Geometria hiperbólica - Hyperbolic geometry

Linhas através de um determinado ponto P e assintóticas para a linha R
Um triângulo imerso em um plano em forma de sela (um parabolóide hiperbólico ), junto com duas linhas ultra-paralelas divergentes

Em matemática , a geometria hiperbólica (também chamada de geometria Lobachevskiana ou Bolyai - geometria Lobachevskiana ) é uma geometria não euclidiana . O postulado paralelo da geometria euclidiana é substituído por:

Para qualquer dada linha de R e ponto P não em R , no plano que contém tanto a linha R e ponto P , existem pelo menos duas linhas distintas através de P que não se cruzam R .

(Compare o acima com o axioma de Playfair , a versão moderna de Euclides 's postulado das paralelas .)

A geometria do plano hiperbólico é também a geometria das superfícies de sela e das superfícies pseudoesféricas , superfícies com curvatura Gaussiana negativa constante .

Um uso moderno da geometria hiperbólica é na teoria da relatividade especial , particularmente no modelo de Minkowski .

Quando os geômetras perceberam que estavam trabalhando com algo diferente da geometria euclidiana padrão, eles descreveram sua geometria sob muitos nomes diferentes; Felix Klein finalmente deu ao sujeito o nome de geometria hiperbólica para incluí-lo na agora raramente usada geometria elíptica de sequência ( geometria esférica ), geometria parabólica ( geometria euclidiana ) e geometria hiperbólica. Na ex-União Soviética , é comumente chamada de geometria Lobachevskiana, em homenagem a um de seus descobridores, o geômetra russo Nikolai Lobachevsky .

Esta página é principalmente sobre a geometria hiperbólica bidimensional (planar) e as diferenças e semelhanças entre as geometrias euclidiana e hiperbólica. Consulte espaço hiperbólico para obter mais informações sobre geometria hiperbólica estendida para três ou mais dimensões.

Propriedades

Relação com a geometria euclidiana

Comparação das geometrias elíptica, euclidiana e hiperbólica em duas dimensões

A geometria hiperbólica está mais intimamente relacionada à geometria euclidiana do que parece: a única diferença axiomática é o postulado paralelo . Quando o postulado paralelo é removido da geometria euclidiana, a geometria resultante é a geometria absoluta . Existem dois tipos de geometria absoluta, euclidiana e hiperbólica. Todos os teoremas da geometria absoluta, incluindo os primeiros 28 proposições do livro um dos de Euclides Elements , são válidos em euclidiana e geometria hiperbólica. Proposições 27 e 28 do Livro Um de de Euclides Elements provar a existência de paralelas linhas / não-interseção.

Essa diferença também tem muitas consequências: conceitos que são equivalentes na geometria euclidiana não são equivalentes na geometria hiperbólica; novos conceitos precisam ser introduzidos. Além disso, por causa do ângulo de paralelismo , a geometria hiperbólica tem uma escala absoluta , uma relação entre as medidas de distância e ângulo.

Linhas

As linhas únicas na geometria hiperbólica têm exatamente as mesmas propriedades das linhas retas únicas na geometria euclidiana. Por exemplo, dois pontos definem exclusivamente uma linha e os segmentos de linha podem ser estendidos infinitamente.

Duas linhas que se cruzam têm as mesmas propriedades que duas linhas que se cruzam na geometria euclidiana. Por exemplo, duas linhas distintas podem se cruzar em não mais do que um ponto, as linhas que se cruzam formam ângulos opostos iguais e os ângulos adjacentes das linhas que se cruzam são complementares .

Quando uma terceira linha é introduzida, pode haver propriedades de linhas de interseção que diferem das linhas de interseção na geometria euclidiana. Por exemplo, dadas duas linhas que se cruzam, há um número infinito de linhas que não se cruzam com nenhuma das linhas fornecidas.

Essas propriedades são independentes do modelo usado, mesmo que as linhas possam parecer radicalmente diferentes.

Linhas paralelas / sem interseção

Linhas através de um dado ponto P e a linha assintótica R .

As linhas que não se cruzam na geometria hiperbólica também têm propriedades que diferem das linhas que não se cruzam na geometria euclidiana :

Para qualquer linha R e qualquer ponto P que não reside em R , no plano que contém a R e ponto P , existem pelo menos duas linhas distintas através de P que não se cruzam R .

