \, {\ text {e}} \, bRa \ Rightarrow a = b}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ Rightarrow aRb \, {\ text {ou}} \, bRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ text {existe}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ vee b \, {\ text {existe}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ wedge b \, {\ text {existe}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {not}} \, aRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {not}} \, bRa}}$

Todas as definições exigem tacitamente que a relação homogênea seja transitiva : Um " " indica que a propriedade da coluna é exigida pela definição do termo da linha (à esquerda). Por exemplo, a definição de uma relação de equivalência requer que ela seja simétrica. Listadas aqui estão propriedades adicionais que uma relação homogênea pode satisfazer.

{\ displaystyle R}

{\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Para todos}} \, a, b, c, {\ text {if}} aRb {\ text {e}} bRc {\ text {then}} aRc}.}

Em matemática , uma relação binária em um conjunto é antissimétrica se não houver nenhum par de elementos distintos de cada um dos quais relacionados entre si. Mais formalmente, é anti-simétrico precisamente se para todos ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle a, b \ in X,}$

{\ displaystyle {\ text {if}} \, aRb \, {\ text {with}} \, a \ neq b \, {\ text {then}} \, bRa \, {\ text {must not hold} },}

ou equivalente,

{\ displaystyle {\ text {if}} \, aRb \, {\ text {and}} \, bRa \, {\ text {then}} \, a = b.}

A definição de anti-simetria não diz nada sobre se realmente vale ou não para qualquer

{\ displaystyle aRa}

{\ displaystyle a.}

Exemplos

A relação de divisibilidade nos números naturais é um exemplo importante de uma relação anti-simétrica. Nesse contexto, antissimetria significa que a única maneira de cada um dos dois números ser divisível pelo outro é se os dois forem, de fato, o mesmo número; equivalentemente, se e são distintos e são um fator de, então não pode ser um fator de. Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m,}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n.}$

A relação de ordem usual nos números reais é anti-simétrica: se para dois números reais e ambas as desigualdades e se mantém, então e deve ser igual. Da mesma forma, a ordem do subconjunto nos subconjuntos de qualquer conjunto é antissimétrica: dados dois conjuntos e se cada elemento em também estiver em e cada elemento em também estiver em então e deve conter todos os mesmos elementos e, portanto, ser iguais: ${\ displaystyle \, \ leq \,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ ${\ displaystyle y \ leq x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ subseteq B {\ text {e}} B \ subseteq A {\ text {implica}} A = B}

Um exemplo da vida real de uma relação que é tipicamente anti-simétrica é "pagar a conta do restaurante de" (entendida como restrita a uma determinada ocasião). Normalmente, algumas pessoas pagam suas próprias contas, enquanto outras pagam por seus cônjuges ou amigos. Desde que duas pessoas não paguem as contas uma da outra, a relação é anti-simétrica.

Propriedades

Pedidos parciais e totais são antissimétricos por definição. Uma relação pode ser simétrica e anti-simétrica (neste caso, deve ser coreflexiva ), e há relações que não são nem simétricas nem anti-simétricas (por exemplo, a relação "presas" nas espécies biológicas ).

A anti- simetria é diferente da assimetria : uma relação é assimétrica se e somente se for anti-simétrica e irreflexiva .

Veja também

Relação reflexiva - relação binária que relaciona cada elemento consigo mesmo
Simetria em matemática - Simetria em matemática

Referências

Weisstein, Eric W. "Antisymmetric Relation" . MathWorld .
Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teoria e problemas da matemática discreta . McGraw-Hill. p. 33 . ISBN 0-07-038045-7.
relação anti-simétrica nLab

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