Método das características - Method of characteristics

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
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Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Em matemática , o método das características é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais . Normalmente, ele se aplica a equações de primeira ordem , embora mais geralmente o método das características seja válido para qualquer equação diferencial parcial hiperbólica . O método é reduzir uma equação diferencial parcial a uma família de equações diferenciais ordinárias ao longo da qual a solução pode ser integrada a partir de alguns dados iniciais fornecidos em uma hipersuperfície adequada .

Características da equação diferencial parcial de primeira ordem

Para uma PDE de primeira ordem ( equação diferencial parcial ), o método das características descobre curvas (chamadas curvas características ou apenas características) ao longo das quais a PDE se torna uma equação diferencial ordinária (ODE). Uma vez que a ODE é encontrada, ela pode ser resolvida ao longo das curvas características e transformada em uma solução para o PDE original.

Por uma questão de simplicidade, fixamos a atenção para o caso de uma função de duas variáveis independentes x e y para o momento. Considere um PDE quasilinear da forma

${\ displaystyle a (x, y, z) {\ frac {\ parcial z} {\ parcial x}} + b (x, y, z) {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} = c (x, y, z).}$

( 1 )

Suponha que uma solução z seja conhecida e considere o gráfico de superfície z  =  z ( x , y ) em R ³ . Um vetor normal para esta superfície é dado por

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} (x, y), {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} (x, y), - 1 \ right ). \,}$

Como resultado, a equação ( 1 ) é equivalente à declaração geométrica de que o campo vetorial

${\ displaystyle (a (x, y, z), b (x, y, z), c (x, y, z)) \,}$

é tangente à superfície z  =  z ( x , y ) em todos os pontos, pois o produto escalar desse campo vetorial com o vetor normal acima é zero. Em outras palavras, o gráfico da solução deve ser uma união de curvas integrais deste campo vetorial. Essas curvas integrais são chamadas de curvas características da equação diferencial parcial original e são dadas pelas equações de Lagrange –Charpit

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {dx} {dt}} & = & a (x, y, z), \\ {\ frac {dy} {dt}} & = & b (x , y, z), \\ {\ frac {dz} {dt}} & = & c (x, y, z). \ end {array}}}$

Uma forma invariante de parametrização das equações de Lagrange-Charpit é:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {a (x, y, z)}} = {\ frac {dy} {b (x, y, z)}} = {\ frac {dz} {c (x, y, z)}}.}$

Casos lineares e quase-lineares

Considere agora um PDE do formulário

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, u) {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x_ {i} }} = c (x_ {1}, \ pontos, x_ {n}, u).}$

Para que este PDE seja linear , os coeficientes a _i podem ser funções apenas das variáveis ​​espaciais e independentes de u . Para ser quase linear, a _i também pode depender do valor da função, mas não de quaisquer derivadas. A distinção entre esses dois casos não é essencial para a discussão aqui.

Para um PDE linear ou quase linear, as curvas características são fornecidas parametricamente por

${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, u) = (x_ {1} (s), \ dots, x_ {n} (s), u (s))}$

${\ displaystyle u (\ mathbf {X} (s)) = U (s)}$

de modo que o seguinte sistema de ODEs seja satisfeito

${\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}} = a_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, u)}$

( 2 )

${\ displaystyle {\ frac {du} {ds}} = c (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, u).}$

( 3 )

As equações ( 2 ) e ( 3 ) fornecem as características do PDE.

Prova para caso quase-linear

No caso quase-linear, o uso do método das características é justificado pela desigualdade de Grönwall . A equação acima pode ser escrita como

Devemos distinguir entre as soluções para o ODE e as soluções para o PDE, que não sabemos são iguais a priori. Deixando as letras maiúsculas serem as soluções para a EDO que encontramos

Examinando , descobrimos, ao diferenciar que ${\ displaystyle \ Delta (s) = | u (\ mathbf {X} (s)) - U (s) | ^ {2}}$

que é o mesmo que

Não podemos concluir o acima é 0 como gostaríamos, já que o PDE só nos garante que esta relação está satisfeito por , e nós ainda não sabemos que . ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {x}, u) \ cdot \ nabla u (\ mathbf {x}) = c (\ mathbf {x}, u)}$${\ displaystyle U (s) = u (\ mathbf {X} (s))}$

