Transformação de Möbius - Möbius transformation

Em geometria e análise complexa , uma transformação de Möbius do plano complexo é uma função racional da forma

de uma variável complexa z ; aqui os coeficientes a , b , c , d são números complexos que satisfazem ad - bc ≠ 0.

Geometricamente, uma transformação de Möbius pode ser obtida realizando primeiro a projeção estereográfica do plano para a unidade de duas esferas , girando e movendo a esfera para um novo local e orientação no espaço e, em seguida, realizando a projeção estereográfica (a partir da nova posição da esfera ) para o avião. Essas transformações preservam ângulos, mapeiam cada linha reta para uma linha ou círculo e mapeiam cada círculo para uma linha ou círculo.

As transformações de Möbius são as transformações projetivas da linha projetiva complexa . Eles formam um grupo denominado grupo Möbius , que é o grupo linear projetivo PGL (2, C ). Junto com seus subgrupos , ele tem inúmeras aplicações em matemática e física.

As transformações de Möbius são nomeadas em homenagem a Augusto Ferdinand Möbius ; eles também são variadamente chamados homografias , transformações homographic , lineares transformações fracionários , transformações bilineares , transformações lineares fracionárias , ou transformações de rotação (teoria da relatividade) .

Visão geral

As transformações de Möbius são definidas no plano complexo estendido (isto é, o plano complexo aumentado pelo ponto no infinito ).

A projeção estereográfica se identifica com uma esfera, que é então chamada de esfera de Riemann ; alternativamente, pode ser considerada como a linha projetiva complexa . As transformações de Möbius são exatamente os mapas conformados bijetivos da esfera de Riemann para ela mesma, isto é, os automorfismos da esfera de Riemann como uma variedade complexa ; alternativamente, são os automorfismos de uma variedade algébrica. Portanto, o conjunto de todas as transformações de Möbius forma um grupo em composição . Este grupo é denominado grupo Möbius e às vezes é denominado .

O grupo Möbius é isomórfico ao grupo de isometrias de preservação de orientação de 3-espaço hiperbólico e, portanto, desempenha um papel importante no estudo de 3-variedades hiperbólicas .

Na física , o componente de identidade do grupo Lorentz atua na esfera celeste da mesma forma que o grupo Möbius atua na esfera de Riemann. Na verdade, esses dois grupos são isomórficos. Um observador que acelera a velocidades relativísticas verá o padrão das constelações visto perto da Terra se transformar continuamente de acordo com as transformações de Möbius infinitesimais. Essa observação é freqüentemente considerada como o ponto de partida da teoria dos twistores .

Certos subgrupos do grupo Möbius formam os grupos de automorfismo das outras superfícies de Riemann simplesmente conectadas (o plano complexo e o plano hiperbólico ). Como tal, as transformações de Möbius desempenham um papel importante na teoria das superfícies de Riemann . O grupo fundamental de cada superfície de Riemann é um subgrupo discreto do grupo Möbius (ver grupo Fuchsiano e grupo Kleiniano ). Um subgrupo discreto particularmente importante do grupo Möbius é o grupo modular ; é central para a teoria de muitos fractais , formas modulares , curvas elípticas e equações de Pellian .

As transformações de Möbius podem ser mais geralmente definidas em espaços de dimensão n > 2 como os mapas de preservação de orientação conformados bijetivos da esfera n para a esfera n . Essa transformação é a forma mais geral de mapeamento conforme de um domínio. De acordo com o teorema de Liouville, uma transformação de Möbius pode ser expressa como uma composição de traduções, semelhanças , transformações ortogonais e inversões.

Definição

A forma geral de uma transformação de Möbius é dada por

onde a , b , c , d são quaisquer números complexos que satisfaçam ad - bc ≠ 0 . Se ad = bc , a função racional definida acima é uma constante, pois
e, portanto, não é considerada uma transformação de Möbius.

No caso c ≠ 0 , esta definição é estendida a toda a esfera de Riemann definindo

Se c = 0 , definimos

Assim, uma transformação de Möbius é sempre uma função holomórfica bijetiva da esfera de Riemann para a esfera de Riemann.

O conjunto de todas as transformações de Möbius forma um grupo em composição . Este grupo pode receber a estrutura de uma variedade complexa de forma que a composição e a inversão sejam mapas holomórficos . O grupo Möbius é então um grupo de Lie complexo . O grupo Möbius é geralmente denotado como o grupo de automorfismo da esfera de Riemann.

Pontos fixos

Cada transformação de Möbius sem identidade tem dois pontos fixos na esfera de Riemann. Observe que os pontos fixos são contados aqui com multiplicidade ; as transformações parabólicas são aquelas onde os pontos fixos coincidem. Um ou ambos os pontos fixos podem ser o ponto no infinito.

Determinando os pontos fixos

Os pontos fixos da transformação

são obtidos resolvendo a equação de ponto fixo f ( γ ) = γ . Para c ≠ 0, isso tem duas raízes obtidas expandindo esta equação para
e aplicando a fórmula quadrática . As raízes são
com discriminante
As transformadas parabólicas têm pontos fixos coincidentes devido ao discriminante zero. Para c discriminante diferente de zero e diferente de zero, a transformada é elíptica ou hiperbólica.