Isto implica que há através de P um número infinito de linhas co-planares que não se intersectam R .

Essas linhas que não se cruzam são divididas em duas classes:

  • Duas das linhas ( x e y no diagrama) são limitativos paralelos (por vezes chamados criticamente paralelo, horoparallel ou apenas paralelas): há um na direcção de cada um dos pontos ideais para as "pontas" de R , assintoticamente aproximando R , sempre se aproximando de R , mas nunca o encontrando.
  • Todas as outras linhas que não se cruzam têm um ponto de distância mínima e divergem de ambos os lados desse ponto, e são chamadas de ultraparalelas , divergem paralelas ou às vezes não se cruzam.

Alguns geômetras simplesmente usam a frase " linhas paralelas " para significar " linhas paralelas limitantes ", com linhas ultraparalelas significando apenas não intersecção .

Esses paralelos limitantes fazem um ângulo θ com PB ; este ângulo depende apenas da curvatura gaussiana do plano e da distância PB e é chamado de ângulo de paralelismo .

Para linhas ultraparalelas, o teorema ultraparalelo afirma que existe uma linha única no plano hiperbólico que é perpendicular a cada par de linhas ultraparalelas.

Círculos e discos

Na geometria hiperbólica, a circunferência de um círculo de raio r é maior que .

Deixe , onde está a curvatura gaussiana do plano. Na geometria hiperbólica, é negativo, então a raiz quadrada é de um número positivo.

Então, a circunferência de um círculo de raio r é igual a:

E a área do disco fechado é:

Portanto, na geometria hiperbólica, a razão entre a circunferência de um círculo e seu raio é sempre estritamente maior do que , embora possa ser arbitrariamente próximo ao selecionar um círculo pequeno o suficiente.

Se a curvatura gaussiana do plano for -1, então a curvatura geodésica de um círculo de raio r é:

Hiperciclos e horociclos

Hiperciclo e pseudogon no modelo de disco de Poincare

Na geometria hiperbólica, não há linha cujos pontos sejam equidistantes de outra linha. Em vez disso, os pontos que têm a mesma distância ortogonal de uma determinada linha ficam em uma curva chamada hiperciclo .

Outra curva especial é o horociclo , uma curva cujos raios normais ( linhas perpendiculares ) são todos paralelos limitantes entre si (todos convergem assintoticamente em uma direção para o mesmo ponto ideal , o centro do horociclo).

Em cada par de pontos existem dois horociclos. Os centros dos horociclos são os pontos ideais da bissetriz perpendicular do segmento de reta entre eles.

Dados quaisquer três pontos distintos, todos eles se situam em uma linha, hiperciclo , horociclo ou círculo.

O comprimento do segmento de linha é o comprimento mais curto entre dois pontos. O comprimento do arco de um hiperciclo conectando dois pontos é maior do que o segmento de linha e mais curto do que o de um horociclo, conectando os mesmos dois pontos. O comprimento de arco de ambos os horociclos conectando dois pontos são iguais. O comprimento do arco de um círculo entre dois pontos é maior do que o comprimento do arco de um horociclo conectando dois pontos.

Se a curvatura gaussiana do plano for -1, então a curvatura geodésica de um horociclo é 1 e de um hiperciclo está entre 0 e 1.

Triângulos

Ao contrário dos triângulos euclidianos, onde os ângulos sempre somam π radianos (180 °, um ângulo reto ), na geometria hiperbólica a soma dos ângulos de um triângulo hiperbólico é sempre estritamente menor que π radianos (180 °, um ângulo reto ). A diferença é chamada de defeito .

A área de um triângulo hiperbólico é dada pelo seu defeito em radianos multiplicado por R 2 . Como consequência, todos os triângulos hiperbólicos têm uma área menor ou igual a R 2 π. A área de um triângulo ideal hiperbólico em que todos os três ângulos são 0 ° é igual a este máximo.

Como na geometria euclidiana , cada triângulo hiperbólico tem um incircle . Na geometria hiperbólica, se todos os três vértices estiverem em um horociclo ou hiperciclo , o triângulo não terá um círculo circunscrito .

Como na geometria esférica e elíptica , na geometria hiperbólica se dois triângulos são semelhantes, eles devem ser congruentes.

