Modelo de meio plano de Poincaré - Poincaré half-plane model

Na geometria não euclidiana , o modelo do semiplano de Poincaré é o semiplano superior , denotado abaixo como H , junto com uma métrica , a métrica de Poincaré , que o torna um modelo de geometria hiperbólica bidimensional . ${\ displaystyle \ {(x, y) | y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \}}$

De forma equivalente, o modelo de meio plano de Poincaré às vezes é descrito como um plano complexo onde a parte imaginária (a coordenada y mencionada acima) é positiva.

O modelo semiplano de Poincaré tem o nome de Henri Poincaré , mas se originou com Eugenio Beltrami , que o usou, juntamente com o modelo de Klein e o modelo de disco de Poincaré (devido a Bernhard Riemann ), para mostrar que a geometria hiperbólica era equiconsistente com a geometria euclidiana. .

Este modelo é conforme, o que significa que os ângulos medidos em um ponto são os mesmos no modelo e no plano hiperbólico real.

A transformada de Cayley fornece uma isometria entre o modelo de meio plano e o modelo de disco de Poincaré.

Este modelo pode ser generalizado para modelar um espaço hiperbólico dimensional substituindo o número real x por um vetor em um espaço vetorial euclidiano n dimensional. ${\ displaystyle n + 1}$

Métrica

A métrica do modelo no semiplano é: ${\ displaystyle \ {\ langle x, y \ rangle | y> 0 \},}$

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}} {y ^ {2}}}}$

onde s mede o comprimento ao longo de uma linha (possivelmente curva). As linhas retas no plano hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, ou seja, curvas que minimizam a distância) são representadas neste modelo por arcos circulares perpendiculares ao eixo x (semicírculos cuja origem está no eixo x ) e raios retos verticais perpendiculares ao eixo x .

Cálculo de distância

Em geral, a distância entre dois pontos medidos nesta métrica ao longo de uma geodésica é:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) & = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {2y_ {1} y_ {2}}} \ right) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {y_ {1} y_ {2}}}} \\ & = 2 \ ln {\ frac {{\ sqrt {{ (x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}}} + {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ { 1})} ^ {2} + {(y_ {2} + y_ {1})} ^ {2}}}} {2 {\ sqrt {y_ {1} y_ {2}}}}}, \ fim {alinhado}}}$

onde arcosh e arsinh são funções hiperbólicas inversas

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {arsinh} {x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right), \\\ operatorname {arcosh} { x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) && x \ geq 1. \ end {alinhado}}}$

Alguns casos especiais podem ser simplificados:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, y_ {1} \ rangle, \ langle x, y_ {2} \ rangle) = \ left | \ ln {\ frac {y_ {2}} {y_ {1 }}} \ right | = | \ ln (y_ {2}) - \ ln (y_ {1}) |}$ .

${\ displaystyle \ operatorname {dist} \ left (\ langle x_ {1}, y \ rangle, \ langle x_ {2}, y \ rangle \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac { (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2}} {2y ^ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {| x_ {2} -x_ {1 } |} {2y}} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, r \ rangle, \ langle x \ pm r \ sin \ phi, r \ cos \ phi \ rangle) = \ operatorname {arsinh} \ left (\ tan \ phi \ direita) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {\ cos \ phi}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ phi} {\ cos \ phi} }\direita)}$

Outra forma de calcular a distância entre dois pontos que estão em um semicírculo (euclidiano) é:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (AB) = \ left | \ ln \ left ({\ frac {| BA _ {\ infty} || AB _ {\ infty} |} {| AA _ {\ infty} || BB_ { \ infty} |}} \ right) \ right |.}$

onde estão os pontos onde os semicírculos encontram a linha limite e é o comprimento euclidiano do segmento de linha que conecta os pontos P e Q no modelo. ${\ displaystyle A _ {\ infty}, B _ {\ infty}}$${\ displaystyle | PQ |}$

Pontos e curvas especiais

• Os pontos ideais (pontos no infinito) no modelo de meio plano de Poincaré são de dois tipos:

