Sistema de coordenadas cilíndricas - Cylindrical coordinate system

Um sistema de coordenadas cilíndricas com origem ó , eixo polar A , e o eixo longitudinal L . O ponto é o ponto com distância radial ρ = 4 , coordenada angular φ = 130 ° e altura z = 4 .

Um sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema de coordenadas tridimensional que especifica as posições dos pontos pela distância de um eixo de referência escolhido, a direção do eixo em relação a uma direção de referência escolhida e a distância de um plano de referência escolhido perpendicular ao eixo. A última distância é fornecida como um número positivo ou negativo, dependendo de qual lado do plano de referência está voltado para o ponto.

A origem do sistema é o ponto onde todas as três coordenadas podem ser dadas como zero. Esta é a interseção entre o plano de referência e o eixo. O eixo é chamado de eixo cilíndrico ou longitudinal , para diferenciá-lo do eixo polar , que é o raio que fica no plano de referência, começando na origem e apontando na direção de referência. Outras direções perpendiculares ao eixo longitudinal são chamadas de linhas radiais .

A distância do eixo pode ser chamada de distância radial ou raio , enquanto a coordenada angular às vezes é chamada de posição angular ou azimute . O raio e o azimute são chamados juntos de coordenadas polares , pois correspondem a um sistema de coordenadas polares bidimensional no plano que passa pelo ponto, paralelo ao plano de referência. A terceira coordenada pode ser chamada de altura ou altitude (se o plano de referência for considerado horizontal), posição longitudinal ou posição axial .

As coordenadas cilíndricas são úteis em conexão com objetos e fenômenos que têm alguma simetria rotacional em torno do eixo longitudinal, como fluxo de água em um tubo reto com seção transversal redonda, distribuição de calor em um cilindro de metal , campos eletromagnéticos produzidos por uma corrente elétrica em um fios longos e retos, discos de acréscimo em astronomia e assim por diante.

Às vezes são chamadas de "coordenadas polares cilíndricas" e "coordenadas polares cilíndricas", e às vezes são usadas para especificar a posição das estrelas em uma galáxia ("coordenadas polares cilíndricas galactocêntricas").

Definição

As três coordenadas ( ρ , φ , z ) de um ponto P são definidas como:

• A distância axial ou distância radial ρ é a distância euclidiana do z -axis para o ponto P .
• O azimute φ é o ângulo entre a direção de referência no plano escolhido e a linha da origem até a projeção de P no plano.
• A coordenada axial ou altura z é a distância assinado a partir do plano escolhido para o ponto P .

Coordenadas cilíndricas únicas

Como nas coordenadas polares, o mesmo ponto com coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) tem infinitas coordenadas equivalentes, a saber ( ρ , φ ± n × 360 °, z ) e (- ρ , φ ± (2 n + 1) × 180 °, z ), onde n é qualquer número inteiro. Além disso, se o raio ρ for zero, o azimute é arbitrário.

Em situações em que alguém deseja um conjunto único de coordenadas para cada ponto, pode-se restringir o raio para ser não negativo ( ρ ≥ 0 ) e o azimute φ para ficar em um intervalo específico de 360 °, como [-180 °, + 180 °] ou [0,360 °] .

Convenções

A notação para coordenadas cilíndricas não é uniforme. O padrão ISO 31-11 recomenda ( ρ , φ , z ) , onde ρ é a coordenada radial, φ o azimute ez a altura. No entanto, o raio também é frequentemente denotado por r ou s , o azimute por θ ou t e a terceira coordenada por h ou (se o eixo cilíndrico for considerado horizontal) x , ou qualquer letra específica do contexto.

As superfícies de coordenadas das coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) . O cilindro vermelho mostra os pontos com ρ = 2 , o plano azul mostra os pontos com z = 1 e o semiplano amarelo mostra os pontos com φ = −60 ° . O eixo z é vertical e o eixo x é destacado em verde. As três superfícies se cruzam no ponto P com essas coordenadas (mostradas como uma esfera preta); as coordenadas cartesianas de P são aproximadamente (1,0, -1,732, 1,0).

Superfícies de coordenadas cilíndricas. Os três componentes ortogonais, ρ (verde), φ (vermelho) ez (azul), cada um aumentando a uma taxa constante. O ponto está na intersecção entre as três superfícies coloridas.

Em situações concretas, e em muitas ilustrações matemáticas, uma coordenada angular positiva é medida no sentido anti-horário , visto de qualquer ponto com altura positiva.

Coordenar conversões do sistema

O sistema de coordenadas cilíndricas é um dos muitos sistemas de coordenadas tridimensionais. As fórmulas a seguir podem ser usadas para converter entre eles.

Coordenadas cartesianas

Para a conversão entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas, é conveniente assumir que o plano de referência da primeira é o plano xy cartesiano (com equação z = 0 ), e o eixo cilíndrico é o eixo z cartesiano . Então a coordenada z é a mesma em ambos os sistemas, e a correspondência entre cilíndrica ( ρ , φ , z ) e cartesiana ( x , y , z ) é a mesma que para as coordenadas polares, a saber

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x & = \ rho \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \\ z & = z \ end {alinhado}}}$

em uma direção, e

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ varphi & = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} x = 0 {\ mbox {and}} y = 0 \\\ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) & {\ mbox {if}} x \ geq 0 \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) & {\ mbox {if}} x> 0 \\ - \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) + \ pi & {\ mbox {if}} x <0 \ end {casos}} \ end {alinhado}}}$

no outro. A função arcsin é o inverso da função seno , e presume-se que retorne um ângulo no intervalo [- π/2, +π/2] = [−90 °, + 90 °] . Essas fórmulas geram um azimute φ no intervalo [−90 °, + 270 °] . Para outras fórmulas, consulte o artigo sobre coordenadas polares .

Muitas linguagens de programação modernas oferecem uma função que irá calcular o azimute correto φ , na faixa (-π, π) , dados x e y , sem a necessidade de realizar uma análise de caso como acima. Por exemplo, esta função é chamada por atan2 ( y , x ) na linguagem de programação C e atan ( y , x ) em Common Lisp .

Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas (raio r , elevação ou inclinação θ , azimute φ ), podem ser convertidas em coordenadas cilíndricas por:

θ é a elevação:	θ é inclinação:
${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ rho & = r \ cos \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ sin \ theta \ end {alinhado}}}$	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ rho & = r \ sin \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ cos \ theta \ end {alinhado}}}$

As coordenadas cilíndricas podem ser convertidas em coordenadas esféricas por:

θ é a elevação:	θ é inclinação:
${\ displaystyle {\ begin {alinhados} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ tfrac {z} {\ rho} } \ right) \\\ varphi & = \ varphi \ end {alinhado}}}$	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ tfrac {\ rho} {z} } \ right) \\\ varphi & = \ varphi \ end {alinhado}}}$

Elementos de linha e volume

Consulte integral múltipla para obter detalhes de integração de volume em coordenadas cilíndricas e Del em coordenadas cilíndricas e esféricas para fórmulas de cálculo vetorial .

Em muitos problemas envolvendo coordenadas polares cilíndricas, é útil conhecer os elementos de linha e volume; eles são usados ​​na integração para resolver problemas envolvendo caminhos e volumes.

O elemento de linha é

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ rho \, {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, { \ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + \ mathrm {d} z \, \ mathbf {\ hat {z}}.}$

O elemento de volume é

${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}$

O elemento de superfície em uma superfície de raio constante ρ (um cilindro vertical) é

${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ rho} = \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}$

O elemento de superfície em uma superfície de azimute constante φ (um semiplano vertical) é

${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ varphi} = \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} z.}$

O elemento de superfície em uma superfície de altura constante z (um plano horizontal) é

${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {z} = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi.}$

O operador del neste sistema leva às seguintes expressões para gradiente , divergência , curvatura e Laplaciano :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ nabla f & = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + {\ frac {1} {\ rho }} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {\ hat { z}} \\ [8px] \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {A}} & = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ rho} \ right) + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial A_ {z }} {\ parcial z}} \\ [8px] \ nabla \ times {\ boldsymbol {A}} & = \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial A_ {z} } {\ partial \ varphi}} - {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ left ({\ frac { \ parcial A _ {\ rho}} {\ parcial z}} - {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial \ rho}} \ direita) {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + { \ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ varphi} \ right) - {\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ mathbf {\ hat {z}} \\ [8px] \ nabla ^ {2} f & = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac { \ parti al} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}} \ end {alinhado}} }$

Harmônicas cilíndricas

As soluções para a equação de Laplace em um sistema com simetria cilíndrica são chamadas de harmônicas cilíndricas .

Veja também

• Lista de transformações de coordenadas canônicas
• Campos de vetor em coordenadas cilíndricas e esféricas
• Del em coordenadas cilíndricas e esféricas

Referências

Leitura adicional

• Morse, Philip M .; Feshbach, Herman (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I . Cidade de Nova York : McGraw-Hill . pp. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Margenau, Henry ; Murphy, George M. (1956). A Matemática da Física e da Química . Cidade de Nova York: D. van Nostrand. p. 178 . ISBN 9780882754239. LCCN  55010911 . OCLC  3017486 .
• Korn, Granino A .; Korn, Theresa M. (1961). Manual matemático para cientistas e engenheiros . Cidade de Nova York: McGraw-Hill. pp.  174–175 . LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Cidade de Nova York: Springer-Verlag . p. 95. LCCN  67025285 .
• Zwillinger, Daniel (1992). Manual de integração . Boston : Jones e Bartlett Publishers . p. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC  25710023 .
• Moon, P .; Spencer, DE (1988). "Coordenadas do cilindro circular (r, ψ, z)". Manual de teoria de campo, incluindo sistemas de coordenadas, equações diferenciais e suas soluções (2ª ed. Corrigida). Cidade de Nova York: Springer-Verlag. pp. 12–17, Tabela 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

links externos

• "Cylinder coordinates" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Descrição MathWorld de coordenadas cilíndricas
• Coordenadas cilíndricas Animações ilustrando coordenadas cilíndricas de Frank Wattenberg