Grupo Kleiniano - Kleinian group

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Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , um grupo kleiniano é um subgrupo discreto de PSL (2,  C ) . O grupo PSL (2,  C ) de 2 por 2 matrizes complexas do determinante 1 módulo seu centro tem várias representações naturais: como transformações conformes da esfera de Riemann , e como isometrias de preservação de orientação do espaço hiperbólico tridimensional H ³ , e como mapas conformados com preservação de orientação da esfera unitária aberta B ³ em R ³ para si mesma. Portanto, um grupo kleiniano pode ser considerado um subgrupo discreto atuando em um desses espaços.

História

A teoria dos grupos kleinianos gerais foi fundada por Felix Klein  ( 1883 ) e Henri Poincaré  ( 1883 ), que os batizou em homenagem a Felix Klein . O caso especial dos grupos de Schottky havia sido estudado alguns anos antes, em 1877, por Schottky.

Definições

Ao considerar a fronteira da bola, um grupo kleiniano também pode ser definido como um subgrupo Γ de PGL (2, C ), o grupo linear projetivo complexo , que atua por transformações de Möbius na esfera de Riemann . Classicamente, um grupo kleiniano era obrigado a agir apropriadamente de forma descontínua em um subconjunto aberto não vazio da esfera de Riemann, mas o uso moderno permite qualquer subgrupo discreto.

Quando Γ é isomorfo ao grupo fundamental de uma variedade 3 hiperbólica , então o espaço quociente H ³ / Γ torna-se um modelo kleiniano da variedade. Muitos autores usam os termos modelo kleiniano e grupo kleiniano indistintamente, deixando um representar o outro. ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Discreteza implica que pontos em B ³ têm estabilizadores finitos e órbitas discretas sob o grupo Γ. Mas a órbita Γ p de um ponto p normalmente se acumula na fronteira da bola fechada . ${\ displaystyle {\ bar {B}} ^ {3}}$

Uma junta apolínea é um exemplo de conjunto de limite de um grupo kleiniano

O limite da bola fechada é chamado de esfera no infinito e é denotado . O conjunto de pontos de acumulação de Γ p em é chamado de conjunto limite de Γ e geralmente denotado . O complemento é denominado domínio da descontinuidade ou conjunto ordinário ou conjunto regular . O teorema da finitude de Ahlfors implica que se o grupo for finitamente gerado, então é um orbifold de superfície de Riemann de tipo finito. ${\ displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}$${\ displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}$${\ displaystyle \ Lambda (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ Omega (\ Gamma) = S _ {\ infty} ^ {2} - \ Lambda (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ Omega (\ Gamma) / \ Gamma}$

A esfera unitária B ³ com sua estrutura conforme é o modelo de Poincaré de 3-espaço hiperbólico . Quando pensamos nisso metricamente, com métricas

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4 \, \ left | dx \ right | ^ {2}} {\ left (1- | x | ^ {2} \ right) ^ {2}}} }$

é um modelo do espaço hiperbólico tridimensional H ³ . O conjunto de auto-mapas conformes de B ³ torna-se o conjunto de isometrias (isto é, mapas que preservam a distância) de H ³ sob esta identificação. Esses mapas restringem-se a auto-mapas conformes de , que são transformações de Möbius . Existem isomorfismos ${\ displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Mob} (S _ {\ infty} ^ {2}) \ cong \ operatorname {Conf} (B ^ {3}) \ cong \ operatorname {Isom} (\ mathbf {H} ^ {3} ).}$

Os subgrupos desses grupos consistindo de transformações que preservam a orientação são todos isomórficos ao grupo da matriz projetiva: PSL (2, C ) por meio da identificação usual da esfera unitária com a linha projetiva complexa P ¹ ( C ).