Quando c = 0, a equação quadrática degenera em uma equação linear e a transformação é linear. Isso corresponde à situação em que um dos pontos fixos é o ponto no infinito. Quando umd o segundo ponto fixo é finito e é dado por

Neste caso, a transformação será uma transformação simples composta de translações , rotações e dilatações :

Se c = 0 e a = d , então ambos os pontos fixos estão no infinito, e a transformação de Möbius corresponde a uma tradução pura:

Prova topológica

Topologicamente, o fato de que as transformações de Möbius (não-identidade) fixam 2 pontos (com multiplicidade) corresponde à característica de Euler da esfera ser 2:

Em primeiro lugar, o grupo linear projetivo PGL (2, K ) é nitidamente 3-transitivo  - para quaisquer dois triplos ordenados de pontos distintos, há um único mapa que leva um triplo ao outro, assim como para as transformadas de Möbius, e pelo mesmo prova algébrica (essencialmente contagem de dimensões , já que o grupo é tridimensional). Assim, qualquer mapa que fixe pelo menos 3 pontos é a identidade.

Em seguida, pode-se ver, identificando o grupo Möbius com que qualquer função Möbius é homotópica à identidade. Na verdade, qualquer membro do grupo linear geral pode ser reduzido ao mapa de identidade pela eliminação de Gauss-Jordan, o que mostra que o grupo linear projetivo também está conectado ao caminho, fornecendo uma homotopia ao mapa de identidade. O teorema de Lefschetz-Hopf afirma que a soma dos índices (neste contexto, multiplicidade) dos pontos fixos de um mapa com muitos pontos fixos finitos é igual ao número de Lefschetz do mapa, que neste caso é o traço do mapa de identidade em grupos de homologia, que é simplesmente a característica de Euler.

Em contraste, o grupo linear projetivo da linha projetiva real, PGL (2, R ) não precisa fixar nenhum ponto - por exemplo , não tem pontos fixos (reais): como uma transformação complexa ele fixa ± i  - enquanto o mapa 2 x fixa os dois pontos de 0 e ∞. Isso corresponde ao fato de que a característica de Euler do círculo (linha projetiva real) é 0 e, portanto, o teorema do ponto fixo de Lefschetz diz apenas que deve fixar pelo menos 0 pontos, mas possivelmente mais.

Forma normal

As transformações de Möbius às vezes também são escritas em termos de seus pontos fixos na chamada forma normal . Primeiro tratamos o caso não parabólico, para o qual existem dois pontos fixos distintos.

Caso não parabólico :

Toda transformação não parabólica é conjugada a uma dilatação / rotação, ou seja, uma transformação da forma

( k  ∈  C ) com pontos fixos em 0 e ∞. Para ver isso, defina um mapa
que envia os pontos ( γ 1 , γ 2 ) para (0, ∞). Aqui assumimos que γ 1 e γ 2 são distintos e finitos. Se um deles já está no infinito, g pode ser modificado de modo a fixar o infinito e enviar o outro ponto para 0.

Se f tem pontos fixos distintos ( γ 1 , y 2 ) em seguida, a transformação tem pontos fixados em 0 e ∞ e é, portanto, uma dilatação: . A equação de ponto fixo para a transformação f pode então ser escrita

Resolver para f dá (na forma de matriz):

ou, se um dos pontos fixos estiver no infinito:

A partir das expressões acima, pode-se calcular as derivadas de f nos pontos fixos:

e

Observe que, dada uma ordenação dos pontos fixos, podemos distinguir um dos multiplicadores ( k ) de f como a constante característica de f . Inverter a ordem dos pontos fixos é equivalente a tomar o multiplicador inverso para a constante característica:

Para transformações loxodrômicas, sempre | k | > 1, diz-se que γ 1 é o ponto fixo repulsivo e γ 2 é o ponto fixo atrativo . Para | k | <1, os papéis são invertidos.

Caso parabólico :

No caso parabólico, existe apenas um ponto fixo γ . A transformação que envia esse ponto para ∞ é

ou a identidade se γ já estiver no infinito. A transformação fixa o infinito e, portanto, é uma tradução:

Aqui, β é chamado de comprimento de translação . A fórmula do ponto fixo para uma transformação parabólica é então

Resolvendo para f (na forma de matriz) dá

ou, se γ = ∞:

Observe que β não é a constante característica de f , que é sempre 1 para uma transformação parabólica. A partir das expressões acima, pode-se calcular:

Pólos da transformação

O ponto é chamado de pólo de ; é aquele ponto que é transformado até o ponto infinito abaixo .

O pólo inverso é aquele ponto para o qual o ponto no infinito é transformado. O ponto intermediário entre os dois pólos é sempre o mesmo que o ponto intermediário entre os dois pontos fixos:

Esses quatro pontos são os vértices de um paralelogramo, às vezes chamado de paralelogramo característico da transformação.

Uma transformada pode ser especificada com dois pontos fixos γ 1 , γ 2 e o pólo .

Isso nos permite derivar uma fórmula para a conversão entre k e dado :

que se reduz a

A última expressão coincide com uma das razões de autovalores (mutuamente recíprocas) da matriz

representando a transformação (compare a discussão na seção anterior sobre a constante característica de uma transformação). Seu polinômio característico é igual a
que tem raízes

Transformações e composição de Möbius simples

Uma transformação de Möbius pode ser composta como uma sequência de transformações simples.

As seguintes transformações simples também são transformações de Möbius:

  • é uma tradução .
  • é uma combinação de a ( homotetia e rotação ). Se então é uma rotação, se então é uma homotetia.
  • ( inversão e reflexão em relação ao eixo real)

Composição de transformações simples

Se , deixe:

  • ( tradução por d / c )
  • ( inversão e reflexão em relação ao eixo real)
  • ( homotetia e rotação )
  • (tradução por a / c )

Então, essas funções podem ser compostas , dando

Isso é,

com

Esta decomposição torna óbvias muitas propriedades da transformação de Möbius.

