Mecânica de continuidade - Continuum mechanics

A mecânica contínua é um ramo da mecânica que lida com o comportamento mecânico de materiais modelados como uma massa contínua em vez de partículas discretas . O matemático francês Augustin-Louis Cauchy foi o primeiro a formular tais modelos no século XIX.

Explicação

Modelar um objeto como um continuum pressupõe que a substância do objeto preenche completamente o espaço que ocupa. Modelar objetos dessa maneira ignora o fato de que a matéria é feita de átomos e, portanto, não é contínua; entretanto, em escalas de comprimento muito maiores do que as distâncias interatômicas, tais modelos são altamente precisos. Leis físicas fundamentais, como a conservação da massa , a conservação do momento e a conservação da energia, podem ser aplicadas a tais modelos para derivar equações diferenciais que descrevem o comportamento de tais objetos, e algumas informações sobre o material sob investigação são adicionadas por meio de relações constitutivas .

A mecânica contínua lida com propriedades físicas de sólidos e fluidos que são independentes de qualquer sistema de coordenadas particular em que são observados. Essas propriedades físicas são então representadas por tensores , que são objetos matemáticos que possuem a propriedade necessária de serem independentes do sistema de coordenadas. Esses tensores podem ser expressos em sistemas de coordenadas para conveniência computacional.

Conceito de um continuum

Materiais, como sólidos, líquidos e gases, são compostos de moléculas separadas por espaço. Em uma escala microscópica, os materiais apresentam rachaduras e descontinuidades. No entanto, certos fenômenos físicos podem ser modelados assumindo que os materiais existem como um continuum, ou seja, a matéria no corpo é continuamente distribuída e preenche toda a região do espaço que ocupa . Um continuum é um corpo que pode ser continuamente subdividido em elementos infinitesimais com propriedades sendo as do material a granel.

A validade do pressuposto do continuum pode ser verificada por uma análise teórica, na qual alguma periodicidade clara é identificada ou existe homogeneidade estatística e ergodicidade da microestrutura . Mais especificamente, a hipótese / suposição do contínuo depende dos conceitos de um volume elementar representativo e da separação de escalas com base na condição de Hill-Mandel . Esta condição fornece uma ligação entre o ponto de vista de um experimentalista e um teórico sobre equações constitutivas (lineares e não lineares elásticos / inelásticos ou campos acoplados), bem como uma forma de média espacial e estatística da microestrutura.

Quando a separação de escalas não se mantém, ou quando se deseja estabelecer um continuum de uma resolução mais fina do que o tamanho do elemento de volume representativo (RVE), emprega-se um elemento de volume estatístico (SVE), que, por sua vez, leva a campos contínuos aleatórios. Este último fornece uma base micromecânica para elementos finitos estocásticos (SFE). Os níveis de SVE e RVE ligam a mecânica do contínuo à mecânica estatística . O RVE pode ser avaliado apenas de forma limitada por meio de testes experimentais: quando a resposta constitutiva torna-se espacialmente homogênea.

Especificamente para fluidos , o número de Knudsen é usado para avaliar até que ponto a aproximação de continuidade pode ser feita.

Tráfego de carros como um exemplo introdutório

Considere o tráfego de carros em uma rodovia, com apenas uma faixa para simplificar. Surpreendentemente, e em homenagem à sua eficácia, a mecânica contínua modela efetivamente o movimento dos carros por meio de uma equação diferencial parcial (PDE) para a densidade dos carros. A familiaridade dessa situação nos permite entender um pouco da dicotomia contínuo-discreto subjacente à modelagem contínua em geral.

Para iniciar a modelagem, defina que: mede a distância (em km) ao longo da rodovia; é o tempo (em minutos); é a densidade de carros na rodovia (em carros / km na pista); e é a velocidade do fluxo ( velocidade média) desses carros 'na' posição .

Conservação deriva uma PDE ( equação diferencial parcial )

Os carros não aparecem e desaparecem. Considere qualquer grupo de carros: do carro específico na parte de trás do grupo localizado em ao carro específico na frente localizado em . O número total de carros neste grupo . Uma vez que os carros são conservados (se houver ultrapassagens, então o 'carro da frente / trás' pode se tornar um carro diferente) . Mas através da regra integral de Leibniz

Essa integral sendo zero vale para todos os grupos, ou seja, para todos os intervalos . A única maneira de uma integral ser zero para todos os intervalos é se o integrando for zero para todos . Consequentemente, a conservação deriva a conservação não linear de primeira ordem PDE

para todas as posições na rodovia.

