Mapa conformal - Conformal map

Uma grade retangular (parte superior) e sua imagem sob um mapa conforme (parte inferior). É visto que mapeia pares de linhas que se cruzam a 90 ° com pares de curvas que ainda se cruzam a 90 °.

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f}

Em matemática , um mapa conforme é uma função que preserva localmente os ângulos , mas não necessariamente os comprimentos.

Mais formalmente, deixe e seja subconjuntos abertos de . Uma função é chamada conformada (ou ângulo de preservação ) num ponto de se preserva ângulos entre dirigidos curvas através , bem como a preservar orientação. Os mapas conformes preservam os ângulos e as formas de figuras infinitesimalmente pequenas, mas não necessariamente seu tamanho ou curvatura . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: U \ to V}$ ${\ displaystyle u_ {0} \ in U}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$

A propriedade conforme pode ser descrita em termos da matriz derivada Jacobiana de uma transformação de coordenadas . A transformação é conforme sempre que o Jacobiano em cada ponto é um escalar positivo vezes uma matriz de rotação ( ortogonal com determinante). Alguns autores definem conformalidade para incluir mapeamentos de reversão de orientação cujos Jacobianos podem ser escritos como qualquer escalar vezes qualquer matriz ortogonal.

Para mapeamentos em duas dimensões, os mapeamentos conformes (com preservação da orientação) são precisamente as funções analíticas complexas invertidas localmente . Em três e dimensões superiores, o teorema de Liouville limita nitidamente os mapeamentos conformes a alguns tipos.

A noção de conformalidade generaliza de uma forma natural para mapas entre variedades Riemanniana ou semi-Riemanniana .

Mapas conformes em duas dimensões

Se for um subconjunto aberto do plano complexo , então uma função é conforme se e somente se for holomórfica e sua derivada for diferente de zero em todos os lugares . Se for anti - holomórfico ( conjugado a uma função holomórfica), preserva os ângulos, mas inverte sua orientação. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$

Na literatura, existe uma outra definição de conforme: um mapeamento que é um-a-um e holomórfico em um conjunto aberto no plano. O teorema do mapeamento aberto força a função inversa (definida na imagem de ) a ser holomórfica. Assim, sob esta definição, um mapa é conforme se e somente se for biolomórfico. As duas definições para mapas conformes não são equivalentes. Ser um para um e holomórfico implica ter uma derivada diferente de zero. No entanto, a função exponencial é uma função holomórfica com uma derivada diferente de zero, mas não é um-para-um, pois é periódica. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

O teorema de mapeamento de Riemann , um dos resultados profundos da análise complexa , afirma que qualquer subconjunto não vazio aberto simplesmente conectado admite um mapa conformal bijetivo para o disco unitário aberto em . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Mapas conformes globais na esfera de Riemann

Um mapa da esfera de Riemann sobre si mesma é conforme se e somente se for uma transformação de Möbius .

O conjugado complexo de uma transformação de Möbius preserva os ângulos, mas inverte a orientação. Por exemplo, inversões de círculo .

Mapas conformes em três ou mais dimensões

Geometria riemanniana

Na geometria Riemanniana , duas métricas Riemannianas e em uma variedade suave são chamadas conformemente equivalentes se para alguma função positiva em . A função é chamada de fator conforme . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g = uh}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle u}$

Um difeomorfismo entre duas variedades Riemannianas é chamado de mapa conforme se a métrica puxada for conformalmente equivalente à original. Por exemplo, a projeção estereográfica de uma esfera no plano aumentado com um ponto no infinito é um mapa conforme.

Pode-se também definir uma estrutura conforme em uma variedade lisa, como uma classe de métricas Riemannianas conforme o equivalente .

Espaço euclidiano

Um teorema clássico de Joseph Liouville mostra que existem muito menos mapas conformes em dimensões superiores do que em duas dimensões. Qualquer mapa conforme de um subconjunto aberto de espaço euclidiano no mesmo espaço euclidiano de dimensão três ou maior pode ser composto de três tipos de transformações: uma homotetia , uma isometria e uma transformação conforme especial .

Formulários

Cartografia

Na cartografia , várias projeções de mapas nomeados , incluindo a projeção de Mercator e a projeção estereográfica, são conformes. Eles são especialmente úteis para uso na navegação marítima por causa de sua propriedade única de representar qualquer curso de rumo constante como um segmento reto. Esse curso, conhecido como rumo (ou, matematicamente, loxódromo), é o preferido na navegação marítima porque os navios podem navegar em uma direção constante da bússola.

