Método de volume finito - Finite volume method

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
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Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

O método dos volumes finitos ( FVM ) é um método para representar e avaliar equações diferenciais parciais na forma de equações algébricas. No método dos volumes finitos, integrais de volume em uma equação diferencial parcial que contém um termo de divergência são convertidos em integrais de superfície , usando o teorema da divergência . Esses termos são então avaliados como fluxos nas superfícies de cada volume finito. Como o fluxo que entra em um determinado volume é idêntico ao que sai do volume adjacente, esses métodos são conservadores . Outra vantagem do método de volume finito é que ele é facilmente formulado para permitir malhas não estruturadas. O método é usado em muitos pacotes de dinâmica de fluidos computacional . "Volume finito" refere-se ao pequeno volume em torno de cada ponto de nó em uma malha.

Os métodos de volume finito podem ser comparados e contrastados com os métodos de diferença finita , que aproximam derivadas usando valores nodais, ou métodos de elementos finitos , que criam aproximações locais de uma solução usando dados locais e constroem uma aproximação global juntando-os. Em contraste, um método de volume finito avalia expressões exatas para o valor médio da solução em algum volume e usa esses dados para construir aproximações da solução dentro das células.

Exemplo

Considere um problema de advecção 1D simples :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = 0, \ quad t \ geq 0.}$

( 1 )

Aqui, representa a variável de estado e representa o fluxo ou fluxo de . Convencionalmente, o positivo representa o fluxo para a direita, enquanto o negativo representa o fluxo para a esquerda. Se assumirmos que a equação ( 1 ) representa um meio fluido de área constante, podemos subdividir o domínio espacial,, em volumes finitos ou células com centros celulares indexados como . Para uma determinada célula, podemos definir o valor médio do volume de uma vez e , como ${\ displaystyle \ rho = \ rho \ left (x, t \ right)}$${\ displaystyle f = f \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ rho} _ {i} \ left (t \ right) = \ rho \ left (x, t \ right)}$${\ displaystyle {t = t_ {1}}}$${\ displaystyle {x \ in \ left [x_ {i - {\ frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \ right]}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {1} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ { i - {\ frac {1} {2}}}}} \ int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}} }} \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) \, dx,}$

( 2 )

e no momento como, ${\ displaystyle t = t_ {2}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ { i - {\ frac {1} {2}}}}} \ int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}} }} \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) \, dx,}$

( 3 )

onde e representam os locais das faces ou bordas a montante e a jusante, respectivamente, da célula. ${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle i ^ {\ text {th}}}$

Integrando a equação ( 1 ) no tempo, temos:

${\ displaystyle \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) = \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} \ left (x, t \ right) \, dt,}$

( 4 )

onde . ${\ displaystyle f_ {x} = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}}}$

Para obter a média do volume de uma vez , integramos o volume da célula e dividimos o resultado por , ou seja, ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t \ right)}$${\ displaystyle t = t_ {2}}$${\ displaystyle \ rho \ left (x, t_ {2} \ right)}$${\ displaystyle \ left [x_ {i - {\ frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \ right]}$${\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ int _ {x_ {i- { \ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ left \ {\ rho \ left (x, t_ {1} \ right) - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} \ left (x, t \ right) dt \ right \} dx.}$

( 5 )

Assumimos que é bem comportado e que podemos inverter a ordem de integração. Além disso, lembre-se de que o fluxo é normal para a área da unidade da célula. Agora, uma vez que em uma dimensão , podemos aplicar o teorema da divergência , ou seja , e substituir a integral de volume da divergência com os valores de avaliados na superfície da célula (bordas e ) do volume finito da seguinte forma: ${\ displaystyle f \}$${\ displaystyle f_ {x} \ triangleq \ nabla \ cdot f}$${\ displaystyle \ oint _ {v} \ nabla \ cdot fdv = \ oint _ {S} f \, dS}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {1} \ right) - { \ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left (\ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i + {\ frac {1} {2}}} dt- \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i - {\ frac {1} {2}}} dt \ right).}$

( 6 )

onde . ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}} = f \ left (x_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}, t \ right)}$

