Diferença finita - Finite difference

Uma diferença finita é uma expressão matemática da forma $f (x + b) - f (x + a)$ . Se uma diferença finita é dividida por $b - a$ , obtém-se um quociente de diferença . A aproximação de derivadas por diferenças finitas desempenha um papel central nos métodos de diferenças finitas para a solução numérica de equações diferenciais , especialmente problemas de valor de contorno .

Certas relações de recorrência podem ser escritas como equações de diferença , substituindo a notação de iteração por diferenças finitas.

Hoje, o termo "diferença finita" é freqüentemente considerado sinônimo de aproximações de derivadas de diferenças finitas , especialmente no contexto de métodos numéricos . As aproximações de diferenças finitas são quocientes de diferenças finitas na terminologia empregada acima.

Diferenças finitas foram introduzidas por Brook Taylor em 1715 e também foram estudadas como objetos matemáticos autossuficientes abstratos nas obras de George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) e Károly Jordan (1939). As diferenças finitas remontam às suas origens a um dos algoritmos de Jost Bürgi ( c. 1592 ) e ao trabalho de outros, incluindo Isaac Newton . O cálculo formal de diferenças finitas pode ser visto como uma alternativa ao cálculo de infinitesimais .

Tipos básicos

Os três tipos de diferenças finitas. A diferença central sobre x fornece a melhor aproximação da derivada da função em x.

Três tipos básicos são comumente considerados: diferenças finitas para frente , para trás e centrais .

Uma diferença direta , denotada de uma função $f$ é uma função definida como ${\ displaystyle \ Delta _ {h} [f],}$

{\ displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x + h) -f (x).}

Dependendo da aplicação, o espaçamento $h$ pode ser variável ou constante. Quando omitido, $h$ é considerado 1; isso é,

{\ displaystyle \ Delta [f] (x) = \ Delta _ {1} [f] (x) = f (x + 1) -f (x).}

Uma diferença para trás usa os valores da função em $x$ e $x - h$ , em vez dos valores a $x + h$ e $x$ :

{\ displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh) = \ Delta _ {h} [f] (xh).}

Finalmente, a diferença central é dada por

{\ displaystyle \ delta _ {h} [f] (x) = f \ left (x + {\ tfrac {h} {2}} \ right) -f \ left (x - {\ tfrac {h} {2} } \ right) = \ Delta _ {h} [f] (x - {\ tfrac {h} {2}}).}

Relação com derivados

A diferença finita é freqüentemente usada como uma aproximação da derivada, normalmente na diferenciação numérica .

A derivada de uma função $f$ em um ponto $x$ é definida pelo limite .

{\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Se $h$ tem um valor fixo (diferente de zero) em vez de se aproximar de zero, então o lado direito da equação acima seria escrito

{\ displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.}

Portanto, a diferença direta dividida por $h$ aproxima a derivada quando $h$ é pequeno. O erro nesta aproximação pode ser derivado do teorema de Taylor . Assumindo que $f$ é duas vezes diferenciável, temos

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

A mesma fórmula vale para a diferença para trás:

{\ displaystyle {\ frac {\ nabla _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

No entanto, a diferença central (também chamada de centrada) produz uma aproximação mais precisa. Se $f$ é três vezes diferenciável,

{\ displaystyle {\ frac {\ delta _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O \ left (h ^ {2} \ right).}

O principal problema com o método da diferença central, entretanto, é que as funções oscilantes podem gerar derivada zero. Se $f (nh) = 1$ para $n$ ímpar $ef (nh) = 2$ para $n$ par, então $f' (nh) = 0$ se for calculado com o esquema de diferença central . Isso é particularmente problemático se o domínio de $f$ for discreto. Veja também derivada simétrica

Autores para os quais diferenças finitas significam aproximações de diferenças finitas definem as diferenças para frente / para trás / centrais como os quocientes dados nesta seção (em vez de empregar as definições fornecidas na seção anterior).

Diferenças de ordem superior

De forma análoga, pode-se obter aproximações de diferenças finitas para derivadas de ordem superior e operadores diferenciais. Por exemplo, usando a fórmula de diferença central acima para $f ′ ( x +.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} h/2)$ e $f' (x - h / 2)$ e aplicando uma fórmula de diferença central para a derivada de $f'$ em $x$ , obtemos a aproximação da diferença central da segunda derivada de $f$ :

Central de segunda ordem: ${\ displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} - {\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}}.}$

Da mesma forma, podemos aplicar outras fórmulas de diferenciação de maneira recursiva.

Segundo pedido para a frente: ${\ displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + 2h) -f (x + h)} {h}} - {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}} {h}} = {\ frac {f ( x + 2h) -2f (x + h) + f (x)} {h ^ {2}}}.}$

Segunda ordem para trás: ${\ displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}} - {\ frac {f (xh) -f (x-2h)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x) -2f (xh) + f (x-2h)} {h ^ {2}}}.}$

Mais geralmente, o $N$ ° de pedido para a frente, para trás, e centrais diferenças são dadas por, respectivamente,

Avançar: ${\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} {\ binom {n} {i}} f {\ bigl (} x + ih {\ bigr)},}$

ou para $h = 1$ ,

{\ displaystyle \ Delta ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (- 1) ^ {nk} f (x + k)}

Para trás: ${\ displaystyle \ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih),}$

Central: ${\ displaystyle \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f \ left (x + \ left ({\ frac {n} {2}} - i \ right) h \ right).}$

Essas equações usam coeficientes binomiais após o sinal de soma mostrado como $(n eu)$ . Cada linhado triângulodePascalfornece o coeficiente para cada valor de $i$ .

Observe que a diferença central terá, para $n$ ímpar , $h$ multiplicado por números não inteiros. Isso costuma ser um problema porque significa alterar o intervalo de discretização. O problema pode ser resolvido tomando a média de $δ n [f] (x - h / 2)$ e $δ n [f] (x + h / 2)$ .

As diferenças diretas aplicadas a uma sequência são algumas vezes chamadas de transformação binomial da sequência e têm várias propriedades combinatórias interessantes. As diferenças futuras podem ser avaliadas usando a integral de Nörlund-Rice . A representação integral para esses tipos de série é interessante, porque a integral pode frequentemente ser avaliada usando expansão assintótica ou técnicas de ponto de sela ; em contraste, a série de diferença direta pode ser extremamente difícil de avaliar numericamente, porque os coeficientes binomiais crescem rapidamente para $n$ grande .

A relação dessas diferenças de ordem superior com os respectivos derivados é direta,

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}} (x) = {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac { \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O \ esquerda (h ^ {2} \ direita).}

Diferenças de ordem superior também podem ser usadas para construir melhores aproximações. Como mencionado acima, a diferença de primeira ordem se aproxima da derivada de primeira ordem até um termo da ordem $h$ . No entanto, a combinação

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x) - {\ frac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h} } = - {\ frac {f (x + 2h) -4f (x + h) + 3f (x)} {2h}}}

aproxima $f' (x)$ até um termo da ordem $h 2$ . Isso pode ser provado expandindo a expressão acima na série de Taylor ou usando o cálculo de diferenças finitas, explicado a seguir.

Se necessário, a diferença finita pode ser centrada em qualquer ponto, misturando diferenças para a frente, para trás e centrais.

Kernels de tamanho arbitrário

Usando álgebra linear, pode-se construir aproximações de diferenças finitas que utilizam um número arbitrário de pontos à esquerda e um número (possivelmente diferente) de pontos à direita do ponto de avaliação, para qualquer derivada de ordem. Isso envolve a solução de um sistema linear de modo que a expansão de Taylor da soma desses pontos em torno do ponto de avaliação se aproxime da expansão de Taylor da derivada desejada. Essas fórmulas podem ser representadas graficamente em uma grade hexagonal ou em forma de diamante.

Isso é útil para diferenciar uma função em uma grade, onde, conforme alguém se aproxima da borda da grade, deve-se amostrar cada vez menos pontos de um lado.

Os detalhes são descritos nestas notas .

A Calculadora de Coeficientes de Diferença Finita constrói aproximações de diferença finita para estênceis não padrão (e até mesmo não inteiros) dados um estêncil arbitrário e uma ordem derivada desejada.

Propriedades

Para todos os $k$ e $n$ positivos

{\ displaystyle \ Delta _ {kh} ^ {n} (f, x) = \ sum \ limits _ {i_ {1} = 0} ^ {k-1} \ sum \ limits _ {i_ {2} = 0 } ^ {k-1} \ cdots \ sum \ limits _ {i_ {n} = 0} ^ {k-1} \ Delta _ {h} ^ {n} \ left (f, x + i_ {1} h + i_ {2} h + \ cdots + i_ {n} h \ direita).}

Regra Leibniz :

{\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} (fg, x) = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ Delta _ {h} ^ {k} (f, x) \ Delta _ {h} ^ {nk} (g, x + kh).}

Em equações diferenciais

Uma aplicação importante das diferenças finitas é na análise numérica , especialmente em equações diferenciais numéricas , que visam a solução numérica de equações diferenciais ordinárias e parciais . A ideia é substituir as derivadas que aparecem na equação diferencial por diferenças finitas que as aproximam. Os métodos resultantes são chamados de métodos de diferenças finitas .