Propriedades elementares

Uma transformação de Möbius é equivalente a uma sequência de transformações mais simples. A composição torna óbvias muitas propriedades da transformação de Möbius.

Fórmula para a transformação inversa

A existência da transformação de Möbius inversa e sua fórmula explícita são facilmente derivadas pela composição das funções inversas das transformações mais simples. Ou seja, defina as funções g 1 , g 2 , g 3 , g 4 de modo que cada g i seja o inverso de f i . Então a composição

fornece uma fórmula para o inverso.

Preservação de ângulos e círculos generalizados

A partir desta decomposição, vemos que as transformações de Möbius carregam todas as propriedades não triviais de inversão de círculo . Por exemplo, a preservação dos ângulos se reduz a provar que a inversão do círculo preserva os ângulos, uma vez que os outros tipos de transformações são dilatações e isometrias (translação, reflexão, rotação), que preservam os ângulos trivialmente.

Além disso, as transformações de Möbius mapeiam círculos generalizados em círculos generalizados, uma vez que a inversão de círculo tem essa propriedade. Um círculo generalizado é um círculo ou uma linha, sendo esta última considerada como um círculo que passa pelo ponto no infinito. Observe que uma transformação de Möbius não mapeia necessariamente círculos para círculos e linhas para linhas: ela pode misturar os dois. Mesmo que mapeie um círculo para outro círculo, não necessariamente mapeia o centro do primeiro círculo para o centro do segundo círculo.

Preservação de razão cruzada

As razões cruzadas são invariantes sob as transformações de Möbius. Ou seja, se uma transformação de Möbius mapeia quatro pontos distintos para quatro pontos distintos , respectivamente, então

Se um dos pontos é o ponto no infinito, então a razão cruzada deve ser definida tomando o limite apropriado; por exemplo, a razão cruzada de é

A proporção cruzada de quatro pontos diferentes é real se e somente se houver uma linha ou um círculo passando por eles. Esta é outra forma de mostrar que as transformações de Möbius preservam círculos generalizados.

Conjugação

Dois pontos z 1 e z 2 são conjugados em relação a um círculo generalizado C , se, dado um círculo generalizado D passando por z 1 e z 2 e cortando C em dois pontos a e b , ( z 1 , z 2 ; a , b ) estão em razão cruzada harmônica (isto é, sua razão cruzada é -1). Esta propriedade não dependem da escolha do círculo D . Essa propriedade também é algumas vezes chamada de simétrica em relação a uma linha ou círculo.

Dois pontos z , z são conjugados em relação a uma reta, se forem simétricos em relação à reta. Dois pontos são conjugados em relação a um círculo se forem trocados pela inversão em relação a este círculo.

O ponto z conjugado a z quando L é a linha determinada pelo vetor baseado em e no ponto z 0 pode ser explicitamente dado como

O ponto z conjugado a z quando C é o círculo de raio r centrado z 0 pode ser explicitamente dado como

Como as transformações de Möbius preservam círculos generalizados e razões cruzadas, preservam também a conjugação.

Representações de matriz projetiva

A ação natural de PGL (2, C ) na linha projetiva complexa CP 1 é exatamente a ação natural do grupo de Möbius na esfera de Riemann, onde a linha projetiva CP 1 e a esfera de Riemann são identificadas da seguinte forma:

Aqui [ z 1 : z 2 ] são coordenadas homogêneas no CP 1 ; o ponto [1: 0] corresponde ao ponto ∞ da esfera de Riemann. Usando coordenadas homogêneas, muitos cálculos concretos envolvendo transformações de Möbius podem ser simplificados, uma vez que nenhuma distinção de caso que trata de ∞ é necessária.

Com cada matriz 2 × 2 complexa invertível

podemos associar a transformação de Möbius
A condição ad - bc ≠ 0 é equivalente à condição de que o determinante da matriz acima seja diferente de zero, ou seja, que a matriz seja invertível.

É fácil verificar que o produto de duas matrizes estará associado à composição das duas transformações de Möbius correspondentes. Em outras palavras, o mapa

do grupo linear geral GL (2, C ) ao grupo Möbius, que envia a matriz para a transformação f , é um homomorfismo de grupo .

Observe que qualquer matriz obtida pela multiplicação por um escalar complexo λ determina a mesma transformação, então uma transformação de Möbius determina sua matriz apenas

até múltiplos escalares. Em outras palavras: o núcleo de π consiste em todos os múltiplos escalares da matriz identidade I , e o primeiro teorema de isomorfismo da teoria dos grupos afirma que o grupo quociente GL (2, C ) / (( C  \ {0}) I ) é isomórfico ao grupo Möbius. Este grupo de quocientes é conhecido como grupo linear projetivo e geralmente é denotado PGL (2, C ).
A mesma identificação de PGL (2, K ) com o grupo de transformações lineares fracionárias e com o grupo de automorfismos lineares projetivos da linha projetiva vale para qualquer campo K , fato de interesse algébrico, particularmente para corpos finitos, embora seja o caso de os números complexos têm o maior interesse geométrico.

Se alguém se restringe a matrizes de um determinante, o mapa

π se restringe a um mapa sobrejetivo do grupo linear especial SL (2, C ) ao grupo de Möbius; na configuração restrita, o kernel é formado por mais e menos a identidade, e o grupo quociente SL (2, C ) / {± I }, denotado por PSL (2, C ), é, portanto, também isomórfico ao grupo Möbius:
A partir disso, vemos que o grupo de Möbius é um grupo de Lie complexo tridimensional (ou um grupo de Lie real de 6 dimensões). É um grupo de Lie
semisimples não compacto .