Apeirogon regular

Um polígono especial na geometria hiperbólica é o apeirogon regular , um polígono uniforme com um número infinito de lados.

Na geometria euclidiana , a única maneira de construir tal polígono é fazer com que os comprimentos laterais tendam a zero e o apeirogon seja indistinguível de um círculo, ou faça com que os ângulos internos tendam a 180 graus e o apeirogon se aproxime de uma linha reta.

No entanto, na geometria hiperbólica, um apeirogon regular tem lados de qualquer comprimento (ou seja, ele permanece um polígono).

As bissetoras laterais e do ângulo serão, dependendo do comprimento lateral e do ângulo entre as laterais, limitantes ou divergentes paralelas (veja as linhas acima ). Se as bissetoras são paralelas limitantes, o apeirogon pode ser inscrito e circunscrito por horociclos concêntricos .

Se as bissetoras estão divergindo paralelas, então um pseudogon (distintamente diferente de um apeirogon) pode ser inscrito em hiperciclos (todos os vértices estão à mesma distância de uma linha, o eixo, e também o ponto médio dos segmentos laterais são todos equidistantes ao mesmo eixo. )

Tesselações

Como o plano euclidiano, também é possível tesselar o plano hiperbólico com polígonos regulares como faces .

Há um número infinito de tilings uniformes com base nos triângulos de Schwarz ( p q r ) onde 1 / p + 1 / q + 1 / r <1, onde p ,  q ,  r são ordens de simetria de reflexão em três pontos do triângulo de domínio fundamental , o grupo de simetria é um grupo de triângulos hiperbólicos . Também existem infinitas ladrilhos uniformes que não podem ser gerados a partir de triângulos de Schwarz, alguns, por exemplo, exigindo quadriláteros como domínios fundamentais.

Curvatura gaussiana padronizada

Embora a geometria hiperbólica se aplique a qualquer superfície com uma curvatura Gaussiana negativa constante , é comum assumir uma escala na qual a curvatura K é -1.

Isso faz com que algumas fórmulas se tornem mais simples. Alguns exemplos são:

  • A área de um triângulo é igual ao defeito do ângulo em radianos .
  • A área de um setor horocíclico é igual ao comprimento de seu arco horocíclico.
  • Um arco de um horociclo de modo que uma linha que é tangente em um ponto final limita paralelamente ao raio através do outro ponto final tem um comprimento de 1.
  • A razão dos comprimentos de arco entre dois raios de dois horociclos concêntricos onde os horociclos estão a uma distância de 1 é e  : 1.

Sistemas de coordenadas do tipo cartesiano

Na geometria hiperbólica, a soma dos ângulos de um quadrilátero é sempre inferior a 360 graus, e os retângulos hiperbólicos diferem muito dos retângulos euclidianos, uma vez que não há linhas equidistantes, portanto, um retângulo euclidiano adequado precisaria ser delimitado por duas linhas e dois hiperciclos . Tudo isso complica os sistemas de coordenadas.

No entanto, existem diferentes sistemas de coordenadas para geometria plana hiperbólica. Todos se baseiam na escolha de um ponto (a origem) em uma linha direcionada escolhida (o eixo x ) e, depois disso, existem muitas opções.

As coordenadas Lobachevski x e y encontram-se deixando cair uma perpendicular para o x -axis. x será a etiqueta do pé da perpendicular. y será a distância ao longo da perpendicular do ponto dado a partir de seu pé (positivo de um lado e negativo do outro).

Outro sistema de coordenadas mede a distância do ponto ao horociclo, passando pela origem centrada e o comprimento ao longo deste horociclo.

Outros sistemas de coordenadas usam o modelo de Klein ou o modelo de disco de Poincaré descrito abaixo e consideram as coordenadas euclidianas como hiperbólicas.

Distância

Construa um sistema de coordenadas do tipo cartesiano da seguinte maneira. Escolha uma linha (o eixo x ) no plano hiperbólico (com uma curvatura padronizada de -1) e rotule os pontos nela por sua distância de um ponto de origem ( x = 0) no eixo x (positivo em um lado e negativo por outro). Para qualquer ponto no plano, pode-se definir as coordenadas x e y pela queda de uma perpendicular para o x -axis. x será a etiqueta do pé da perpendicular. y será a distância ao longo da perpendicular do ponto dado a partir de seu pé (positivo de um lado e negativo do outro). Então, a distância entre dois desses pontos será

Esta fórmula pode ser derivada das fórmulas sobre triângulos hiperbólicos .