Este PDE de conservação se aplica não apenas ao tráfego de automóveis, mas também a fluidos, sólidos, multidões, animais, plantas, incêndios florestais, comerciantes financeiros e assim por diante.

A observação fecha o problema

O PDE anterior é uma equação com duas incógnitas, portanto, outra equação é necessária para formar um problema bem formulado . Essa equação extra é normalmente necessária na mecânica do contínuo e normalmente vem de experimentos. Para o tráfego de automóveis, está bem estabelecido que os carros normalmente viajam a uma velocidade que depende da densidade, para alguma função determinada experimentalmente que é uma função decrescente da densidade. Por exemplo, experimentos no Túnel Lincoln descobriram que um bom ajuste (exceto em baixa densidade) é obtido por (km / h para densidade em carros / km).

Assim, o modelo básico contínuo para o tráfego de automóveis é o PDE

para a densidade de carros na rodovia.

Áreas principais

Mecânica contínua
O estudo da física de materiais contínuos
Mecânica dos sólidos
O estudo da física de materiais contínuos com uma forma de repouso definida.
Elasticidade
Descreve os materiais que retornam à sua forma de repouso depois que as tensões aplicadas são removidas.
Plasticidade
Descreve materiais que se deformam permanentemente após uma tensão aplicada suficiente.
Reologia
O estudo de materiais com características sólidas e fluidas.
Mecânica dos fluidos
O estudo da física de materiais contínuos que se deformam quando sujeitos a uma força.
Fluido não newtoniano
Não sofre taxas de deformação proporcionais à tensão de cisalhamento aplicada.
Os fluidos newtonianos sofrem taxas de deformação proporcionais à tensão de cisalhamento aplicada.

Uma área adicional da mecânica contínua compreende espumas elastoméricas, que exibem uma curiosa relação hiperbólica tensão-deformação. O elastômero é um verdadeiro contínuo, mas uma distribuição homogênea de vazios confere a ele propriedades incomuns.

Formulação de modelos

Figura 1. Configuração de um corpo contínuo

Os modelos de mecânica contínua começam atribuindo uma região no espaço euclidiano tridimensional ao corpo material que está sendo modelado. Os pontos dentro desta região são chamados de partículas ou pontos materiais. Diferentes configurações ou estados do corpo correspondem a diferentes regiões no espaço euclidiano. A região correspondente à configuração do corpo no momento é rotulada .

Uma partícula particular dentro do corpo em uma configuração particular é caracterizada por um vetor de posição

onde estão os vetores de coordenadas em algum referencial escolhido para o problema (ver figura 1). Este vetor pode ser expresso como uma função da posição da partícula em alguma configuração de referência , por exemplo, a configuração no momento inicial, de modo que

Essa função precisa ter várias propriedades para que o modelo faça sentido físico. precisa ser:

  • contínuo no tempo, para que o corpo mude de uma forma que seja realista,
  • globalmente invertível em todos os momentos, de modo que o corpo não pode se interceptar,
  • preservação da orientação , já que as transformações que produzem reflexos no espelho não são possíveis na natureza.

Para a formulação matemática do modelo, também é assumido como duas vezes continuamente diferenciável , de modo que as equações diferenciais que descrevem o movimento podem ser formuladas.

Forças em um continuum

A mecânica contínua lida com corpos deformáveis, em oposição a corpos rígidos . Um sólido é um corpo deformável que possui resistência ao cisalhamento, sc. um sólido pode suportar forças de cisalhamento (forças paralelas à superfície do material sobre a qual atuam). Os fluidos, por outro lado, não sustentam as forças de cisalhamento. Para o estudo do comportamento mecânico de sólidos e fluidos, estes são considerados corpos contínuos, o que significa que a matéria preenche toda a região do espaço que ocupa, apesar de ser feita de átomos, ter vazios e ser discreta. Portanto, quando a mecânica do contínuo se refere a um ponto ou partícula em um corpo contínuo, ela não descreve um ponto no espaço interatômico ou uma partícula atômica, mas sim uma parte idealizada do corpo que ocupa esse ponto.

