Teorema de Picard-Lindelöf - Picard–Lindelöf theorem

Em matemática - especificamente, em equações diferenciais - o teorema Picard-Lindelöf , teorema de Picard existência , de Cauchy-Lipschitz teorema , ou existência e singularidade teorema dá um conjunto de condições sob as quais um problema valor inicial tem uma solução única.

O teorema é nomeado após Émile Picard , Ernst Lindelöf , Rudolf Lipschitz e Augustin-Louis Cauchy .

Considere o problema do valor inicial

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}.}

Suponha que $f$ seja uniformemente Lipschitz contínuo em $y$ (significando que a constante de Lipschitz pode ser considerada independente de $t$ ) e contínuo em $t$ , então para algum valor $ε$ $> 0$ , existe uma solução única $y$ $($ $t$ $)$ para o problema de valor inicial no intervalo . ${\ displaystyle [t_ {0} - \ varepsilon, t_ {0} + \ varepsilon]}$

Esboço de prova

A prova se baseia na transformação da equação diferencial e na aplicação da teoria do ponto fixo. Ao integrar ambos os lados, qualquer função que satisfaça a equação diferencial também deve satisfazer a equação integral

{\ displaystyle y (t) -y (t_ {0}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, y (s)) \, ds.}

Uma simples prova da existência da solução é obtida por aproximações sucessivas. Nesse contexto, o método é conhecido como iteração de Picard .

Definir

{\ displaystyle \ varphi _ {0} (t) = y_ {0}}

e

{\ displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi _ {k} (s)) \, ds .}

Pode-se então mostrar, usando o teorema do ponto fixo de Banach , que a seqüência de "iterações de Picard" $φ k$ é convergente e que o limite é uma solução para o problema. Uma aplicação do lema de Grönwall a $| φ (t) - ψ (t) |$ , onde $φ$ e $ψ$ são duas soluções, mostra que $φ (t) = ψ (t)$ , provando assim a unicidade global (a unicidade local é consequência da unicidade do ponto fixo de Banach).

O método de Picard é freqüentemente declarado sem provas ou gráficos. Consulte o método de aproximação sucessiva de Newton para obter instruções.

Exemplo de iteração de Picard

Deixe a solução para a equação com a condição inicial, começando com a iteração ${\ displaystyle y (t) = \ tan (t),}$ ${\ displaystyle y '(t) = 1 + y (t) ^ {2}}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0} = 0, t_ {0} = 0.}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0} (t) = 0,}$

{\ displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + (\ varphi _ {k} (s)) ^ {2}) \, ds}

para que : ${\ displaystyle \ varphi _ {n} (t) \ to y (t)}$

{\ displaystyle \ varphi _ {1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + 0 ^ {2}) \, ds = t}

{\ displaystyle \ varphi _ {2} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + s ^ {2}) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3} }}

{\ displaystyle \ varphi _ {3} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ left (1+ \ left (s + {\ frac {s ^ {3}} {3}} \ right) ^ {2} \ right) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3}} + {\ frac {2t ^ {5}} {15}} + {\ frac {t ^ {7} } {63}}}

e assim por diante. Evidentemente, as funções são computar a expansão da série de Taylor de nossa solução conhecida Desde tem pólos em este converge para uma solução local apenas para não em todos . ${\ displaystyle y = \ tan (t).}$ ${\ displaystyle \ tan}$ ${\ displaystyle \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}},}$ ${\ displaystyle | t | <{\ tfrac {\ pi} {2}},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Exemplo de não exclusividade

Para entender a exclusividade das soluções, considere os exemplos a seguir. Uma equação diferencial pode possuir um ponto estacionário. Por exemplo, para a equação $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} tingir/dt= ay$ ( ), a solução estacionária é $y$ $($ $t$ $) = 0$ , que é obtida para a condição inicial $y$ $(0) = 0$ . Começando com outra condição inicial $y$ $(0) =$ $y$ $0$ $\neq 0$ , a solução y ( t ) tende em direção ao ponto estacionário, mas o atinge apenas no limite do tempo infinito, então a unicidade das soluções (sobre todos os tempos finitos) é garantido. ${\ displaystyle a <0}$