Podemos, portanto, derivar um esquema numérico semi-discreto para o problema acima com centros de células indexados como , e com fluxos de borda de células indexados como , diferenciando ( 6 ) em relação ao tempo para obter: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i \ pm {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d {\ bar {\ rho}} _ {i}} {dt}} + {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left [f_ {i + {\ frac {1} {2}}} - f_ {i - {\ frac {1} {2}}} \ right] = 0,}$

( 7 )

onde os valores para os fluxos de borda,, podem ser reconstruídos por interpolação ou extrapolação das médias das células. A equação ( 7 ) é exata para as médias de volume; ou seja, nenhuma aproximação foi feita durante sua derivação. ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}}$

Este método também pode ser aplicado a uma situação 2D considerando as faces norte e sul junto com as faces leste e oeste ao redor de um nó.

Lei geral de conservação

Podemos também considerar o problema geral da lei de conservação , representado pelo seguinte PDE ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {u}} \ right) = {\ mathbf {0}}.}$

( 8 )

Aqui, representa um vetor de estados e representa o tensor de fluxo correspondente . Novamente, podemos subdividir o domínio espacial em volumes finitos ou células. Para uma célula particular,, tomamos o volume integral sobre o volume total da célula ,, o que dá, ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v_ {i}}$

${\ displaystyle \ int _ {v_ {i}} {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} \, dv + \ int _ {v_ {i}} \ nabla \ cdot {\ mathbf { f}} \ left ({\ mathbf {u}} \ right) \, dv = {\ mathbf {0}}.}$

( 9 )

Ao integrar o primeiro termo para obter a média do volume e aplicar o teorema da divergência ao segundo, isso resulta

${\ displaystyle v_ {i} {{d {\ mathbf {\ bar {u}}} _ {i}} \ over dt} + \ oint _ {S_ {i}} {\ mathbf {f}} \ left ( {\ mathbf {u}} \ right) \ cdot {\ mathbf {n}} \ dS = {\ mathbf {0}},}$

( 10 )

onde representa a área de superfície total da célula e é um vetor unitário normal à superfície e apontando para fora. Então, finalmente, podemos apresentar o resultado geral equivalente a ( 8 ), ou seja, ${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

${\ displaystyle {{d {\ mathbf {\ bar {u}}} _ {i}} \ over {dt}} + {{1} \ over {v_ {i}}} \ oint _ {S_ {i} } {\ mathbf {f}} \ left ({\ mathbf {u}} \ right) \ cdot {\ mathbf {n}} \ dS = {\ mathbf {0}}.}$

( 11 )

Novamente, os valores para os fluxos de borda podem ser reconstruídos por interpolação ou extrapolação das médias das células. O esquema numérico real dependerá da geometria do problema e da construção da malha. A reconstrução MUSCL é frequentemente usada em esquemas de alta resolução onde choques ou descontinuidades estão presentes na solução.

Os esquemas de volumes finitos são conservadores, pois as médias das células mudam ao longo dos fluxos de borda. Em outras palavras, a perda de uma célula é o ganho de outra célula !

Veja também

• Método do elemento finito
• Limitador de fluxo
• Esquema de Godunov
• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolução
• KIVA (software)
• Modelo de Circulação Geral do MIT
• Esquema MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Variação total diminuindo
• Método de volume finito para fluxo instável

Leitura adicional

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) O método de volumes finitos Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, pág. 713–1020. Editores: PG Ciarlet e JL Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows , Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Métodos Numéricos para Leis de Conservação , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Métodos de volume finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow , Hemisphere.
• Tannehill, John C. , et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer , 2ª Ed., Taylor e Francis.
• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics , Springer-Verlag.

Referências

links externos

• Métodos de volumes finitos por R. Eymard, T Gallouët e R. Herbin , atualização do artigo publicado no Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. "O Método dos Volumes Finitos (FVM) - Uma introdução" . Arquivado do original em 02/10/2009. Citar diário requer |journal=( ajuda ), disponível no GFDL .
• FiPy: um solucionador de PDE de volume finito usando Python do NIST.
• CLAWPACK : um pacote de software projetado para calcular soluções numéricas para equações diferenciais parciais hiperbólicas usando uma abordagem de propagação de onda