O tensor métrico correspondente é: .

Neste sistema de coordenadas, as linhas retas são perpendiculares ao eixo x (com a equação x = uma constante) ou descritas por equações da forma

onde A e B são parâmetros reais que caracterizam a linha reta.

História

Desde a publicação dos Elementos de Euclides por volta de 300 aC, muitos geômetras fizeram tentativas de provar o postulado paralelo . Alguns tentaram prová-lo presumindo sua negação e tentando derivar uma contradição . Os mais destacados entre eles foram Proclus , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám , Nasīr al-Dīn al-Tūsī , Witelo , Gersonides , Alfonso e, posteriormente, Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert e Legendre . Suas tentativas estavam fadadas ao fracasso (como sabemos agora, o postulado paralelo não pode ser provado a partir dos outros postulados), mas seus esforços levaram à descoberta da geometria hiperbólica.

Os teoremas de Alhacen, Khayyam e al-Tūsī nos quadriláteros , incluindo o quadrilátero Ibn al-Haytham – Lambert e o quadrilátero Khayyam – Saccheri , foram os primeiros teoremas na geometria hiperbólica. Seus trabalhos sobre geometria hiperbólica tiveram uma influência considerável em seu desenvolvimento entre os geômetras europeus posteriores, incluindo Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis e Saccheri.

No século 18, Johann Heinrich Lambert introduziu as funções hiperbólicas e calculou a área de um triângulo hiperbólico .

Desenvolvimentos do século 19

No século 19, a geometria hiperbólica foi explorada extensivamente por Nikolai Ivanovich Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich Gauss e Franz Taurinus . Ao contrário de seus predecessores, que queriam apenas eliminar o postulado paralelo dos axiomas da geometria euclidiana, esses autores perceberam que haviam descoberto uma nova geometria. Gauss escreveu em uma carta de 1824 a Franz Taurinus que ele o havia construído, mas Gauss não publicou seu trabalho. Gauss a chamou de " geometria não euclidiana ", fazendo com que vários autores modernos continuassem a considerar "geometria não euclidiana" e "geometria hiperbólica" como sinônimos. Taurinus publicou resultados sobre trigonometria hiperbólica em 1826, argumentou que a geometria hiperbólica é autoconsistente, mas ainda acreditava no papel especial da geometria euclidiana. O sistema completo de geometria hiperbólica foi publicado por Lobachevsky em 1829/1830, enquanto Bolyai o descobriu independentemente e publicado em 1832.

Em 1868, Eugenio Beltrami forneceu modelos (veja abaixo) de geometria hiperbólica e usou-os para provar que a geometria hiperbólica era consistente se e somente se a geometria euclidiana fosse.

O termo "geometria hiperbólica" foi introduzido por Felix Klein em 1871. Klein seguiu uma iniciativa de Arthur Cayley para usar as transformações da geometria projetiva para produzir isometrias . A ideia usava uma seção cônica ou quádrica para definir uma região e a razão cruzada para definir uma métrica . As transformações projetivas que deixam a seção cônica ou quádrica estável são as isometrias. "Klein mostrou que se o absoluto de Cayley é uma curva real, então a parte do plano projetivo em seu interior é isométrica ao plano hiperbólico ..."

Para mais informações, consulte o artigo sobre geometria não euclidiana e as referências de Coxeter e Milnor .

Consequências filosóficas

A descoberta da geometria hiperbólica teve importantes consequências filosóficas . Antes de sua descoberta, muitos filósofos (por exemplo Hobbes e Spinoza ) viam o rigor filosófico em termos do "método geométrico", referindo-se ao método de raciocínio usado nos Elementos de Euclides .

Kant, na Crítica da razão pura, chegou à conclusão de que o espaço (na geometria euclidiana ) e o tempo não são descobertos pelos humanos como características objetivas do mundo, mas são parte de uma estrutura sistemática inevitável para organizar nossas experiências.

Diz-se que Gauss não publicou nada sobre geometria hiperbólica por medo do "alvoroço dos boeotianos ", que arruinaria seu status de princeps mathematicorum (em latim, "o príncipe dos matemáticos"). O "alvoroço dos boeotianos" veio e se foi e deu um impulso a grandes melhorias no rigor matemático , na filosofia analítica e na lógica . A geometria hiperbólica foi finalmente provada consistente e, portanto, outra geometria válida.