Observe que há precisamente duas matrizes com determinante de unidade que podem ser usadas para representar qualquer transformação de Möbius dada. Ou seja, SL (2, C ) é uma capa dupla de PSL (2, C ). Visto que SL (2, C ) é simplesmente conectado , é a cobertura universal do grupo Möbius. Portanto, o grupo fundamental do grupo Möbius é Z 2 .

Especificando uma transformação por três pontos

Dado um conjunto de três pontos distintos z 1 , z 2 , z 3 na esfera de Riemann e um segundo conjunto de pontos distintos w 1 , w 2 , w 3 , existe precisamente uma transformação de Möbius f ( z ) com f ( z i ) = w i para i = 1,2,3. (Em outras palavras: a ação do grupo de Möbius na esfera de Riemann é nitidamente 3-transitiva .) Existem várias maneiras de determinar f ( z ) a partir dos conjuntos de pontos dados.

Mapeando primeiro para 0, 1, ∞

É fácil verificar se a transformação de Möbius

com matriz
mapeia z 1 , z 2 , z 3 a 0, 1, ∞, respectivamente. Se um dos z i for ∞, então a fórmula apropriada para é obtida a partir da anterior dividindo primeiro todas as entradas por
z i e, em seguida, tomando o limite z i → ∞.

Se for definido de forma semelhante para mapear

w 1 , w 2 , w 3 para 0, 1, ∞, então a matriz que mapeia z 1,2,3 para w 1,2,3 torna-se

O estabilizador de {0, 1, ∞} (como um conjunto não ordenado) é um subgrupo conhecido como grupo anarmônico .

Fórmula de determinante explícita

A equação

é equivalente à equação de uma
hipérbole padrão
no plano ( z , w ). O problema de construir uma transformação de Möbius mapeando um triplo para outro triplo é, portanto, equivalente a encontrar os coeficientes
a , b , c , d da hipérbole passando pelos pontos . Uma equação explícita pode ser encontrada avaliando o determinante
por meio de uma expansão Laplace ao longo da primeira linha. Isso resulta nas fórmulas determinantes
para os coeficientes a, b, c, d da matriz representativa . A matriz construída tem determinante igual ao qual não desaparece se z i resp. w i são pares diferentes, portanto, a transformação de Möbius é bem definida. Se um dos pontos z i ou w i for ∞, então primeiro dividimos todos os quatro determinantes por essa variável e, em seguida, tomamos o limite conforme a variável se aproxima de ∞.

Subgrupos do grupo Möbius

Se exigirmos que os coeficientes a , b , c , d de uma transformação de Möbius sejam números reais com ad - bc = 1 , obtemos um subgrupo do grupo de Möbius denotado como PSL (2, R ) . Este é o grupo das transformações de Möbius que mapeiam o semiplano superior H = x + i y  : y > 0 para si mesmo, e é igual ao grupo de todos os mapas biolomórficos (ou equivalentemente: bijetivos , conformes e que preservam a orientação) HH . Se uma métrica apropriada for introduzida, o semiplano superior se torna um modelo do plano hiperbólico H 2 , o modelo do semiplano de Poincaré , e PSL (2, R ) é o grupo de todas as isometrias de preservação de orientação de H 2 neste modelo.

O subgrupo de todas as transformações de Möbius que mapeiam o disco aberto D = z  : | z | <1 para si mesmo consiste em todas as transformações da forma

com ∈
R , bC e | b | <1. Este é igual ao grupo de todos biholomorphic (ou de modo equivalente: bijective,-ângulo preservar e orientação de preservação) mapeia DD . Ao introduzir uma métrica adequada, o disco aberto se transforma em outro modelo do plano hiperbólico, o modelo de disco de Poincaré , e este grupo é o grupo de todas as isometrias de preservação de orientação de H 2 neste modelo.

Uma vez que ambos os subgrupos acima servem como grupos de isometria de H 2 , eles são isomórficos. Um isomorfismo concreto é dado por conjugação com a transformação

que mapeia bijetivamente o disco da unidade aberta para a metade superior do plano.

Alternativamente, considere um disco aberto com raio r , centrado em r i . O modelo do disco de Poincaré neste disco torna-se idêntico ao modelo do meio plano superior à medida que r se aproxima de ∞.

Um subgrupo compacto máximo do grupo Möbius é dado por (

Tóth 2002 )
e corresponde sob o isomorfismo ao
grupo especial unitário projetivo PSU (2, C ) que é isomorfo ao grupo ortogonal especial SO (3) de rotações em três dimensões, e pode ser interpretado como rotações da esfera de Riemann. Cada subgrupo finito é conjugado neste grupo compacto máximo e, portanto, eles correspondem exatamente aos grupos poliédricos, os grupos de pontos em três dimensões .

Grupos icosaédricos de transformações de Möbius foram usados ​​por Felix Klein para dar uma solução analítica para a equação quíntica em ( Klein 1888 ); uma exposição moderna é dada em ( Tóth 2002 ).

Se exigirmos que os coeficientes a , b , c , d de uma transformação de Möbius sejam inteiros com ad - bc = 1, obtemos o grupo modular PSL (2, Z ), um subgrupo discreto de PSL (2, R ) importante em o estudo das redes no plano complexo, funções elípticas e

curvas elípticas . Os subgrupos discretos de PSL (2, R ) são conhecidos como grupos fuchsianos ; eles são importantes no estudo das superfícies de Riemann .

Classificação

Uma transformação hiperbólica é mostrada. Pré-imagens do círculo unitário são círculos de Apolônio com racio da distância de c / um e focos na - b / um e - d / c .
Para os mesmos focos - b / a e - d / c, os círculos vermelhos são mapeados para raios através da origem.