No entanto, podemos ver que

já que pelo PDE, o último termo é 0. Isso é igual a

Pela desigualdade do triângulo, temos

Supondo que sejam, pelo menos , podemos limitar isso para pequenos momentos. Escolha um bairro em torno pequeno o suficiente tal que são localmente Lipschitz . Por continuidade, permanecerá pequeno o suficiente . Uma vez que , também temos que ser pequeno o suficiente por continuidade. Então, e para . Além disso, para alguns para por compacidade. A partir disso, descobrimos que o acima é limitado como ${\ displaystyle \ mathbf {a}, c}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbf {X} (0), U (0)}$${\ displaystyle \ mathbf {a}, c}$${\ displaystyle (\ mathbf {X} (s), U (s))}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle U (0) = u (\ mathbf {X} (0))}$${\ displaystyle (\ mathbf {X} (s), u (\ mathbf {X} (s)))}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle (\ mathbf {X} (s), U (s)) \ in \ Omega}$${\ displaystyle (\ mathbf {X} (s), u (\ mathbf {X} (s))) \ in \ Omega}$${\ displaystyle s \ in [0, s_ {0}]}$${\ displaystyle \ | \ nabla u (\ mathbf {X} (s)) \ | \ leq M}$${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle s \ in [0, s_ {0}]}$

para alguns . É uma aplicação direta da Desigualdade de Grönwall para mostrar isso, uma vez que temos , enquanto essa desigualdade se mantém. Temos algum intervalo tal que neste intervalo. Escolha o maior de forma que seja verdade. Então, por continuidade ,. Desde que a ODE ainda tenha uma solução em algum intervalo depois , podemos repetir o argumento acima para encontrá-lo em um intervalo maior. Assim, enquanto a ODE tiver solução, nós temos . ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Delta (0) = 0}$${\ displaystyle \ Delta (s) = 0}$${\ displaystyle [0, \ epsilon)}$${\ displaystyle u (X (s)) = U (s)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle U (\ epsilon) = u (\ mathbf {X} (\ epsilon))}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle u (X (s)) = U (s)}$${\ displaystyle u (X (s)) = U (s)}$

Caso totalmente não linear

Considere a equação diferencial parcial

${\ displaystyle F (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, u, p_ {1}, \ dots, p_ {n}) = 0}$

( 4 )

onde as variáveis p _i são abreviações para as derivadas parciais

${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x_ {i}}}.}$

Seja ( x _i ( s ), u ( s ), p _i ( s )) uma curva em R ^{2n + 1} . Suponha que u seja qualquer solução, e que

${\ displaystyle u (s) = u (x_ {1} (s), \ dots, x_ {n} (s)).}$

Ao longo de uma solução, diferenciar ( 4 ) em relação a s dá

${\ displaystyle \ sum _ {i} (F_ {x_ {i}} + F_ {u} p_ {i}) {\ dot {x}} _ {i} + \ sum _ {i} F_ {p_ {i }} {\ dot {p}} _ {i} = 0}$

${\ displaystyle {\ dot {u}} - \ sum _ {i} p_ {i} {\ dot {x}} _ {i} = 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} ({\ dot {x}} _ {i} dp_ {i} - {\ dot {p}} _ {i} dx_ {i}) = 0.}$

A segunda equação segue aplicando a regra da cadeia a uma solução u , e a terceira segue tomando uma derivada externa da relação . Manipular essas equações dá ${\ displaystyle du- \ sum _ {i} p_ {i} \, dx_ {i} = 0}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {i} = \ lambda F_ {p_ {i}}, \ quad {\ dot {p}} _ {i} = - \ lambda (F_ {x_ {i}} + F_ {u} p_ {i}), \ quad {\ dot {u}} = \ lambda \ sum _ {i} p_ {i} F_ {p_ {i}}}$

onde λ é uma constante. Escrevendo essas equações de forma mais simétrica, obtém-se as equações de Lagrange-Charpit para a característica

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {x}} _ {i}} {F_ {p_ {i}}}} = - {\ frac {{\ dot {p}} _ {i}} {F_ { x_ {i}} + F_ {u} p_ {i}}} = {\ frac {\ ponto {u}} {\ sum p_ {i} F_ {p_ {i}}}}.}$

Geometricamente, o método das características no caso totalmente não linear pode ser interpretado como requerendo que o cone de Monge da equação diferencial deve ser tangente em todo lugar ao gráfico da solução.

Exemplo

Como exemplo, considere a equação de advecção (este exemplo pressupõe familiaridade com a notação PDE e soluções para EDOs básicas).

