Sistema de vizinhança - Neighbourhood system

Em topologia e áreas relacionadas da matemática , o sistema de vizinhança , sistema completo de vizinhanças ou filtro de vizinhança para um ponto é a coleção de todas as vizinhanças do ponto ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$

Definições

Um Vizinhança aberta de um subconjuntode umespaço topológicoé qualquerconjuntoabertotal que A${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S \ subseteq V.}$vizinhança de${\ displaystyle S}$eméqualquersubconjuntoquecontenhaalgumavizinhança aberta de; explicitamente, isso significa queé uma vizinhança deemse e somente se existe algum conjunto aberto deforma que O sistema de vizinhança para qualquer conjunto não vazioé umfiltrochamado filtro de vizinhança paraO filtro de vizinhança para um pontoé o mesmo que a vizinhança filtro doconjunto singleton${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T \ subseteq X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T \ subseteq X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S \ subseteq T \ subseteq X.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle \ {x \}.}$

É importante ressaltar que uma "vizinhança" não precisa ser um conjunto aberto; os bairros que também são conjuntos abertos são conhecidos como "bairros abertos". Da mesma forma, os bairros que também são conjuntos fechados são conhecidos comobairros fechados . Existem muitos outros tipos de vizinhanças que são usados ​​em Topologia e campos relacionados, comoanálise funcional. A família de todos os bairros que possuem uma certa propriedade "útil" freqüentemente forma uma base de bairro, embora muitas vezes esses bairros não sejam necessariamente abertos.

Base

UMA base de bairro oubase local (oubase de bairro oubase local ) para um pontoé umabasedefiltrodo filtro de vizinhança; isso significa que é um subconjunto ${\ displaystyle x}$

tal que para todos existe algum tal que Ou seja, para qualquer bairro podemos encontrar um bairro na base de bairro que está contido em${\ displaystyle V \ in {\ mathcal {N}} (x),}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle B \ subseteq V.}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle V.}$

Equivalentemente, é uma base local se e somente se o filtro de vizinhança puder ser recuperado no sentido de que a seguinte igualdade se aplica: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

Uma família é uma base de vizinhança para se e somente se é um subconjunto cofinal de em relação à ordem parcial (o que é importante, essa ordem parcial é a relação de superconjunto e não a relação de subconjunto ). ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {N}} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {N}} (x), \ supseteq \ right)}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$

Subbase

UMA sub-base de vizinhança emé uma famíliade subconjuntos decada um dos quais contém detal forma que a coleção de todas as possíveis intersecções finitas de elementos deforma uma base de vizinhança em${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle x.}$

Exemplos

• Em qualquer espaço topológico, o sistema de vizinhança de um ponto também é uma base de vizinhança para o ponto.
• O conjunto de todas as vizinhanças abertas em um ponto forma uma base de vizinhança naquele ponto.
• Dado um espaço com

topologia indiscreta, o sistema de vizinhança para qualquer ponto contém apenas o espaço inteiro,${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = \ {X \}}$

Em um espaço métrico , para qualquer ponto, a sequência de

bolas abertas ao redor com raio forma uma base de vizinhança contável. Isso significa que cada espaço métrico é contável pela primeira vez .${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ left \ {B_ {1 / n}; n> 0 {\ text {an integer}} \ right \}.}$

Na topologia fraca no espaço de medidas em um espaço sobre a base de uma vizinhança é dada por ${\ displaystyle E,}$${\ displaystyle \ nu}$

$${\ displaystyle \ left \ {\ mu \ in {\ mathcal {M}} (E): \ left | \ mu f_ {i} - \ nu f_ {i} \ right | <r_ {i}, \, i = 1, \ ldots, n \ right \}}$$

onde são funções limitadas contínuas de até os números reais e são números reais positivos. ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}$

Propriedades

Em um espaço seminormado , que é um espaço vetorial com a topologia induzida por uma seminorma , todos os sistemas de vizinhança podem ser construídos por translação do sistema de vizinhança para a origem,

$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = {\ mathcal {N}} (0) + x.}$$

Isso ocorre porque, por suposição, a adição de vetor é separadamente contínua na topologia induzida. Portanto, a topologia é determinada por seu sistema de vizinhança na origem. De forma mais geral, isso permanece verdadeiro sempre que o espaço é um grupo topológico ou a topologia é definida por um pseudométrico .

Veja também

• Base (topologia)  - coleção de conjuntos abertos que são suficientes para definir uma topologia
• Filtro (matemática)  - Em matemática, um subconjunto especial de um conjunto parcialmente ordenado
• Filtros na topologia  - Uso de filtros para descrever e caracterizar todas as noções e resultados topológicos básicos.
• Espaço vetorial topológico localmente convexo  - Um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
• Vizinhança (matemática)  - conjunto aberto em um espaço topológico que contém um determinado ponto ou subconjunto
• Subbase  - Coleção de subconjuntos cujo fechamento por interseções finitas formam a base de uma topologia

Referências

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia geral: capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Topologia Geral 2: Capítulos 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . 4 . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063 .
• Dixmier, Jacques (1984). Topologia geral . Textos de Graduação em Matemática. Traduzido por Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia geral . Dover Books on Mathematics (primeira edição). Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .