Relação simétrica - Symmetric relation

Relações binárias transitivas

	Simétrico	Anti-simétrico	Conectado	Bem fundado	Tem junções	Tem encontros	Reflexivo	Irreflexive	Assimétrico
Também conhecido como:			Total, Semiconnex					Anti-reflexivo
Relação de equivalência	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Pré-encomenda (quase ordem)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Pedido parcial	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Pré-encomenda total	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Ordem total	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Quase ordenado	✗	✗	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Bem ordenado	✗	✓	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Malha	✗	✓	✗	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Unir-semilattice	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✓	✗	✗
Meet-semilattice	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✓	✗	✗


Ordem parcial estrita	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
Ordem estrita fraca	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
Pedido total estrito	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✓
	Simétrico	Anti-simétrico	Conectado	Bem fundado	Tem junções	Tem encontros	Reflexivo	Irreflexive	Assimétrico
Definições: ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Para todos}} \, a, b \, {\ text {e}} \, S \ neq \ varnothing:}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow bRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \, {\ text {e}} \, bRa \ Rightarrow a = b}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ Rightarrow aRb \, {\ text {ou}} \, bRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ text {existe}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ vee b \, {\ text {existe}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ wedge b \, {\ text {existe}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {not}} \, aRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {not}} \, bRa}}$

Todas as definições exigem tacitamente que a relação homogênea seja transitiva : Um " ✓ " indica que a propriedade da coluna é necessária na definição da linha. Por exemplo, a definição de uma relação de equivalência requer que ela seja simétrica. Listadas aqui estão propriedades adicionais que uma relação homogênea pode satisfazer.

{\ displaystyle R}

{\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Para todos}} \, a, b, c, {\ text {if}} aRb {\ text {e}} bRc {\ text {then}} aRc}.}

Uma relação simétrica é um tipo de relação binária . Um exemplo é a relação "é igual a", porque se a = b for verdadeiro então b = a também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária R sobre um conjunto X é simétrica se:

{\ displaystyle \ forall a, b \ in X (aRb \ Leftrightarrow bRa),}

onde a notação significa isso . ${\ displaystyle aRb}$ ${\ displaystyle (a, b) \ in R}$

Se R ^t representa o inverso de R , então R é simétrica se e só se R = R ^T .

Simetria, junto com reflexividade e transitividade , são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência .

Exemplos

Na matemática

"é igual a" ( igualdade ) (enquanto "é menor que" não é simétrico)
"é comparável a", para elementos de um conjunto parcialmente ordenado
"... e ... são estranhos":

Fora da matemática

"é casado com" (na maioria dos sistemas jurídicos)
"é um irmão totalmente biológico de"
"é um homofone de"
"é colega de trabalho de"
"é companheiro de equipe de"

Relação com relações assimétricas e antissimétricas

Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se a está relacionado com b , então b não pode ser relacionado com a (da mesma forma)). No entanto, uma relação não pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa").

Simétrico e antissimétrico (em que a única maneira de a pode ser relacionado ab e b ser relacionado a a é se a = b ) são realmente independentes um do outro, como mostram esses exemplos.

Exemplos matemáticos
	Simétrico	Não simétrico
Anti-simétrico	igualdade	"é menor ou igual a"
Não anti-simétrico	congruência na aritmética modular	"é divisível por", sobre o conjunto de inteiros

Exemplos não matemáticos
	Simétrico	Não simétrico
Anti-simétrico	"é a mesma pessoa que, e é casado"	"é o plural de"
Não anti-simétrico	"é um irmão biológico completo de"	"presas em"

Propriedades

Uma relação simétrica e transitiva é sempre quase reflexiva .

Uma relação simétrica, transitiva e reflexiva é chamada de relação de equivalência .

Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e gráficos não direcionados são objetos combinatorialmente equivalentes.

Referências

Veja também

Propriedade comutativa - Propriedade que permite alterar a ordem dos operandos de uma operação
Simetria em matemática - Simetria em matemática
Simetria - Invariância matemática sob transformações

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