Seguindo a dinâmica clássica de Newton e Euler , o movimento de um corpo material é produzido pela ação de forças externamente aplicadas que se supõe serem de dois tipos: forças de superfície e forças de corpo . Assim, a força total aplicada a um corpo ou a uma parte do corpo pode ser expressa como:

Forças de superfície

As forças de superfície ou forças de contato , expressas como força por unidade de área, podem atuar na superfície delimitadora do corpo, como resultado do contato mecânico com outros corpos, ou em superfícies internas imaginárias que limitam porções do corpo, como resultado de a interação mecânica entre as partes do corpo de cada lado da superfície ( princípio de estresse de Euler-Cauchy ). Quando um corpo sofre a ação de forças de contato externas, as forças de contato internas são então transmitidas de ponto a ponto dentro do corpo para equilibrar sua ação, de acordo com a terceira lei de movimento de Newton de conservação do momento linear e do momento angular (para corpos contínuos essas leis são chamadas de equações de movimento de Euler ). As forças de contato internas estão relacionadas à deformação do corpo pormeio de equações constitutivas . As forças de contato internas podem ser matematicamente descritas pela forma como se relacionam com o movimento do corpo, independentemente da composição material do corpo.

A distribuição das forças de contato internas por todo o volume do corpo é considerada contínua. Portanto, existe uma densidade de força de contato ou campo de tração de Cauchy que representa essa distribuição em uma configuração particular do corpo em um determinado momento . Não é um campo vetorial porque não depende apenas da posição de um ponto de material específico, mas também da orientação local do elemento de superfície, conforme definido por seu vetor normal .

Qualquer área diferencial com vetor normal de uma determinada área de superfície interna , delimitando uma parte do corpo, experimenta uma força de contato decorrente do contato entre as duas partes do corpo em cada lado de , e é dada por

onde é a tração da superfície , também chamada de vetor de tensão , tração ou vetor de tração . O vetor de tensão é um vetor indiferente a moldura (ver princípio de tensão de Euler-Cauchy ).

A força de contato total na superfície interna particular é então expressa como a soma ( integral da superfície ) das forças de contato em todas as superfícies diferenciais :

Na mecânica contínua, um corpo é considerado livre de estresse se as únicas forças presentes forem aquelas forças interatômicas (forças iônicas , metálicas e de van der Waals ) necessárias para manter o corpo unido e manter sua forma na ausência de todas as influências externas , incluindo atração gravitacional. As tensões geradas durante a fabricação do corpo para uma configuração específica também são excluídas ao considerar as tensões em um corpo. Portanto, as tensões consideradas na mecânica do contínuo são apenas aquelas produzidas pela deformação do corpo, sc. apenas mudanças relativas na tensão são consideradas, não os valores absolutos da tensão.

Forças corporais

As forças corporais são forças originadas de fontes externas ao corpo que atuam sobre o volume (ou massa) do corpo. Dizer que as forças do corpo são devidas a fontes externas implica que a interação entre as diferentes partes do corpo (forças internas) se manifesta apenas através das forças de contato. Essas forças surgem da presença do corpo em campos de força, por exemplo , campo gravitacional ( forças gravitacionais ) ou campo eletromagnético ( forças eletromagnéticas ), ou de forças inerciais quando os corpos estão em movimento. Como a massa de um corpo contínuo é considerada continuamente distribuída, qualquer força proveniente da massa também é continuamente distribuída. Assim, as forças do corpo são especificadas por campos de vetores que são considerados contínuos ao longo de todo o volume do corpo, ou seja ,atuando em todos os pontos nele. As forças do corpo são representadas por uma densidade de força do corpo(por unidade de massa), que é um campo vetorial indiferente à estrutura.

No caso das forças gravitacionais, a intensidade da força depende ou é proporcional à densidade de massa do material, e é especificada em termos de força por unidade de massa ( ) ou por unidade de volume ( ). Essas duas especificações estão relacionadas por meio da densidade do material pela equação . Da mesma forma, a intensidade das forças eletromagnéticas depende da intensidade ( carga elétrica ) do campo eletromagnético.

A força corporal total aplicada a um corpo contínuo é expressa como

As forças do corpo e as forças de contato que atuam no corpo levam a momentos de força ( torques ) correspondentes em relação a um determinado ponto. Assim, o torque total aplicado sobre a origem é dado por

Em determinadas situações, não comumente consideradas na análise do comportamento mecânico dos materiais, torna-se necessário incluir dois outros tipos de forças: são as tensões conjugadas (pares de superfície, torques de contato) e os momentos corporais . As tensões acopladas são momentos por unidade de área aplicada em uma superfície. Os momentos corporais, ou pares corporais, são momentos por unidade de volume ou por unidade de massa aplicada ao volume do corpo. Ambos são importantes na análise de tensões para um sólido dielétrico polarizado sob a ação de um campo elétrico, materiais onde a estrutura molecular é levada em consideração ( por exemplo, ossos), sólidos sob a ação de um campo magnético externo e a teoria do deslocamento de metais.

