Função de transferência - Transfer function

Em engenharia , uma função de transferência (também conhecida como função de sistema ou função de rede ) de um sistema, subsistema ou componente é uma função matemática que teoricamente modela a saída do sistema para cada entrada possível. Eles são amplamente utilizados em sistemas eletrônicos e de controle . Em alguns casos simples, essa função é um gráfico bidimensional de uma entrada escalar independente versus a saída escalar dependente, chamada de curva de transferência ou curva característica . As funções de transferência de componentes são usadas para projetar e analisar sistemas montados a partir de componentes, principalmente usando a técnica do diagrama de blocos , em eletrônica e teoria de controle .

As dimensões e unidades da função de transferência modelam a resposta de saída do dispositivo para uma variedade de entradas possíveis. Por exemplo, a função de transferência de um circuito eletrônico de duas portas como um amplificador pode ser um gráfico bidimensional da tensão escalar na saída como uma função da tensão escalar aplicada à entrada; a função de transferência de um atuador eletromecânico pode ser o deslocamento mecânico do braço móvel em função da corrente elétrica aplicada ao dispositivo; a função de transferência de um fotodetector pode ser a tensão de saída em função da intensidade luminosa da luz incidente de um determinado comprimento de onda .

O termo "função de transferência" também é usado na análise de domínio de frequência de sistemas usando métodos de transformação, como a transformada de Laplace ; aqui, significa a amplitude da saída em função da frequência do sinal de entrada. Por exemplo, a função de transferência de um filtro eletrônico é a amplitude da tensão na saída como uma função da frequência de uma onda senoidal de amplitude constante aplicada à entrada. Para dispositivos de imagem ótica, a função de transferência ótica é a transformada de Fourier da função de espalhamento de ponto (portanto, uma função de frequência espacial ).

Sistemas lineares invariantes no tempo

As funções de transferência são comumente usadas na análise de sistemas, como filtros de entrada única e saída única nas áreas de processamento de sinais , teoria da comunicação e teoria de controle . O termo é freqüentemente usado exclusivamente para se referir a sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). A maioria dos sistemas reais tem características de entrada / saída não lineares , mas muitos sistemas, quando operados dentro de parâmetros nominais (não "sobredirigidos"), têm um comportamento próximo o suficiente do linear para que a teoria do sistema LTI seja uma representação aceitável do comportamento de entrada / saída.

As descrições abaixo são dadas em termos de uma variável complexa,, que merece uma breve explicação. Em muitas aplicações, é suficiente definir (assim ), o que reduz as transformadas de Laplace com argumentos complexos para transformadas de Fourier com argumento real ω. As aplicações em que isso é comum são aquelas em que há interesse apenas na resposta de estado estacionário de um sistema LTI, não nos comportamentos de ativação e desativação fugazes ou em problemas de estabilidade. Esse é geralmente o caso do processamento de sinais e da teoria da comunicação . ${\ displaystyle s = \ sigma + j \ cdot \ omega}$${\ displaystyle \ sigma = 0}$${\ displaystyle s = j \ cdot \ omega}$

Assim, para sinal de entrada e saída de tempo contínuo , a função de transferência é o mapeamento linear da transformada de Laplace da entrada ,, para a transformada de Laplace da saída : ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle H (s)}$${\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}$${\ displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}}$

${\ displaystyle Y (s) = H (s) \; X (s)}$

ou

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}} { {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}}}$.

Em sistemas de tempo discreto , a relação entre um sinal de entrada e saída é tratada usando a transformada z e , em seguida, a função de transferência é escrita de forma semelhante e isso é frequentemente referido como a função de transferência de pulso. ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}}}$

Derivação direta de equações diferenciais

Considere uma equação diferencial linear com coeficientes constantes

${\ displaystyle L [u] = {\ frac {d ^ {n} u} {dt ^ {n}}} + a_ {1} {\ frac {d ^ {n-1} u} {dt ^ {n -1}}} + \ dotsb + a_ {n-1} {\ frac {du} {dt}} + a_ {n} u = r (t)}$

onde u e r são funções adequadamente suaves de t , e L é o operador definido no espaço de função relevante, que transforma u em r . Esse tipo de equação pode ser usado para restringir a função de saída u em termos da função de força r . A função de transferência pode ser usada para definir um operador que atua como inverso à direita de L , o que significa que . ${\ displaystyle F [r] = u}$${\ displaystyle L [F [r]] = r}$

Soluções do homogénea , equação diferencial constante-coeficiente pode ser encontrado por tentativa . Essa substituição produz o polinômio característico${\ displaystyle L [u] = 0}$${\ displaystyle u = e ^ {\ lambda t}}$

