Sistema algébrico-diferencial de equações - Differential-algebraic system of equations

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
Alcance Ciências Naturais Engenharia Astronomia Física Química Biologia Geologia Matemática Aplicada Mecânica de continuidade Teoria do caos Sistemas dinâmicos Ciências Sociais Economia Dinâmica populacional
Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Em matemática , um sistema diferencial-algébrico de equações ( DAEs ) é um sistema de equações que contém equações diferenciais e equações algébricas ou é equivalente a tal sistema. Tais sistemas ocorrem como a forma geral de (sistemas de) equações diferenciais para funções de valor vetorial x em uma variável independente t ,

${\ displaystyle F ({\ dot {x}} (t), \, x (t), \, t) = 0}$

onde é um vetor de variáveis ​​dependentes e o sistema possui tantas equações ,. Eles são distintos da equação diferencial ordinária (ODE) em que um DAE não é completamente solucionável para as derivadas de todos os componentes da função x porque estes podem não aparecer todos (isto é, algumas equações são algébricas); tecnicamente, a distinção entre um sistema ODE implícito [que pode ser tornado explícito] e um sistema DAE é que a matriz Jacobiana é uma matriz singular para um sistema DAE. Essa distinção entre EDOs e DAEs é feita porque os DAEs têm características diferentes e geralmente são mais difíceis de resolver. ${\ displaystyle x: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x (t) = (x_ {1} (t), \ dots, x_ {n} (t))}$${\ displaystyle F = (F_ {1}, \ dots, F_ {n}): \ mathbb {R} ^ {2n + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial F (u, v, t)} {\ partial u}}}$

Em termos práticos, a distinção entre DAEs e ODEs é frequentemente que a solução de um sistema DAE depende das derivadas do sinal de entrada e não apenas do próprio sinal como no caso das ODEs; esse problema é comumente encontrado em sistemas com histerese , como o gatilho Schmitt .

Esta diferença é mais claramente visível se o sistema puder ser reescrito de forma que em vez de x consideremos um par de vetores de variáveis ​​dependentes e a DAE tenha a forma ${\ displaystyle (x, y)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} (t) & = f (x (t), y (t), t), \\ 0 & = g (x (t), y (t ), t). \ end {alinhado}}}$

onde , , e${\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle y (t) \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n + m + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {m}.}$

Um sistema DAE desta forma é denominado semi-explícito . Cada solução da segunda metade g da equação define uma direção única para x por meio da primeira metade f das equações, enquanto a direção para y é arbitrária. Mas nem todo ponto (x, y, t) é uma solução de g . As variáveis ​​em xea primeira metade f das equações obtêm o diferencial de atributo . Os componentes de ye a segunda metade g das equações são chamados de variáveis algébricas ou equações do sistema. [O termo algébrico no contexto de DAEs significa apenas livre de derivadas e não está relacionado à álgebra (abstrata).]

A solução de um DAE consiste em duas partes, primeiro a busca por valores iniciais consistentes e a segunda o cálculo de uma trajetória. Para encontrar valores iniciais consistentes, muitas vezes é necessário considerar as derivadas de algumas das funções componentes da DAE. A ordem mais alta de uma derivada necessária para esse processo é chamada de índice de diferenciação . As equações derivadas no cálculo do índice e valores iniciais consistentes também podem ser úteis no cálculo da trajetória. Um sistema DAE semi-explícito pode ser convertido em implícito diminuindo o índice de diferenciação em um e vice-versa.

Outras formas de DAEs

A distinção de DAEs para EDOs torna-se aparente se algumas das variáveis ​​dependentes ocorrerem sem seus derivados. O vetor de variáveis ​​dependentes pode então ser escrito como um par e o sistema de equações diferenciais da DAE aparece na forma ${\ displaystyle (x, y)}$