As aplicações comuns do método de diferenças finitas são em ciências da computação e disciplinas de engenharia, como engenharia térmica , mecânica dos fluidos , etc.

Série de newton

A série de Newton consiste nos termos da equação de diferença direta de Newton , nomeada em homenagem a Isaac Newton ; em essência, é a fórmula de interpolação de Newton , publicada pela primeira vez em seus Principia Mathematica em 1687, ou seja, o análogo discreto da expansão contínua de Taylor,

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {k} [f] (a)} {k!}} \, (xa) _ { k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {xa} {k}} \, \ Delta ^ {k} [f] (a),}$

que é válido para qualquer função polinomial $f$ e para muitas (mas não todas) funções analíticas (Não é válido quando $f$ é do tipo exponencial . Isso é facilmente visto, pois a função seno desaparece em múltiplos inteiros de ; a série de Newton correspondente é idêntica a zero , como todas as diferenças finitas são zero neste caso. No entanto, claramente, a função seno não é zero.). Aqui, a expressão ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$

{\ displaystyle {\ binom {x} {k}} = {\ frac {(x) _ {k}} {k!}}}

é o coeficiente binomial , e

{\ displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)}

é o " fatorial decrescente " ou "fatorial inferior", enquanto o produto vazio $(x) 0$ é definido como 1. Neste caso particular, há uma suposição de passos unitários para as mudanças nos valores de $x, h = 1$ da generalização abaixo.

Observe a correspondência formal desse resultado com o teorema de Taylor . Historicamente, isso, bem como a identidade Chu-Vandermonde ,

{\ displaystyle (x + y) _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \, (y) _ {k },}

(decorrente dele, e correspondente ao teorema binomial ), estão incluídos nas observações que amadureceram para o sistema de cálculo umbral .

Para ilustrar como se pode usar a fórmula de Newton na prática real, considere os primeiros termos de duplicação da sequência de Fibonacci $f = 2, 2, 4, ...$ Pode-se encontrar um polinômio que reproduz esses valores, calculando primeiro uma tabela de diferenças, e, em seguida, substituindo as diferenças que correspondem a $x 0$ (sublinhado) na fórmula da seguinte forma,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {array} {| c || c | c | c |} \ hline x & f = \ Delta ^ {0} & \ Delta ^ {1} & \ Delta ^ {2 } \\\ hline 1 & {\ underline {2}} && \\ && {\ underline {0}} & \\ 2 & 2 && {\ underline {2}} \\ && 2 & \\ 3 & 4 && \\\ hline \ end {array} } & \ quad {\ begin {alinhados} f (x) & = \ Delta ^ {0} \ cdot 1+ \ Delta ^ {1} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {1} } {1!}} + \ Delta ^ {2} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {2}} {2!}} \ Quad (x_ {0} = 1) \\\ \ & = 2 \ cdot 1 + 0 \ cdot {\ dfrac {x-1} {1}} + 2 \ cdot {\ dfrac {(x-1) (x-2)} {2}} \\\\ & = 2 + (x-1) (x-2) \\\ fim {alinhado}} \ fim {matriz}}}

Para o caso de etapas não uniformes nos valores de $x$ , Newton calcula as diferenças divididas ,

{\ displaystyle \ Delta _ {j, 0} = y_ {j}, \ qquad \ Delta _ {j, k} = {\ frac {\ Delta _ {j + 1, k-1} - \ Delta _ {j , k-1}} {x_ {j + k} -x_ {j}}} \ quad \ ni \ quad \ left \ {k> 0, \; j \ leq \ max \ left (j \ right) -k \ right \}, \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Delta _ {0, k}}

a série de produtos,

{\ displaystyle {P_ {0}} = 1, \ quad \ quad P_ {k + 1} = P_ {k} \ cdot \ left (\ xi -x_ {k} \ right),}

e o polinômio resultante é o produto escalar ,

{\ displaystyle f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ left (\ xi \ right)}

.

Em análise com números $p$ -adic , o teorema de Mahler afirma que a suposição de que $f$ é uma função polinomial pode ser enfraquecida até a suposição de que $f$ é meramente contínua.

O teorema de Carlson fornece as condições necessárias e suficientes para que uma série de Newton seja única, se existir. No entanto, uma série de Newton não existe, em geral.

A série Newton, junto com a série Stirling e a série Selberg , é um caso especial das séries de diferenças gerais , todas as quais são definidas em termos de diferenças progressivas adequadamente dimensionadas.

Em uma forma comprimida e um pouco mais geral e nós equidistantes, a fórmula lê

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} {\ binom {\ frac {xa} {h}} {k}} \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {\ binom {k} {j}} f (a + jh).}

Cálculo de diferenças finitas

A diferença direta pode ser considerada como um operador , chamado de operador de diferença , que mapeia a função $f$ para $Δ h [f]$ . Este operador equivale a

{\ displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I,}

onde $T h$ é o operador de deslocamento com passo h , definido por $T h [f] (x) = f (x + h)$ , e $I$ é o operador de identidade .

A diferença finita de ordens superiores pode ser definida de maneira recursiva como $Δ n h \equiv Δ h (Δ n - 1 h)$ . Outra definição equivalente é $Δ n h = [T h - I] n$ .

O operador diferença $Δ h$ é um operador linear , como tal satisfaz $Δ h [αf + βg] (x) = α Δ h [f] (x) + β Δ h [g] (x)$ .

Também satisfaz uma regra especial de Leibniz indicada acima, $Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x))$ . Afirmações semelhantes valem para as diferenças anteriores e centrais.

A aplicação formal da série de Taylor em relação a $h$ , resulta na fórmula

{\ displaystyle \ Delta _ {h} = hD + {\ frac {1} {2!}} h ^ {2} D ^ {2} + {\ frac {1} {3!}} h ^ {3} D ^ {3} + \ cdots = \ mathrm {e} ^ {hD} -I,}

onde $D$ denota o operador derivativo contínuo, mapeando $f$ para sua derivada $f'$ . A expansão é válida quando ambos os lados atuam em funções analíticas , para $h$ suficientemente pequeno . Assim, $T h = e hD$ , e formalmente invertendo os rendimentos exponenciais

{\ displaystyle hD = \ log (1+ \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} + {\ tfrac { 1} {3}} \ Delta _ {h} ^ {3} - \ cdots.}

Essa fórmula é válida no sentido de que ambos os operadores fornecem o mesmo resultado quando aplicados a um polinômio.

Mesmo para funções analíticas, a série à direita não tem garantia de convergência; pode ser uma série assintótica . No entanto, pode ser usado para obter aproximações mais precisas para a derivada. Por exemplo, reter os dois primeiros termos da série resulta na aproximação de segunda ordem para $f' (x)$ mencionada no final da seção Diferenças de ordem superior .

As fórmulas análogas para os operadores de diferença reversa e central são

{\ displaystyle hD = - \ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ text {and}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ delta _ {h} \ right).}

O cálculo das diferenças finitas está relacionado ao cálculo umbral da combinatória. Esta correspondência notavelmente sistemática é devida à identidade dos comutadores das quantidades umbrais com seus análogos contínuos ( $h \to 0$ limites),

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ Delta _ {h}} {h}}, x \, T_ {h} ^ {- 1} \ right] = [D, x] = I.}$

Um grande número de relações diferenciais formais de cálculo padrão envolvendo funções $f (x),$ portanto, mapeiam sistematicamente para análogos de diferenças finitas umbrais envolvendo $f (xT -1 h)$ .

Por exemplo, o análogo umbral de um monômio $x n$ é uma generalização do fatorial decrescente acima ( símbolo k de Pochhammer ),

{\ displaystyle ~ (x) _ {n} \ equiv \ left (xT_ {h} ^ {- 1} \ right) ^ {n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x - (n-1) h {\ bigr)},}

de modo a

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (x) _ {n} = n (x) _ {n-1},}

daí a fórmula de interpolação de Newton acima (combinando coeficientes na expansão de uma função arbitrária $f (x)$ em tais símbolos), e assim por diante.

Por exemplo, o seno umbral é

{\ displaystyle \ sin \ left (x \, T_ {h} ^ {- 1} \ right) = x - {\ frac {(x) _ {3}} {3!}} + {\ frac {(x ) _ {5}} {5!}} - {\ frac {(x) _ {7}} {7!}} + \ Cdots}

Como no limite do contínuo, a autofunção de $Δ h / h$ também é um exponencial,

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h) ^ {\ frac {x} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h}} {h }} e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}}} = \ lambda e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}} },}

e, portanto, somas de Fourier de funções contínuas são prontamente mapeadas para somas de Fourier umbral fielmente , isto é, envolvendo os mesmos coeficientes de Fourier multiplicando essas exponenciais de base umbral. Este exponencial umbral, portanto, equivale à função de geração exponencial dos símbolos de Pochhammer .

Assim, por exemplo, a função delta de Dirac mapeia para seu correspondente umbral, a função seno cardinal ,

{\ displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ frac {\ sin \ left [{\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 + {\ frac {x} {h}} \ right) \ right) ]} {\ pi (x + h)}},}

e assim por diante. Muitas vezes, as equações de diferença podem ser resolvidas com técnicas muito semelhantes às de equações diferenciais .

O operador inverso do operador de diferença direta, então a integral umbral, é a soma indefinida ou operador de antidiferença.

Regras para cálculo de operadores de diferenças finitas

Análogo às regras para encontrar a derivada , temos:

Regra constante : se $c$ for uma constante , então

{\ displaystyle \ Delta c = 0}

Linearidade : se $a$ e $b$ são constantes ,

{\ displaystyle \ Delta (af + bg) = a \, \ Delta f + b \, \ Delta g}

Todas as regras acima se aplicam igualmente bem a qualquer operador de diferença, incluindo $\nabla$ como para $Δ$ .

Regra do produto :

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Delta (fg) & = f \, \ Delta g + g \, \ Delta f + \ Delta f \, \ Delta g \\\ nabla (fg) & = f \, \ nabla g + g \, \ nabla f- \ nabla f \, \ nabla g \ end {alinhado}}}

Regra do quociente :

{\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ begin {bmatrix} \ nabla f & \ nabla g \\ f & g \ end {bmatrix}} \ left (\ det {\ begin {bmatrix} g & \ nabla g \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} \ right) ^ {- 1}}

ou

{\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {g \, \ nabla ff \, \ nabla g} {g \ cdot (g- \ nabla g)} }}

Regras de soma :

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ sum _ {n = a} ^ {b} \ Delta f (n) & = f (b + 1) -f (a) \\\ sum _ {n = a} ^ {b} \ nabla f (n) & = f (b) -f (a-1) \ end {alinhado}}}

Veja as referências.

Generalizações

Uma diferença finita generalizada é geralmente definida como ${\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {\ mu} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ mu _ {k} f (x + kh),}$ onde $μ = (μ 0,\dots, μ N)$ é seu vetor de coeficiente. Uma diferença infinita é uma generalização adicional, onde a soma finita acima é substituída por uma série infinita . Outra forma de generalização é fazer com que os coeficientes $μ k$ dependam do ponto $x$ : $μ k = μ k (x)$ , considerando assim a diferença finita ponderada . Também pode-se fazer a etapa $h$ depender do ponto $x$ : $h = h (x)$ . Essas generalizações são úteis para construir diferentes módulos de continuidade .
A diferença generalizada pode ser vista como os anéis polinomiais $R [T h]$ . Isso leva a diferentes álgebras.
O operador de diferença generaliza para a inversão de Möbius sobre um conjunto parcialmente ordenado .
Como um operador de convolução: Via o formalismo de álgebras de incidência , os operadores de diferença e outras inversões de Möbius podem ser representados por convolução com uma função no poset, chamada de função de Möbius $μ$ ; para o operador de diferença, $μ$ é a sequência (1, −1, 0, 0, 0, ...) .

Diferenças finitas multivariadas

Diferenças finitas podem ser consideradas em mais de uma variável. Eles são análogos às derivadas parciais em várias variáveis.

Algumas aproximações derivadas parciais são:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} f_ {x} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x + h, y) -f (xh, y)} {2h}} \\ f_ {y } (x, y) & \ approx {\ frac {f (x, y + k) -f (x, yk)} {2k}} \\ f_ {xx} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x + h, y) -2f (x, y) + f (xh, y)} {h ^ {2}}} \\ f_ {yy} (x, y) & \ approx {\ frac { f (x, y + k) -2f (x, y) + f (x, yk)} {k ^ {2}}} \\ f_ {xy} (x, y) & \ aprox {\ frac {f (x + h, y + k) -f (x + h, yk) -f (xh, y + k) + f (xh, yk)} {4hk}}. \ end {alinhado}}}

Alternativamente, para aplicações em que o cálculo de $f$ é a etapa mais cara, e tanto a primeira quanto a segunda derivadas devem ser calculadas, uma fórmula mais eficiente para o último caso é

{\ displaystyle f_ {xy} (x, y) \ approx {\ frac {f (x + h, y + k) -f (x + h, y) -f (x, y + k) + 2f (x , y) -f (xh, y) -f (x, yk) + f (xh, yk)} {2hk}},}

uma vez que os únicos valores a serem computados que ainda não são necessários para as quatro equações anteriores são $f (x + h, y + k)$ e $f (x - h, y - k)$ .

Veja também

Referências

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links externos

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