Geometria do universo (apenas dimensões espaciais)

Como as geometrias euclidiana, hiperbólica e elíptica são todas consistentes, surge a pergunta: qual é a geometria real do espaço e, se ela é hiperbólica ou elíptica, qual é a sua curvatura?

Lobachevsky já havia tentado medir a curvatura do universo medindo a paralaxe de Sirius e tratando Sirius como o ponto ideal de um ângulo de paralelismo . Ele percebeu que suas medidas não eram precisas o suficiente para dar uma resposta definitiva, mas ele chegou à conclusão de que se a geometria do universo é hiperbólica, então o comprimento absoluto é pelo menos um milhão de vezes o diâmetro da órbita da Terra (2 000 000  UA , 10 parsec ). Alguns argumentam que suas medições eram falhas metodologicamente.

Henri Poincaré , com seu experimento de pensamento do mundo da esfera , chegou à conclusão de que a experiência cotidiana não necessariamente exclui outras geometrias.

A conjectura da geometrização fornece uma lista completa de oito possibilidades para a geometria fundamental do nosso espaço. O problema em determinar qual delas se aplica é que, para chegar a uma resposta definitiva, precisamos ser capazes de olhar para formas extremamente grandes - muito maiores do que qualquer coisa na Terra ou talvez até mesmo em nossa galáxia.

Geometria do universo (relatividade especial)

A relatividade especial coloca o espaço e o tempo em pé de igualdade, de modo que se considera a geometria de um espaço-tempo unificado em vez de considerar o espaço e o tempo separadamente. A geometria de Minkowski substitui a geometria galileana (que é o espaço euclidiano tridimensional com o tempo da relatividade galileana ).

Na relatividade, ao invés de considerar as geometrias euclidiana, elíptica e hiperbólica, as geometrias apropriadas a serem consideradas são o espaço de Minkowski , o espaço de Sitter e o espaço anti-de Sitter , correspondendo a curvatura zero, positiva e negativa, respectivamente.

A geometria hiperbólica entra na relatividade especial por meio da rapidez , que representa a velocidade , e é expressa por um ângulo hiperbólico . O estudo desta geometria de velocidade tem sido denominado geometria cinemática . O espaço de velocidades relativísticas possui uma geometria hiperbólica tridimensional, onde a função de distância é determinada a partir das velocidades relativas de pontos "próximos" (velocidades).

Realizações físicas do plano hiperbólico

O plano hiperbólico é um plano onde cada ponto é um ponto de sela . Existem várias pseudoesferas no espaço euclidiano que têm uma área finita de curvatura Gaussiana negativa constante.

Pelo teorema de Hilbert , não é possível imergir isometricamente um plano hiperbólico completo (uma superfície regular completa de curvatura Gaussiana negativa constante ) em um espaço euclidiano tridimensional.

Outros modelos úteis de geometria hiperbólica existem no espaço euclidiano, no qual a métrica não é preservada. Um modelo de papel particularmente conhecido baseado na pseudoesfera é devido a William Thurston .

Uma coleção de aviões hiperbólicos de crochê, em imitação de um recife de coral, do Institute For Figuring
Um coral com geometria semelhante na Grande Barreira de Corais

A arte do crochê foi usada (ver Matemática e artes com fibras § Tricô e crochê ) para demonstrar planos hiperbólicos, sendo a primeira demonstração feita por Daina Taimiņa .

Em 2000, Keith Henderson demonstrou um modelo de papel rápido de fazer apelidado de " bola de futebol hiperbólica " (mais precisamente, um mosaico triangular de ordem 7 truncado ).

Instruções sobre como fazer uma colcha hiperbólica, projetada por Helaman Ferguson , foram disponibilizadas por Jeff Weeks .

Modelos do plano hiperbólico

Existem diferentes superfícies pseudoesféricas que apresentam em uma grande área uma curvatura gaussiana negativa constante, sendo a pseudoesfera a mais conhecida delas.

Mas é mais fácil fazer geometria hiperbólica em outros modelos.

Modelo de disco de Poincaré com ladrilho triheptagonal truncado
Linhas através de um determinado ponto e paralelas a uma determinada linha, ilustradas no modelo de disco de Poincaré

Existem quatro modelos comumente usados ​​para geometria hiperbólica: o modelo de Klein , o modelo de disco de Poincaré , o modelo de meio plano de Poincaré e o modelo de Lorentz ou hiperbolóide . Esses modelos definem um plano hiperbólico que satisfaz os axiomas de uma geometria hiperbólica. Apesar de seus nomes, os três primeiros mencionados acima foram apresentados como modelos de espaço hiperbólico por Beltrami , não por Poincaré ou Klein . Todos esses modelos podem ser estendidos para mais dimensões.

O modelo Beltrami – Klein

O modelo Beltrami – Klein , também conhecido como modelo de disco projetivo, modelo de disco de Klein e modelo de Klein , deve o seu nome a Eugenio Beltrami e Felix Klein .

Para as duas dimensões, este modelo usa o interior do círculo unitário para o plano hiperbólico completo , e os acordes desse círculo são as linhas hiperbólicas.

Para dimensões maiores, este modelo usa o interior da bola unitária , e os acordes dessa bola n são as linhas hiperbólicas.

  • Este modelo tem a vantagem de que as linhas são retas, mas a desvantagem de que os ângulos são distorcidos (o mapeamento não é conforme ) e também os círculos não são representados como círculos.
  • A distância neste modelo é a metade do logaritmo da razão cruzada , que foi introduzida por Arthur Cayley na geometria projetiva .

O modelo do disco de Poincaré

O modelo de disco de Poincaré , também conhecido como modelo de disco conformado, também emprega o interior do círculo unitário , mas as linhas são representadas por arcos de círculos ortogonais ao círculo de fronteira, mais os diâmetros do círculo de fronteira.

  • Este modelo preserva os ângulos e, portanto, é conforme . Todas as isometrias neste modelo são, portanto, transformações de Möbius .
  • Círculos inteiramente dentro do disco permanecem círculos, embora o centro euclidiano do círculo esteja mais próximo do centro do disco do que o centro hiperbólico do círculo.
  • Horociclos são círculos dentro do disco que são tangentes ao círculo limite, menos o ponto de contato.
  • Os hiperciclos são acordes abertos e arcos circulares dentro do disco que terminam no círculo de limite em ângulos não ortogonais.

O modelo do meio plano de Poincaré

O modelo de meio plano de Poincaré toma a metade do plano euclidiano, limitada por uma linha B do plano, para ser um modelo do plano hiperbólico. A linha B não está incluída no modelo.

O plano euclidiano pode ser considerado um plano com o sistema de coordenadas cartesianas e o eixo x é considerado como a linha B e o meio plano é a metade superior ( y > 0) deste plano.

  • Linhas hiperbólicas são então ou semi-círculos ortogonal a B ou raios perpendicular ao B .
  • O comprimento de um intervalo em um raio é dado por medida logarítmica, por isso é invariante sob uma transformação homotética
  • Como o modelo de disco de Poincaré, este modelo preserva ângulos e, portanto, é conforme . Todas as isometrias neste modelo são, portanto, transformações de Möbius do plano.
  • O modelo de meio plano é o limite do modelo de disco de Poincaré cujo limite é tangente a B no mesmo ponto enquanto o raio do modelo de disco vai ao infinito.

O modelo hiperbolóide

O modelo hiperbolóide ou modelo de Lorentz emprega um hiperbolóide bidimensional de revolução (de duas folhas, mas usando uma) embutido no espaço de Minkowski tridimensional . Este modelo é geralmente creditado a Poincaré, mas Reynolds diz que Wilhelm Killing usou este modelo em 1885

  • Este modelo tem aplicação direta à relatividade especial , já que Minkowski 3-espaço é um modelo para o espaço-tempo , suprimindo uma dimensão espacial. Pode-se tomar o hiperbolóide para representar os eventos que vários observadores em movimento, irradiando para fora em um plano espacial a partir de um único ponto, alcançarão em um tempo determinado .
  • A distância hiperbólica entre dois pontos no hiperbolóide pode então ser identificada com a rapidez relativa entre os dois observadores correspondentes.
  • O modelo generaliza diretamente para uma dimensão adicional, onde a geometria hiperbólica tridimensional se relaciona com o espaço 4 de Minkowski.