Materiais que exibem pares de corpos e tensões de acoplamento, além de momentos produzidos exclusivamente por forças, são chamados de materiais polares . Os materiais não polares são, então, aqueles materiais com apenas momentos de força. Nos ramos clássicos da mecânica contínua, o desenvolvimento da teoria das tensões é baseado em materiais apolares.

Assim, a soma de todas as forças e torques aplicados (com relação à origem do sistema de coordenadas) no corpo pode ser dada por

Cinemática: movimento e deformação

Figura 2. Movimento de um corpo contínuo.

Uma mudança na configuração de um corpo contínuo resulta em um deslocamento . O deslocamento de um corpo tem dois componentes: um deslocamento de corpo rígido e uma deformação . Um deslocamento de corpo rígido consiste em uma translação e rotação simultâneas do corpo sem alterar sua forma ou tamanho. A deformação implica a mudança na forma e / ou tamanho do corpo de uma configuração inicial ou indeformada para uma configuração atual ou deformada (Figura 2).

O movimento de um corpo contínuo é uma sequência de tempo contínua de deslocamentos. Assim, o corpo material irá ocupar diferentes configurações em diferentes momentos, de modo que uma partícula ocupa uma série de pontos no espaço que descrevem uma linha de caminho.

Há continuidade durante o movimento ou deformação de um corpo contínuo no sentido de que:

  • Os pontos de material que formam uma curva fechada em qualquer instante sempre formarão uma curva fechada em qualquer momento subsequente.
  • Os pontos materiais formando uma superfície fechada em qualquer instante sempre formarão uma superfície fechada em qualquer momento subsequente e a matéria dentro da superfície fechada sempre permanecerá dentro.

É conveniente identificar uma configuração de referência ou condição inicial a partir da qual todas as configurações subsequentes são referenciadas. A configuração de referência não precisa ser aquela que o corpo jamais ocupará. Freqüentemente, a configuração em é considerada a configuração de referência ,. Os componentes do vetor de posição de uma partícula, tomados em relação à configuração de referência, são chamados de material ou coordenadas de referência.

Ao analisar o movimento ou deformação de sólidos, ou o fluxo de fluidos, é necessário descrever a sequência ou evolução das configurações ao longo do tempo. Uma descrição do movimento é feita em termos do material ou das coordenadas referenciais, chamada de descrição do material ou descrição Lagrangiana.

Descrição lagrangiana

Na descrição Lagrangiana, a posição e as propriedades físicas das partículas são descritas em termos do material ou das coordenadas referenciais e do tempo. Neste caso, a configuração de referência é a configuração em . Um observador de pé no quadro de referência observa as mudanças na posição e nas propriedades físicas à medida que o corpo material se move no espaço à medida que o tempo avança. Os resultados obtidos independem da escolha da hora inicial e da configuração de referência . Esta descrição é normalmente usada em mecânica de sólidos .

Na descrição Lagrangiana, o movimento de um corpo contínuo é expresso pela função de mapeamento (Figura 2),

que é um mapeamento da configuração inicial na configuração atual , dando uma correspondência geométrica entre elas, ou seja, dando o vetor de posição que uma partícula , com um vetor de posição na configuração indeformada ou de referência , ocupará na configuração atual ou deformada no momento . Os componentes são chamados de coordenadas espaciais.

Propriedades físicas e cinemáticas , ou seja, propriedades termodinâmicas e velocidade de fluxo, que descrevem ou caracterizam as características do corpo material, são expressas como funções contínuas de posição e tempo, ou seja .

O material derivado de qualquer propriedade de um continuum, que pode ser um escalar, vetor ou tensor, é a taxa de mudança dessa propriedade para um grupo específico de partículas do corpo contínuo em movimento. O derivado material também é conhecido como derivado substancial , ou derivado comoving , ou derivado convectivo . Pode ser pensado como a taxa na qual a propriedade muda quando medida por um observador viajando com aquele grupo de partículas.

