Continuidade de Scott - Scott continuity

Em matemática , dados dois conjuntos parcialmente ordenados P e Q , uma função f : P → Q entre eles é Scott-contínua (nomeada em homenagem ao matemático Dana Scott ) se ela preserva todos os supremas direcionados . Ou seja, para cada subconjunto dirigido D de P com supremo em P , sua imagem tem um supremo em Q , e esse supremo é a imagem do supremo de D , ou seja , onde está a junção dirigida. Quando é o poset de valores de verdade, isto é, espaço de Sierpiński , então as funções contínuas de Scott são funções características e, portanto, o espaço de Sierpiński é o topos de classificação para conjuntos abertos.

Um subconjunto ó de um conjunto parcialmente ordenado P é chamado Scott-aberto , se se trata de um conjunto superior e se é inacessível por dirigida junta-se , isto é, se todos os conjuntos dirigidos D com supremum em O que não-vazia intersecção com S . Os subconjuntos Scott-open de um conjunto parcialmente ordenado P formam uma topologia em P , a topologia Scott . Uma função entre conjuntos parcialmente ordenados é contínua de Scott se e somente se ela for contínua em relação à topologia de Scott.

A topologia Scott foi primeiro definida por Dana Scott para redes completas e mais tarde definida para conjuntos parcialmente ordenados arbitrários.

Funções contínuas de Scott aparecem no estudo de modelos para cálculos lambda e na semântica denotacional de programas de computador.

Propriedades

Uma função contínua de Scott é sempre monotônica .

Um subconjunto de uma ordem parcial completa direcionada é fechado em relação à topologia de Scott induzida pela ordem parcial se e somente se for um conjunto inferior e fechado sob suprema de subconjuntos direcionados.

Uma ordem parcial completa direcionada (dcpo) com a topologia Scott é sempre um espaço de Kolmogorov (isto é, ele satisfaz o axioma de separação T 0 ). No entanto, um dcpo com a topologia Scott é um espaço de Hausdorff se e somente se a ordem for trivial. Os conjuntos abertos Scott formam uma rede completa quando ordenados por inclusão .

Para qualquer espaço de Kolmogorov, a topologia induz uma relação de ordem naquele espaço, a ordem de especialização : x ≤ y se e somente se toda vizinhança aberta de x também for uma vizinhança aberta de y . A relação de ordem de um dcpo D pode ser reconstruída a partir dos conjuntos abertos de Scott como a ordem de especialização induzida pela topologia de Scott. No entanto, um dcpo equipado com a topologia Scott não precisa ser sóbrio : a ordem de especialização induzida pela topologia de um espaço sóbrio torna esse espaço um dcpo, mas a topologia Scott derivada desta ordem é mais fina do que a topologia original.

Exemplos

Os conjuntos abertos em um determinado espaço topológico quando ordenados por inclusão formam uma rede na qual a topologia de Scott pode ser definida. Um subconjunto X de um espaço topológico T é compacto em relação à topologia em T (no sentido de que toda tampa aberta de X contém uma subcobertura finita de X ) se e somente se o conjunto de vizinhanças abertas de X for aberto em relação a a topologia Scott.

Para CPO , a categoria cartesiana fechada de dcpo's, dois exemplos particularmente notáveis ​​de funções contínuas de Scott são curry e apply .

Nuel Belnap usou a continuidade de Scott para estender os conectivos lógicos a uma lógica de quatro valores .

Veja também

Notas de rodapé

  1. ^ a b Vickers, Steven (1989). Topologia via lógica . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-36062-3.
  2. ^ Topologia Scott em nLab
  3. ^ a b Scott, Dana (1972). "Redes contínuas". Em Lawvere, Bill (ed.). Toposes, Geometria Algébrica e Lógica . Notas de aula em matemática. 274 . Springer-Verlag.
  4. ^ a b c d Abramsky, S .; Jung, A. (1994). "Teoria do domínio" (PDF) . Em Abramsky, S .; Gabbay, DM; Maibaum, TSE (eds.). Handbook of Logic in Computer Science . Vol. III. Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-853762-5. |volume=tem texto extra ( ajuda )
  5. ^ a b Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). "The Dedekind Reals in Abstract Stone Duality" . Estruturas matemáticas em ciência da computação . 19 (4): 757–838. CiteSeerX  10.1.1.424.6069 . doi : 10.1017 / S0960129509007695 . S2CID  6774320 . Recuperado em 8 de outubro de 2010 .
  6. ^ Barendregt, HP (1984). The Lambda Calculus . Holanda do Norte. ISBN 978-0-444-87508-2. (Ver teoremas 1.2.13, 1.2.14)
  7. ^ N. Belnap (1975) "How Computers Deve Think", páginas 30 a 56 em Contemporary Aspects of Philosophy , Gilbert Ryle editor, Oriel Press ISBN  0-85362-161-6

Referências