Método Petrov-Galerkin - Petrov–Galerkin method

O método de Petrov-Galerkin é um método matemático usado para aproximar soluções de equações diferenciais parciais que contêm termos com ordem ímpar e onde a função de teste e a função de solução pertencem a diferentes espaços de funções. Ele pode ser visto como uma extensão do método Bubnov-Galerkin, onde as bases das funções de teste e das funções de solução são as mesmas. Em uma formulação de operador da equação diferencial, o método de Petrov-Galerkin pode ser visto como a aplicação de uma projeção que não é necessariamente ortogonal, em contraste com o método de Bubnov-Galerkin .

Introdução com um problema abstrato

O método de Petrov-Galerkin é uma extensão natural do método de Galerkin e pode ser introduzido da seguinte maneira.

Um problema de formulação fraca

Vamos considerar um problema abstrato colocado como uma formulação fraca em um par de espaços de Hilbert e , a saber, ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

encontrar tal que para todos .${\ displaystyle u \ in V}$${\ displaystyle a (u, w) = f (w)}$${\ displaystyle w \ in W}$

Aqui, é uma forma bilinear e é um funcional linear limitado em . ${\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle W}$

Redução de dimensão Petrov-Galerkin

Escolha subespaços de dimensão n e de dimensão m e resolver o problema projetada: ${\ displaystyle V_ {n} \ subconjunto V}$${\ displaystyle W_ {m} \ subconjunto W}$

Encontre tal que para todos, para todos .${\ displaystyle v_ {n} \ in V_ {n}}$${\ displaystyle a (v_ {n}, w_ {m}) = f (w_ {m})}$${\ displaystyle w_ {m} \ in W_ {m}}$

Notamos que a equação permaneceu inalterada e apenas os espaços mudaram. Reduzir o problema a um subespaço vetorial de dimensão finita nos permite calcular numericamente como uma combinação linear finita dos vetores de base em . ${\ displaystyle v_ {n}}$${\ displaystyle V_ {n}}$

Ortogonalidade generalizada de Petrov-Galerkin

A propriedade-chave da abordagem Petrov-Galerkin é que o erro é, em certo sentido, "ortogonal" aos subespaços escolhidos. Desde então , podemos usar como um vetor de teste na equação original. Subtraindo os dois, obtemos a relação para o erro, que é o erro entre a solução do problema original,, e a solução da equação de Galerkin,, como segue ${\ displaystyle W_ {m} \ subconjunto W}$${\ displaystyle w_ {m}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {n} = v-v_ {n}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v_ {n}}$

${\ displaystyle a (\ epsilon _ {n}, w_ {m}) = a (v, w_ {m}) - a (v_ {n}, w_ {m}) = f (w_ {m}) - f (w_ {m}) = 0}$para todos .${\ displaystyle w_ {m} \ in W_ {m}}$

Forma de matriz

Como o objetivo da aproximação é produzir um sistema linear de equações , construímos sua forma de matriz, que pode ser usada para calcular a solução algoritmicamente.

Deixe ser uma base para e ser uma base para . Então, é suficiente usá-los por sua vez para testar a equação de Galerkin, ou seja: encontrar tal que ${\ displaystyle v ^ {1}, v ^ {2}, \ ldots, v ^ {n}}$${\ displaystyle V_ {n}}$${\ displaystyle w ^ {1}, w ^ {2}, \ ldots, w ^ {m}}$${\ displaystyle W_ {m}}$${\ displaystyle u_ {n} \ in V_ {n}}$

${\ displaystyle a (v_ {n}, w ^ {j}) = f (w ^ {j}) \ quad j = 1, \ ldots, m.}$

Expandimos em relação à base da solução e a inserimos na equação acima, para obter ${\ displaystyle v_ {n}}$${\ displaystyle v_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {i} v ^ {i}}$

${\ displaystyle a \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {i} v ^ {i}, w ^ {j} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n } x ^ {i} a (v ^ {i}, w ^ {j}) = f (w ^ {j}) \ quad j = 1, \ ldots, m.}$

Esta equação anterior é na verdade um sistema linear de equações , onde ${\ displaystyle Ax = f}$

${\ displaystyle A_ {ij} = a (v ^ {i}, w ^ {j}), \ quad f_ {j} = f (w ^ {j}).}$

Simetria da matriz

Devido à definição das entradas da matriz, a matriz é simétrica se , a forma bilinear é simétrica, , , e para todos Em contraste com o caso de Bubnov-Galerkin método, a matriz do sistema não é mesmo quadrada, se${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V = W}$${\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle n = m}$${\ displaystyle V_ {n} = W_ {m}}$${\ displaystyle v ^ {i} = w ^ {j}}$${\ displaystyle i = j = 1, \ ldots, n = m.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n \ neq m.}$

Exemplos

Um exemplo de equação diferencial contendo um termo com ordem ímpar é o seguinte:

${\ displaystyle a (x) {\ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} + b (x) {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = f (x), \ quad x \ in (0, L) \ quad \ & \ quad u (0) = u_ {o}, \ left. {\ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ right | _ {x = L} = u_ {L} '}$

Se uma função de teste for usada para obter a forma fraca, após a integração por partes, a formulação final de Galerkin será dada da seguinte forma: ${\ displaystyle v (x)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {L} a (x) v (x) {\ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {d} x- \ int _ {0} ^ {L} b (x) {\ dfrac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} {\ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x }} \ mathrm {d} x + \ left [b (x) v {\ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ right] _ {0} ^ {L} = \ int _ {0} ^ {L} v (x) f (x) \, \ mathrm {d} x}$

O termo com ordem par (segundo termo no LHS) agora é simétrico, já que a função de teste e a função de solução têm a mesma ordem de diferenciação e ambas pertencem . No entanto, não há como o primeiro termo no LHS ser feito dessa maneira. Nesse caso, o espaço de solução e o espaço de função de teste são diferentes e, portanto, o método de Bubnov-Galerkin normalmente empregado não pode ser usado. ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1}}$${\ displaystyle H_ {0} ^ {1}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Veja também

• Método Bubnov-Galerkin

Notas