Equação diferencial de atraso - Delay differential equation

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
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Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Em matemática , equações diferenciais de atraso ( DDEs ) são um tipo de equação diferencial em que a derivada da função desconhecida em um determinado momento é dada em termos dos valores da função em momentos anteriores. Os DDEs também são chamados de sistemas de retardo de tempo , sistemas com efeito posterior ou tempo morto, sistemas hereditários, equações com argumento divergente ou equações de diferença diferencial. Eles pertencem à classe de sistemas com o estado funcional , ou seja, equações diferenciais parciais (PDEs) que são infinitas dimensionais, em oposição às equações diferenciais ordinárias (EDOs) tendo um vetor de estado de dimensão finita. Quatro pontos podem dar uma possível explicação da popularidade dos DDEs:

1. O efeito colateral é um problema aplicado: é bem sabido que, junto com as expectativas crescentes de desempenhos dinâmicos, os engenheiros precisam que seus modelos se comportem mais como o processo real. Muitos processos incluem fenômenos de efeito colateral em sua dinâmica interna. Além disso, atuadores , sensores e redes de comunicação que agora estão envolvidos em loops de controle de feedback introduzem tais atrasos. Finalmente, além dos atrasos reais, os atrasos de tempo são freqüentemente usados ​​para simplificar modelos de ordem muito alta. A partir daí, o interesse pelos DDEs continua crescendo em todas as áreas científicas e, principalmente, na engenharia de controle.
2. Os sistemas de atraso ainda são resistentes a muitos controladores clássicos : pode-se pensar que a abordagem mais simples consistiria em substituí-los por algumas aproximações de dimensão finita. Infelizmente, ignorar efeitos que são adequadamente representados por DDEs não é uma alternativa geral: na melhor situação (atrasos constantes e conhecidos), isso leva ao mesmo grau de complexidade no projeto de controle. Nos piores casos (atrasos variáveis ​​no tempo, por exemplo), é potencialmente desastroso em termos de estabilidade e oscilações.
3. A introdução voluntária de atrasos pode beneficiar o sistema de controle .
4. Apesar de sua complexidade, os DDEs costumam aparecer como modelos simples de dimensão infinita na área muito complexa das equações diferenciais parciais (PDEs).

Uma forma geral da equação diferencial de atraso de tempo para é ${\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x_ {t}),}$

onde representa a trajetória da solução no passado. Nesta equação, é um operador funcional de a${\ displaystyle x_ {t} = \ {x (\ tau): \ tau \ leq t \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ times C ^ {1} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}. \,}$

Exemplos

• Atraso contínuo

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} x (t + \ tau) \, {\ rm {d}} \ mu (\ tau) \ right)}$

• Atraso discreto

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x (t- \ tau _ {1}), \ dotsc, x (t- \ tau _ {m}))}$para .${\ displaystyle \ tau _ {1}> \ dotsb> \ tau _ {m} \ geq 0}$

• Linear com atrasos discretos

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- \ tau _ { 1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})}$

onde .${\ displaystyle A_ {0}, \ dotsc, A_ {m} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

• Equação do pantógrafo

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = ax (t) + bx (\ lambda t),}$

onde a , b e λ são constantes e 0 <λ <1. Esta equação e algumas formas mais gerais são nomeadas após os pantógrafos em trens.

Resolvendo DDEs

Os DDEs são resolvidos principalmente de forma gradual, com um princípio denominado método das etapas. Por exemplo, considere o DDE com um único atraso

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (x (t), x (t- \ tau))}$

com determinada condição inicial . Então a solução no intervalo é dada por qual é a solução para o problema de valor inicial não homogêneo${\ displaystyle \ phi \ colon [- \ tau, 0] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle [0, \ tau]}$${\ displaystyle \ psi (t)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} \ psi (t) = f (\ psi (t), \ phi (t- \ tau))}$,

com . Isso pode ser continuado para os intervalos sucessivos usando a solução para o intervalo anterior como termo não homogêneo. Na prática, o problema do valor inicial geralmente é resolvido numericamente. ${\ displaystyle \ psi (0) = \ phi (0)}$

Exemplo

Suponha e . Então, o problema do valor inicial pode ser resolvido com integração, ${\ displaystyle f (x (t), x (t- \ tau)) = ax (t- \ tau)}$${\ displaystyle \ phi (t) = 1}$