${\ displaystyle a {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} = 0}$

onde é constante e é função de e . Queremos transformar este PDE linear de primeira ordem em um ODE ao longo da curva apropriada; ou seja, algo na forma ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} u (x (s), t (s)) = F (u, x (s), t (s)),}$

onde é uma linha característica. Primeiro, encontramos ${\ displaystyle (x (s), t (s))}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} u (x (s), t (s)) = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} {\ frac {dx} {ds}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} {\ frac {dt} {ds}}}$

pela regra da cadeia. Agora, se definirmos e obtermos ${\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = a}$${\ displaystyle {\ frac {dt} {ds}} = 1}$

${\ displaystyle a {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}}}$

que é o lado esquerdo do PDE com o qual começamos. Desse modo

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} u = a {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} = 0.}$

Assim, ao longo da linha característica , o PDE original torna-se o ODE . Ou seja, ao longo das características, a solução é constante. Assim, onde e se encontram na mesma característica. Portanto, para determinar a solução geral, basta encontrar as características resolvendo o sistema característico dos EDOs: ${\ displaystyle (x (s), t (s))}$${\ displaystyle u_ {s} = F (u, x (s), t (s)) = 0}$${\ displaystyle u (x_ {s}, t_ {s}) = u (x_ {0}, 0)}$${\ displaystyle (x_ {s}, t_ {s}) \,}$${\ displaystyle (x_ {0}, 0)}$

• ${\ displaystyle {\ frac {dt} {ds}} = 1}$, informando- nos ,${\ displaystyle t (0) = 0}$${\ displaystyle t = s}$
• ${\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = a}$, informando- nos ,${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$${\ displaystyle x = as + x_ {0} = at + x_ {0}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {du} {ds}} = 0}$, informando- nos .${\ displaystyle u (0) = f (x_ {0})}$${\ displaystyle u (x (t), t) = f (x_ {0}) = f (x-at)}$

Nesse caso, as linhas características são linhas retas com inclinação e o valor de permanece constante ao longo de qualquer linha característica. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle u}$

Características dos operadores diferenciais lineares

Seja X uma variedade diferenciável e P um operador diferencial linear

${\ displaystyle P: C ^ {\ infty} (X) \ a C ^ {\ infty} (X)}$

de ordem k . Em um sistema de coordenadas local x ⁱ ,

${\ displaystyle P = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} P ^ {\ alpha} (x) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha}}}}$

em que α denota um índice múltiplo . O símbolo principal de P , denotado por σ _P , é a função no feixe cotangente T ^∗ X definido nessas coordenadas locais por

${\ displaystyle \ sigma _ {P} (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = k} P ^ {\ alpha} (x) \ xi _ {\ alpha}}$

onde os ξ _i são as coordenadas da fibra no feixe cotangente induzida pelos diferenciais de coordenadas dx ⁱ . Embora isso seja definido usando um sistema de coordenadas particular, a lei de transformação que relaciona ξ _i e x ⁱ garante que σ _P é uma função bem definida no feixe cotangente.

A função σ _P é homogênea de grau k na variável ξ . Os zeros de σ _P , afastando-se da secção de zero de t ^* X , são as características de P . Uma hipersuperfície de X definida pela equação F ( x ) =  c é chamada de uma hipersuperfície característica em x se

${\ displaystyle \ sigma _ {P} (x, dF (x)) = 0.}$

Invariavelmente, uma hipersuperfıcie característica é um hipersuperfıcie cujo feixe conormal é no conjunto característico de P .

Análise qualitativa de características

As características também são uma ferramenta poderosa para obter uma visão qualitativa de um PDE.

Pode-se usar o cruzamento das características para encontrar ondas de choque para fluxo potencial em um fluido compressível. Intuitivamente, podemos pensar em cada linha característica implicando uma solução ao longo de si mesma. Assim, quando duas características se cruzam, a função torna-se multivalorada, resultando em uma solução não física. Fisicamente, essa contradição é removida pela formação de uma onda de choque, uma descontinuidade tangencial ou uma descontinuidade fraca e pode resultar em um fluxo não potencial, violando as premissas iniciais. ${\ displaystyle u}$

As características podem não cobrir parte do domínio do PDE. Isso é chamado de rarefação e indica que a solução normalmente existe apenas em um sentido fraco, isto é , equação integral .

A direção das linhas características indicam o fluxo de valores através da solução, como o exemplo acima demonstra. Esse tipo de conhecimento é útil na resolução de PDEs numericamente, pois pode indicar qual esquema de diferenças finitas é o melhor para o problema.

Veja também

• Método das características quânticas

Notas

Referências

• Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Métodos de Física Matemática, Volume II , Wiley-Interscience
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Polianina, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws" , Journal of Online Mathematics and Its Applications.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Mecânica dos fluidos (9ª edição revisada internacional), McGraw-Hill Higher Education

links externos

• Tutorial do Prof. Scott Sarra sobre Método das Características
• Tutorial do Prof. Alan Hood sobre Método das Características