Variações

Existem algumas variações da definição de um grupo kleiniano: às vezes, os grupos kleinianos podem ser subgrupos de PSL (2, C ) .2 (isto é, de PSL (2, C ) estendido por conjugações complexas), em outras palavras, têm elementos de inversão de orientação e, às vezes, presume-se que eles sejam gerados finitamente e, às vezes, são obrigados a atuar de forma descontinuamente apropriada em um subconjunto aberto não vazio da esfera de Riemann.

Tipos

• Um grupo Kleiniano é considerado do tipo finito se sua região de descontinuidade tem um número finito de órbitas de componentes sob a ação do grupo, e o quociente de cada componente por seu estabilizador é uma superfície compacta de Riemann com finitos pontos removidos, e a cobertura é ramificada em muitos pontos finitos.
• Um grupo kleiniano é denominado gerado finitamente se tiver um número finito de geradores. O teorema da finitude de Ahlfors afirma que tal grupo é do tipo finito.
• Um grupo kleiniano Γ tem covolume finito se H ³ / Γ tem volume finito. Qualquer grupo kleiniano de covolume finito é gerado finitamente.
• Um grupo kleiniano é denominado geometricamente finito se tiver um poliedro fundamental (no espaço 3 hiperbólico) com muitos lados finitos. Ahlfors mostrou que se o limite definido não for a esfera de Riemann inteira, então ele tem medida 0.
• Um grupo kleiniano Γ é chamado de aritmética se for comensurável com os elementos da norma de grupo 1 de uma ordem de álgebra de quatérnio A ramificada em todos os lugares reais sobre um campo numérico k com exatamente um lugar complexo. Grupos aritméticos kleinianos têm covolume finito.
• Um grupo kleiniano Γ é denominado co-compactado se H ³ / Γ for compacto ou, equivalentemente, SL (2, C ) / Γ for compacto. Grupos kleinianos co-compactos têm covolume finito.
• Um grupo kleiniano é denominado topologicamente manso se for finitamente gerado e sua variedade hiperbólica for homeomórfica ao interior de uma variedade compacta com limite.
• Um grupo kleiniano é denominado geometricamente domado se suas extremidades forem geometricamente finitas ou simplesmente degeneradas ( Thurston 1980 ).
• Diz-se que um grupo kleiniano é do tipo 1 se o limite definido é toda a esfera de Riemann e do tipo 2, caso contrário.

Exemplos

Grupos Bianchi

Um grupo Bianchi é um grupo Kleiniano da forma PSL (2, O _d ), onde é o anel de inteiros do campo quadrático imaginário para um inteiro livre de quadrado positivo . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}$

Grupos kleinianos elementares e redutíveis

Um grupo Kleiniano é denominado elementar se seu conjunto de limites for finito, caso em que o conjunto de limites possui 0, 1 ou 2 pontos. Exemplos de grupos kleinianos elementares incluem grupos kleinianos finitos (com conjunto de limite vazio) e grupos kleinianos cíclicos infinitos.

Um grupo kleiniano é chamado de redutível se todos os elementos têm um ponto fixo comum na esfera de Riemann. Os grupos kleinianos redutíveis são elementares, mas alguns grupos kleinianos finitos elementares não são redutíveis.

Grupos fuchsianos

Qualquer grupo fuchsiano (um subgrupo discreto de PSL (2, R )) é um grupo kleiniano e, inversamente, qualquer grupo kleiniano que preserva a linha real (em sua ação na esfera de Riemann) é um grupo fuchsiano. De maneira mais geral, todo grupo kleiniano que preserva um círculo ou linha reta na esfera de Riemann é conjugado a um grupo fuchsiano.

Grupos Koebe

• Um fator de um grupo Kleiniano G é um subgrupo H máximo sujeito às seguintes propriedades:
  • H tem um componente invariante D simplesmente conectado
  • Um conjugado de um elemento h de H por uma bijeção conforme é parabólico ou elíptico se e somente se h for.
  • Qualquer elemento parabólico de L , que fixa um ponto limite de D é em H .
• Um grupo kleiniano é denominado grupo Koebe se todos os seus fatores forem elementares ou fuchsianos.