O modelo do hemisfério

O modelo de hemisfério geralmente não é usado como modelo por si só, mas funciona como uma ferramenta útil para visualizar transformações entre os outros modelos.

O modelo de hemisfério usa a metade superior da esfera unitária :

As linhas hiperbólicas são semicírculos ortogonais ao limite do hemisfério.

O modelo do hemisfério é parte de uma esfera de Riemann , e diferentes projeções fornecem diferentes modelos do plano hiperbólico:

Veja mais: Conexão entre os modelos (abaixo)

O modelo de Gans

Em 1966, David Gans propôs um modelo hiperbolóide achatado na revista American Mathematical Monthly . É uma projeção ortográfica do modelo hiperbolóide no plano xy. Este modelo não é tão amplamente usado como outros modelos, mas, no entanto, é bastante útil no entendimento da geometria hiperbólica.

  • Ao contrário dos modelos Klein ou Poincaré, este modelo utiliza todo o plano euclidiano .
  • As linhas neste modelo são representadas como ramos de uma hipérbole .

O modelo da banda

O modelo de banda emprega uma parte do plano euclidiano entre duas linhas paralelas. A distância é preservada ao longo de uma linha no meio da faixa. Assumindo que a banda é dada por , a métrica é dada por .

Conexão entre os modelos

Os modelos de disco de Poincaré, hemisférico e hiperbolóide são relacionados por projeção estereográfica de -1. O modelo Beltrami – Klein é uma projeção ortográfica do modelo hemisférico. Modelo do meio plano de Poincaré aqui projetado do modelo hemisférico por raios da extremidade esquerda do modelo do disco de Poincaré.

Todos os modelos descrevem essencialmente a mesma estrutura. A diferença entre eles é que eles representam gráficos de coordenadas diferentes dispostos no mesmo espaço métrico , ou seja, o plano hiperbólico. A característica do próprio plano hiperbólico é que ele tem uma curvatura Gaussiana negativa constante , que é indiferente ao gráfico de coordenadas usado. As geodésicas são invariáveis ​​de forma semelhante: ou seja, as geodésicas são mapeadas para as geodésicas sob transformação de coordenadas. A geometria hiperbólica geralmente é introduzida em termos das geodésicas e suas interseções no plano hiperbólico.

Uma vez que escolhemos um gráfico de coordenadas (um dos "modelos"), podemos sempre embuti- lo em um espaço euclidiano de mesma dimensão, mas o embutimento não é claramente isométrico (já que a curvatura do espaço euclidiano é 0). O espaço hiperbólico pode ser representado por infinitos gráficos diferentes; mas os embeddings no espaço euclidiano devido a esses quatro gráficos específicos mostram algumas características interessantes.

Como os quatro modelos descrevem o mesmo espaço métrico, cada um pode ser transformado no outro.

Veja, por exemplo:

Isometrias do plano hiperbólico

Cada isometria ( transformação ou movimento ) do plano hiperbólico em relação a si mesmo pode ser realizada como a composição de no máximo três reflexos . No espaço hiperbólico n- dimensional, até n +1 reflexões podem ser necessárias. (Isso também se aplica às geometrias euclidiana e esférica, mas a classificação abaixo é diferente.)

Todas as isometrias do plano hiperbólico podem ser classificadas nestas classes:

  • Preservação de orientação
    • a isometria de identidade - nada se move; reflexões zero; zero graus de liberdade .
    • inversão através de um ponto (meia volta) - duas reflexões através de linhas perpendiculares entre si que passam pelo ponto determinado, ou seja, uma rotação de 180 graus em torno do ponto; dois graus de liberdade .
    • rotação em torno de um ponto normal - duas reflexões através de linhas que passam pelo ponto dado (inclui a inversão como um caso especial); os pontos se movem em círculos ao redor do centro; três graus de liberdade.
    • "rotação" em torno de um ponto ideal (horolation) - duas reflexões por meio de linhas que levam ao ponto ideal; os pontos se movem ao longo de horociclos centrados no ponto ideal; dois graus de liberdade.
    • translação ao longo de uma linha reta - duas reflexões através de linhas perpendiculares à linha dada; pontos fora da linha dada se movem ao longo de hiperciclos; três graus de liberdade.
  • Orientação reversa
    • reflexão através de uma linha - uma reflexão; dois graus de liberdade.
    • reflexão combinada através de uma linha e translação ao longo da mesma linha - a reflexão e a translação comutam; três reflexões necessárias; três graus de liberdade.