${\ displaystyle x (t) = x (0) + \ int _ {s = 0} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = 1 + a \ int _ {s = 0} ^ {t} \ phi (s- \ tau) \, {\ rm {d}} s,}$

ou seja, onde a condição inicial é dada por . Da mesma forma, para o intervalo , integramos e ajustamos a condição inicial, ${\ displaystyle x (t) = em + 1}$${\ displaystyle x (0) = \ phi (0) = 1}$${\ displaystyle t \ in [\ tau, 2 \ tau]}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} x (t) = x (\ tau) & {} + \ int _ {s = \ tau} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) \\ & {} + a \ int _ {s = \ tau} ^ {t} a (s- \ tau) +1 \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) + a \ int _ {s = 0} ^ {t- \ tau} como + 1 \, {\ rm {d}} s, \ end {alinhado}}}$

ou seja, ${\ displaystyle x (t) = (a \ tau +1) + a (t- \ tau) \ left ({\ frac {a (t- \ tau)} {2}} + 1 \ right).}$

Redução para ODE

Em alguns casos, as equações diferenciais podem ser representadas em um formato que se parece com equações diferenciais de atraso .

• Exemplo 1 Considere uma equação

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} x (t + \ tau) e ^ {\ lambda \ tau} \, {\ rm {d}} \ tau \ right).}$

Apresente para obter um sistema de EDOs ${\ displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) e ^ {\ lambda \ tau} \, {\ rm {d}} \ tau}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} y (t) = x- \ lambda y.}$

• Exemplo 2 Uma equação

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau \ right)}$

é equivalente a

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} y (t) = \ cos (\ beta) x + \ alpha z, \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} z (t) = \ sin (\ beta) x- \ alpha y,}$

Onde

${\ displaystyle y = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau, \ quad z = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ sin (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau.}$

A equação característica

Semelhante a ODEs , muitas propriedades de DDEs lineares podem ser caracterizadas e analisadas usando a equação característica . A equação característica associada ao DDE linear com atrasos discretos

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- \ tau _ { 1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})}$

é

${\ displaystyle {\ rm {det}} (- \ lambda I + A_ {0} + A_ {1} e ^ {- \ tau _ {1} \ lambda} + \ dotsb + A_ {m} e ^ {- \ tau _ {m} \ lambda}) = 0}$.

As raízes λ da equação característica são chamadas de raízes características ou autovalores e o conjunto de solução é freqüentemente referido como o espectro . Por causa do exponencial na equação característica, o DDE tem, ao contrário do caso ODE, um número infinito de autovalores, tornando a análise espectral mais envolvente. O espectro, entretanto, possui algumas propriedades que podem ser exploradas na análise. Por exemplo, embora haja um número infinito de autovalores, há apenas um número finito de autovalores à direita de qualquer linha vertical no plano complexo.

Esta equação característica é um problema próprio não linear e existem muitos métodos para calcular o espectro numericamente. Em algumas situações especiais, é possível resolver a equação característica explicitamente. Considere, por exemplo, o seguinte DDE:

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = - x (t-1).}$

A equação característica é

${\ displaystyle - \ lambda -e ^ {- \ lambda} = 0. \,}$

Há um número infinito de soluções para esta equação para λ complexo. Eles são dados por

${\ displaystyle \ lambda = W_ {k} (- 1)}$,

onde W _k é o k- ésimo ramo da função W de Lambert .

Formulários

• Dinâmica do diabetes
• Epidemiologia
• Dinâmica populacional
• Eletrodinâmica clássica

Veja também

• Equação diferencial funcional

Referências

Leitura adicional

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Métodos Numéricos para Equações Diferenciais de Atraso . Matemática Numérica e Computação Científica. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Equações de diferença diferencial (PDF) . Matemática em Ciências e Engenharia. New York, NY: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Sistemas Lineares de Variação de Parâmetros e Temporização: Análise, Observação, Filtragem e Controle . Avanços em atrasos e dinâmica. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Driver, Rodney D. (1977). Equações diferenciais ordinárias e de atraso . Ciências Matemáticas Aplicadas. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Equações diferenciais de atraso aplicadas . Pesquisas e tutoriais em Ciências Matemáticas Aplicadas. Nova York, NY: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0387743714.

links externos

• Skip Thompson (ed.). "Equações diferenciais de atraso" . Scholarpedia .