Na discussão a seguir, sempre assumiremos que a matriz representativa é normalizada de forma que .

As transformações de Möbius sem identidade são comumente classificadas em quatro tipos, parabólica , elíptica , hiperbólica e loxodrômica , sendo as hiperbólicas uma subclasse das loxodrômicas. A classificação tem significado algébrico e geométrico. Geometricamente, os diferentes tipos resultam em diferentes transformações do plano complexo, como ilustram as figuras abaixo.

Os quatro tipos podem ser distinguidos observando o traço . Observe que o traço é invariante sob

conjugação , ou seja,
e assim cada membro de uma classe de conjugação terá o mesmo traço. Cada transformação de Möbius pode ser escrita de forma que sua matriz representativa tenha um determinante (multiplicando as entradas por um escalar adequado). Duas transformações de Möbius (ambas não iguais à transformação de identidade) com são conjugadas se e somente se

Transformadas parabólicas

Uma transformação de Möbius de não identidade definida por uma matriz de determinante é dita

parabólica se
(portanto, o traço é mais ou menos 2; qualquer um pode ocorrer para uma dada transformação, pois é determinado apenas até o sinal). Na verdade, uma das opções para tem o mesmo
polinômio característico X 2 −2 X +1 que a matriz de identidade e, portanto, é unipotente . Uma transformada de Möbius é parabólica se e somente se ela tiver exatamente um ponto fixo no plano complexo estendido , o que acontece se e somente se ela puder ser definida por um conjugado de matriz para
que descreve uma translação no plano complexo.

O conjunto de todas as transformações parabólicas de Möbius com um determinado ponto fixo em , juntamente com a identidade, forma um subgrupo isomórfico ao grupo de matrizes

este é um exemplo do radical unipotente de um subgrupo Borel (do grupo Möbius, ou de SL (2, C ) para o grupo de matriz; a noção é definida para qualquer grupo de Lie redutor ).

Constante característica

Todas as transformações não parabólicas têm dois pontos fixos e são definidas por um conjugado de matriz para

com o número complexo λ diferente de 0, 1 ou −1, correspondendo a uma dilatação / rotação por multiplicação pelo número complexo k = λ 2 , denominado constante característica ou multiplicador da transformação.

Transformadas elípticas

O gráfico de Smith , usado por engenheiros elétricos para analisar linhas de transmissão , é uma representação visual da transformação elíptica de Möbius Γ = (z-1) / (z + 1). Cada ponto no gráfico de Smith representa simultaneamente um valor de z (canto inferior esquerdo) e o valor correspondente de Γ (canto inferior direito), para | Γ | <1.

A transformação é dita elíptica se puder ser representada por uma matriz cujo traço é real com

Uma transformação é elíptica se e somente se | λ | = 1 e λ ≠ ± 1. Escrita , uma transformação elíptica é conjugada com

com α real.

Observe que, para qualquer um com constante característica k , a constante característica de é k n . Assim, todas as transformações de Möbius de ordem finita são transformações elípticas, ou seja, exatamente aquelas onde λ é uma raiz de unidade , ou, equivalentemente, onde α é um múltiplo racional de π . A possibilidade mais simples de um múltiplo fracionário significa α = π / 2, que também é o caso único de , também é denotado como um transformada circular ; isto corresponde geometricamente à rotação de 180 ° em torno de dois pontos fixos. Esta classe é representada em forma de matriz como:

Existem 3 representantes de fixação {0, 1, ∞}, que são os três transposições do grupo de simetria de estes 3 pontos: o qual fixa 1 e trocas 0 com (rotação de 180 ° sobre os pontos 1 e-1), , que fixa e troca 0 por 1 (rotação de 180 ° sobre os pontos 1/2 e ), e que fixa 0 e troca 1 com (rotação de 180 ° sobre os pontos 0 e 2).

Transformadas hiperbólicas

A transformação é considerada hiperbólica se puder ser representada por uma matriz cujo traço é

real com

Uma transformada é hiperbólica se e somente se λ for real e λ ≠ ± 1.

Transformadas loxodrômicas

A transformada é dita loxodrômica se não estiver em [0,4]. Uma transformação é loxodrômica se e somente se .

Historicamente, a navegação por loxódromo ou linha loxodrômica refere-se a um caminho de direção constante ; o caminho resultante é uma espiral logarítmica , semelhante em forma às transformações do plano complexo que uma transformação de Möbius loxodrômica faz. Veja as figuras geométricas abaixo.

Classificação geral

Transformação Traço ao quadrado Multiplicadores Representante de classe
Circular σ = 0 k = -1 z ↦ - z
Elíptico 0 ≤ σ <4 | k | = 1
ze i θ z
Parabólico σ = 4 k = 1 zz + a
Hiperbólico 4 <σ <∞
ze θ z
Loxodrômico σ ∈ C \ [0,4]
zkz

O caso real e uma nota sobre a terminologia

Sobre os números reais (se os coeficientes devem ser reais), não há transformações loxodrômicas não hiperbólicas, e a classificação é em elíptica, parabólica e hiperbólica, como para cônicas reais . A terminologia se deve a considerar a metade do valor absoluto do traço, | tr | / 2, como a excentricidade da transformação - a divisão por 2 corrige para a dimensão, então a identidade tem excentricidade 1 (tr / n às vezes é usado como um alternativa para o traço por este motivo), e o valor absoluto corrige para o traço sendo definido apenas até um fator de ± 1 devido ao trabalho em PSL. Alternativamente, pode-se usar a metade do quadrado do traço como um proxy para a excentricidade ao quadrado, como foi feito acima; essas classificações (mas não os valores exatos de excentricidade, uma vez que os valores quadrados e absolutos são diferentes) concordam para traços reais, mas não para traços complexos. A mesma terminologia é usada para a classificação de elementos de SL (2, R ) (a capa dupla), e classificações análogas são usadas em outro lugar. As transformações loxodrômicas são um fenômeno essencialmente complexo e correspondem a excentricidades complexas.