Na descrição Lagrangiana, a derivada material de é simplesmente a derivada parcial em relação ao tempo, e o vetor posição é mantido constante, pois não muda com o tempo. Assim, temos

A posição instantânea é uma propriedade de uma partícula, e sua derivada material é a velocidade de fluxo instantâneo da partícula. Portanto, o campo de velocidade de fluxo do contínuo é dado por

Da mesma forma, o campo de aceleração é dado por

A continuidade na descrição lagrangiana é expressa pela continuidade espacial e temporal do mapeamento desde a configuração de referência até a configuração atual dos pontos materiais. Todas as quantidades físicas que caracterizam o continuum são descritas desta forma. Nesse sentido, as funções e são de valor único e contínuas, com derivadas contínuas no que diz respeito ao espaço e ao tempo para qualquer ordem exigida, geralmente para a segunda ou terceira.

Descrição Euleriana

A continuidade permite que o inverso de rastreie para trás onde a partícula atualmente localizada estava localizada na configuração inicial ou referenciada . Neste caso, a descrição do movimento é feita em termos das coordenadas espaciais, caso em que é chamada de descrição espacial ou descrição Euleriana, ou seja, a configuração atual é tomada como configuração de referência .

A descrição euleriana, introduzida por d'Alembert , concentra-se na configuração atual , dando atenção ao que está ocorrendo em um ponto fixo no espaço à medida que o tempo avança, em vez de dar atenção às partículas individuais à medida que se movem no espaço e no tempo. Esta abordagem é convenientemente aplicada no estudo de fluxo de fluido, onde a propriedade cinemática de maior interesse é a taxa na qual a mudança está ocorrendo, em vez da forma do corpo do fluido em um momento de referência.

Matematicamente, o movimento de um continuum usando a descrição euleriana é expresso pela função de mapeamento

que fornece um traçado da partícula que agora ocupa a posição na configuração atual para sua posição original na configuração inicial .

Uma condição necessária e suficiente para que essa função inversa exista é que o determinante da Matriz Jacobiana , muitas vezes referida simplesmente como Jacobiana, seja diferente de zero. Assim,

Na descrição euleriana, as propriedades físicas são expressas como

onde a forma funcional de na descrição de Lagrang não é a mesma que a forma de na descrição de Euler.

O material derivado de , usando a regra da cadeia, é então

O primeiro termo do lado direito desta equação fornece a taxa local de mudança da propriedade que ocorre na posição . O segundo termo do lado direito é a taxa de mudança convectiva e expressa a contribuição da mudança de posição da partícula no espaço (movimento).

A continuidade na descrição euleriana é expressa pela continuidade espacial e temporal e pela diferenciabilidade contínua do campo de velocidade do fluxo. Todas as grandezas físicas são definidas desta forma a cada instante de tempo, na configuração atual, em função da posição do vetor .

Campo de deslocamento

O vetor que une as posições de uma partícula na configuração indeformada e na configuração deformada é denominado vetor de deslocamento , na descrição Lagrangiana, ou , na descrição Euleriana.

Um campo de deslocamento é um campo vetorial de todos os vetores de deslocamento para todas as partículas no corpo, que relaciona a configuração deformada com a configuração não deformada. É conveniente fazer a análise da deformação ou movimento de um corpo contínuo em termos do campo de deslocamento. Em geral, o campo de deslocamento é expresso em termos das coordenadas do material como

ou em termos de coordenadas espaciais como

onde estão os cossenos de direção entre o material e os sistemas de coordenadas espaciais com vetores unitários e , respectivamente. Assim

e a relação entre e é dada por

Sabendo que

então

É comum sobrepor os sistemas de coordenadas para as configurações indeformadas e deformadas, o que resulta em , e os cossenos de direção tornam-se deltas de Kronecker , ou seja,

Assim, temos

ou em termos de coordenadas espaciais como

Equações governamentais

A mecânica contínua lida com o comportamento de materiais que podem ser aproximados como contínuos para certas escalas de comprimento e tempo. As equações que governam a mecânica de tais materiais incluem as leis de equilíbrio de massa , momento e energia . Relações cinemáticas e equações constitutivas são necessárias para completar o sistema de equações governantes. As restrições físicas na forma das relações constitutivas podem ser aplicadas exigindo que a segunda lei da termodinâmica seja satisfeita em todas as condições. Na mecânica contínua dos sólidos, a segunda lei da termodinâmica é satisfeita se a forma de Clausius-Duhem da desigualdade de entropia for satisfeita.

As leis de equilíbrio expressam a ideia de que a taxa de variação de uma quantidade (massa, momento, energia) em um volume deve surgir de três causas:

  1. a própria quantidade física flui através da superfície que delimita o volume,
  2. existe uma fonte da quantidade física na superfície do volume, ou / e,
  3. existe uma fonte da quantidade física dentro do volume.