No entanto, para uma equação na qual a solução estacionária é alcançada após um tempo finito , a unicidade falha. Isso acontece, por exemplo, para a equação $tingir / dt = ay 2 / 3$ , que tem pelo menos duas soluções correspondentes à condição inicial $y (0) = 0$ , como: $y (t) = 0$ ou

{\ displaystyle y (t) = {\ begin {cases} \ left ({\ tfrac {at} {3}} \ right) ^ {3} & t <0 \\\ \ \ \ 0 & t \ geq 0, \ end {casos}}}

então o estado anterior do sistema não é determinado exclusivamente por seu estado após t = 0. O teorema da unicidade não se aplica porque a função $f$ $($ $y$ $) =$ $y$ $2 / 3$ tem uma inclinação infinita em $y = 0$ e, portanto, não é Lipschitz contínua, violando a hipótese do teorema.

Prova detalhada

Deixar

{\ displaystyle C_ {a, b} = {\ overline {I_ {a} (t_ {0})}} \ times {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}

Onde:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {I_ {a} (t_ {0})}} & = [t_ {0} -a, t_ {0} + a] \\ {\ overline {B_ { b} (y_ {0})}} & = [y_ {0} -b, y_ {0} + b]. \ end {alinhado}}}

Este é o cilindro compacto onde $f$ é definido. Deixar

{\ displaystyle M = \ sup _ {C_ {a, b}} \ | f \ |,}

isto é, o supremo de (os valores absolutos de) as inclinações da função. Finalmente, seja L a constante de Lipschitz de $f$ em relação à segunda variável.

Vamos continuar a aplicar o teorema de ponto fixo de Banach usando a métrica em induzida pela norma uniforme ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}$

{\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {\ infty} = \ sup _ {t \ in I_ {a}} | \ varphi (t) |.}

Definimos um operador entre dois espaços de funções de funções contínuas, o operador de Picard, como segue:

{\ displaystyle \ Gamma: {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0})) \ longrightarrow {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}

definido por:

{\ displaystyle \ Gamma \ varphi (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi (s)) \, ds.}

Devemos mostrar que este operador mapeia um espaço métrico X não vazio completo em si mesmo e também é um mapeamento de contração .

Primeiro mostramos que, dadas certas restrições sobre , assume -se no espaço das funções contínuas com a norma uniforme. Aqui, está uma bola fechada no espaço de funções contínuas (e limitadas ) "centradas" na função constante . Portanto, precisamos mostrar que ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$

{\ displaystyle \ | \ varphi -y_ {0} \ | _ {\ infty} \ leq b}

implica

{\ displaystyle \ left \ | \ Gamma \ varphi (t) -y_ {0} \ right \ | = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi (s) ) \, ds \ right \ | \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t '} \ left \ | f (s, \ varphi (s)) \ right \ | ds \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t '} M \, ds = M \ left | t'-t_ {0} \ right | \ leq Ma \ leq b}

onde é algum número em que o máximo é alcançado. A última desigualdade na cadeia é verdadeira se impormos o requisito . ${\ displaystyle t '}$ ${\ displaystyle [t_ {0} -a, t_ {0} + a]}$ ${\ displaystyle a <{\ frac {b} {M}}}$

Agora vamos provar que este operador é um mapeamento de contração.

Dadas duas funções , a fim de aplicar o teorema do ponto fixo de Banach , exigimos ${\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ varphi _ {2} \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}$

{\ displaystyle \ left \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \ leq q \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty},}

para alguns . Então deixe ser tal que ${\ displaystyle q <1}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ | _ {\ infty} = \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ |.}

Então, usando a definição de , ${\ displaystyle \ Gamma}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ | & = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left (f (s, \ varphi _ {1} (s)) - f (s, \ varphi _ {2} (s)) \ right) ds \ right \ | \\ & \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \\ & \ leq L \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | \ varphi _ {1} (s) - \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds && {\ text {pois}} f {\ text {é Lipschitz-contínuo}} \\ & \ leq L \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \, ds \\ & \ leq La \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ { 2} \ right \ | _ {\ infty} \ end {alinhado}}}