Interpretação geométrica da constante característica

A imagem a seguir mostra (após a transformação estereográfica da esfera para o plano) os dois pontos fixos de uma transformação de Möbius no caso não parabólico:

Mobius Identity.jpeg

A constante característica pode ser expressa em termos de seu logaritmo :

Quando expresso desta forma, o número real ρ torna-se um fator de expansão. Indica quão repulsivo é o ponto fixo γ 1 e quão atrativo é γ 2 . O número real α é um fator de rotação, indicando até que ponto a transformada gira o plano no sentido anti-horário em torno de γ 1 e no sentido horário em torno de γ 2 .

Transformações elípticas

Se ρ = 0, então os pontos fixos não são atrativos nem repulsivos, mas indiferentes, e a transformação é dita elíptica . Essas transformações tendem a mover todos os pontos em círculos ao redor dos dois pontos fixos. Se um dos pontos fixos está no infinito, isso é equivalente a fazer uma rotação afim em torno de um ponto.

Se tomarmos o subgrupo de um parâmetro gerado por qualquer transformação elíptica de Möbius, obtemos uma transformação contínua, de modo que toda transformação no subgrupo fixa os mesmos dois pontos. Todos os outros pontos fluem ao longo de uma família de círculos que está aninhada entre os dois pontos fixos na esfera de Riemann. Em geral, os dois pontos fixos podem ser quaisquer dois pontos distintos.

Isso tem uma importante interpretação física. Imagine que algum observador gire com velocidade angular constante em torno de algum eixo. Então, podemos considerar os dois pontos fixos os pólos norte e sul da esfera celeste. A aparência do céu noturno é agora transformada continuamente exatamente da maneira descrita pelo subgrupo de um parâmetro de transformações elípticas compartilhando os pontos fixos 0, ∞, e com o número α correspondendo à velocidade angular constante de nosso observador.

Aqui estão algumas figuras que ilustram o efeito de uma transformação elíptica de Möbius na esfera de Riemann (após a projeção estereográfica no plano):

Mobius Small Neg Elliptical.jpeg

Mobius Large Pos Elliptical.jpeg

Essas imagens ilustram o efeito de uma única transformação de Möbius. O subgrupo de um parâmetro que ele gera move continuamente pontos ao longo da família de arcos circulares sugeridos pelas imagens.

Transformações hiperbólicas

Se α for zero (ou um múltiplo de 2 π ), então a transformação é dita hiperbólica . Essas transformações tendem a mover pontos ao longo de caminhos circulares de um ponto fixo para o outro.

Se tomarmos o subgrupo de um parâmetro gerado por qualquer transformação de Möbius hiperbólica, obtemos uma transformação contínua, de modo que cada transformação no subgrupo fixa os mesmos dois pontos. Todos os outros pontos fluem ao longo de uma certa família de arcos circulares afastando -se do primeiro ponto fixo e em direção ao segundo ponto fixo. Em geral, os dois pontos fixos podem ser quaisquer dois pontos distintos na esfera de Riemann.

Isso também tem uma importante interpretação física. Imagine que um observador acelere (com magnitude constante de aceleração) na direção do pólo Norte em sua esfera celeste. Então a aparência do céu noturno é transformada exatamente da maneira descrita pelo subgrupo de um parâmetro de transformações hiperbólicas compartilhando os pontos fixos 0, ∞, com o número real ρ correspondendo à magnitude de seu vetor de aceleração. As estrelas parecem mover-se ao longo de longitudes, afastando-se do pólo sul em direção ao pólo norte. (As longitudes aparecem como arcos circulares sob projeção estereográfica da esfera para o plano.)

Aqui estão algumas figuras que ilustram o efeito de uma transformação de Möbius hiperbólica na esfera de Riemann (após a projeção estereográfica no plano):

Mobius Small Neg Hyperbolic.jpeg

Mobius Large Pos Hyperbolic.jpeg

Essas imagens lembram as linhas de campo de uma carga elétrica positiva e negativa localizadas nos pontos fixos, porque as linhas de fluxo circulares subtendem um ângulo constante entre os dois pontos fixos.

Transformações loxodrômicas

Se tanto ρ quanto α forem diferentes de zero, então a transformação é dita loxodrômica . Essas transformações tendem a mover todos os pontos em caminhos em forma de S de um ponto fixo para outro.

A palavra " loxódromo " vem do grego: "λοξος (loxos), inclinado + δρόμος (dromos), curso ". Ao navegar em uma direção constante - se você mantiver uma direção de (digamos) nordeste, você acabará navegando ao redor do pólo norte em uma espiral logarítmica . Na projeção do

mercator, tal curso é uma linha reta, já que os pólos norte e sul se projetam para o infinito. O ângulo que o loxódromo subtende em relação às linhas de longitude (ou seja, sua inclinação, o "aperto" da espiral) é o argumento de k . Claro, as transformações de Möbius podem ter seus dois pontos fixos em qualquer lugar, não apenas nos pólos norte e sul. Mas qualquer transformação loxodromica será conjugada a uma transformação que move todos os pontos ao longo desses loxódromos.

