Estabilidade exponencial - Exponential stability

Veja a estabilidade de Lyapunov , que dá uma definição de estabilidade assintótica para sistemas dinâmicos mais gerais . Todos os sistemas exponencialmente estáveis também são assintoticamente estáveis.

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução.
Escopo Ciências Naturais Engenharia Astronomia Física Química Biologia Geologia Matemática Aplicada Mecânica de continuidade Teoria do caos Sistemas dinâmicos Ciências Sociais Economia Dinâmica populacional
Classificação
Tipos Comum Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Ordem Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita   ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Na teoria de controle , um sistema linear contínuo invariante no tempo (LTI) é exponencialmente estável se e somente se o sistema tiver autovalores (isto é, os pólos dos sistemas de entrada para saída) com partes reais estritamente negativas. (ou seja, na metade esquerda do plano complexo ). Um sistema LTI de entrada-saída de tempo discreto é exponencialmente estável se e somente se os pólos de sua função de transferência estão estritamente dentro do círculo unitário centrado na origem do plano complexo. A estabilidade exponencial é uma forma de estabilidade assintótica . Os sistemas que não são LTI são exponencialmente estáveis ​​se sua convergência for limitada por decaimento exponencial .

Consequências práticas

Um sistema LTI exponencialmente estável é aquele que não "explodirá" (ou seja, dará uma saída ilimitada) quando receber uma entrada finita ou uma condição inicial diferente de zero. Além disso, se o sistema recebe uma entrada fixa e finita (isto é, um degrau ), então quaisquer oscilações resultantes na saída irão decair a uma taxa exponencial , e a saída tenderá assintoticamente a um novo valor final de estado estacionário. Se, em vez disso, for dado ao sistema um impulso delta de Dirac como entrada, as oscilações induzidas desaparecerão e o sistema retornará ao seu valor anterior. Se as oscilações não morrem ou o sistema não retorna à sua saída original quando um impulso é aplicado, o sistema fica ligeiramente estável .

Exemplo de sistemas LTI exponencialmente estáveis

As respostas de impulso de dois sistemas exponencialmente estáveis

O gráfico à direita mostra a resposta ao impulso de dois sistemas semelhantes. A curva verde é a resposta do sistema com resposta ao impulso , enquanto a azul representa o sistema . Embora uma resposta seja oscilatória, ambas retornam ao valor original de 0 com o tempo. ${\ displaystyle y (t) = e ^ {- {\ frac {t} {5}}}}$${\ displaystyle y (t) = e ^ {- {\ frac {t} {5}}} \ sin (t)}$

Exemplo do mundo real

Imagine colocar uma bola de gude em uma concha. Ele se acomodará no ponto mais baixo da concha e, a menos que seja perturbado, permanecerá lá. Agora imagine dar um empurrão na bola, que é uma aproximação de um impulso delta de Dirac . A bola de gude irá rolar para frente e para trás, mas eventualmente voltará para o fundo da concha. Desenhar a posição horizontal da bola de gude ao longo do tempo resultaria em uma sinusóide que diminui gradualmente, como a curva azul da imagem acima.

Uma entrada de passo, neste caso, requer apoiar a bola de gude longe do fundo da concha, para que ela não role para trás. Ele permanecerá na mesma posição e não continuará a se mover, como seria o caso se o sistema fosse apenas marginalmente estável ou totalmente instável, do fundo da concha sob esta força constante igual ao seu peso.

É importante notar que neste exemplo o sistema não é estável para todas as entradas. Dê um empurrão forte na bola de gude, e ela cairá da concha, parando apenas quando chegar ao chão. Para alguns sistemas, portanto, é apropriado afirmar que um sistema é exponencialmente estável em uma certa faixa de entradas .

Veja também

• Estabilidade marginal
• Teoria de controle
• Espaço de estado (controles)

Referências

links externos

• Estimativa de parâmetro e filtragem instocástica de estabilidade assintótica , Anastasia Papavasiliou ∗ 28 de setembro de 2004