Esta é uma contração se ${\ displaystyle a <{\ tfrac {1} {L}}.}$

Estabelecemos que o operador de Picard é uma contração nos espaços de Banach com a métrica induzida pela norma uniforme. Isso nos permite aplicar o teorema do ponto fixo de Banach para concluir que o operador tem um único ponto fixo. Em particular, há uma função única

{\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}

de modo que $Γ φ = φ$ . Esta função é a única solução do problema do valor inicial, válida no intervalo I _a onde a satisfaz a condição

{\ displaystyle a <\ min \ left \ {{\ tfrac {b} {M}}, {\ tfrac {1} {L}} \ right \}.}

Otimização do intervalo da solução

No entanto, existe um corolário do teorema do ponto fixo de Banach: se um operador T ⁿ é uma contração para algum n em N , então T tem um único ponto fixo. Antes de aplicar este teorema ao operador de Picard, lembre-se do seguinte:

Lema: para todos ${\ displaystyle \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} (t) - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} (t) \ right \ | \ leq {\ frac {L ^ {m} | t-t_ {0} | ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |}$ ${\ displaystyle t \ in [t_ {0} - \ alpha, t_ {0} + \ alpha]}$

Prova. Indução em m . Para a base da indução $(m = 1)$ , já vimos isso, então suponha que a desigualdade seja válida para $m - 1$ , então temos:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} (t) - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} (t) \ right \ | & = \ left \ | \ Gamma \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (t) - \ Gamma \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (t) \ right \ | \\ & \ leq \ left | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \ right | \\ & \ leq L \ left | \ int _ {t_ {0} } ^ {t} \ left \ | \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (s) - \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds \ direita | \\ & \ leq L \ left | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ frac {L ^ {m-1} | s-t_ {0} | ^ {m-1}} {(m-1)!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | ds \ right | \\ & \ leq {\ frac {L ^ {m} | t -t_ {0} | ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |. \ end {alinhado}}}

Ao assumir o controle supremo , vemos isso . ${\ displaystyle t \ in [t_ {0} - \ alpha, t_ {0} + \ alpha]}$ ${\ displaystyle \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} \ right \ | \ leq {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |}$

Essa desigualdade garante que, para alguns m grandes ,

{\ displaystyle {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} <1,}

e, portanto, Γ ^m será uma contração. Portanto, pelo corolário anterior, Γ terá um ponto fixo único. Finalmente, fomos capazes de otimizar o intervalo da solução tomando $α = min {a, b / M}$

Ao final, este resultado mostra que o intervalo de definição da solução não depende da constante de Lipschitz do campo, mas apenas do intervalo de definição do campo e seu valor absoluto máximo.

Outros teoremas de existência

O teorema de Picard-Lindelöf mostra que a solução existe e é única. O teorema da existência de Peano mostra apenas existência, não unicidade, mas assume apenas que $f$ é contínuo em $y$ , em vez de contínuo Lipschitz . Por exemplo, o lado direito da equação $tingir / dt = y 1 / 3$ com a condição inicial y (0) = 0 é contínua, mas não contínua Lipschitz. Na verdade, ao invés de ser única, esta equação tem três soluções:

{\ displaystyle y (t) = 0, \ qquad y (t) = \ pm \ left ({\ tfrac {2} {3}} t \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}

.

Ainda mais geral é o teorema da existência de Carathéodory , que prova a existência (em um sentido mais geral) sob condições mais fracas em $f$ . Embora essas condições sejam apenas suficientes, também existem condições necessárias e suficientes para que a solução de um problema de valor inicial seja única, como o teorema de Okamura .

Veja também

Notas

Referências

Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias . Nova York: McGraw-Hill ..
Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des aproximações sucessivas aux équations différentielles ordinaires du premier ordre" . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 118 : 454–457. (Nesse artigo, Lindelöf discute uma generalização de uma abordagem anterior de Picard.)
Teschl, Gerald (2012). "2.2. A existência básica e o resultado da singularidade" (PDF) . Equações diferenciais ordinárias e sistemas dinâmicos . Estudos de Pós-Graduação em Matemática . Providence, Rhode Island : American Mathematical Society . p. 38. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339 . Zbl 1263.34002 .

Languages

In other projects