Física e engenharia

Os mapeamentos conformes são inestimáveis para resolver problemas em engenharia e física que podem ser expressos em termos de funções de uma variável complexa, mas exibem geometrias inconvenientes. Ao escolher um mapeamento apropriado, o analista pode transformar a geometria inconveniente em uma muito mais conveniente. Por exemplo, pode-se desejar calcular o campo elétrico,, decorrente de uma carga pontual localizada perto do canto de dois planos condutores separados por um certo ângulo (onde é a coordenada complexa de um ponto no espaço 2). Este problema em si é bastante difícil de resolver de forma fechada. No entanto, ao empregar um mapeamento conformado muito simples, o ângulo inconveniente é mapeado para um de radianos precisamente , o que significa que o canto de dois planos é transformado em uma linha reta. Neste novo domínio, o problema (o de calcular o campo elétrico impresso por uma carga pontual localizada próximo a uma parede condutora) é bastante fácil de resolver. A solução é obtida neste domínio, e, em seguida, mapeada de volta para o domínio original, observando que foi obtida como uma função (a saber , a composição de e ) de , de onde pode ser vista como , que é uma função do original base de coordenadas. Observe que esta aplicação não é uma contradição ao fato de que os mapeamentos conformes preservam ângulos, eles fazem isso apenas para pontos no interior de seu domínio, e não na fronteira. Outro exemplo é a aplicação da técnica de mapeamento conforme para resolver o problema de valor limite de derramamento de líquido em tanques. ${\ displaystyle E (z)}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle E (w)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle E (w)}$ ${\ displaystyle E (w (z))}$ ${\ displaystyle z}$

Se uma função é harmônica (ou seja, ela satisfaz a equação de Laplace ) em um domínio plano (que é bidimensional) e é transformada por meio de um mapa conforme para outro domínio plano, a transformação também é harmônica. Por esta razão, qualquer função definida por um potencial pode ser transformada por um mapa conforme e ainda permanecer governada por um potencial. Exemplos em física de equações definidas por um potencial incluem o campo eletromagnético , o campo gravitacional e, na dinâmica de fluidos , o fluxo potencial , que é uma aproximação do fluxo de fluido assumindo densidade constante , viscosidade zero e fluxo irrotacional . Um exemplo de aplicação de dinâmica de fluidos de um mapa conforme é a transformada de Joukowsky . ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}$

Os mapas conformes também são valiosos na resolução de equações diferenciais parciais não lineares em algumas geometrias específicas. Essas soluções analíticas fornecem uma verificação útil sobre a precisão das simulações numéricas da equação governante. Por exemplo, no caso de um fluxo de superfície livre muito viscoso em torno de uma parede semi-infinita, o domínio pode ser mapeado para um semiplano no qual a solução é unidimensional e fácil de calcular.

Para sistemas discretos, Noury e Yang apresentaram uma maneira de converter o local da raiz de sistemas discretos em local da raiz contínua por meio de um mapeamento conformal bem conhecido em geometria (também conhecido como mapeamento de inversão ).

Equações de Maxwell

Um grande grupo de mapas conformes para relacionar soluções das equações de Maxwell foi identificado por Ebenezer Cunningham (1908) e Harry Bateman (1910). Seu treinamento na Universidade de Cambridge lhes deu facilidade com o método de cargas de imagem e métodos associados de imagens para esferas e inversão. Conforme recontado por Andrew Warwick (2003) Masters of Theory :

Cada solução quadridimensional poderia ser invertida em uma hiperesfera quadridimensional de pseudo-raio para produzir uma nova solução.

{\ displaystyle K}

Warwick destaca este "novo teorema da relatividade" como uma resposta de Cambridge a Einstein, e baseado em exercícios usando o método de inversão, como encontrado no livro de James Hopwood Jeans Mathematical Theory of Electricity and Magnetism .

Relatividade geral

Na relatividade geral , os mapas conformes são os tipos mais simples e, portanto, mais comuns de transformações causais. Fisicamente, eles descrevem universos diferentes nos quais todos os mesmos eventos e interações ainda são (causalmente) possíveis, mas uma nova força adicional é necessária para efetuar isso (ou seja, a replicação de todas as mesmas trajetórias exigiria desvios do movimento geodésico porque a métrica tensor é diferente). É freqüentemente usado para tentar fazer modelos passíveis de extensão além das singularidades de curvatura , por exemplo, para permitir a descrição do universo mesmo antes do Big Bang .

Veja também

Mapa biolomórfico
Teorema de Carathéodory - Um mapa conforme se estende continuamente até a fronteira
Diagrama de Penrose
Mapeamento de Schwarz-Christoffel - uma transformação conforme do semiplano superior no interior de um polígono simples
Grupo linear especial - transformações que preservam o volume (em oposição aos ângulos) e a orientação

Referências

Leitura adicional

Ahlfors, Lars V. (1973), Invariants conformais: tópicos em teoria da função geométrica , Nova York: McGraw – Hill Book Co., MR 0357743
Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Holanda, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
Churchill, Ruel V. (1974), Complex Variables and Applications , Nova York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
EP Dolzhenko (2001) [1994], "Conformal mapping" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
Weisstein, Eric W. "Conformal Mapping" . MathWorld .

links externos

Visualizações interativas de muitos mapas conformes
Mapas conformados por Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project .
Mapeamento conformal de imagens de fluxo de corrente em diferentes geometrias sem e com campo magnético por Gerhard Brunthaler.
Transformação Conformal: do Círculo ao Quadrado .
Mapa conformal on-line Grapher .
Joukowski Transform Interactive WebApp
Um mapeamento conforme desenhado por MC Escher

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