Se tomarmos o subgrupo de um parâmetro gerado por qualquer transformação de Möbius loxodrômica, obtemos uma transformação contínua, de modo que cada transformação no subgrupo fixa os mesmos dois pontos. Todos os outros pontos fluem ao longo de uma certa família de curvas, afastando -se do primeiro ponto fixo e em direção ao segundo ponto fixo. Ao contrário do caso hiperbólico, essas curvas não são arcos circulares, mas certas curvas que sob a projeção estereográfica da esfera para o plano aparecem como curvas espirais que giram no sentido anti-horário infinitamente frequentemente em torno de um ponto fixo e giram no sentido horário infinitamente frequentemente em torno do outro ponto fixo. Em geral, os dois pontos fixos podem ser quaisquer dois pontos distintos na esfera de Riemann.

Você provavelmente pode adivinhar a interpretação física no caso em que os dois pontos fixos são 0, ∞: um observador que está girando (com velocidade angular constante) em torno de algum eixo e se movendo ao longo do mesmo eixo, verá a aparência do céu noturno transformada de acordo com o subgrupo de um parâmetro de transformações loxodrômicas com pontos fixos 0, ∞, e com ρ, α determinados respectivamente pela magnitude das velocidades linear e angular reais.

Projeção estereográfica

Essas imagens mostram transformações de Möbius projetadas estereograficamente na esfera de Riemann . Observe em particular que, quando projetado em uma esfera, o caso especial de um ponto fixo no infinito não parece diferente de ter os pontos fixos em uma localização arbitrária.

Um ponto fixo no infinito
Elíptico
Hiperbólico
Loxodrômico
Pontos fixos diametralmente opostos
Elíptico
Hiperbólico
Loxodrômico
Pontos fixos em um local arbitrário
Elíptico
Hiperbólico
Loxodrômico

Iterando uma transformação

Se uma transformação tem pontos fixos γ

1 , γ 2 e constante característica k , então terá .

Isso pode ser usado para iterar uma transformação ou para animar uma, dividindo-a em etapas.

Essas imagens mostram três pontos (vermelho, azul e preto) continuamente iterados sob transformações com várias constantes características.

Mobius23621.jpeg Mobius23622.jpeg Mobius23623.jpeg

E essas imagens demonstram o que acontece quando você transforma um círculo nas transformações hiperbólica, elíptica e loxodrômica. Observe que nas imagens elípticas e loxodrômicas, o valor α é 1/10.

IteratedHyperbolicTsfm.png IteratedEllipticalTsfm.png IteratedLoxodromicTsfm.png


Dimensões superiores

Em dimensões superiores, uma transformação de Möbius é um homeomorfismo de , a

compactação de um ponto de , que é uma composição finita de inversões em esferas e reflexos em hiperplanos . O teorema de Liouville em geometria conforme afirma que, na dimensão de pelo menos três, todas as transformações conformes são transformações de Möbius. Cada transformação Möbius pode ser colocada na forma

onde , , é uma

matriz ortogonal , e é 0 ou 2. O grupo de transformações Möbius também é chamado o grupo de Moebius .

As transformações de Möbius que preservam a orientação formam o componente conectado da identidade no grupo Möbius. Na dimensão n = 2 , as transformações de Möbius que preservam a orientação são exatamente os mapas da esfera de Riemann cobertos aqui. Os que invertem a orientação são obtidos a partir destes por conjugação complexa.

O domínio das transformações de Möbius, ou seja , é homeomórfico à esfera

n- dimensional . O isomorfismo canônico entre esses dois espaços é a transformada de Cayley , que por sua vez é uma transformação de Möbius . Essa identificação significa que as transformações de Möbius também podem ser pensadas como isomorfismos conformes de . A n -sfera, junto com a ação do grupo Möbius, é uma estrutura geométrica (no sentido do programa Erlangen de Klein ) chamada geometria Möbius .

Formulários

Transformação de Lorentz

Um isomorfismo do grupo Möbius com o grupo Lorentz foi observado por vários autores: Com base no trabalho anterior de Felix Klein (1893, 1897) sobre funções automórficas relacionadas à geometria hiperbólica e geometria Möbius, Gustav Herglotz (1909) mostrou que os movimentos hiperbólicos (ie

automorfismos isométricos de um espaço hiperbólico ) transformando a esfera unitária em si mesma correspondem às transformações de Lorentz, pelas quais Herglotz foi capaz de classificar as transformações de Lorentz de um parâmetro em grupos loxodrômicos, elípticos, hiperbólicos e parabólicos. Outros autores incluem Emil Artin (1957), HSM Coxeter (1965) e Roger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), Tristan Needham (1997) e WM Olivia (2002).

O espaço de Minkowski consiste no espaço de coordenadas reais quadridimensional R 4 que consiste no espaço de quádruplos ordenados ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) de números reais, juntamente com uma forma quadrática

Tomando emprestada a terminologia da relatividade especial , pontos com Q > 0 são considerados semelhantes ao tempo ; além disso, se x 0 > 0 , o ponto é chamado de apontar para o futuro . Pontos com Q <0 são chamados de espaciais . O cone nulo S consiste naqueles pontos onde Q = 0 ; o futuro cone nulo N + são aqueles pontos no cone nulo com x 0 > 0 . A esfera celeste é então identificada com a coleção de raios em N + cujo ponto inicial é a origem de R 4 . A coleção de transformações lineares em R 4 com determinante positivo preservando a forma quadrática Q e preservando a direção do tempo formam o grupo restrito de Lorentz SO + (1,3).