${\ displaystyle p_ {L} (\ lambda) = \ lambda ^ {n} + a_ {1} \ lambda ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {n-1} \ lambda + a_ {n} \, }$

O caso não homogêneo pode ser facilmente resolvido se a função de entrada r também tiver a forma . Nesse caso, ao substituir, descobre- se que se definirmos ${\ displaystyle r (t) = e ^ {st}}$${\ displaystyle u = H (s) e ^ {st}}$${\ displaystyle L [H (s) e ^ {st}] = e ^ {st}}$

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {p_ {L} (s)}} \ qquad {\ text {onde}} \ quad p_ {L} (s) \ neq 0.}$

Tomar isso como a definição da função de transferência requer uma desambiguação cuidadosa entre valores complexos vs. reais, que é tradicionalmente influenciada pela interpretação de abs (H (s)) como o ganho e -atan (H (s)) como o atraso de fase . Outras definições da função de transferência são usadas: por exemplo${\ displaystyle 1 / p_ {L} (ik).}$

Ganho, comportamento transitório e estabilidade

Uma entrada senoidal geral para um sistema de frequência pode ser escrita . A resposta de um sistema a uma entrada senoidal começando no tempo consistirá na soma da resposta de estado estacionário e uma resposta transitória. A resposta em estado estacionário é a saída do sistema no limite de tempo infinito, e a resposta transitória é a diferença entre a resposta e a resposta em estado estacionário (corresponde à solução homogênea da equação diferencial acima). A função de transferência para um sistema LTI pode ser escrito como o produto: ${\ displaystyle \ omega _ {0} / (2 \ pi)}$${\ displaystyle \ exp (j \ omega _ {0} t)}$${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle H (s) = \ prod _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {s-s_ {P_ {i}}}}}$

onde s _{P i} são as N raízes do polinômio característico e, portanto, serão os pólos da função de transferência. Considere o caso de uma função de transferência com um único pólo onde . A transformada de Laplace de uma senoide geral de amplitude unitária será . A transformação de Laplace da saída será e a saída temporal será a transformação de Laplace inversa dessa função: ${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {s-s_ {P}}}}$${\ displaystyle s_ {P} = \ sigma _ {P} + j \ omega _ {P}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {sj \ omega _ {i}}}}$${\ displaystyle {\ frac {H (s)} {(sj \ omega _ {0})}}}$

${\ displaystyle g (t) = {\ frac {e ^ {j \, \ omega _ {0} \, t} -e ^ {(\ sigma _ {P} + j \, \ omega _ {P}) t}} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}}}$

O segundo termo no numerador é a resposta transitória, e no limite do tempo infinito ela irá divergir ao infinito se σ _P for positivo. Para que um sistema seja estável, sua função de transferência não deve ter pólos cujas partes reais sejam positivas. Se a função de transferência for estritamente estável, as partes reais de todos os pólos serão negativas e o comportamento transiente tenderá a zero no limite do tempo infinito. A saída de estado estacionário será:

${\ displaystyle g (\ infty) = {\ frac {e ^ {j \, \ omega _ {0} \, t}} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}}}$

A resposta de frequência (ou "ganho") G do sistema é definida como o valor absoluto da razão entre a amplitude de saída e a amplitude de entrada em estado estacionário:

${\ displaystyle G (\ omega _ {i}) = \ left | {\ frac {1} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}} \ direita | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma _ {P} ^ {2} + (\ omega _ {P} - \ omega _ {0}) ^ {2}}}}}$

que é apenas o valor absoluto da função de transferência avaliada em . Este resultado pode ser mostrado como válido para qualquer número de pólos de função de transferência. ${\ displaystyle H (s)}$${\ displaystyle j \ omega _ {i}}$

Processamento de sinal

Deixe ser a entrada para um sistema invariante no tempo linear geral , e ser a saída, e a transformada de Laplace bilateral de e ser ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} X (s) & = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt, \\ Y (s) & = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt. \ end { alinhado}}}$

Então, a saída é relacionada à entrada pela função de transferência como ${\ displaystyle H (s)}$

${\ displaystyle Y (s) = H (s) X (s)}$

e a própria função de transferência é, portanto,

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}$

Em particular, se um sinal harmônico complexo com um componente senoidal com amplitude , frequência angular e fase , onde arg é o argumento ${\ displaystyle | X |}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ arg (X)}$

${\ displaystyle x (t) = Xe ^ {j \ omega t} = | X | e ^ {j (\ omega t + \ arg (X))}}$

Onde ${\ displaystyle X = | X | e ^ {j \ arg (X)}}$

é a entrada para um sistema linear invariante no tempo, então o componente correspondente na saída é:

${\ displaystyle {\ begin {align} y (t) & = Ye ^ {j \ omega t} = | Y | e ^ {j (\ omega t + \ arg (Y))}, \\ Y & = | Y | e ^ {j \ arg (Y)}. \ end {alinhado}}}$

Observe que, em um sistema linear invariante no tempo, a frequência de entrada não mudou, apenas a amplitude e o ângulo de fase da sinusóide foram alterados pelo sistema. A resposta de frequência descreve essa mudança para cada frequência em termos de ganho : ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle H (j \ omega)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (j \ omega) |}$

e mudança de fase :

${\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ arg (Y) - \ arg (X) = \ arg (H (j \ omega)).}$

O atraso de fase (ou seja, a quantidade de atraso dependente da frequência introduzida na sinusóide pela função de transferência) é:

${\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}}.}$

O atraso de grupo (ou seja, a quantidade de atraso dependente da frequência introduzida no envelope da senoide pela função de transferência) é encontrado calculando a derivada do deslocamento de fase em relação à frequência angular , ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}.}$

A função de transferência também pode ser mostrada usando a transformada de Fourier, que é apenas um caso especial da transformada de Laplace bilateral para o caso em que . ${\ displaystyle s = j \ omega}$

Famílias de funções de transferência comuns

Embora qualquer sistema LTI possa ser descrito por alguma função de transferência ou outra, existem certas "famílias" de funções de transferência especiais que são comumente usadas.

Algumas famílias de funções de transferência comuns e suas características particulares são:

• Filtro Butterworth  - maximamente plano em banda passante e banda de parada para a ordem dada
• Filtro Chebyshev (Tipo I)  - maximamente plano na faixa de parada, corte mais nítido do que um filtro Butterworth da mesma ordem
• Filtro Chebyshev (Tipo II)  - maximamente plano em banda passante, corte mais nítido do que um filtro Butterworth da mesma ordem
• Filtro de Bessel  - melhor resposta de pulso para um determinado pedido porque não tem ondulação de atraso de grupo
• Filtro elíptico  - corte mais nítido (transição mais estreita entre a banda de passagem e a banda de parada) para a ordem dada
• Filtro "L" ideal
• Filtro Gaussiano  - atraso mínimo do grupo; não dá ultrapassagem a uma função de etapa
• Filtro de ampulheta
• Filtro de cosseno elevado

Engenharia de Controle

Na engenharia de controle e na teoria de controle, a função de transferência é derivada usando a transformada de Laplace .

A função de transferência foi a principal ferramenta usada na engenharia de controle clássica. No entanto, ele provou ser pesado para a análise de sistemas de múltiplas entradas e saídas múltiplas (MIMO) e foi amplamente suplantado por representações de espaço de estado para tais sistemas. Apesar disso, uma matriz de transferência pode sempre ser obtida para qualquer sistema linear, a fim de analisar sua dinâmica e outras propriedades: cada elemento de uma matriz de transferência é uma função de transferência que relaciona uma determinada variável de entrada a uma variável de saída.

Uma representação útil de espaço de estado em ponte e métodos de função de transferência foi proposta por Howard H. Rosenbrock e é referida como matriz do sistema de Rosenbrock .

Óptica

Em óptica, a função de transferência de modulação indica a capacidade de transmissão de contraste óptico.

Por exemplo, ao observar uma série de franjas de luz preto e branco desenhadas com uma frequência espacial específica, a qualidade da imagem pode diminuir. As franjas brancas desbotam enquanto as pretas ficam mais brilhantes.

A função de transferência de modulação em uma frequência espacial específica é definida por

${\ displaystyle \ mathrm {MTF} (f) = {\ frac {M (\ mathrm {imagem})} {M (\ mathrm {fonte})}},}$

onde a modulação (M) é calculada a partir da seguinte imagem ou brilho da luz:

${\ displaystyle M = {\ frac {L _ {\ max} -L _ {\ min}} {L _ {\ max} + L _ {\ min}}}.}$

Imaging

Na geração de imagens , as funções de transferência são usadas para descrever a relação entre a luz da cena, o sinal da imagem e a luz exibida.

Sistemas não lineares

As funções de transferência não existem adequadamente para muitos sistemas não lineares . Por exemplo, eles não existem para osciladores de relaxamento ; no entanto, as funções de descrição às vezes podem ser usadas para aproximar esses sistemas invariantes no tempo não lineares.

Veja também

Referências

links externos

• ECE 209: Revisão de Circuitos como Sistemas LTI - Breve introdução sobre a análise matemática de sistemas LTI (elétricos).