${\ displaystyle F \ left ({\ dot {x}}, x, y, t \ right) = 0}$

Onde

• ${\ displaystyle x}$, um vetor em , são variáveis ​​dependentes para as quais as derivadas estão presentes ( variáveis ​​diferenciais ),${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• ${\ displaystyle y}$, um vetor em , são variáveis ​​dependentes para as quais nenhuma derivada está presente ( variáveis ​​algébricas ),${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$
• ${\ displaystyle t}$, um escalar (geralmente o tempo) é uma variável independente.
• ${\ displaystyle F}$é um vetor de funções que envolve subconjuntos dessas variáveis ​​e derivadas.${\ displaystyle n + m}$${\ displaystyle n + m + 1}$${\ displaystyle n}$

Como um todo, o conjunto de DAEs é uma função

${\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {(2n + m + 1)} \ to \ mathbb {R} ^ {(n + m)}.}$

As condições iniciais devem ser uma solução do sistema de equações da forma

${\ displaystyle F \ left ({\ dot {x}} (t_ {0}), \, x (t_ {0}), y (t_ {0}), t_ {0} \ right) = 0.}$

Exemplos

O comportamento de um pêndulo de comprimento L com centro em (0,0) em coordenadas cartesianas ( x , y ) é descrito pelas equações de Euler-Lagrange

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = u, & {\ dot {y}} & = v, \\ {\ dot {u}} & = \ lambda x, & {\ ponto {v}} & = \ lambda yg, \\ x ^ {2} + y ^ {2} & = L ^ {2}, \ end {alinhado}}}$

onde está um multiplicador de Lagrange . As variáveis de momentum u e v devem ser limitados pela lei da conservação da energia e sua direção deve apontar ao longo do círculo. Nenhuma das condições é explícita nessas equações. A diferenciação da última equação leva a ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {align} && {\ dot {x}} \, x + {\ dot {y}} \, y & = 0 \\\ Rightarrow && u \, x + v \, y & = 0, \ end {alinhado}}}$

restringindo a direção do movimento à tangente do círculo. A próxima derivada desta equação implica

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} && {\ dot {u}} \, x + {\ dot {v}} \, y + u \, {\ dot {x}} + v \, {\ dot {y }} & = 0, \\\ Rightarrow && \ lambda (x ^ {2} + y ^ {2}) - gy + u ^ {2} + v ^ {2} & = 0, \\\ Rightarrow && L ^ {2} \, \ lambda -gy + u ^ {2} + v ^ {2} & = 0, \ end {alinhado}}}$

e a derivada dessa última identidade simplifica o que implica implicitamente a conservação de energia, uma vez que, após a integração, a constante é a soma da energia cinética e potencial. ${\ displaystyle L ^ {2} {\ dot {\ lambda}} - 3gv = 0}$${\ displaystyle E = {\ tfrac {3} {2}} gy - {\ tfrac {1} {2}} L ^ {2} \ lambda = {\ frac {1} {2}} (u ^ {2 } + v ^ {2}) + gy}$

Para obter valores derivados únicos para todas as variáveis ​​dependentes, a última equação foi diferenciada três vezes. Isso dá um índice de diferenciação de 3, que é típico para sistemas mecânicos restritos.

Se os valores iniciais e um sinal para y forem fornecidos, as outras variáveis ​​serão determinadas por meio de , e se então e . Para avançar para o próximo ponto é suficiente para obter os derivados de x e u , isto é, o sistema para resolver é agora ${\ displaystyle (x_ {0}, u_ {0})}$${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {L ^ {2} -x ^ {2}}}}$${\ displaystyle y \ neq 0}$${\ displaystyle v = -ux / y}$${\ displaystyle \ lambda = (gy-u ^ {2} -v ^ {2}) / L ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = u, \\ {\ dot {u}} & = \ lambda x, \\ [0.3em] 0 & = x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2}, \\ 0 & = ux + vy, \\ 0 & = u ^ {2} -gy + v ^ {2} + L ^ {2} \, \ lambda. \ End { alinhado}}}$

Este é um DAE semi-explícito de índice 1. Outro conjunto de equações semelhantes pode ser obtido a partir de e um sinal para x . ${\ displaystyle (y_ {0}, v_ {0})}$

DAEs também ocorrem naturalmente na modelagem de circuitos com dispositivos não lineares. A análise nodal modificada empregando DAEs é usada, por exemplo, na onipresente família SPICE de simuladores de circuito numérico. Da mesma forma, o pacote Analog Insydes Mathematica do Fraunhofer pode ser usado para derivar DAEs de uma netlist e então simplificar ou mesmo resolver as equações simbolicamente em alguns casos. É importante notar que o índice de um DAE (de um circuito) pode ser feito arbitrariamente alto por cascata / acoplamento via capacitores amplificadores operacionais com feedback positivo .