Grupos quase fuchsianos

Conjunto limite de um grupo quasifucsiano

Um grupo kleiniano que preserva uma curva de Jordan é chamado de grupo quase Fuchsiano . Quando a curva de Jordan é um círculo ou uma linha reta, eles são apenas conjugados aos grupos Fuchsianos sob transformações conformes. Grupos quase-Fuchsianos finitamente gerados são conjugados a grupos Fuchsianos sob transformações quase-conformes. O limite definido está contido na curva de Jordan invariante e, se for igual à curva de Jordan, o grupo é considerado do tipo um e, caso contrário, é considerado do tipo 2 .

Grupos Schottky

Seja C _i os círculos de fronteira de uma coleção finita de discos fechados disjuntos. O grupo gerado pela inversão em cada círculo tem limite definido um conjunto de Cantor , e o quociente H ³ / G é um espelho orbifold com espaço subjacente uma bola. É duplamente coberto por um guiador ; o subgrupo correspondente do índice 2 é um grupo Kleiniano denominado grupo Schottky .

Grupos cristalográficos

Seja T um mosaico periódico de 3-espaço hiperbólico. O grupo de simetrias da tesselação é um grupo kleiniano.

Grupos fundamentais de variedades 3 hiperbólicas

O grupo fundamental de qualquer variedade 3 hiperbólica orientada é um grupo Kleiniano. Existem muitos exemplos disso, como o complemento de um nó em forma de 8 ou o espaço de Seifert-Weber . Inversamente, se um grupo kleiniano não tem elementos de torção não triviais, ele é o grupo fundamental de uma variedade 3 hiperbólica.

Grupos Kleinianos Degenerados

Um grupo kleiniano é denominado degenerado se não for elementar e seu limite definido for simplesmente conectado. Esses grupos podem ser construídos tomando-se um limite adequado de grupos quase-Fuchsianos, de modo que um dos dois componentes dos pontos regulares se contraia até o conjunto vazio; esses grupos são chamados de degenerados individualmente . Se ambos os componentes do conjunto regular se contraírem até o conjunto vazio, o conjunto limite torna-se uma curva que preenche o espaço e o grupo é denominado duplamente degenerado . A existência de grupos kleinianos degenerados foi primeiro mostrada indiretamente por Bers (1970) , e o primeiro exemplo explícito foi encontrado por Jørgensen. Cannon & Thurston (2007) deram exemplos de grupos duplamente degenerados e curvas de preenchimento de espaço associadas a mapas pseudo-Anosov .

Veja também

• Ahlfors mede conjectura
• Teorema da densidade para grupos kleinianos
• Teorema da laminação final
• Teorema da Tameness (conjectura de Marden)

Referências

• Bers, Lipman (1970), "On boundaries of Teichmüller spaces and on Kleinian groups. I", Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3): 570–600, doi : 10.2307 / 1970638 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970638 , MR  0297992
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• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (em alemão), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
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• Series, Caroline (2005), "Um curso intensivo sobre grupos kleinianos" , Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1-38, ISSN  0049-4704 , MR  2227047 , arquivado do original em 22/07/2011
  • Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds , notas de aula de Princeton
• Thurston, William P. (1982), "Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 6 (3): 357-381, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982 -15003-0 , ISSN  0002-9904 , MR  0648524

links externos

• Uma imagem do conjunto limite de um grupo quase Fuchsiano de ( Fricke & Klein 1897 , p. 418).
• Uma imagem do conjunto limite de um grupo kleiniano de ( Fricke & Klein 1897 , p. 440). Esta foi uma das primeiras fotos de um limite estabelecido. Um desenho de computador com o mesmo limite definido
• Animações de conjuntos de limites de grupos kleinianos
• Imagens relacionadas a grupos kleinianos por McMullen
• Weisstein, Eric W. "Grupo Kleinian" . MathWorld .