Deixe ser o corpo (um subconjunto aberto do espaço euclidiano) e deixe ser sua superfície (o limite de ).

Deixe o movimento dos pontos materiais no corpo ser descrito pelo mapa

onde é a posição de um ponto na configuração inicial e é a localização do mesmo ponto na configuração deformada.

O gradiente de deformação é dado por

Leis de equilíbrio

Deixe ser uma quantidade física fluindo pelo corpo. Sejam fontes na superfície do corpo e sejam fontes dentro do corpo. Deixe ser a unidade externa normal à superfície . Deixe ser a velocidade do fluxo das partículas físicas que carregam a quantidade física que está fluindo. Além disso, deixe a velocidade na qual a superfície delimitadora está se movendo (na direção ).

Então, as leis de equilíbrio podem ser expressas na forma geral

As funções , e podem ter valores escalares, vetoriais ou tensores - dependendo da quantidade física com a qual a equação de equilíbrio lida. Se houver limites internos no corpo, as descontinuidades de salto também precisam ser especificadas nas leis de equilíbrio.

Se tomarmos o ponto de vista Euleriano , pode ser mostrado que as leis de equilíbrio de massa, momento e energia para um sólido podem ser escritas como (assumindo que o termo da fonte é zero para as equações de massa e momento angular)

Nas equações acima é a densidade de massa (corrente), é a derivada do tempo do material , é a velocidade da partícula, é a derivada do tempo do material , é o tensor de tensão de Cauchy , é a densidade da força do corpo, é a energia interna por unidade de massa , é a derivada do tempo do material , é o vetor do fluxo de calor e é uma fonte de energia por unidade de massa.

Com relação à configuração de referência (o ponto de vista de Lagrange), as leis de equilíbrio podem ser escritas como

Acima, é o primeiro tensor de tensão Piola-Kirchhoff e é a densidade de massa na configuração de referência. O primeiro tensor de tensão Piola-Kirchhoff está relacionado ao tensor de tensão de Cauchy por

Podemos definir alternativamente o tensor de tensão nominal que é a transposta do primeiro tensor de tensão Piola-Kirchhoff tal que

Então as leis de equilíbrio se tornam

Os operadores nas equações acima são definidos como tal que

onde é um campo vetorial, é um campo tensorial de segunda ordem e são os componentes de uma base ortonormal na configuração atual. Também,

onde é um campo vetorial, é um campo tensorial de segunda ordem e são os componentes de uma base ortonormal na configuração de referência.

O produto interno é definido como

Desigualdade de Clausius-Duhem

A desigualdade de Clausius-Duhem pode ser usada para expressar a segunda lei da termodinâmica para materiais elástico-plásticos. Essa desigualdade é uma afirmação sobre a irreversibilidade dos processos naturais, especialmente quando está envolvida a dissipação de energia.

Assim como nas leis de equilíbrio da seção anterior, assumimos que existe um fluxo de uma quantidade, uma fonte da quantidade e uma densidade interna da quantidade por unidade de massa. A quantidade de interesse neste caso é a entropia. Assim, assumimos que existe um fluxo de entropia, uma fonte de entropia, uma densidade de massa interna e uma entropia específica interna (isto é, entropia por unidade de massa) na região de interesse.

Deixe ser essa região e deixe ser sua fronteira. Então, a segunda lei da termodinâmica afirma que a taxa de aumento de nesta região é maior ou igual à soma daquela fornecida a (como um fluxo ou de fontes internas) e a mudança da densidade de entropia interna devido ao material fluindo em e fora da região.

Deixe se mover com uma velocidade de fluxo e deixe as partículas dentro de ter velocidades . Deixe ser a unidade normal para fora da superfície . Seja a densidade da matéria na região, o fluxo de entropia na superfície e a fonte de entropia por unidade de massa. Então, a desigualdade de entropia pode ser escrita como

O fluxo de entropia escalar pode ser relacionado ao fluxo vetorial na superfície pela relação . Sob a suposição de condições isotérmicas incrementais, temos

onde é o vetor de fluxo de calor, é uma fonte de energia por unidade de massa e é a temperatura absoluta de um ponto material no tempo .

Temos então a desigualdade de Clausius-Duhem na forma integral:

Podemos mostrar que a desigualdade de entropia pode ser escrita na forma diferencial como

Em termos de estresse de Cauchy e da energia interna, a desigualdade de Clausius-Duhem pode ser escrita como

Formulários

Veja também

Notas explicativas

Referências

Citações

Trabalhos citados

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Referências gerais

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links externos