Teorema da existência de Carathéodory - Carathéodory's existence theorem

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução.
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Classificação
Tipos Comum Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Ordem Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita   ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Em matemática , o teorema da existência de Carathéodory diz que uma equação diferencial ordinária tem uma solução sob condições relativamente suaves. É uma generalização do teorema da existência de Peano . O teorema de Peano requer que o lado direito da equação diferencial seja contínuo, enquanto o teorema de Carathéodory mostra a existência de soluções (em um sentido mais geral) para algumas equações descontínuas. O teorema é nomeado após Constantin Carathéodory .

Introdução

Considere a equação diferencial

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}$

com condição inicial

${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0},}$

onde a função ƒ é definida em um domínio retangular da forma

${\ displaystyle R = \ {(t, y) \ in \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} ^ {n} \,: \, | t-t_ {0} | \ leq a, | y- y_ {0} | \ leq b \}.}$

O teorema da existência de Peano afirma que se ƒ é contínuo , então a equação diferencial tem pelo menos uma solução em uma vizinhança da condição inicial.

No entanto, também é possível considerar equações diferenciais com um lado direito descontínuo, como a equação

${\ displaystyle y '(t) = H (t), \ quad y (0) = 0,}$

onde H denota a função de Heaviside definida por

${\ displaystyle H (t) = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} t \ leq 0; \\ 1, & {\ text {if}} t> 0. \ end {cases} }}$

Faz sentido considerar a função de rampa

${\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {t} H (s) \, \ mathrm {d} s = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} t \ leq 0; \\ t, & {\ text {if}} t> 0 \ end {casos}}}$

como uma solução da equação diferencial. Estritamente falando, porém, não satisfaz a equação diferencial em , porque a função não é diferenciável aqui. Isso sugere que a ideia de uma solução seja estendida para permitir soluções que não são diferenciáveis ​​em todos os lugares, motivando assim a seguinte definição. ${\ displaystyle t = 0}$

Uma função y é chamada de solução no sentido estendido da equação diferencial com condição inicial se y for absolutamente contínua , y satisfaz a equação diferencial quase em todos os lugares e y satisfaz a condição inicial. A continuidade absoluta de y implica que sua derivada existe quase em toda parte. ${\ displaystyle y '= f (t, y)}$${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$

Declaração do teorema

Considere a equação diferencial

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0},}$

com definido no domínio retangular . Se a função satisfizer as três condições a seguir: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R = \ {(t, y) \, | \, | t-t_ {0} | \ leq a, | y-y_ {0} | \ leq b \}}$${\ displaystyle f}$

• ${\ displaystyle f (t, y)}$ é contínuo em para cada fixo , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t}$
• ${\ displaystyle f (t, y)}$ é mensurável em para cada uma fixa , ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle y}$
• existe uma função Lebesgue integrável de forma que para todos , ${\ displaystyle m: [t_ {0} -a, t_ {0} + a] \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle | f (t, y) | \ leq m (t)}$${\ displaystyle (t, y) \ in R}$

então a equação diferencial tem uma solução no sentido estendido em uma vizinhança da condição inicial.

Diz-se que um mapeamento satisfaz as condições Carathéodory sobre se cumpre a condição do teorema. ${\ displaystyle f \ colon R \ to \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle R}$

Singularidade de uma solução

Suponha que o mapeamento satisfaça as condições Carathéodory em e que haja uma função Lebesgue integrável , tal que ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle k: [t_ {0} -a, t_ {0} + a] \ to [0, \ infty)}$

${\ displaystyle | f (t, y_ {1}) - f (t, y_ {2}) | \ leq k (t) | y_ {1} -y_ {2} |,}$

para todos Então, existe uma solução única para o problema do valor inicial ${\ displaystyle (t, y_ {1}) \ in R, (t, y_ {2}) \ in R.}$${\ displaystyle y (t) = y (t, t_ {0}, y_ {0})}$

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Além disso, se o mapeamento for definido em todo o espaço e para qualquer condição inicial , existe um domínio retangular compacto de forma que o mapeamento satisfaça todas as condições de cima para baixo . Então, o domínio de definição da função é aberto e é contínuo . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle R _ {(t_ {0}, y_ {0})} \ subset \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R _ {(t_ {0}, y_ {0})}}$${\ displaystyle E \ subset \ mathbf {R} ^ {2 + n}}$${\ displaystyle y (t, t_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle y (t, t_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle E}$

Exemplo

Considere um problema de valor inicial linear do formulário

${\ displaystyle y '(t) = A (t) y (t) + b (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Aqui, os componentes do mapeamento com valor de matriz e da não homogeneidade são considerados integráveis ​​em cada intervalo finito. Então, o lado direito da equação diferencial satisfaz as condições de Carathéodory e existe uma solução única para o problema do valor inicial. ${\ displaystyle A \ colon \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^ {n \ vezes n}}$${\ displaystyle b \ colon \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^ {n}}$

Veja também

• Teorema de Picard-Lindelöf
• Teorema de Cauchy-Kowalevski

Notas

Referências

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations , New York: McGraw-Hill .
• Hale, Jack K. (1980), Ordinary Differential Equations (2ª ed.), Malabar: Robert E. Krieger Publishing Company , ISBN   0-89874-011-8 .
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill , ISBN   978-0-07-054234-1 , MR   0924157 .