Em conexão com a geometria da esfera celeste, o grupo de transformações SO + (1,3) é identificado com o grupo PSL (2, C ) de transformações de Möbius da esfera. Para cada ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 4 , associe a matriz hermitiana

O determinante da matriz X é igual a Q ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) . O grupo linear especial atua no espaço de tais matrizes via

 

 

 

 

( 1 )

para cada A ∈ SL (2, C ), e esta ação de SL (2, C ) preserva o determinante de X porque det A = 1 . Como o determinante de X é identificado com a forma quadrática Q , SL (2, C ) atua por transformações de Lorentz. Em termos dimensionais, SL (2, C ) cobre uma vizinhança da identidade de SO (1,3). Como SL (2, C ) está conectado, ele cobre todo o grupo restrito de Lorentz SO + (1,3). Além disso, uma vez que o núcleo da ação ( 1 ) é o subgrupo {± I }, então passar para o grupo quociente dá ao grupo isomorfismo

 

 

 

 

( 2 )

Focando agora a atenção no caso em que ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) é nulo, a matriz X tem determinante zero e, portanto, se divide como o produto externo de um vetor complexo de dois ξ com seu conjugado complexo:

 

 

 

 

( 3 )

O vetor de dois componentes ξ é influenciado por SL (2, C ) de uma maneira compatível com ( 1 ). Agora está claro que o núcleo da representação de SL (2, C ) em matrizes hermitianas é {± I }.

A ação do PSL (2, C ) na esfera celeste também pode ser descrita geometricamente usando projeção estereográfica . Considere primeiro o hiperplano em R 4 dado por x 0  = 1. A esfera celeste pode ser identificada com a esfera S + de intersecção do hiperplano com o futuro cone nulo N + . A projeção estereográfica do pólo norte (1,0,0,1) desta esfera para o plano x 3  = 0 toma um ponto com coordenadas (1, x 1 , x 2 , x 3 ) com

ao ponto

Apresentando a coordenada complexa

a projeção estereográfica inversa fornece a seguinte fórmula para um ponto ( x 1 , x 2 , x 3 ) em S + :

 

 

 

 

( 4 )

A ação de SO + (1,3) nos pontos de N + não preserva o hiperplano S + , mas agindo nos pontos de S + e depois reescalando para que o resultado fique novamente em S + dá uma ação de SO + ( 1,3) na esfera que passa a uma ação sobre a variável complexa ζ. Na verdade, essa ação se dá por transformações lineares fracionárias, embora isso não seja facilmente visto nesta representação da esfera celeste. Por outro lado, para qualquer transformação linear fracionária da variável ζ passa para uma transformação de Lorentz única em N + , possivelmente após um reescalonamento adequado (determinado exclusivamente).

Uma descrição mais invariável da projeção estereográfica que permite que a ação seja mais claramente vista é considerar a variável ζ =  z : w como uma razão de um par de coordenadas homogêneas para a linha projetiva complexa CP 1 . A projeção estereográfica passa a uma transformação de C 2  - {0} para N + que é homogênea de grau dois em relação às escalas reais

 

 

 

 

( 5 )

que concorda com ( 4 ) mediante restrição a escalas em que os componentes de (

5 ) são precisamente aqueles obtidos a partir do produto externo

Em resumo, a ação do grupo restrito de Lorentz SO + (1,3) concorda com a do grupo Möbius PSL (2, C ). Isso motiva a seguinte definição. Na dimensão n  ≥ 2, o grupo Möbius Möb ( n ) é o grupo de todas as

isometrias conformes que preservam a orientação da esfera redonda S n para si mesma. Ao perceber a esfera conforme como o espaço de raios apontando para o futuro do cone nulo no espaço de Minkowski R 1, n + 1 , há um isomorfismo de Möb ( n ) com o grupo de Lorentz restrito SO + (1, n +1 ) das transformações de Lorentz com determinante positivo, preservando a direção do tempo.

Coxeter começou, em vez disso, com a forma quadrática equivalente

Ele identificou o grupo de Lorentz com transformações para as quais { x  : Q ( x ) = -1} é estável . Em seguida, ele interpretou os x's como coordenadas homogêneas e { x  : Q ( x ) = 0}, o cone nulo , como o absoluto de Cayley para um espaço hiperbólico de pontos { x  : Q ( x ) <0}. Em seguida, Coxeter introduziu as variáveis

de modo que a quádrica invariante de Lorentz corresponde à esfera. Coxeter observa que

Felix Klein também escreveu sobre essa correspondência, aplicando a projeção estereográfica de (0, 0, 1) ao plano complexo. Coxeter usou o fato de que círculos do plano inversivo representam planos de espaço hiperbólico, e a homografia geral é o produto de inversões em dois ou quatro círculos, correspondendo ao deslocamento hiperbólico geral que é o produto de inversões em dois ou quatro planos.

Espaço hiperbólico

Como visto acima, o grupo Möbius PSL (2, C ) atua no espaço de Minkowski como o grupo daquelas isometrias que preservam a origem, a orientação do espaço e a direção do tempo. Restringindo aos pontos onde Q = 1 no cone de luz positivo, que formam um modelo de 3-espaço hiperbólico H 3 , vemos que o grupo Möbius atua em H 3 como um grupo de isometrias que preservam a orientação. Na verdade, o grupo Möbius é igual ao grupo de isometrias de preservação de orientação do espaço 3 hiperbólico.

Se usarmos o modelo da bola de Poincaré , identificando a bola unitária em R 3 com H 3 , podemos pensar na esfera de Riemann como a "fronteira conforme" de H 3 . Cada isometria de preservação de orientação de H 3 dá origem a uma transformação de Möbius na esfera de Riemann e vice-versa; esta é a primeira observação que leva às conjecturas de correspondência AdS / CFT em física.

Veja também

Notas

Referências

Específico

Em geral

Leitura adicional

links externos