Geometria hiperbólica na arte

As famosas gravuras de MC Escher , Circle Limit III e Circle Limit IV, ilustram muito bem o modelo de disco conformado ( modelo de disco de Poincaré ). As linhas brancas em III não são exatamente geodésicas (são hiperciclos ), mas estão próximas a elas. Também é possível ver claramente a curvatura negativa do plano hiperbólico, por meio de seu efeito na soma dos ângulos em triângulos e quadrados.

Por exemplo, em Círculo Limite III cada vértice pertence a três triângulos e três quadrados. No plano euclidiano, seus ângulos somariam 450 °; ou seja, um círculo e um quarto. A partir disso, vemos que a soma dos ângulos de um triângulo no plano hiperbólico deve ser menor que 180 °. Outra propriedade visível é o crescimento exponencial . No Limite do Círculo III , por exemplo, pode-se ver que o número de peixes dentro de uma distância de n do centro aumenta exponencialmente. Os peixes têm uma área hiperbólica igual, então a área de uma bola de raio n deve aumentar exponencialmente em n .

A arte do crochê tem sido usada para demonstrar planos hiperbólicos (foto acima) com o primeiro sendo feito por Daina Taimiņa , cujo livro Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes ganhou o prêmio de livreiro / diagrama de 2009 para o título mais estranho do ano .

HyperRogue é um jogo roguelike ambientado em vários aspectos do plano hiperbólico .

Dimensões superiores

A geometria hiperbólica não está limitada a 2 dimensões; uma geometria hiperbólica existe para cada número maior de dimensões.

Estrutura homogênea

O espaço hiperbólico de dimensão n é um caso especial de um espaço simétrico Riemanniano de tipo não compacto, pois é isomorfo ao quociente

O grupo ortogonal O (1, n ) atua por transformações que preservam a norma no espaço de Minkowski R 1, n , e atua transitivamente no hiperbolóide de duas folhas dos vetores da norma 1. As linhas temporais (ou seja, aquelas com tangentes de norma positiva) através da origem passam por pontos antípodais no hiperbolóide, de modo que o espaço dessas linhas produz um modelo de espaço n hiperbólico . O estabilizador de qualquer linha particular é isomórfico ao produto dos grupos ortogonais O ( n ) e O (1), onde O ( n ) atua no espaço tangente de um ponto no hiperbolóide, e O (1) reflete a linha através da origem. Muitos dos conceitos elementares em geometria hiperbólica podem ser descritos em termos algébricos lineares : caminhos geodésicos são descritos por interseções com planos através da origem, ângulos diédricos entre hiperplanos podem ser descritos por produtos internos de vetores normais e grupos de reflexão hiperbólica podem ser dados explicitamente realizações de matriz.

Em pequenas dimensões, existem isomorfismos excepcionais de grupos de Lie que geram maneiras adicionais de considerar simetrias de espaços hiperbólicos. Por exemplo, na dimensão 2, os isomorfismos SO + (1, 2) ≅ PSL (2, R ) ≅ PSU (1, 1) permitem interpretar o modelo do meio plano superior como o quociente SL (2, R ) / SO (2) e o modelo do disco de Poincaré como quociente SU (1, 1) / U (1) . Em ambos os casos, os grupos de simetria atuam por transformações lineares fracionárias, uma vez que ambos os grupos são os estabilizadores preservadores de orientação em PGL (2, C ) dos respectivos subespaços da esfera de Riemann. A transformação de Cayley não apenas leva um modelo do plano hiperbólico para o outro, mas realiza o isomorfismo de grupos de simetria como conjugação em um grupo maior. Na dimensão 3, a ação linear fracionária de PGL (2, C ) na esfera de Riemann é identificada com a ação na fronteira conformal do espaço 3 hiperbólico induzida pelo isomorfismo O + (1, 3) ≅ PGL (2, C ) . Isso permite estudar isometrias do espaço 3 hiperbólico considerando as propriedades espectrais de matrizes complexas representativas. Por exemplo, as transformações parabólicas são conjugadas a translações rígidas no modelo do meio-espaço superior e são exatamente aquelas transformações que podem ser representadas por matrizes triangulares superiores unipotentes .

Veja também

Notas

Referências

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