• os pontos no eixo x , e
• um ponto imaginário no qual é o ponto ideal para o qual todas as linhas ortogonais ao eixo x convergem. ${\ displaystyle y = \ infty}$

• Linhas retas , geodésicas (o caminho mais curto entre os pontos contidos nele) são modeladas por:

• semicírculos cuja origem está no eixo x
• raios verticais retos ortogonais ao eixo x

• Um círculo (curvas equidistantes de um ponto central) com centro e raio é modelado por: ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle r}$

um círculo com centro e raio ${\ displaystyle (x, y \ cosh (r))}$${\ displaystyle y \ sinh (r)}$

• Um hiperciclo (uma curva equidistante de uma linha reta, seu eixo) é modelado por:

• um arco circular que intersecta o eixo x nos mesmos dois pontos ideais que o semicírculo que modela seu eixo, mas em um ângulo agudo ou obtuso
• uma linha reta que cruza o eixo x no mesmo ponto que a linha vertical que modela seu eixo, mas em um ângulo agudo ou obtuso .

• Um horociclo (uma curva cujas normais convergem assintoticamente na mesma direção, seu centro) é modelado por:

• um círculo tangente ao eixo x (mas excluindo o ponto ideal de intersecção, que é seu centro)
• uma linha paralela ao eixo x , neste caso o centro é o ponto ideal em . ${\ displaystyle y = \ infty}$

Sinopse euclidiana

Um círculo euclidiano com centro e raio representa: ${\ displaystyle (x_ {e}, y_ {e})}$${\ displaystyle r_ {e}}$

• quando o círculo está completamente dentro do semiplano, um círculo hiperbólico com centro

${\ displaystyle \ left (x_ {e}, {\ sqrt {y_ {e} ^ {2} -r_ {e} ^ {2}}} \ right)}$

e raio

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {y_ {e} + r_ {e}} {y_ {e} -r_ {e}}} \ right).}$

• quando o círculo está completamente dentro do semiplano e toca a fronteira um horociclo centrado em torno do ponto ideal ${\ displaystyle (x_ {e}, 0)}$
• quando o círculo intercepta o limite ortogonal, uma linha hiperbólica ${\ displaystyle (y_ {e} = 0)}$
• quando o círculo cruza o limite não ortogonal um hiperciclo.

Construções de compasso e régua

Aqui está como se pode usar construções de compasso e régua no modelo para obter o efeito das construções básicas no plano hiperbólico . Por exemplo, como construir o semicírculo no semiplano euclidiano que modela uma linha no plano hiperbólico através de dois pontos dados.

Criando a linha através de dois pontos existentes

Desenhe o segmento de linha entre os dois pontos. Construa a bissetriz perpendicular do segmento de linha. Encontre sua intersecção com o eixo x . Desenhe o círculo ao redor da interseção que passa pelos pontos dados. Apague a parte que está no ou abaixo do eixo x .

Ou no caso especial em que os dois pontos dados se encontram em uma linha vertical, desenhe essa linha vertical através dos dois pontos e apague a parte que está no ou abaixo do eixo x .

Criando o círculo através de um ponto com o centro de outro ponto

• Se os dois pontos não estiverem em uma linha vertical:

Desenhe a linha radial (semicírculo) entre os dois pontos dados como no caso anterior. Construa uma tangente a essa linha no ponto não central. Solte uma perpendicular do ponto central fornecido ao eixo x . Encontre a interseção dessas duas linhas para obter o centro do círculo do modelo. Desenhe o círculo do modelo ao redor desse novo centro e passando pelo ponto não central fornecido.

• Se os dois pontos fornecidos estiverem em uma linha vertical e o centro fornecido estiver acima do outro ponto:

Desenhe um círculo ao redor da interseção da linha vertical e do eixo x que passa pelo ponto central fornecido. Desenhe uma linha horizontal passando pelo ponto não central. Construa a tangente ao círculo em sua interseção com essa linha horizontal.