DAE semi-explícito do índice 1

DAE do formulário

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ ponto {x}} & = f (x, y, t), \\ 0 & = g (x, y, t). \ end {alinhado}}}$

são chamados de semi-explícitos. A propriedade index-1 requer que g seja solucionável para y . Em outras palavras, o índice de diferenciação é 1 se por diferenciação das equações algébricas para t um sistema ODE implícito resulta,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x, y, t) \\ 0 & = \ partial _ {x} g (x, y, t) {\ dot {x} } + \ partial _ {y} g (x, y, t) {\ dot {y}} + \ partial _ {t} g (x, y, t), \ end {alinhado}}}$

que é solucionável para se${\ displaystyle ({\ dot {x}}, \, {\ dot {y}})}$${\ displaystyle \ det \ left (\ partial _ {y} g (x, y, t) \ right) \ neq 0.}$

Cada DAE suficientemente suave é quase em todos os lugares redutível a esta forma de índice-1 semi-explícita.

Tratamento numérico de DAE e aplicações

Dois problemas principais na resolução de DAEs são a redução do índice e as condições iniciais consistentes . A maioria dos solucionadores numéricos requerem equações diferenciais ordinárias e equações algébricas da forma

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {dx} {dt}} & = f \ left (x, y, t \ right), \\ 0 & = g \ left (x, y, t \ right) . \ end {alinhado}}}$

É uma tarefa não trivial converter sistemas DAE arbitrários em ODEs para solução por solucionadores puros de ODE. As técnicas que podem ser empregadas incluem o algoritmo de Pantelides e o método de redução do índice derivado simulado . Alternativamente, uma solução direta de DAEs de alto índice com condições iniciais inconsistentes também é possível. Esta abordagem de solução envolve uma transformação dos elementos derivados por meio de colocação ortogonal em elementos finitos ou transcrição direta em expressões algébricas. Isso permite que DAEs de qualquer índice sejam resolvidos sem rearranjo na forma de equação aberta

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 0 & = f \ left ({\ frac {dx} {dt}}, x, y, t \ right), \\ 0 & = g \ left (x, y, t \ right) ). \ end {alinhado}}}$

Depois que o modelo foi convertido para a forma de equação algébrica, ele pode ser resolvido por solucionadores de programação não linear em grande escala (consulte APMonitor ).

Tractability

Várias medidas de tratabilidade DAEs em termos de métodos numéricos foram desenvolvidas, tais como índice de diferenciação , índice de perturbação , índice de tratabilidade , índice geométrico e o índice de Kronecker .

Análise estrutural para DAEs

Usamos o método para analisar um DAE. Construímos para o DAE uma matriz de assinatura , onde cada linha corresponde a cada equação e cada coluna corresponde a cada variável . A entrada em posição é , que denota a ordem mais alta de derivada para a qual ocorre em , ou se não ocorre em . ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma = (\ sigma _ {i, j})}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ sigma _ {i, j}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle f_ {i}}$

Para o pêndulo DAE acima, as variáveis ​​são . A matriz de assinatura correspondente é ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = (x, y, u, v, \ lambda)}$

${\ displaystyle \ Sigma = {\ begin {bmatrix} 1 & - & 0 ^ {\ bullet} & - & - \\ - & 1 ^ {\ bullet} & - & 0 & - \\ 0 & - & 1 & - & 0 ^ {\ bullet} \ \ - & 0 & - & 1 ^ {\ bullet} & 0 \\ 0 ^ {\ bullet} & 0 & - & - & - \ end {bmatrix}}}$

Veja também

• Equação diferencial algébrica , um conceito diferente, apesar do nome semelhante
• Equação diferencial de atraso
• Equação algébrica diferencial parcial
• Linguagem modelica

Referências

Leitura adicional

links externos

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations