Coordenadas curvilíneas - Curvilinear coordinates
Em geometria , as coordenadas curvilíneas são um sistema de coordenadas para o espaço euclidiano no qual as linhas de coordenadas podem ser curvas. Essas coordenadas podem ser derivadas de um conjunto de coordenadas cartesianas usando uma transformação que é localmente invertível (um mapa um-para-um) em cada ponto. Isso significa que pode-se converter um ponto dado em um sistema de coordenadas cartesianas em suas coordenadas curvilíneas e vice-versa. O nome coordenadas curvilíneas , cunhado pelo matemático francês Lamé , deriva do fato de que as superfícies de coordenadas dos sistemas curvilíneos são curvas.
Exemplos bem conhecidos de sistemas de coordenadas curvilíneas no espaço euclidiano tridimensional ( R 3 ) são coordenadas cilíndricas e esféricas . Uma superfície de coordenadas cartesianas neste espaço é um plano de coordenadas ; por exemplo, z = 0 define o plano x - y . No mesmo espaço, a superfície coordenada r = 1 em coordenadas esféricas é a superfície de uma esfera unitária , que é curva. O formalismo de coordenadas curvilíneas fornece uma descrição unificada e geral dos sistemas de coordenadas padrão.
As coordenadas curvilíneas são frequentemente usadas para definir a localização ou distribuição de quantidades físicas que podem ser, por exemplo, escalares , vetores ou tensores . Expressões matemáticas envolvendo essas quantidades em cálculo vetorial e análise de tensores (como gradiente , divergência , ondulação e laplaciano ) podem ser transformadas de um sistema de coordenadas para outro, de acordo com as regras de transformação para escalares, vetores e tensores. Essas expressões tornam-se então válidas para qualquer sistema de coordenadas curvilíneas.
Um sistema de coordenadas curvilíneas pode ser mais simples de usar do que o sistema de coordenadas cartesianas para algumas aplicações. O movimento das partículas sob a influência de forças centrais é geralmente mais fácil de resolver em coordenadas esféricas do que em coordenadas cartesianas; isso é verdade para muitos problemas físicos com simetria esférica definida em R 3 . Equações com condições de contorno que seguem superfícies de coordenadas para um determinado sistema de coordenadas curvilíneas podem ser mais fáceis de resolver nesse sistema. Embora se possa descrever o movimento de uma partícula em uma caixa retangular usando coordenadas cartesianas, o movimento em uma esfera é mais fácil com coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas são os sistemas de coordenadas curvilíneas mais comuns e são usadas em ciências da Terra , cartografia , mecânica quântica , relatividade e engenharia .
Coordenadas curvilíneas ortogonais em 3 dimensões
Coordenadas, base e vetores
Por enquanto, considere o espaço 3-D . Um ponto P no espaço 3d (ou seu vetor de posição r ) pode ser definido usando coordenadas cartesianas ( x , y , z ) [escrito de forma equivalente ( x 1 , x 2 , x 3 )], por , onde e x , e y , e z são os vetores de base padrão .
Ele também pode ser definido por suas coordenadas curvilíneas ( q 1 , q 2 , q 3 ) se esse trio de números definir um único ponto de forma inequívoca. A relação entre as coordenadas é então dada pelas funções de transformação invertíveis:
As superfícies q 1 = constante, q 2 = constante, q 3 = constante são chamadas de superfícies de coordenadas ; e as curvas espaciais formadas por sua interseção em pares são chamadas de curvas de coordenadas . Os eixos de coordenadas são determinados pelas tangentes às curvas de coordenadas na interseção de três superfícies. Em geral, não são direções fixas no espaço, o que acontece com as coordenadas cartesianas simples e, portanto, geralmente não há base global natural para as coordenadas curvilíneas.
No sistema cartesiano, os vetores de base padrão podem ser derivados da derivada da localização do ponto P em relação à coordenada local
A aplicação dos mesmos derivados ao sistema curvilíneo localmente no ponto P define os vetores de base natural:
Essa base, cujos vetores mudam de direção e / ou magnitude de ponto a ponto, é chamada de base local . Todas as bases associadas às coordenadas curvilíneas são necessariamente locais. Os vetores de base que são iguais em todos os pontos são bases globais e podem ser associados apenas a sistemas de coordenadas lineares ou afins .
Para este artigo, e é reservado para a base padrão (cartesiana) eh ou b é para a base curvilínea.
Eles podem não ter comprimento unitário e também não podem ser ortogonais. No caso em que eles são ortogonais em todos os pontos, onde os derivados são bem definidas, que definem os coeficientes Lamé(depois de Gabriel Lamé ) por
e os vetores de base ortonormal curvilínea por
Esses vetores de base podem muito bem depender da posição de P ; portanto, é necessário que eles não sejam considerados constantes em uma região. (Eles formam tecnicamente uma base para o feixe tangente de em P e, portanto, são locais para P. )
Em geral, as coordenadas curvilíneas permitem que os vetores de base natural h i nem todos sejam perpendiculares entre si, e não precisam ter comprimento unitário: eles podem ser de magnitude e direção arbitrárias. O uso de uma base ortogonal torna as manipulações de vetores mais simples do que as não ortogonais. No entanto, algumas áreas da física e da engenharia , particularmente mecânica dos fluidos e mecânica contínua , requerem bases não ortogonais para descrever deformações e transporte de fluido para explicar complicadas dependências direcionais de quantidades físicas. Uma discussão do caso geral aparece posteriormente nesta página.
Cálculo vetorial
Elementos diferenciais
Em coordenadas curvilíneas ortogonais, uma vez que a mudança diferencial total em r é
então os fatores de escala são
Em coordenadas não ortogonais, o comprimento de é a raiz quadrada positiva de (com a convenção de soma de Einstein ). Os seis produtos escalares independentes g ij = h i . h j dos vetores de base natural generalizam os três fatores de escala definidos acima para coordenadas ortogonais. Os nove g ij são os componentes do tensor métrico , que possui apenas três componentes diferentes de zero em coordenadas ortogonais: g 11 = h 1 h 1 , g 22 = h 2 h 2 , g 33 = h 3 h 3 .
Bases covariantes e contravariantes
Gradientes espaciais, distâncias, derivadas de tempo e fatores de escala estão inter-relacionados dentro de um sistema de coordenadas por dois grupos de vetores de base:
- vetores de base que são localmente tangentes à sua linha de trajetória de coordenada associada:
- vetores de base que são localmente normais à isosuperfície criada pelas outras coordenadas:
Consequentemente, um sistema de coordenadas curvilíneas geral tem dois conjuntos de vetores de base para cada ponto: { b 1 , b 2 , b 3 } é a base covariante e { b 1 , b 2 , b 3 } é a contravariante (também conhecida como recíproca) base. Os tipos de vetores de base covariante e contravariante têm direção idêntica para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais, mas, como de costume, têm unidades invertidas entre si.
Observe a seguinte igualdade importante:
em que denota o delta de Kronecker generalizado .
Prova No sistema de coordenadas cartesianas , podemos escrever o produto escalar como:
Considere um deslocamento infinitesimal . Sejam dq 1 , dq 2 e dq 3 denotem as mudanças infinitesimais correspondentes nas coordenadas curvilíneas q 1 , q 2 e q 3, respectivamente.
Pela regra da cadeia, dq 1 pode ser expresso como:
Se o deslocamento d r é tal que dq 2 = dq 3 = 0, ou seja, o vetor de posição r se move por uma quantidade infinitesimal ao longo do eixo de coordenadas q 2 = const e q 3 = const, então:
Dividindo por dq 1 , e tomando o limite dq 1 → 0:
ou equivalente:
Agora, se o deslocamento d r é tal que dq 1 = dq 3 = 0, ou seja, o vetor de posição r se move por uma quantidade infinitesimal ao longo do eixo de coordenadas q 1 = const e q 3 = const, então:
Dividindo por dq 2 , e tomando o limite dq 2 → 0:
ou equivalente:
E assim por diante para os outros produtos escalares.
Prova alternativa:
e a convenção de soma de Einstein está implícita.
Um vetor v pode ser especificado em termos de qualquer uma das bases, ou seja,
Usando a convenção de soma de Einstein, os vetores de base se relacionam com os componentes por
e
onde g é o tensor métrico (veja abaixo).
Um vetor pode ser especificado com coordenadas covariantes (índices reduzidos, escritos v k ) ou coordenadas contravariantes (índices elevados, escritos v k ). A partir das somas vetoriais acima, pode-se ver que as coordenadas contravariantes estão associadas aos vetores de base covariante, e as coordenadas covariantes estão associadas aos vetores de base contravariantes.
Uma característica-chave da representação de vetores e tensores em termos de componentes indexados e vetores de base é a invariância no sentido de que os componentes do vetor que se transformam de maneira covariante (ou contravariante) são pareados com vetores de base que se transformam de maneira contravariante (ou forma covariante).
Integração
Construindo uma base covariante em uma dimensão
Considere a curva unidimensional mostrada na Fig. 3. No ponto P , tomado como origem , x é uma das coordenadas cartesianas e q 1 é uma das coordenadas curvilíneas. A (não-unidade) vetor base local é b 1 (anotado h 1 acima, com b reservados para os vectores de unidade) e que é construído sobre a q 1 eixo que é uma tangente a essa linha de coordenadas no ponto P . O eixo q 1 e, portanto, o vetor b 1 formam um ângulo com o eixo cartesiano xe o vetor de base cartesiana e 1 .
Pode-se ver no triângulo PAB que
onde | e 1 |, | b 1 | são as magnitudes dos dois vetores de base, ou seja, os interceptos escalares PB e PA . PA também é a projeção de b 1 no eixo x .
No entanto, este método para transformações de vetor de base usando cossenos direcionais é inaplicável a coordenadas curvilíneas pelos seguintes motivos:
- Ao aumentar a distância de P , o ângulo entre a linha curva q 1 e o eixo cartesiano x se desvia cada vez mais .
- Na distância PB, o ângulo verdadeiro é aquele que a tangente no ponto C forma com o eixo xe este último ângulo é claramente diferente .
Os ângulos a que q uma linha e que forma com o eixo do x eixo tornar-se mais perto em valor quanto mais perto se move para o ponto P e tornam-se exactamente igual a P .
Seja o ponto E localizado muito próximo a P , tão próximo que a distância PE é infinitesimalmente pequena. Então PE medido no eixo q 1 quase coincide com PE medido na linha q 1 . Ao mesmo tempo, a razão PD / PE ( sendo PD a projeção de PE no eixo x ) torna-se quase exatamente igual a .
Deixe que as interceptações infinitesimalmente pequenas PD e PE sejam rotuladas, respectivamente, como dx e d q 1 . Então
- .
Assim, os cossenos direcionais podem ser substituídos nas transformações com as razões mais exatas entre interceptações de coordenadas infinitesimalmente pequenas. Conclui-se que o componente (projeção) de b 1 no eixo x é
- .
Se q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) e x i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) são funções suaves (continuamente diferenciáveis), as relações de transformação podem ser escritas como e . Ou seja, essas relações são derivadas parciais de coordenadas pertencentes a um sistema em relação às coordenadas pertencentes a outro sistema.
Construindo uma base covariante em três dimensões
Fazendo o mesmo para as coordenadas nas outras 2 dimensões, b 1 pode ser expresso como:
Equações semelhantes são válidas para b 2 e b 3, de modo que a base padrão { e 1 , e 2 , e 3 } é transformada em uma base local (ordenada e normalizada ) { b 1 , b 2 , b 3 } pelo seguinte sistema de equações:
Por raciocínio análogo, pode-se obter a transformação inversa da base local para a base padrão:
Jacobiano da transformação
Os sistemas de equações lineares acima podem ser escritos em forma de matriz usando a convenção de soma de Einstein como
- .
Essa matriz de coeficientes do sistema linear é a matriz Jacobiana (e sua inversa) da transformação. Essas são as equações que podem ser usadas para transformar uma base cartesiana em uma base curvilínea e vice-versa.
Em três dimensões, as formas expandidas dessas matrizes são
Na transformação inversa (segundo sistema de equações), as incógnitas são os vetores de base curvilínea. Para qualquer local específico, só pode existir um e apenas um conjunto de vetores de base (caso contrário, a base não está bem definida nesse ponto). Essa condição é satisfeita se e somente se o sistema de equações tiver uma única solução. Em álgebra linear , um sistema de equações lineares tem uma única solução (não trivial) apenas se o determinante de sua matriz de sistema for diferente de zero:
que mostra a razão por trás do requisito acima em relação ao determinante inverso Jacobiano.
Generalização para n dimensões
O formalismo se estende a qualquer dimensão finita como segue.
Considere o espaço n- dimensional euclidiano real , ou seja, R n = R × R × ... × R ( n vezes) onde R é o conjunto de números reais e × denota o produto cartesiano , que é um espaço vetorial .
As coordenadas deste espaço podem ser denotadas por: x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ). Como este é um vetor (um elemento do espaço vetorial), ele pode ser escrito como:
onde e 1 = (1,0,0 ..., 0), e 2 = (0,1,0 ..., 0), e 3 = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e n = (0,0,0 ..., 1) é o conjunto de vetores de base padrão para o espaço R n , ei = 1, 2, ... n é um componente de rotulagem de índice. Cada vetor possui exatamente um componente em cada dimensão (ou "eixo") e são mutuamente ortogonais ( perpendiculares ) e normalizados (possuem magnitude unitária ).
De maneira mais geral, podemos definir vetores de base b i de modo que dependam de q = ( q 1 , q 2 , ..., q n ), ou seja, eles mudam de ponto a ponto: b i = b i ( q ). Nesse caso, para definir o mesmo ponto x em termos dessa base alternativa: as coordenadas com relação a essa base v i também dependem necessariamente de x , ou seja, v i = v i ( x ). Então, um vetor v neste espaço, com relação a essas coordenadas alternativas e vetores de base, pode ser expandido como uma combinação linear nesta base (o que significa simplesmente multiplicar cada vetor de base e i por um número v i - multiplicação escalar ):
A soma vetorial que descreve v na nova base é composta de vetores diferentes, embora a própria soma permaneça a mesma.
Transformação de coordenadas
De uma perspectiva mais geral e abstrata, um sistema de coordenadas curvilíneas é simplesmente um remendo de coordenadas na variedade E n diferenciável ( espaço euclidiano n-dimensional ) que é difeomórfico ao remendo de coordenadas cartesianas na variedade. Dois remendos de coordenadas difeomórficas em uma variedade diferencial não precisam se sobrepor de maneira diferente. Com esta definição simples de um sistema de coordenadas curvilíneas, todos os resultados que seguem abaixo são simplesmente aplicações de teoremas padrão em topologia diferencial .
As funções de transformação são tais que há uma relação um a um entre os pontos nas coordenadas "antigas" e "novas", ou seja, essas funções são bijjeções e atendem aos seguintes requisitos em seus domínios :
- São funções suaves : q i = q i ( x )
- O inverso determinante
Jacobiano
não é zero; significando que a transformação é invertível : x i ( q ).
de acordo com o teorema da função inversa . A condição de que o determinante Jacobiano não seja zero reflete o fato de que três superfícies de famílias diferentes se cruzam em um e apenas um ponto e, portanto, determinam a posição desse ponto de uma maneira única.
Álgebra vetorial e tensorial em coordenadas curvilíneas tridimensionais
A álgebra vetorial e tensorial elementar em coordenadas curvilíneas é usada em parte da literatura científica mais antiga em mecânica e física e pode ser indispensável para a compreensão de trabalhos do início e meados dos anos 1900, por exemplo, o texto de Green e Zerna. Algumas relações úteis na álgebra de vetores e tensores de segunda ordem em coordenadas curvilíneas são fornecidas nesta seção. A notação e os conteúdos são principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, Green e Zerna, Basar e Weichert e Ciarlet.
Tensores em coordenadas curvilíneas
Um tensor de segunda ordem pode ser expresso como
onde denota o produto tensorial . Os componentes S ij são chamados de componentes contravariantes , S i j os componentes covariantes à direita mistos , S i j os componentes covariantes à esquerda mistos e S ij os componentes covariantes do tensor de segunda ordem. Os componentes do tensor de segunda ordem são relacionados por
O tensor métrico em coordenadas curvilíneas ortogonais
Em cada ponto, pode-se construir um pequeno elemento de linha d x , então o quadrado do comprimento do elemento de linha é o produto escalar d x • d x e é chamado de métrica do espaço , dado por:
- .
A seguinte porção da equação acima
é um tensor simétrico denominado tensor fundamental (ou métrico) do espaço euclidiano em coordenadas curvilíneas.
Os índices podem ser aumentados e reduzidos pela métrica:
Relação com coeficientes de Lamé
Definindo os fatores de escala h i por
dá uma relação entre o tensor métrico e os coeficientes de Lamé, e
onde h ij são os coeficientes de Lamé. Para uma base ortogonal, também temos:
Exemplo: coordenadas polares
Se considerarmos as coordenadas polares para R 2 ,
(r, θ) são as coordenadas curvilíneas, e o determinante Jacobiano da transformação ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) é r .
Os vetores de base ortogonal são b r = (cos θ, sin θ), b θ = (−r sen θ, r cos θ). Os fatores de escala são h r = 1 eh θ = r . O tensor fundamental é g 11 = 1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 = 0.
O tensor alternado
Em uma base ortonormal destra, o tensor alternado de terceira ordem é definido como
Em uma base curvilínea geral, o mesmo tensor pode ser expresso como
Também pode ser mostrado que
Símbolos de Christoffel
- Símbolos de Christoffel do primeiro tipo
onde a vírgula denota uma derivada parcial (ver cálculo de Ricci ). Para expressar Γ kij em termos de g ij ,
Desde a
usar isso para reorganizar as relações acima dá
- Símbolos de Christoffel do segundo tipo
Isso implica que
- desde então .
Outras relações que se seguem são
Operações vetoriais
-
Produto interno :
O produto escalar de dois vetores em coordenadas curvilíneas é
-
Produto cruzado :
O produto vetorial de dois vetores é dado por
onde é o símbolo de permutação e é um vetor de base cartesiana. Em coordenadas curvilíneas, a expressão equivalente é
Cálculo vetorial e tensorial em coordenadas curvilíneas tridimensionais
Ajustes precisam ser feitos no cálculo das integrais de linha , superfície e volume . Para simplificar, o seguinte se restringe a três dimensões e coordenadas curvilíneas ortogonais. No entanto, os mesmos argumentos se aplicam a espaços n- dimensionais. Quando o sistema de coordenadas não é ortogonal, existem alguns termos adicionais nas expressões.
Simmonds, em seu livro sobre análise tensorial , cita Albert Einstein dizendo
A magia dessa teoria dificilmente deixará de se impor a quem realmente a entendeu; representa um verdadeiro triunfo do método de cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci e Levi-Civita.
O cálculo vetorial e tensorial em coordenadas curvilíneas gerais é usado na análise de tensores em variedades curvilíneas quadridimensionais na relatividade geral , na mecânica de cascas curvas , no exame das propriedades de invariância das equações de Maxwell que têm sido de interesse em metamateriais e em muitos outros campos .
Algumas relações úteis no cálculo de vetores e tensores de segunda ordem em coordenadas curvilíneas são fornecidas nesta seção. A notação e os conteúdos são principalmente de Ogden, Simmonds, Green e Zerna, Basar e Weichert e Ciarlet.
Seja φ = φ ( x ) um campo escalar bem definido ev = v ( x ) um campo vetorial bem definido, e λ 1 , λ 2 ... sejam parâmetros das coordenadas
Elementos geométricos
-
Vetor tangente : Se x ( λ ) parametriza uma curva C em coordenadas cartesianas, então
é um vetor tangente a C em coordenadas curvilíneas (usando a regra da cadeia ). Usando a definição dos coeficientes de Lamé, e para a métrica g ij = 0 quando i ≠ j , a magnitude é:
-
Elemento plano tangente : Se x ( λ 1 , λ 2 ) parametrizar uma superfície S em coordenadas cartesianas, o seguinte produto vetorial de vetores tangentes é um vetor normal para S com a magnitude do elemento plano infinitesimal, em coordenadas curvilíneas. Usando o resultado acima,
onde está o símbolo de permutação . Na forma determinante:
Integração
Operador Campo escalar Campo vetorial Integral de linha Integral de superfície Volume integral
Diferenciação
As expressões para gradiente, divergência e Laplaciano podem ser estendidas diretamente para n- dimensões, no entanto, o curl é definido apenas em 3D.
O campo vetorial b i é tangente à curva de coordenadas q i e forma uma base natural em cada ponto da curva. Essa base, conforme discutido no início deste artigo, também é chamada de base curvilínea covariante . Também podemos definir uma base recíproca , ou base curvilínea contravariante , b i . Todas as relações algébricas entre os vetores da base, conforme discutido na seção sobre álgebra tensorial, se aplicam à base natural e seu recíproco em cada ponto x .
Operador Campo escalar Campo vetorial Campo tensor de 2ª ordem Gradiente Divergência N / D onde a é um vetor constante arbitrário. Em coordenadas curvilíneas,
Laplaciano Ondulação N / D Para campos vetoriais em 3D apenas, onde está o símbolo Levi-Civita .
Veja Curl de um campo tensor
Forças fictícias em coordenadas curvilíneas gerais
Por definição, se uma partícula sem forças agindo sobre ela tem sua posição expressa em um sistema de coordenadas inerciais, ( x 1 , x 2 , x 3 , t ), então ela não terá aceleração (d 2 x j / d t 2 = 0). Neste contexto, um sistema de coordenadas pode deixar de ser "inercial" devido a um eixo de tempo não reto ou a eixos de espaço não retos (ou ambos). Em outras palavras, os vetores de base das coordenadas podem variar no tempo em posições fixas, ou podem variar com a posição em tempos fixos, ou ambos. Quando as equações de movimento são expressas em termos de qualquer sistema de coordenadas não inercial (neste sentido), aparecem termos extras, chamados de símbolos de Christoffel. Estritamente falando, esses termos representam os componentes da aceleração absoluta (na mecânica clássica), mas também podemos escolher continuar a considerar d 2 x j / d t 2 como a aceleração (como se as coordenadas fossem inerciais) e tratar os termos extras como se fossem forças, caso em que são chamadas de forças fictícias. O componente de qualquer força fictícia normal à trajetória da partícula e no plano da curvatura da trajetória é então chamado de força centrífuga .
Este contexto mais geral deixa clara a correspondência entre os conceitos de força centrífuga em sistemas de coordenadas rotativas e em sistemas de coordenadas curvilíneas estacionários. (Ambos estes conceitos aparecem frequentemente na literatura.) Para um simples exemplo, considerar uma partícula de massa m movendo-se num círculo de raio r , com velocidade angular w em relação a um sistema de coordenadas polares em rotação com velocidade angular W . A equação radial do movimento é mr ”= F r + mr ( w + W ) 2 . Assim, a força centrífuga é mr vezes o quadrado da velocidade de rotação absoluta A = w + W da partícula. Se escolher um sistema de coordenadas de rotação na velocidade da partícula, então W = A e w = 0, caso em que a força centrífuga é MRA 2 , ao passo que se escolher uma estacionário sistema de coordenadas que têm W = 0 e w = A , caso em que a força centrífuga é novamente mrA 2 . A razão para essa igualdade de resultados é que em ambos os casos os vetores de base na localização da partícula estão mudando no tempo exatamente da mesma maneira. Portanto, essas são realmente apenas duas maneiras diferentes de descrever exatamente a mesma coisa, uma descrição sendo em termos de coordenadas rotativas e a outra sendo em termos de coordenadas curvilíneas estacionárias, ambas as quais são não inerciais de acordo com o significado mais abstrato do termo .
Ao descrever o movimento geral, as forças reais que atuam sobre uma partícula são frequentemente referidas ao círculo osculante instantâneo tangente ao caminho do movimento, e este círculo, no caso geral, não é centralizado em um local fixo, e assim a decomposição em centrífuga e Coriolis componentes estão mudando constantemente. Isso é verdadeiro independentemente de o movimento ser descrito em termos de coordenadas estacionárias ou rotativas.
Veja também
Referências
Leitura adicional
- Spiegel, MR (1959). Análise vetorial . Nova York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
- Arfken, George (1995). Métodos matemáticos para físicos . Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.
links externos
- Planetmath.org Derivação de vetores unitários em coordenadas curvilíneas
- Página do MathWorld sobre coordenadas curvilíneas
- E-Book do Prof. R. Brannon sobre Coordenadas Curvilineares
- Wikiversidade: Introdução à Elasticidade / Tensores # A divergência de um campo de tensores - Wikiversidade , Introdução à Elasticidade / Tensores.