O ponto médio entre a intersecção da tangente com a linha vertical e o ponto não central fornecido é o centro do círculo do modelo. Desenhe o círculo do modelo ao redor desse novo centro e passando pelo ponto não central fornecido.

• Se os dois pontos fornecidos estiverem em uma linha vertical e o centro fornecido estiver abaixo do outro ponto determinado:

Desenhe um círculo ao redor da interseção da linha vertical e do eixo x que passa pelo ponto central fornecido. Desenhe uma linha tangente ao círculo que passa pelo ponto não central fornecido. Desenhe uma linha horizontal através desse ponto de tangência e encontre sua intersecção com a linha vertical.

O ponto médio entre essa interseção e o ponto não central fornecido é o centro do círculo do modelo. Desenhe o círculo do modelo ao redor desse novo centro e passando pelo ponto não central fornecido.

Dado um círculo, encontre seu centro (hiperbólico)

Solte uma perpendicular p do centro euclidiano do círculo para o eixo x .

Seja o ponto q a interseção dessa linha com o eixo x .

Desenhe uma linha tangente ao círculo que passa por q .

Desenhe o semicírculo h com o centro q passando pelo ponto onde a tangente e o círculo se encontram.

O (hiperbólico) centro é o ponto em que h e p intersectam.

Outras construções

• Criando o ponto que é a interseção de duas linhas existentes, se elas se cruzarem:

Encontre a interseção dos dois semicírculos fornecidos (ou linhas verticais).

• Criação de um ou dois pontos na interseção de uma linha e um círculo (se eles se cruzarem):

Encontre a interseção do semicírculo (ou linha vertical) dado com o círculo fornecido.

• Criação de um ou dois pontos na interseção de dois círculos (se eles se cruzarem):

Encontre a intersecção dos dois círculos dados.

Grupos de simetria

O grupo linear projetivo PGL (2, C ) atua na esfera de Riemann pelas transformações de Möbius . O subgrupo que mapeia o semiplano superior, H , sobre si mesmo é o PSL (2, R ), as transformadas com coeficientes reais, e estes atuam transitiva e isometricamente no semiplano superior, tornando-o um espaço homogêneo .

Existem quatro grupos de Lie intimamente relacionados que agem no meio-plano superior por transformações lineares fracionárias e preservam a distância hiperbólica.

• O grupo linear especial SL (2, R ) que consiste no conjunto de matrizes 2 × 2 com entradas reais cujo determinante é igual a +1. Observe que muitos textos (incluindo a Wikipedia) geralmente dizem SL (2, R ) quando na verdade significam PSL (2, R ).
• O grupo S * L (2, R ) consiste no conjunto de matrizes 2 × 2 com entradas reais cujo determinante é igual a +1 ou -1. Observe que SL (2, R ) é um subgrupo deste grupo.
• O grupo linear especial projetivo PSL (2, R ) = SL (2, R ) / {± I }, consistindo nas matrizes em SL (2, R ) módulo mais ou menos a matriz identidade.
• O grupo PS ^* L (2, R ) = S ^* L (2, R ) / {± I } = PGL (2, R ) é novamente um grupo projetivo e, novamente, módulo mais ou menos a matriz identidade. PSL (2, R ) está contido como um subgrupo normal de índice dois, o outro coset sendo o conjunto de matrizes 2 × 2 com entradas reais cujo determinante é igual a -1, módulo mais ou menos a identidade.

A relação desses grupos com o modelo de Poincaré é a seguinte:

• O grupo de todas as isometrias de H , às vezes denotado como Isom ( H ), é isomórfico a PS ^* L (2, R ). Isso inclui as isometrias de preservação da orientação e de reversão da orientação. O mapa de reversão de orientação (o mapa espelho) é . ${\ displaystyle z \ rightarrow - {\ overline {z}}}$
• O grupo de isometrias de preservação de orientação de H , às vezes denotado como Isom ⁺ ( H ), é isomórfico ao PSL (2, R ).

Subgrupos importantes do grupo de isometria são os grupos Fuchsianos .

Também é frequente ver o grupo modular SL (2, Z ). Este grupo é importante de duas maneiras. Primeiro, é um grupo de simetria do 2x2 quadrado rede de pontos. Assim, funções que são periódicas em uma grade quadrada, como formas modulares e funções elípticas , herdarão uma simetria SL (2, Z ) da grade. Em segundo lugar, SL (2, Z ) é obviamente um subgrupo de SL (2, R ) e, portanto, tem um comportamento hiperbólico embutido nele. Em particular, SL (2, Z ) pode ser usado para tesselar o plano hiperbólico em células de área igual (Poincaré).

Simetria isométrica

A ação grupal do grupo linear especial projetivo sobre é definida por ${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} \ cdot z = {\ frac {az + b} {cz + d}} = {\ frac {(ac | z | ^ {2} + bd + (ad + bc) \ Re (z)) + i (ad-bc) \ Im (z)} {| cz + d | ^ {2}}}.}$

Observe que a ação é transitiva : para qualquer , existe tal que . Também é fiel, pois se para todos então g = e . ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle gz_ {1} = z_ {2}}$${\ displaystyle gz = z}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H},}$

O estabilizador ou subgrupo de isotropia de um elemento é o conjunto do qual deixa z inalterado: gz = z . O estabilizador de i é o grupo de rotação${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ rm {SO}} (2) = \ left. \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \\ \ end {pmatrix}} \ right | \ theta \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Uma vez que qualquer elemento é mapeado para i por algum elemento de , isso significa que o subgrupo de isotropia de qualquer z é isomórfico para SO (2). Assim ,. Alternativamente, o feixe de vetores tangentes de comprimento unitário no semiplano superior, denominado feixe tangente unitário , é isomórfico a . ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} = {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R}) / {\ rm {SO}} (2)}$${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

O semiplano superior é tesselado em conjuntos regulares livres pelo grupo modular ${\ displaystyle {\ rm {SL}} (2, \ mathbb {Z}).}$

Geodésica

As geodésicas para este tensor métrico são arcos circulares perpendiculares ao eixo real (semicírculos cuja origem está no eixo real) e linhas retas verticais terminando no eixo real.

A velocidade geodésica unitária subindo verticalmente, passando pelo ponto i é dada por

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2} \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = ie ^ {t} .}$

Como o PSL (2, R ) atua transitivamente por isometrias do semiplano superior, esta geodésica é mapeada nas outras geodésicas por meio da ação do PSL (2, R ). Assim, a geodésica geral de velocidade unitária é dada por

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2 } \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = {\ frac {aie ^ {t} + b} {cie ^ {t} + d}}.}$

Isso fornece uma descrição básica do fluxo geodésico no feixe tangente de comprimento unitário ( feixe de linhas complexas ) no semiplano superior. A partir desse modelo, pode-se obter o fluxo em superfícies arbitrárias de Riemann , conforme descrito no artigo sobre o fluxo Anosov .

O modelo em três dimensões

A métrica do modelo no meio-espaço

${\ displaystyle \ {\ langle x, y, z \ rangle | z> 0 \} \,}$

É dado por

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} + (dz) ^ {2}} {z ^ {2}}} \,}$

onde s mede o comprimento ao longo de uma linha possivelmente curva. As linhas retas no espaço hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, ou seja, curvas que minimizam a distância) são representadas neste modelo por arcos circulares normais ao plano z = 0 (semicírculos cuja origem está no z = 0 - plano) e raios retos verticais normais ao plano z = 0 .

A distância entre dois pontos medidos nesta métrica ao longo de uma geodésica é:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1}, z_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {( z_ {2} -z_ {1})} ^ {2}} {2z_ {1} z_ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {(z_ {2} -z_ {1})} ^ {2} }} {2 {\ sqrt {z_ {1} z_ {2}}}}} \ right) \ ,.}$

O modelo em n dimensões

Este modelo pode ser generalizado para modelar um espaço hiperbólico dimensional substituindo o número real x por um vetor em um espaço vetorial euclidiano n dimensional. ${\ displaystyle n + 1}$

Veja também

Referências

Notas

Origens